Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
3.3. Произведение вектора на скаляр |
|||||||
|
. Минор
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Пример 1. Составить минор , полученную из исходной матрицы:
Решение:
.
К оглавлению
Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент, называется элемент а11:
.
Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
.
Например, пусть
.
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
Пример. Вычислить определитель третьего порядка:
Решение.
Замечание. Вычисление определителей четвертого и более высокого порядка приводит к большим вычислениям, так как
для нахождения определителя первого порядка мы находим одно слагаемое, состоящее из одного сомножителя,
для нахождения определителя второго порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двух слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения двух сомножителей,
для нахождения определителя третьего порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из шести слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей,
для нахождения определителя четвертого порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двадцати четырех слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения четырех сомножителей и т.д.
Определить количество слагаемых в алгебраической сумме, можно вычислив факториал:
Вычисление определителя четвертого порядка приводит к большим вычислениям. Поэтому в этом случае используют искусственные методы, о которых мы остановимся позже.
!
Определяется только для квадратных матриц!
Для квадратной матрицы матрица называется левой обратной, если , где — единичная матрица; для матрицы матрица называется правой обратной если .
Т
Для того, чтобы существовала левая обратная матрица для матрицы необходимо и достаточно, чтобы . В этом случае, левая обратная матрица будет единственной и совпадает с правой обратной: .
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Для обратной к матрице закреплено обозначение , а сама процедура нахождения обратной матрицы называется обращением. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.
1. Первый способ следует из доказательства предыдущей теоремы. Вычислим все алгебраические дополнения к элементам матрицы , составим из них новую матрицу порядка и транспонируем ее. Полученная матрица
называется взаимной или союзной матрице . При условии будем иметь:
?
Показать справедливость следующих свойств операции обращения :
a) ; б) ; в) ; г) .
Предполагается, что в левой части каждого равенства операции определены.
§
Этот способ вычисления обратной матрицы имеет исключительно теоретическое значение.
П
Пример. Вычислить
Решение. Вычисляем определитель этой матрицы: . Обратная матрица существует. Вычисляем алгебраические дополнения элементов:
Cоставляем из них матрицу:
и не забываем ее транспонировать, а также поделить на определитель!
Ответ.
2. Второй способ нахождения часто называют методом Гаусса-Йордана1) или методом приписывания единичной матрицы. Он, фактически, заключается в одновременном решении семейства систем линейных уравнений
где – столбцы единичной матрицы:
Левые части этих систем одинаковы, поэтому метод исключения переменных Гаусса, примененный к одной, будет действителен и для другой - различия будут проявляться лишь в правых частях. Строго формальное обоснование метода следующее. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно неизвестных :
Здесь . Если существует, то эту систему можно разрешить относительно столбца переменных :
С другой стороны, перепишем ту же систему в матричном виде:
здесь — единичная матрица порядка . Элементарными преобразованиями над строками матрицы добиваемся того, чтобы в левой ее половине возникла единичная матрица: (этого всегда можно добиться при условии ). Поскольку элементарные преобразования приводят систему линейных уравнений к эквивалентной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений), то
Сравнивая два представления решений системы, приходим к равенству
справедливому для любого столбца . Выбираем из множества столбцов единичной матрицы, получаем:
Алгоритм обращения матрицы посредством приписыванием к ней единичной
1. Формируем расширенную -матрицу , приписывая к матрице справа единичную матрицу того же порядка.
2. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, добиваемся, чтобы в левой ее половине получилась единичная матрица.
3. Если это удается сделать, то матрица, получившаяся в правой половине и будет . Если это сделать невозможно, то , т.е. не существует.
П
Пример. Вычислить
приписыванием единичной матрицы.
Решение.
Ответ.
?
Алгоритм шифрования Rijndael, используемый в мобильной телефонии, имеет в одной из стадий следующее преобразование байтов
Найти обратное преобразование.
Ответ ☞ ЗДЕСЬ.
3. Этот способ основан на теореме Гамильтона-Кэли. Если найден характеристический полином матрицы :
то при условии матрица обратима и
т.е. может быть вычислена посредством возведения в степень матрицы .
Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей , т.е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:
Теорема Крамера утверждает, что такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля: . Это же условие является необходимым и достаточным и для существования обратной матрицы . Но тогда решение системы можно записать в матричной форме:
и такое представление бывает удобно в тех задачах, в которых требуется решить семейства систем с одинаковой матрицей , но различными столбцами правых частей . Как соотносятся формулы Крамера и только что полученная формула? — Для пояснения, распишем первую компоненту решения, воспользовавшись представлением обратной матрицы по способу 1 ( см. ☛ЗДЕСЬ ). Имеем:
Но полученное выражение совпадает с разложением определителя
по первому столбцу, т.е. мы получили первую из формул Крамера.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, например
Рис. 2 Матрица
Матрицы обозначаются заглавными полужирными буквами (A), а их элементы — соответствующими строчными буквами с индексами, т.е. aij. Первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы. В хемометрике принято обозначать максимальное значение индекса той же буквой, что и сам индекс, но заглавной. Поэтому матрицу A можно также записать как { aij, i = 1,..., I; j = 1,..., J}. Для приведенной в примере матрицы I = 4, J = 3 и a23 = −7.5.
Пара чисел I и J называется размерностью матрицы и обознается как I×J. Примером матрицы в хемометрике может служить набор спектров, полученный для Iобразцов на J длинах волн.
Содержание
Матрицы можно умножать на числа. При этом каждый элемент умножается на это число. Например —
Рис. 3 Умножение матрицы на число
Две матрицы одинаковой размерности можно поэлементно складывать и вычитать. Например,
Рис. 4 Сложение матриц
В результате умножения на число и сложения получается матрица той же размерности.
Нулевой матрицей называется матрица, состоящая из нулей. Она обозначается O. Очевидно, что A+O = A, A−A = O и 0A = O.
Матрицу можно транспонировать. При этой операции матрица переворачивается, т.е. строки и столбцы меняются местами. Транспонирование обозначается штрихом, A' или индексом At. Таким образом, если A = {aij, i = 1,..., I; j = 1,...,J}, то At = {aji, j = 1,...,J; i = 1,..., I}. Например
Рис. 5 Транспонирование матрицы
Очевидно, что (At)t = A, (A+B)t = At+Bt.
Содержание
Матрицы можно перемножать, но только в том случае, когда они имеют соответствующие размерности. Почему это так, будет ясно из определения. Произведением матрицы A, размерностью I×K, и матрицы B, размерностью K×J, называется матрица C, размерностью I×J, элементами которой являются числа
Таким образом для произведения AB необходимо, чтобы число столбцов в левой матрице A было равно числу строк в правой матрице B. Пример произведения матриц —
Рис.6 Произведение матриц
Правило перемножения матриц можно сформулировать так. Для того, чтобы найти элемент матрицы C, стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца (cij) надо поэлементно перемножить i-ую строку первой матрицы A на j-ый столбец второй матрицы B и сложить все результаты. Так в показанном примере, элемент из третьей строки и второго столбца, получается как сумма поэлементных произведений третьей строки A и второго столбца B
Рис.7 Элемент произведения матриц
исит от порядка, т.е. AB ≠ BA, хотя бы по соображениям размерности. Говорят, что оно некоммутативно. Однако произведение матриц ассоциативно. Это означает, что ABC = (AB)C = A(BC). Кроме того, оно еще и дистрибутивно, т.е. A(B+C) = AB+AC. Очевидно, что AO = O.
Содержание
Если число столбцов матрицы равно числу ее строк (I = J = N), то такая матрица называется квадратной. В этом разделе мы будем рассматривать только такие матрицы. Среди этих матриц можно выделить матрицы, обладающие особыми свойствами.
Единичной матрицей (обозначается I, а иногда E) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1, т.е.
Очевидно AI = IA = A.
Матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных (aii) равны нулю. Например
Рис. 8 Диагональная матрица
Матрица A называется верхней треугольной, если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю, т.е. aij = 0, при i>j. Например
Рис. 9 Верхняя треугольная матрица
Аналогично определяется и нижняя треугольная матрица.
Матрица A называется симметричной, если At = A. Иными словами aij = aji. Например
Рис. 10 Симметричная матрица
Матрица A называется ортогональной, если
AtA = AAt = I.
Матрица называется нормальной если
AtA = AAt.
Содержание
Следом квадратной матрицы A (обозначается Tr(A) или Sp(A)) называется сумма ее диагональных элементов,
Например,
Рис. 11 След матрицы
Очевидно, что
Sp(α A) = α Sp(A) и
Sp(A+B) = Sp(A)+ Sp(B).
Можно показать, что
Sp(A) = Sp(At), Sp(I) = N,
а также, что
Sp(AB) = Sp(BA).
Другой важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (обозначается det(A)). Определение определителя в общем случае довольно сложно, поэтому мы начнем с простейшего варианта — матрицы A размерностью (2×2). Тогда
Для матрицы (3×3) определитель будет равен
В случае матрицы (N×N) определитель вычисляется как сумма 1·2·3· ... ·N = N! слагаемых, каждый из которых равен
Индексы k1, k2,..., kN определяются как всевозможные упорядоченные перестановки r чисел в наборе (1, 2, ... , N). Вычисление определителя матрицы — это сложная процедура, которую на практике осуществляется с помощью специальных программ. Например,
Рис. 12 Определитель матрицы
Отметим только очевидные свойства:
det(I) = 1, det(A) = det(At),
det(AB) = det(A)det(B).
Содержание
Если матрица состоит только из одного столбца (J = 1), то такой объект называется вектором. Точнее говоря, вектором-столбцом. Например
Можно рассматривать и матрицы, состоящие из одной строки, например
Этот объект также является вектором, но вектором-строкой. При анализе данных важно понимать, с какими векторами мы имеем дело — со столбцами или строками. Так спектр, снятый для одного образца можно рассматривать как вектор-строку. Тогда набор спектральных интенсивностей на какой-то длине волны для всех образцов нужно трактовать как вектор-столбец.
Размерностью вектора называется число его элементов.
Ясно, что всякий вектор-столбец можно превратить в вектор-строку транспонированием, т.е.
В тех случаях, когда форма вектора специально не оговаривается, а просто говорится вектор, то имеют в виду вектор-столбец. Мы тоже будем придерживаться этого правила. Вектор обозначается строчной прямой полужирной буквой. Нулевым вектором называется вектор, все элементы которого раны нулю. Он обозначается 0.
Содержание
Векторы можно складывать и умножать на числа так же, как это делается с матрицами. Например,
Рис. 13 Операции с векторами
Два вектора x и y называются колинеарными, если существует такое число α, что
αx = y.
Содержание
Два вектора одинаковой размерности N можно перемножить. Пусть имеются два вектора x = (x1, x2,...,xN)t и y = (y1, y2,..., yN)t. Руководствуясь правилом перемножения "строка на столбец", мы можем составить из них два произведения: xty и xyt. Первое произведение
называется скалярным или внутренним. Его результат — это число. Для него также используется обозначение (x,y) = xty. Например,
Рис. 14 Внутреннее (скалярное) произведение
Второе произведение
называется внешним. Его результат — это матрица размерности (N×N). Например,
Рис. 15 Внешнее произведение
Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.
Содержание
Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом. Эта величина
определяет квадрат длины вектора x. Для обозначения длины (называемой также нормой вектора) используется обозначение
Например,
Рис. 16 Норма вектора
Вектор единичной длины (||x|| = 1) называется нормированным. Ненулевой вектор (x ≠ 0) можно нормировать, разделив его на длину, т.е. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| e. Здесьe = x/||x|| — нормированный вектор.
Векторы называются ортонормированными, если все они нормированы и попарно ортогональны.
Содержание
Скалярное произведение определяет и угол φ между двумя векторами x и y
Если вектора ортогональны, то cosφ = 0 и φ = π/2, а если они колинеарны, то cosφ = 1 и φ = 0.
Содержание
Каждую матрицу A размера I×J можно представить как набор векторов
Здесь каждый вектор aj является j-ым столбцом, а вектор-строка bi является i-ой строкой матрицы A
Содержание
Векторы одинаковой размерности (N) можно складывать и умножать на число, также как матрицы. В результате получится вектор той же размерности. Пусть имеется несколько векторов одной размерности x1, x2,...,xK и столько же чисел α α1, α2,...,αK. Вектор
y = α1x1+ α2x2+...+ αKxK
называется линейной комбинацией векторов xk.
Если существуют такие ненулевые числа αk ≠ 0, k = 1,..., K, что y = 0, то такой набор векторов xk называется линейно зависимым. В противном случае векторы называются линейно независимыми. Например, векторы x1 = (2, 2)t и x2 = (−1, −1)t линейно зависимы, т.к. x1 +2x2 = 0
Содержание
Рассмотрим набор из K векторов x1, x2,...,xK размерности N. Рангом этой системы векторов называется максимальное число линейно-независимых векторов. Например в наборе
имеются только два линейно независимых вектора, например x1 и x2, поэтому ее ранг равен 2.
Очевидно, что если векторов в наборе больше, чем их размерность (K>N), то они обязательно линейно зависимы.
Рангом матрицы (обозначается rank(A)) называется ранг системы векторов, из которых она состоит. Хотя любую матрицу можно представить двумя способами (векторы столбцы или строки), это не влияет на величину ранга, т.к.
rank(A) = rank(At).
Содержание
Квадратная матрица A называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу A-1, определяемую условиями
AA-1 = A-1A = I.
Обратная матрица существует не для всех матриц. Необходимым и достаточным условием невырожденности является
det(A) ≠ 0 или rank(A) = N.
Обращение матрицы — это сложная процедура, для выполнения которой существуют специальные программы. Например,
Рис. 17 Обращение матрицы
Приведем формулы для простейшего случая — матрицы 2×2
Если матрицы A и B невырождены, то
(AB)-1 = B-1A-1.
Содержание
Если матрица A вырождена и обратная матрица не существует, то в некоторых случаях можно использовать псевдообратную матрицу, которая определяется как такая матрица A+, что
AA+A = A.
Псевдобратная матрица — не единственная и ее вид зависит от способа построения.
Содержание
Вектор x можно умножать на матрицу A подходящей размерности. При этом вектор-столбец умножается справа Ax, а вектор строка — слева xtA. Если размерность вектора J, а размерность матрицы I×J то в результате получится вектор размерности I. Например,
Рис. 18 Умножение вектора на матрицу
Если матрица A — квадратная (I×I), то вектор y = Ax имеет ту же размерность, что и x. Очевидно, что
A(α1x1 + α2x2) = α1Ax1 + α2Ax2.
Поэтому матрицы можно рассматривать как линейные преобразования векторов. В частности Ix = x, Ox = 0.
Содержание
Пусть A — матрица размером I×J, а b — вектор размерности J. Рассмотрим уравнение
Ax = b
относительно вектора x, размерности I. По сути — это система из I линейных уравнений с J неизвестными x1,...,xJ. Решение существует в том, и только в том случае, когда
rank(A) = rank(B) = R,
где B — это расширенная матрица размерности I×(J+1), состоящая из матрицы A, дополненной столбцом b, B = (A b). В противном случае уравнения несовместны.
Если R = I = J, то решение единственно
x = A−1b.
Если R < I, то существует множество различных решений, которые можно выразить через линейную комбинацию J−R векторов. Система однородных уравнений Ax =0 с квадратной матрицей A (N×N) имеет нетривиальное решение (x ≠ 0) тогда и только тогда, когда det(A) = 0. Если R = rank(A)<N, то существуют N−R линейно независимых решений.
Содержание
Если A — это квадратная матрица , а x и y — вектора соответствующей размерности, то скалярное произведение вида xtAy называется билинейной формой , определяемой матрицей A. При x = y выражение xtAx называется квадратичной формой.
Содержание
Квадратная матрица A называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x ≠ 0,
xtAx > 0.
Аналогично определяются отрицательно (xtAx < 0), неотрицательно (xtAx ≥ 0) и неположительно (xtAx ≤ 0) определенные матрицы.
Содержание
Если квадратная матрица A положительно определена, то существует единственная треугольная матрица U с положительными элементами, для которой
A = UtU.
Например,
Рис. 19 Разложение Холецкого
Содержание
Пусть A — это невырожденная квадратная матрица размерности N×N. Тогда существует однозначное полярное представление
A = SR,
где S — это неотрицательная симметричная матрица, а R — это ортогональная матрица. Матрицы S и R могут быть определены явно:
S2 = AAt или S = (AAt)½ и R = S−1A = (AAt)−½A.
Например,
Рис. 20 Полярное разложение
Если матрица A вырождена, то разложение не единственно — а именно: S по-прежнему одна, а вот R может быть много. Полярное разложение представляет матрицу A как комбинацию сжатия/растяжения S и поворота R.
Содержание
Пусть A — это квадратная матрица. Вектор v называется собственным вектором матрицы A, если
Av = λv,
где число λ называется собственным значением матрицы A. Таким образом преобразование, которое выполняет матрица A над вектором v, сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом λ. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу α ≠ 0, т.е. если v — собственный вектор, то и αv — тоже собственный вектор.
Содержание
У матрицы A , размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению
det(A − λI) = 0,
являющемуся алгебраическим уравнением N-го порядка. В частности, для матрицы 2×2 характеристическое уравнение имеет вид
Например,
Рис. 21 Собственные значения
Набор собственных значений λ1,..., λN матрицы A называется спектром A.
Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности
det(A) = λ1×...×λN, Sp(A) = λ1+...+λN.
Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная (At = A), то ее собственные значения вещественны.
Содержание
У матрицы A, размерностью (N×N) не может быть больше чем N собственных векторов, каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора vn нужно решить систему однородных уравнений
(A − λnI) vn = 0.
Она имеет нетривиальное решение, поскольку det(A − λnI) = 0.
Например,
Рис. 22 Собственные вектора
Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны.
Содержание
Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности I×J эквивалентны, если существуют такие квадратные матрицы S, размерности I×I, и T, размерности J×J, что
B = SAT.
Эквивалентные матрицы имею один и тот же ранг.
Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности N×N подобны, если существует такая невырожденная матрица T, что
B = T−1AT.
Матрица T называется преобразованием подобия.
Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, след, определитель и спектр.
Содержание
Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия —
A = TΛT−1
Здесь Λ = diag(λ1,..., λN) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A, а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v1,...,vN).
Например,
Рис. 23 Приведение к диагональному виду
Содержание
Пусть имеется прямоугольная матрица A размерностью I×J ранга R (I≤J≤R). Ее можно разложить в произведение трех матриц PR (I×R), DR (R×R) и QR (J×R) —
так, чтобы —
.
Здесь PR — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами pr матрицы AAt, соответствующим R наибольшим собственным значениям λr;
AAtpr = λrpr;
QR — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами qr матрицы AtA;
AtAqr = λrqr.
DR = diag (σ1,...,σR) — положительно определенная диагональная матрица , элементами которой являются σ1≥... ≥σR≥0 — сингулярные значения матрицы A, равные квадратным корням из собственных значений матрицы AtA —
Пример,
Рис. 24 SVD разложение
Дополняя матрицы PR и QR ортонормированными столбцами, а матрицу DR нулевыми значениями, можно сконструировать матрицы P (I×J), D (J×J) и Q (J×J) такие, что
Об использовании SVD рассказано в пособииях MatLab. Руководство для начинающих и Метод главных компонент (PCA)
Содержание
Рассмотрим все возможные векторы размерности N. Это множество называется линейным пространством размерности N и обозначается RN . Так как в RN включены все возможные векторы, то любая линейная комбинация векторов из RN будет также принадлежать этому пространству.
Содержание
Любой набор из N линейно независимых векторов называется базисом в пространстве RN . Простейший пример базиса — это набор векторов
в каждом из которых только один элемент равен 1, а остальные равны нулю. Тогда любой вектор x = (x1, x2,...,xN)t может быть представлен как линейная комбинацияx = x1e1+ x2e2+...+xNeN базисных векторов.
Базис, составленный из попарно ортогональных векторов, называется ортогональным, а если базисные вектора еще и нормированы, то этот базис называетсяортонормированным.
Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n-мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .
1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным)скалярным произведением, порождающим норму:
,
в простейшем случае (евклидова норма):
где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).
2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:
,
где и .
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
.
Две прямые параллельны, если k1 = k2 .
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают.
Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Теорема. Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
Доказательство. Пусть точка М 1(х 1, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :
(1)
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.
Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.
Находим: k 1 = 3/5, k2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.
Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b .
k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .
Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.
() = 0
Таким образом,
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .
Векторы и вектор должны
быть компланарны, т.е.
() = 0
Уравнение плоскости:
Уравнение плоскости:
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A,B, C) имеет вид:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение
= 0
Таким образом, получаем уравнение плоскости
Теорема доказана.
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)
,
заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.
где
- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),
- единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.
, и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.
p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcos + ycos + zcos - p = 0
Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае Ах2 + 2Вху +Су2 + 2Дх + 2Еу +F = 0,
где А, В, С, Д, Е, F – действительные числа и по крайней мере одно из чисел А2+В2+С2≠0.
Окружность
Центр окружности – это геометрическое место точек в плоскости равностоящих от точки плоскости С(а,b).
Окружность задается следующим уравнением:
Где х,у – координаты произвольной точки окружности, R - радиус окружности.
Признак уравнения окружности
1. Отсутствует слагаемое с х,у
2. Равны Коэффициенты при х2 и у2
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами (постоянная величина).
Каноническое уравнение эллипса:
Х и у принадлежат эллипсу.
а – большая полуось эллипса
b – малая полуось эллипса
У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса.
Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси.
Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β)
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная , отличная от ноля.
Каноническое уравнение гиперболы
Гипербола имеет 2 оси симметрии:
а – действительная полуось симметрии
b – мнимая полуось симметрии
Ассимптоты гиперболы:
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы:
У2=2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы)
Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β)2=2р(х-α)
Если фокальную ось принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид: х2=2qу
Сфера
x2+y2+z2=a2 – общий вид уравнения сферы
x=0, y2+z2=a2 – окружность
y=0, x2+z2=a2 – окружность
z=0, x2+y2=a2 – окружность
Эллипсоид
Однополостный гиперболоид
Двуполостной гиперболоид
Конус 2 порядка
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид