Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
В В Е Д Е Н И Е
Физика - наука о природе, изучающая наиболее общие свойства материального мира, наиболее общие формы движения материи, лежащие в основе всех явлений природы. Физика устанавли вает законы, которым подчиняются эти явления.
Физика изучает также свойства и строение материальных тел, указывает пути практического использования физических законов в технике.
В соответствии с многообразием форм материи и ее движения физика подразделяется на ряд разделов: механика, термоди намика, электродинамика, физика колебаний и волн, оптика, фи зика атома, ядра и элементарных частиц.
На стыке физики и других естественных наук возникли новые науки: астрофизика, биофизика, геофизика, физическая хи мия и др.
Физика является теоретической основой техники. Развитие физики послужило фундаментом для создания таких новых отраслей техники, как космическая техника, ядерная техника, квантовая электроника и др. В свою очередь, развитие технических наук способствует созданию совершенно новых методов физичес ких исследований, обуславливающих прогресс физики и смежных наук.
|
Лекция 1 |
Понятие состояния в классической механике. Кинематика материальной точки. Механическое движение, система отсчета. Скорость, ускорение. Радиус кривизны траектории, нормальное и тангенциальное ускорения. |
|
Кинематика поступательного и вращательного движения твёрдого тела. Угловая скорость и ускорение, их связь с линейными. |
I. Механика. Общие понятия
Механика - раздел физики, который рассматривает простей шую форму движения материи - механическое движение.
Под механическим движением понимают изменение положения изучаемого тела в пространстве со временем относительно неко торого гола или системы тел, условно считаемых неподвижными. Такую систему тел вместе с часами, в качестве которых может быть выбран любой периодический процесс, называют системой отсчета (С.О.). С.О. часто выбирают из соображений удобства.
Для математического описания движения с С.О. связывают систе му координат, часто прямоугольную.
Простейшее тело в механике - материальная точка. Это те ло, размерами которого в условиях денной задачи можно пренебречь.
Всякое тело, размерами которого пренебречь нельзя, рас сматривают как систему материальных точек.
Механика подразделяется на кинематику, которая занимается геометрическим описанием движения, не изучая его причин, динамику, которая изучает законы движения тел под действием сил, и статику, которая изучает условия равновесия тел.
2. Кинематика точки
Кинематика изучает пространственно-временное перемещение тел. Она оперирует такими понятиями, как перемещение , путь, время t , скорость движения , ускорение .
Линию, которую описывает при своем движении материальная точка, называют траекторией. По форме траектории движения де лятся на прямолинейные и криволинейные. Вектор , соеди няющий начальную I и конечную 2 точки, называют перемещением (рис. I.I).
Каждому моменту времени t соответствует свой радиус-вектор:
Таким образом движение точки мо жет быть описано векторной функ цией.
которая определяем векторный способ задания движения, или тре мя скалярными функциями
x=x(t); y=y(t); z=z(t) , (1.2)
которые называют кинематическими уравнениями. Они определяют задание движения координатным способом.
Движение точки будет также определено, если для каждого момента времени будет установлено положение точки на траекто рии, т.е. зависимость
(1.3)
Она определяет задание движения естественным способом.
Каждая из указанных формул представляет собой закон дви жения точки.
3. Скорость
Если моменту времени t1 соответствует радиус-вектор , а , то за промежуток тело получит перемещение . В этом случае средней скоростью за t назы вают величину
, (1.4)
которая по отношению к траектории представляет секущую, про ходящую через точки I и 2. Скоростью в момент времени t назы вают вектор
, (1.5)
Из этого определения следует, что скорость в каждой точке траектории направлена по касательной к ней. Из (1.5) следует, что проекции и модуль вектора скорости определятся выражениями:
, (1.6)
Если задан закон движения (1.3), то модуль вектора скорости определится так:
, (1.7)
Таким образом, зная закон движения (I.I), (1.2), (1.3), можно вычислить вектор и модуль доктора скорости и, наоборот, зная скорость из формул (1.6), (1.7), можно вычислять коор динаты и путь.
4. Ускорение
При произвольном движении вектор скорости непрерывно ме няется. Величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости, называется ускорением .
Если в. момент времени t1 скорость точки ,а при t2 - , то приращение скорости составит (Рис.1.2). Среднее ускорение
при этом
, (1.8)
а мгновенное
, (1.9)
Для проекции и модуля ускорений имеем: , (1.10)
Если задан естественный способ движения, то ускорение можно определить и так. Скорость меняется по величине и по направлению, приращение скорости раскладывают на две величины; - направленный вдоль (приращение скорости по величине) и - направленный перпендикулярно (приращение. скорости по направлению), т.е. = + (Рис.I.З). Из (1.9) получаем:
(1.11); (1.12)
Тангенциальное (касательное) ускорение характеризует быстроту изменения по величине (1.13)
нормальное (центростремительное ускорение) характеризует быстроту изменения по направлению. Для вычисления an рассмотрим
OMN и MPQ при условии малого перемещения точки по траек тории. Из подобия этих треугольников находим PQ:MP=MN:OM :
, (1.14)
Полное ускорение в этом случае определится так:
, (1.15)
5. Примеры
I. Равнопеременное прямолинейное движение. Это движение с постоянным ускорением () . Из (1.8) находим
или , где v0 - скорость в момент времени t0 . Полагая t0=0, находим , а пройденный путь S из формулы (I.7):
где S0 - постоянная, определяемая из начальных условий.
2. Равномерное движение по окружности. В этом случае скорость меняется только по направлению, то есть - центростремительное ускорение.
|
Лекция 2 |
Динамика материальной точки и поступательного движения твёрдого тела. Закон инерции. |
|
Внешние и внутренние силы. Центр масс. Закон сохранения импульса. |
I. Основные понятия
Перемещение тел в пространстве - результат их механического взаимодействия между собой, в результате которого проис ходит изменение движения тел или их деформация. В качестве мары механического взаимодействия в динамике вводится величина – сила . Для данного тела сила - внешний фактор, а характер движения зависит и от свойства самого тела - податливости оказываемому на него внешнему воздействию или степени инерции те ла. Мерой инерции тела является его масса т, зависящая от количества вещества тела.
Таким образом, основными понятиями механики являются: дви жущаяся материя, пространство и время как формы существования движущейся материи, масса как мера инерции тел, сила как мера механического взаимодействия между телами.Соотношения между этими понятиями определяются законам! движения, которые были сформулированы Ньютоном как обобщение и уточнение опытных фактов.
2. Законы механики
1-й закон. Всякое тело сохраняет состояние покоя или равно мерного прямолинейного движения, пока внешние воздействия не изменяют этого состояния. Первый закон заключает в себе закон инерции, а также определение силы как причины, нарушающей инерциальное состояние тела. Чтобы выразить его математически, Ньютон ввел понятие количества движения или импульса тела:
( 2.1)
тогда , если
2-й закон. Изменение количества движения пропорционально при ложенной силе и происходит по направлению действия этой силы. Выбрав единицы измерения m и так, чтобы коэффициент пропорциональности был равен единице, получаем
или (2.2)
Если при движении m=const , то
или (2.3)
В этом случае 2-й закон формулируют так: сила равна произведению массы тела на его ускорение. Этот закон является основным законом динамики и позволяет по заданным силам я начальным условиям находить закон движения тел. 3-й закон. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны и направлены в противоположные стороны, т.е., (2.4)
Законы Ньютона приобретают конкретный смысл после того, как указаны конкретные силы, действующие на тело. Например, часто в механике движение тел вызывается действием таких сил: сила тяготения , где r - расстояние между телами, - гравитационная постоянная; сила тя жести - сила тяготения вблизи поверхности Земли, P=mg; сила трения ,где k - коэффициент трения, N - сила нормального давления ; cила упругости , где k - коэффициент упругости (жесткости); x -перемещение тела.
3. Инерциальные системы отсчёта (И.С.О.)
Для описания движения тела необходимо указать систему отсчета. Существует целый ряд систем, в которых выполняются законы Ньютона и для которых верно утверждение, что когда тело приобретает ускорение, можно указать тела, действие кото рых вызывает это ускорение. Систему отсчета, в которой это утверждение, вытекающее из закона инерции, выполняется, назы вают инерциальной. Любая С.O., движущаяся с постоянной скоростью () относительно инерциальной системы, сама будет инерциальной. Существует бесконечное множество И.С.О., движу щихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. В та ких системах: отсчета физические явления выглядят наиболее просто. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением отно сительно инерциальной, будет неинерциальной. В такой системе отсчета на тело действует сила инерции , где - ус корение системы отсчета, которая не является результатом взаи модействия тел.
4. Принципы относительности Галилея
Опыт показывает, что во всех инерциальных системах отсчета механические явления протекают одинаково, т.е. в механическом отношении все И.С.О. равноправны. Это утверждение называют принципом относительности Галилея.
5. Закон сохранения импульса
Совокупность взаимодействующих тел называют механической системой. Силы, действующие между телами системы, называют внутренними, а со стороны тел, не включенных в данную систему - внешними. Если действием внешних тел на тела данной сис темы можно пренебречь, то систему называют замкнутой или изо лированной. В ней действуют лишь внутренние силы. В такой сис теме описать движение тел можно без помощи 2-го закона Ньюто на, т.к. в ней имеются величины, на меняющиеся со временем, т.е. сохраняющиеся. Одной их таких величин является полны им пульс всех тел системы. Рассмотрим взаимодействие двух материальных точек m1 и m2 составляющих замкнутую систему. Движение каждой из них описывается 2-й законом Ньютона:
(2.5)
Т.к. по третьему закону Ньютона , то из (2.5) полу чаем:
,откуда (2.6)
Этот результат и представляет закон сохранения импульса для замкнутой системы.
Полный импульс всех тел замкнутой системы сохраняется (т.е. не меняется со временем).
Нужно помнить, что импульсы отдельных тел при этом могут меняться.
6. Реактивное движение
Закон сохранения импульса лежит в основе реактивного движения. Рассмотрим, например, движение ракеты, где — ско рость истечения газов
относитель но ракеты. Полный импульс системы ракета-газы для моментов времени t1 и t2 будет равен:
,
где m - масса вылетевших газов, - их скорость относительно Земли, тогда или (2.7). Из этой формулы следует, ччо отделение газов от ракеты эквивалентно действию на не силы: , где - расход топлива. Эту силу называют реактивной. Переходя в (2.7) к дифференциалам, получим
(2.8)
Полученный результат представляет Формулу Циолковского.
7. Центр инерции
Рассмотрим движение произвольной системы материальных точек (Рис. 2.2). Движение каждой из них определяется законом
изменения радиус-вектора . Центром инерции (центром масс) такой системы зазывается точка (т.С.), радиус-вектор которой равен:
(2.9)
Центр инерции может и не совпадать ни с одним из тел системы, а, например, для двух тел центр инерции делит расстояние меж ду ними на части, обратно пропорциональные их массам. Вычислим скорость центра инерции:
(2.10)
Числитель этой формулы есть полный импульс поэтому:
(2.11)
Как видно, между полный импульсом системы тел и скоростью центра инерции такая же связь, как и для материальной т.С. массой . Таким образом, центр инерции приобретает смысл точки, скорость которой равна скорости движения всей системы как целого. Если , то система как целое покоится, в то же время отдельные тела системы могут двигаться относительно центра инерции.
Формула (2.11) есть обобщение закона инерции для системы тел: для замкнутой системы , .поэтому центр инерции такой системы движется равномерно и прямолинейно или покоится.
|
Лекция 3 |
Энергия и работа силы. Кинетическая энергия. Силовое поле. Потенциальная энергия, её связь с силой. |
|
Закон сохранения энергии (упругий и неупругий удар). |
I. Работа
Количественной характеристикой процесса взаимодействия тел является работа, совершаемая силой А.
Работа есть скалярная величина, равная произведению про екции силы (на направление перемещения) на величину перемеще ния точки приложения силы
(3.1)
где - угол между направлением силы и перемещением. Если <90°. то сила совершает положительную работу (А>0), если >90°, то А<0; при =90° сила работы не совершает, oна лишь искривляет траекторию тела.
Если работа совершается переменной силой F=F(S) , во для элементарного перемещения , а для всего пути
(3.2)
Вычислим для примера работу, совершаемую силой тяжести при движении тела по наклонной плоскости (Рис. 3.1):
,
где h - высота наклонной плоскости. Как видно, работа силы тяжести не зависит от длины пути, а зависит от начального и конечного положений тела. Можно показать, что такой же результат получается для любой криволинейной траектории. Таким же свойством обладает и сила упругости.
Силы, обладающие указанным свойством, называются консервативными или потенциальными.
Для таких сил работа по любому замкнутому контуру равна нулю, или:
(3.3)
Это и есть условие потенциального характера силы.
Работа, совершаемая за единицу временя, называется мощностью:
2. Энергия
В результате совершения работы в окружающих телах происходят определенные изменения - переход одних форм движения материи в другие. Общей количественной мерой различных форм движения материи является физическая величина, которую называют энергией Е.
В физике соответственно различным физическим процессам и взаимодействиям различают механическую энергию; тепловую, электромагнитную, ядерную и т.д.
Энергия может, быть выражена через величины, характеризующие строение и состояние тела. Она является функцией его сос тояния. Изменение состояния тела, например, его движение, приводит к изменению его энергии, а сам процесс изменения есть результат работы, совершаемой силой, поэтому изменение энергии тела или системы тел определяется работой, совершен ной приложенными к телу силами:
(3.4)
Механическая энергия состоит из двух величин - кинетической энергии K - энергии движения и потенциальной энергии П - энергии взаимодействия между телами:
(3.5)
3. Кинетическая и потенциальная энергии
Чтобы получить выражение для кинетической энергии подсчитаем работу силы, необходимую для изменения скорости тел от v1 до v2:
Итак, совершенная силой работа равна приращению кинетической энергии тела: , где. Потенциальная энергия обусловлена характером взаимодействия между телами, их взаимным расположением. Поэтому вид формулы для потенциальной энергии зависит от конкретного вида силы.
Так, работа силы тяжести, необходимая дня изменения положения тела относительно Земли, равна:
,
где h1 и h2 - начальная и конечная высота тела относительно Земли. Эта работа равна изменению потенциальной энергии тела:
,
т.е. совершенная силой работа равна убыли потенциальной энер гии тела.
Так как , то или (3.7)
Эта формула, связывающая между собой силу, перемещений тела и соответствующее этому изменение его потенциальной энергии, даёт возможность вычислить потенциальную энергию в отдельном случае.
Вычислим, например, потенциальную энергию силы тяготения
Из (3.7) находим и , есть так называемый нулевой уровень потенциальной энер гии, который обычно выбирается из условия , тогда= 0 и
4. Закон сохранения механической энергии
В изолированной системе кроме полного импульса сохраняю щейся величиной является и полная механическая энергия.
Так, для двух взаимодействующих материальных точек уравнения движения будут (3.8)
Под действием сил точки совершают перемещения ; . Умножив каждое из уравнений (3.8) на соответствую щее перемещение, получим:
сложив их, полу чим:
(3.9)
т.к. , то вместо (3.9) имеем:
или,
где - изменение кинетической и потенциальной энергии всех тел системы. Тогда , (3.10)
Полная энергия изолированной системы есть величина постоянная. Это и есть формулировка закона сохранения энергии.
5. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
Под ударом понимают кратковременное столкновение соударяющихся тел.
Прямая, проходящая через точку соприкосновения обоих тел, называется линией удара (Рис. 3.2). Если она проходит через центры масс тел, то удар центральный. Отношение относительных скоростей шаров после удара U к скорости их v до удара называют коэффициентом восстановления:
. Если , то удар абсолютно неупругий, если , то удар абсолютно упругий.
При абсолютно неупругом ударе часть механической энергии тел переходит в другие формы энергии (например, в тепловую). В этом случае выполняется лишь закон сохранения импульса, на основании которого и находим скорость шаров после столкновения:
(3.11)
Найдем изменение кинетической энергии шаров, т.е. ту её часть которая перешла во внутреннюю энергию:
(3.12)
При абсолютно, упругом ударе потерь энергии нет, н в этом случае выполняются законы сохранения импульса и энергии:
Решая эти уравнения, находим:
(3.13)
Когда массы соударяющихся тел равны: , то шары обмени ваются скоростями:
|
Лекция 4 |
Динамика вращательного движения. Моменты силы и импульса относительно центра и оси. Уравнение динамики вращения. |
|
Кинетическая энергия вращения, момент инерции. Закон сохранения момента импульса. |
I. Кинематика вращательного движения
Абсолютно твердым телом в механике называют совокупность частиц, взаимное расположение которых остается неизменным во время движения.
Вращательным называют такое движение, при котором все точки тела описывают концентрические окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
Положение вращающегося тела может быть определено взятым с соответствующим знаком двугранным углом между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения, одна из которых Q неподвижна относительно С.О., а другая Р связана с телом и вращается вместе о ним (рис. 4.1). Знак определяют по правилу правого винта. Положение тела в любой момент времени t определяется уравне нием , дающим закон вращательного движения.
Различные точки тела проходят при одинаковом угловом перемещении d разные линейные перемещения dS, которые связаны соотношением:
(4.1)
где r - расстояние от точки тела до оси вращения.
Поэтому вращательное движение удобно характеризовать не линейными, а угловыми величинами, одинаковыми для всех точек тела.
Угловой скоростью называют скорость изменения угла попорота:
(4.2)
Угловым ускорением называют величину, характеризующую быстроту изменения угловой скорости:
(4.3)
С помощью (4.1) можно найти связь и в с соответствующими линейными величинами и :
(4.4) (4.5)
Угловые скорость и ускорение - векторные величины, направленные вдоль оси вращения. Их направление определяют с по мощью правила правого винта. Так, что:
(4.6) (4.7)
Полное ускорение находится по формуле:
(4.8)
2. Кинетическая энергия вращательного движения. Момент инерции.
Если дело вращается вокруг неподвижной оси, то его кинетическая энергия равна:
(Рис. 4.2.)
Используя формулу (4.4), получим
где и - расстояние i-частицы тела до оси вращения; - её масса.
Величина, стоящая в скобках, не зависит от скорости движения тела и характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении: чем больше эта величина, тем большую энергию надо затратить для достижения данной скорости. Эта величина, характеризующая твердое тело, а также выбранную, ось вращения, называется моментом инерции тала относительно данной оси . Тогда кинетическую энергию можно записать в виде:
(4.9)
Момент инерции тела вычисляют по формуле:
(4.10)
Для материальной точки, вращающейся вокруг оси, ; для шара, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр, .Полная кинетическая энергия катящегося тела вычисляется по формуле:
(4.11)
Если известен момент инерции относительно оси, проходя через центр инерции тела , можно вычислить момент инерция относительно параллельной оси (теорема Штейнера):
, (4.12)
где - масса тела, - расстояние между осями (Рис. 4.3).
3. Основное уравнение динамики вращательного движения
Рассмотрим цилиндр вращающийся вокруг неподвижной оси (Рис. 4.4) под действием постоянной касательной силы .За время точка приложения силы переместится на и работа этой силы будет, кото рая равна приращению кинетичес кой энергии: , т.к. , то
(4.13)
Величину , равную произведению проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения, на рассотояние до оси вращения (плечо силы ), называют моментом силы относительно оси :
, (4.14)
Тогда вместо (4.13) запишем:
или (4.15)
Эта формула выражает основное уравнение динамики вращательного движения: момент силы относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно этой оси на угловое ускорение. Роль силы при вращательном движении играет, момент силы, массы - момент инерции. Момент силы - векторная величина, направленная вдоль оси вращения. Его направление определяется правилом правого винта.
4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса
При вращательном движении точки количественной мерой её движения является момент импульса точки относительно оси, который определяется по формуле:
, (4.16)
где - радиус окружности, по которой движется точка; - её имульс
Момент импульса вращающегося тала равен сумме моментов отдельных его частиц:
Если ось вращения неподвижна, то момент импульса вращающегося тела можно найти так:
, (4.17)
где и - масса и радиус вращения точки, - момент
инерции всего тела относительно выбранной оси вращения.
Используя эту формулу, основное уравнение вращательного движения можно записать в виде:
, (4.18)
Если на вращающееся тело не действуют внешние силы или их результирующий момент равен нулю, то момент импульса тела относительно оси вращения есть величина постоянная. Из (4.18) при :
и (4.19)
В изолированной системе полный момент импульса есть величина постоянная. Это есть закон сохранения момента импульса.
|
Лекция 7 |
Основы релятивистской механики. Постулаты специальной теории относительности. Преобразование Лоренца. |
|
Относительность длин и промежутка времени. Преобразование скоростей и ускорений в релятивистской кинематике. Понятие о релятивистской динамике. Закон взаимосвязи массы и энергии. |
I. Принцип относительности
Как только тело начинает двигаться со скоростью, сравнимой со скоростью света в пустоте , рассмотренные законы механики (классическая механика) становятся неприменимыми. В этом случае они заменяются более общими законами теории относительности (релятивистской теории). Основное содер жание этой теории составляет доказательство принципа относительности - независимости физических процессов от выбора сис темы отсчета. Доказательство этого закона в инерциальных системах отсчета рассматривается в специальной теории относи тельности (С.Т.О.). Таким образом, теория относительности по называет, что законы природы не зависят от выбора системы отсчета, положения и движения наблюдателя, а результаты измерений в различных системах отсчета могут быть сопоставлены.
В классической механике математическим выражением прин ципа относительности являлись преобразования Галилея. позволявшие сопоставлять результаты измерении в разных И.С.О.
Для случая движения двух И.С.О., изображенных на рис. 5.1,
(5.1)
где - скорость движения системы относительно . Из формул (5.1) вытекает и классический закон сложения ско ростей:
Эта формула оказалась неприменимой при определении скорости света по отношению к Земле (опыт Майкельсона и Морли, 1887 г.). Результат опыта показал, что скорость свата во всех инерциальных системах отсчета постоянна, она не зависит ни от ско рости источника, ни от скорости приемника.
2. Постулаты Эйнштейна
Выход из создавшегося положения был найден Эйнштейном, который, анализируя опытные факты, сформулировал два постула та:
1. Не только механические, но и все физические процессы про текают одинаково во всех И.С.О.
2. Скорость света в вакууме есть величина постоянная.
Этих двух постулатов оказалось достаточно, чтобы разре шить все возникшие противоречия. Однако второй постулат ока зался в противоречии с преобразованиями Галилея, из чего сле довало, что преобразования Галилея необходимо было пересмот реть. Такой пересмотр оказался связанным с коренной ломкой представлений о пространстве и времени. В частности, из пос тулатов следует, что понятие одновременности, считавшееся са мо собой разумеющимся, не является абсолютным: в разных сис темах отсчета время течет по-разному .
3. Преобразования Лоренца
В С.Т.О. преобразования координат (5.1), описывающие переход от одной И.С.О. к другой, заменяются новыми соотношениями, которые удовлетворяют постоянству скорости света - преоб разованиями Лоренца. Для частного случая двух систем и , находящихся в относительном движении вдоль оси (Рис. 5.1), они имеют вид:
(5.3)
где .
Из этих формул видно, что при малых скоростях для формулы (5.3) переходят в (5.1), следовательно, законы классической физики входят в С.Т.О. как частный случай.
Из преобразований Лоренца вытекают основные следствия.
4. Замедление времени
В направлении часы, связанные с системой , измеряют интервал времени: . При наблюдении в движущейся системе этот интервал становится равным
, (5.4)
Для движущегося наблюдателя время идёт медленнее.
5. Сокращение длин
Если в системе находится отрезок , то это же расстояние для движущегося наблюдателя в системе окажется равным:
Так как наблюдатель видит в своей системе оба конца одновременно , то из формул обратного преобразования Лоренца (5.3) получим , откуда следует, что:
, (5.5)
Для движущегося наблюдателя длина отрезка кажется уменьшенной в направлении движения раз, т.е. движущемуся наблюдателю шар кажется сплющенным эллипсоидом.
6. Сложение скоростей в теории относительности.
Пусть некоторая точка М движется относительно системы вдоль оси со скоростью . Скорость её относительно неподвижной системы будет:
, (5.6)
Координата этой точки определится из формул (5.3):
, откуда, (5.7)
Аналогично определяем :
, (5.8)
Подставляя (5.7) и (5.8) в (5.6) и учитывая, что , получаем:
, (5.9)
Эта формула выражает релятивистский закон сложения ско ростей. Сравнивая (5.9) с (5.2), видно, что при малых скорос тях теорема сложения скоростей Галилея остаётся вер ной. Из формулы (5.9) следует предельный характер скорости света. Действительно, если относительно послать световой импульс со скоростью , то относительно получим:
,
т.е. в системе скорость светового импульса тоже равна . Найдем другие составляющие скорости и .
Так как , то:
, (5.10)
Из формулы (5.3) находим:
Подставляя это в (5.10), получим:
(5.11)
7. Изменение массы со скоростью
В классической механике основной закон динамики имеет вид:
или при
Из этой формулы следует, что при действии постоянной силы скорость может возрастать неограниченно:
при
Этот результат противоречит теории относительности. Поэ тому, естественно, сделать предположений, что масса как ме ра инертности должна зависеть от скорости: , так что при , т.к. при этой скорость тела будет ограниче на.
Из преобразований Лоренца вытекает, что масса, определя емая как , является переменной, зависящей от скорости. Эта зависимость дается выражением:
, (6.1)
где - масса покоя, т.е. в той С.О. где тело покоится, называют релятивистской массой.
Эта формула имеет очень большое значение и постоянно ис пользуется в атомной физика, где частицы двигаются со скорос тями 1111. Она была проверена экспериментально.
Таким образом, в С.Т.О. основной закон динамики приобре тает вид:
(6.2) или (6.3)
8. Движение релятивистской частицы
Найдем закон движения релятивистской частицы, движущейся под действием постоянной силы , которая в начальный момент покоилась.
Из формулы (6.2) находим:
откуда, (6.4)
где при малых , и как и в классической механике; при , и
Путь, пройденный телом, будет равен , вычисления дают: (6.5)
при малых используя формулу , получаем:
как в классической механике.
9. Связь между массой и энергией
Энергия движущегося тела вызывается работой силы действующей на него, следовательно:
или (6.6)
Из формулы (6.1) получаем:
и
Подставляя эти выражения в (б.6), получаем:
, откуда
После интегрирования . Полагая , получим энергию покоя тела
(6.7) и энергию движущегося тела (6.8)
Из формул (6.7) и (6.6) следует, что между массой и энергией существует неразрывная связь:
(6.9)
Всякая масса связана с определенным количеством энер гии .
В состоянии покоя с массой связана энергия покоя:
С другой стороны, с энергией связана определенная масса:
Изменение энергии влечет одновременно и изменение массы наоборот:
Фундаментальное соотношение (6.9) было впервые установлено Эйнштейном.
10. Кинетическая энергия. Энергия и импульс
Кинетическая энергия равна разности и :
(6.10)
При малых скоростях () и из формулы (6.10) .получаем:
,
т.е. получим выражение для кинетической энергии в классичес кой механике.
Исключив ив выражений и , находим соотноше ние между импульсом и энергией:
, откуда (6.10)
Для частицы с массой покоя (фотон) имеем:
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
|
Лекция 8 |
Малые колебания. Гармонический и ангармонический осциллятор. Уравнение гармонических колебаний. |
|
Пружинный, физический и математический маятники. |
1. Общие сведения о колебаниях
Колебаниями называют периодические движения, совершаемые системой относительно некоторого среднего значения. В зависимости от физической природы повторяющихся процессов различают механические колебания - колебания маятников, струн и т.д., электромагнитные колебания - колебания напряженностей электрических и магнитных полей в колебательном контуре и другие виды колебаний. Колебания различной природы подчиняются одинаковым закономерностям. Колебания лежат в основе многих физический явлении и технических процессов. В зависимости от характера воздействия на систему различают собственные (незатухающие) колебания, свободные, вынужденные и др. Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Их и будем рассматривать в дальнейшем.
2. Механические колебания
Наиболее простым видом гармонических колебаний являются колебания математического маятника (Рис. 25.1) - колебания материальной точки, подвешенной на невесомой нити. Если вывести тело из состояния равновесия, то возникает результирующая сила , стремящаяся вернуть тело к прежнему положению. Запишем уравнение его движения. Т.к. сила направлена противоположно смещению маятника x, то:
(25.1)
Для малых углов отклонения и вместо (25.1) получим:
(25.2)
где
(25.3)
Величина называется круговой или циклической частотой. Другой случай возникновения гармонических колебаний -колебания пружинного маятника (Рис. 25.2). Если вывести груз из положения равновесия, то со стороны пружины на него будет действовать возвращающая сила упругости F=-kx, где k - жесткость. Тогда или (25.4) где в этом случае (25.5)
Еще одним видом гармонических колебаний является колебание физического маятника - колебания тяжелого тела, колеблющегося вокруг оси, не проходящей через центр тяжести (Рис.25.3). Если центр тяжести расположен на расстоянии l от оси вращения в т.А, то момент силы тяжести равен:
M=mglsinφ
Этот момент заставляет отклоненный маятник вернуться в исходное состояние, поэтому уравнение его движения будет:
(25.6)
где I - момент инерции маятника относительно оси вращения. Для малых отклонений . Получим:
(25.7) (25.8)
Как видно, во всех случаях гармонические колебания описываются уравнением одного вида (25.2), (25.4), (25.7). Решением такого уравнения является функция:
(25.9)
A=xmax называют амплитудой колебания, - фазой колебания, φ0 - начальная фаза.
Амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями - значениями смещения и скорости при t=0: x=x0, V=V0, где - скорость колебаний.
Т.к. гармонические колебания представляют периодический процесс о периодом Т, а период косинуса равен 2π, то из (25.9) находим:
, откуда:
или (25.10)
С учетом этого из (25.3), (25.5), (25.8) находим периоды рассмотренных колебаний:
для математического маятника -
пружинного -
физического -
3. Энергия гармонических колебаний
В идеальном случае полная энергия гармонических колебаний остается постоянной, если потери энергии отсутствуют, такие колебания называют собственными. При этом вся потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот. Поэтому в любой момент времени Eпол=Kmax=Пmax, где Kmax и Пmax - максимальные значения кинетической и потенциальной энергии.
Т.к. , то из (25.9) находим , , поэтому полная энергия гармонических колебаний:
(25.11)
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ
|
Лекция 9 |
Статический и термодинамический методы исследования. Термодинамические параметры. |
|
Молекулярно-кинетическая теория газов и уравнение Клайперона-Менделеева. Закон Дальтона. |
1. Предмет молекулярной физики
Молекулярная физика - раздел физики, изучающий физичес кие свойства тел в различных агрегатных состояниях на основе рассмотрения их внутреннего строения.
Доказано, что все тела состоят из мельчайших частиц -атомов и молекул, находящихся в непрерывном хаотичном движе нии. Об этом движении говорят как о тепловом движении.
Теория строения вещества, основанная на этом положении, называется молекулярно-кинетической теорией (МКТ).
Основные положения этой теории заключаются в следующем;
1) все тела состоят из очень большого числа атомов и молекул, находящихся в состоянии хаотического движения;
2) между атомами и молекулами действуют силы взаимного притя жения и отталкивания;
3) средняя величина кинетической энергии хаотически движущихся атомов и молекул определяет темпе ратуру тела.
Чем больше эта энергия, тем выше температура тела и нао борот.
Все эти основные положения теории подтверждаются много численными опытами (диффузия, броуновское движение и др.).
Наряду с МКТ для изучения свойств тала используется и термодинамический метод, в котором процессы, происходящие в телах, рассматриваются о энергетической точки зрения.
2. Термодинамические параметры.
При определении свойств тела обычно используют величины, которые можно найти из опыта. Эти величины, характеризующие состояние тела, называют параметрами состояния. К ним относят температуру, давление, плотность (или для данной массы - объ ем). Температура - величина, характеризующая степень нагретости тела. Она является физической величиной, характеризую щей состояние термодинамического равновесия системы тел. Тем пература всех частей изолированной системы, находящейся в равновесии, одинакова. Более высокой температурой обладают тела, у которых средняя кинетическая энергия атомов и моле кул выше. Эту величину и полагают пропорциональной темпера туре, считая частиц мерой температуры . В действитель ности принято определять как 2/3 -от этой энергии:
(7.1)
При атом измеряется в джоулях (Дж).
На практике пользуются условной единицей - градусом, который, определяется как 0,01 часть разности между темпера турами кипения и замерзания воды при атмосферном давлении.
Переводной коэффициент, указывающий сколько Дж в одном градусе, называется постоянной Больцмана и равен Дж/град. Тогда соотношение между (град.) и (Дж) будет:
(7.2)
Определенная так температура всегда постоянная, ее на зывают абсолютной температурой или температурой по термоди намической шкале. За единицу абсолютной температуры в СИ принят кельвин (К). В этой шкале температура замерзания воды равна 273,15 К. Наряду с абсолютной шкалой на практике поль зуются шкалой Цельсия (,С), в которой за нулевую точку принята температура замерзания воды. Таким образом, темпера тура по обеим шкалам связана соотношением , (C = I К).
Давление, производимое молекулами газа или жидкости на стенки сосуда, обусловлено столкновениями их со стенками со суда. Сталкиваясь со стенками, они передают им некоторый импульс, его изменение за 1 с определяет силу, действующую на стенку. Сила, отнесенная к единице поверхности, есть давле ние, производимое на стенку.
Плотность, как известно, - отношение массы к объему, обратная ей величина выражает объем единицы массы или удельный объем.
Из перечисленных величин лишь две могут быть заданы про извольно , а третья определяется как функция первых двух.
Функциональная зависимость, связывающая друг с другом давле ние, объем и температуру (для данной массы), называется уравнением состояния тела и является одним из важнейших соотно шений я. молекулярной физике.
3. Идеальный газ
Наиболее простыми свойствами, которые можно описать уравнением состояния, обладает газ, находящийся в таких ус ловиях, что взаимодействие между эго молекулами можно не учитывать. Такой газ, у которого молекулы можно принять за материальные точки и можно пренебречь их размерами и силами взаимодействия между ними, называют идеальным. Столкновения между молекулами такого газа происходят как столкновения упругих шаров.
4. Основное уравнение МКТ газов для давления.
Выведем уравнение состояния идеального газа. Для этого вычислим давление потока молекул упруго соударяющихся со стенкой (Рис. 7.1).
За время к стенке подойдут молекулы, содержащиеся в объема воли их концентра ция , то за время о стенку ударится молекул:
(7.3)
При ударе о стенку на молекулу действует сила, в свою очередь по 3-му закону Ньютона молекула действует на стенку с силой, а все молекул действуют с силой :
(7.4)
Так как при упругом ударе меняется лишь направление скорости на противоположное, то и (7.5)
Подставив это в (7.4), получим .
так как давление , то (7.6)
В это выражение надо внести поправки. Поскольку движе ние молекул газа хаотично, то в заданном направлении будет двигаться 1/6 их часть, и вместо надо взять 1/6 , далее, так как из-за столкновений скорости молекул различны, то вместо квадрата скорости надо взять средний квадрат скорости:
(7.7)
С учетом этого получаем вместо (7.6):
(7.8)
Учитывая, что , можно также записать:
(7.9)
Используя из определения температуры формулу (7.2), по лучим окончательно:
или (7.10)
Это уравнение называют основным уравнением МКТ. Оно име ет универсальный характер, т.к. не зависит от природы газа.
5. Газовые законы как следствие молекулярно-кинетической теории.
Закон Авогадро. Запишем для двух: газов уравнения (7.10) при одинаковых и , занимающих одинаковые объемы. ;. Отсюда следует , т.е. в одинаковых объемах при одинаковых и содержится одинаковое число молекул.
Число молекул в объеме одного моля называется числом Авогадро . Оно равно 1/моль.
Уравнение Менделеева-Клапейрона. Число молекул в газа можно записать как , где - масса газа; - молеку лярная масса; - число молей. Тогда уравнение состояния будет:
, (7.11)
где - газовая постоянная. Используя значения и , найдем:
(7.12)
При (7.11) получаем - закон Бойля-Мариотта,
при ; при . Если - температура замерзания воды, а вместо использовать , то записанные соотношения примут вид: при - закон Гей-Люссака и при - закон Шарля.
Закон Дальтона. Если имеем смесь газов, то . Так как молекулы каждой компоненты газа занимают весь объем, и, (7.13)
т.е. давление смеси газов равно сумме парциальных давлений.
|
Лекция 10 |
Распределение Максвелла для молекул идеального газа по скоростям и энергиям. |
|
Распределение Больцмана. Барометрическая формула. Опыт Перрена. |
1. Скорости теплового движения молекул
Средняя скорость молекул в газе обычно характеризуется среднеквадратичной или тепловой скоростью . Из (7.2) следует, что
(8.1)
так как ,а m - масса молекулы. Из (8.1) мож но подсчитать, что для водорода при для кислорода и т.д.
Однако молекулы даже одного сорта газа при одних и тех те условиях имеют неодинаковые скорости. Это связано с тем, что для молекул, совершавших беспорядочное движение, все нап равления равноправными абсолютные значения скоростей, поэтому не могут быть одинаковыми. Даже если они случайно в какой-то момент времени скорости и оказались бы одинаковыми, то в даль нейшем такое состояние быстро бы нарушилось из-за столкновений между собой.
Благодаря беспорядочному движению и взаимным столкновени ям молекулы газа распределяются по скоростям так, что среди них имеются как очень быстрые, так и очень медленные молекулы (). Такое распределение, как показывает опыт, является не случайным, а вполне определенным. На его характер не влияют ни столкновения молекул, ни внешние воздействия.
Таким образом, скорости молекул неодинаковы и подчиняются определённым закономерностям имеющим статистический характер.
2. Распределение молекул по скоростям (Закон Максвелла)
Поскольку значение скоростей молекул может быть бесконеч но большое, а само число молекул ограниченно, то находят не число молекул, обладающих той или иной скоростью, а число молекул или их часть, обладающих скоростями, лежащими в некотором интервале вблизи заданной скорости. Например, число молекул, скорости которых лежат в пределах от 500 до 510 м/с ().
Относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале , зависит од скорости V и тем больше, чем больше и , т.е.
(8.2)
функция называется функцией распределения. При , т.е. равна доле молекул, скорости которых заключены в единичном интервале скоростей. Так, как имеет смысл вероятности, то - вероятность того, что молекула газа имеет скорость, заключенную в единичном интервале вблизи . Можно графически представить зависимость от скорости . Число молекул , имеющих скорости , равны нулю.
Поэтому искомая зависимость, как следует из математики, должна иметь максимум при и асимптотически приближаться к оси абсцисс при (рис. 8.1). Аналитический вид ее для одинаковых молекул был рассчитан Максвеллом и. носит название закона распределения скоростей Максвелла:
(8.3)
Максимум этой функции при означает, что наибольшая доля всех молекул движется со скоростями, близкими к . Эту скорость поэтому называют наивероятной скоростью. Пользуясь кривой распределения, модно найти долю молекул , имеющих скорость в заданной интервале .Она равна площади заштрихованной полосы. Вся же площадь под кривой дает полное число молекул я данном объёме. С повышением температуры скорости молекул возрастают, и кривая смещается в сторону больших скоростей (Рис. 8.2). Пользуясь (8.3) можно вычислить среднюю арифме тическую и наивароятную ско рость . Вычисления дают:
(8.4); (8.5)
Для решения практических задач удобно закон Максвелла (8.3) записывать через относительную скорость . Из (8.5) и (8.3) можно получить:
(8.6)
В таком виде обычно пользуются законом Максвелла для решения задач, связанных с распределением молекул по скоростям. Экспериментальная проверка формулы распределения Максвелла впервые была проведена О. Штерном в 1920 г.
3. Закон распределения Больцмана
Рассмотрим теперь влияние внешнего силового поля, например, силы тяжести на поведение молекул идеального газа. Если бы отсутствовало тепловое движение, то все молекулы под дейст вием силы тяжести скопились бы у поверхности Земли, и, наобо рот, в отсутствие силы тяжести все молекулы разлетелись бы по всему пространству. Одновременное действие обоих процессов и приводит к установлению определенного распределения молекул по высоте, соответственно чему распределяется и давление газа. Рассмотрим вертикальный столб газа (Рис. 8.3). При изменении высоты на давление меняется на . На некоторой высоте оно равно давлению столба газа:
(8.7)
где - плотность газа, - масса молекулы, - концентрация молекул. Из формулы (7.10). находим и . Под ставив это в (8.7), получим:, откуда находим:
(8.8)
Так как ,, то вместо (8.8) получим:
(8.9)
Формулы (8.8) и (8.9), устанавливающие закон убывания давления с высотой, называют барометрической формулой.
Так как давление газа пропорционально числу молекул, то (8.8) и (8.9) выражают также и закон убывания концентраций молекул:
(8.10)
Эта формула была использована Перроном (1909 г.) для опытней проверки барометрической формулы и числа Авогадро. В формуле (8.10) есть потенциальная энергия молекулы на высоте, то есть эта формула определяет число молекул (частиц) с энергией при нулевом уровне потенциальной энергии.
Если газ находится в другом силовом поле, так что его потенциальная энергия , то число частиц с такой энергией определится формулой:
(8.11)
Эту формулу называют формулой Больцмана.
4. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул
Имея большие скорости, молекулы газа в то же время перемещаются сравнительно медленно. Подтверждение тому, например, опыты по диффузии газов. Это объясняется большим числом столк новений, которые испытывают молекулы газа между собой. Сред ний путь, который проходит молекула между двумя столкновениями, называют средней длиной свободного пробега . Для ее опре деления вычислим вначале число столкновений данной молекулы о остальными за 1 с. Двигаясь, молекула вырезает в пространстве цилиндрический объем и сталкива ется со всеми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра длиной и сечением. Если все остальные молекулы считать неподвижными, то за число столкновений будет ,где - концентрация. Расчет с одновременным движением всех молекул дает уточнен ную формулу:
(8.12)
Подсчет значения при комнатной температуре () и атмосферном давлении () дает значение . Средняя длина свободного пробега определится так: , где - время свободного пробега, или
(8.13)
В (8.12), (8.13) - так называемый эффективный диаметр молекулы - диаметр площади, в которую должна попасть летящая молекула, чтобы испытать столкновение.
|
Лекция 11 |
Первое начало термодинамики. Работа газа при изменении объёма. Теплота и теплоёмкость. |
|
Изопроцессы и адиабатический процесс. Работа и теплоёмкость газа в этих процессах. Графическое изображение термодинамических процессов. |
1. Внутренняя энергия идеального газа
Энергия тела складывается из энергии его движения как целого и внутренней анергии. Во внутреннюю энергию входят ки нематические энергии частиц тела, потенциальная энергия взаи модействия. Для идеального газа потенциальная энергия взаимо действия молекул мала, потому внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий отдельных молекул: .
Для одноатомного газа (молекулы состоят из одного атома, например, инертные газы) кинетическая энергия молекул совпа дает с энергией их поступательного движения, которая равна . В силу хаотичности движения и равноправия трех нап равлений в пространстве , поэтому энергия поступательного движения, приходящаяся на одно из возможных перемещений или, как говорят, на одну степень свободы , равна . Таким образом, для одноатомных молекул и (9.1)
Двухатомные молекулы ( и т.д.) кроме поступательно го движения могут совершать и вращательное движение вокруг двух осей (y,z) (Рис. 9.1). Поэтому для них . Одним из основных положений МКТ служит утверждение, что на любую сте пень свободы приходится энергия . Поэтому (9.1) справедлива и в этом случае. Для трехатомной молекулы () и более сложных () , так как молекула может вращаться вокруг трёх осей (Рис. 9.2). Итак, с учетом сказанного, кинетическая энергия молекул в газе равна , а для всего газа из молекул внутренняя его энергия будет:
(9.2)
2. Первое начало термодинамики
Внутренняя энергия тела может изменяться либо за счет работы, которую над ним совершают внешние силы, либо за очаг контакта его с более горячим телом. В последнем случае, по историческим причинам, говорят, что к нему подведется некоторое количество теплоты .
Таким образом, количество теплоты представляет собой энергию, которая передается от одного тела к другому при их контакта , и измеряется в единицах энергии. Кроме того, мо жет измеряться и во внесистемных единицах – калориях(кал). Одна калория равна количеству теплоты, необходимому для нагре вания 1 г воды от 19,5 до 20,5°С.
Специальными опытами (Джоуль, Майер, Гирн и др.) уста новлено, что 1 кал = 4,186 Дж.
Так как работа внешних сил равна убыли внутренней энергии ,то связь между изменением внутренней энергии переданным ей количествен тепла и произведенной системой работы описывается уравнением
(9.5)
Это уравнение выражает важнейший закон природы - закон сохра нения энергии применительно к механической и тепловой энергии. Этот закон получил название первого начала термодинамики.
3. Работа при расширении газа
Рассмотрим газ под поршнем в цилиндрическом сосуде (Рис. 9.3). При перемещении поршня на внешняя сипа совершает работу , где - давление на поршень, - площадь поршня. Эта формула определяет элементарную ра боту, если . Графически работа изображается площадью ограниченной кривой процесса изменения объёма (Рис. 9.4). Полная работа при этом равна:
(9.4)
Пользуясь (9.4), вычислим работу газа при расширении в раз личных процессах.
При изохорическом процессе , поэтому .
При изобарическом процессе и
При изотермическом процессе из уравнения состояния и
(9.5)
С учетом (9.4) первое начало записывают в виде:
(9.6)
4. Теплоемкость идеальных газов
Теплоемкостью называют количество тепла, которое надо сообщить телу для изменения его температуры на :
(9.7)
Теплоемкость единицы наосы вещества называют удельной теплоемкостью , теплоемкость одного моля - молярной . Если - молекулярный вес, то .
Для газов обычно пользуются молярными теплоемкостями при постоянном объеме и при постоянном давлении . Из формул (9.6) и (9.7) находим, что при и
(9.8)
Так как для одного моля газа , то:
(9.9)
ПриР-ем^ооовввакявенно имеем Ср-о(а/<(Тэ<<^Т+ 'wv/(»t^
При соответственно имеем
Так как для одного моля газа ,то:
или (9.10)
(9.11)
формулу (9.10) называют уравнением Майера. Формулы (9.9) и (9.11) позволяют вычислить молярные теплоемкости и по числу степеней свободы, а также вычислить отношение , представляющее характерную для каждого газа величину:
(9.12)
Так, для одноатомных газов и ; для двухатомных и для трехатомных и многоатомных газов и . Полученные расчетные формулы для теплоемкостей хо рошо совпадают с опытом лишь для одноатомных молекул. Для более сложных молекул выводу теорий применимы в ограниченном интервале температур (°С). При более высоких и низких температурах сказывается влияние температуры на теплоемкость, что объясняется квантовой теорией.
5. Адиабатический процесс
Наряду с рассмотренными изопроцессами, протекающими в газах, важную роль играет адиабатический процесс, т.е. про цесс, происходящий в газе без теплообмена с окружающей сре дой. Такой процесс можно осуществить, например, в теплоизолированном сосуде (сосуд Дьюара), при очень быстром процес се, когда газ не успевает обменяться теплом с окружающими телами. Для адиабатного процесса первое начало имеет вид:
(9.13)
Для одного моля из (9.8) , а . Подставив эти выражения в (9.13) и разделить все равенство на , получим соотношение
(9.14)
Полагая теплоемкость в рассматриваемом интервале темпе ратур постоянной, (9.14) перепишем в виде:
, откуда и после потенциирования:
(9.15)
Так как , то и вместо (9.15) имеем:
(9.16)
Это есть уравнение адиабатического процесса. Комбинируя это выражение с уравнением состояния , можно получить другие формы уравнения адиабатического процесса:
(9.17)
(9.18).
Уравнения (9.16) - (9.18) называют также уравнением Пуассона, а - показателем Пуассона.
Найдем работу расширения газа при адиабатическом процессе.
Из (9.15) находим:
и (9.19)
Используя уравнения состояния и уравнение Пуассона, можно получить и другие формулы:
(9.20)
|
Лекция 13 |
Обратимые и необратимые процессы, циклы. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его КПД. |
|
Второе начало термодинамики, необратимый цикл Карно. |
1. Характеристика тепловых процессов.
Процессом называют переход тела из одного состояния в другое. Рассмотренные процессы в газах (изотермический, изоба рический, изохорический, адиабатический) характерны тем, что при их осуществлении в окружающих телах никаких изменений не происходит, энергия системы не передается другим телам. Поэто му возможно и осуществление обратного перехода через последовательность тех же промежуточных состояний. Такие процессы на зывают обратимыми. Обратимые тепловые процессы всегда являются идеализацией в той или иной степени. Они возможны лишь при условии, что изменение параметров состояния происходит очень медленно и сама система каждый раз находится в состоянии равновесия, т.е. когда параметры всюду одинаковы. Лишь при этом возможен обратный процесс, когда система проходит ту же последовательность промежуточных состояний, что и в прямом процессе. Процесс, состоящий из ряда равновесных состояний, называют равновесный. Таким образом, все обратимые процессы - равновесные. Они изображаются графически плавной линией (АВ, рис. 10.1). Рассмотрим работу расширения и сжатия при обратимом и необратимом процес сах. При быстром расширении процесс не будет обратимым и изобразится ступенчатой линией АаВ, аналогично при быстром сжатии ВвА. Таким образом, как видно из рис. 10.1,
В равновесном состоянии в системе самопроизвольно ника кие процессы не возникают. Если же ее вывести из этого состояния, то она в течение некоторого времени будет возвращаться в равновесное состояние. Причем из-за хаотичного движения молекул такой процесс будет необратимым. Таким образом, все самопроизвольные процессы протекают в направлении приближения системы к равновесному состоянию. Количественная формулиров ка этого положения составляет содержание второго начала тер модинамики.
2. Принцип действия тепловой машины
Тепловой машиной называют устройство, преобразующее теп ловую энергию в механическую. Для этого используют рабочее тело - вещество, способное воспринимать тепло и совершать работу. В качестве него может быть использован идеальный газ, водяной пар и т.д. С рабочим телом в тепловой машине осуществляют круговой процесс или цикл, при которой система посла ряда изменений возвращается в исходное состояние (Рис.10.2). Работа цикла: . Для этого на участке 1-2 рабочее тело нагревается, подводится тепло от нагревателя , а на участке 2-1 - охлаждается, отдает холодильнику тепло . Тогда по первому началу термодинамики:
откуда получаем:
(10.3)
Коэффициент полезного действия (к. п. д.) равен .
(10.4)
Найдем максимальный к. п. д. тепловой машины. Из формул (10.1), (10.2) и (10.4) следует, что для полу чения или цикл должая быть составлен ив обра тимых процессов. Такой цикл будет включать два изотермических (1-2, 3-4) и два адиабатических процесса (2-3, 4-1) (цикл Карно, 1824 г.), он изображен на Рис. 10.3. Найдем его к. п. д.
Используя уравнений адиабаты , находим для процессов
2-3, 4-1:
откуда:
. Тогда
(10.5)
Таким образом, тепловой машины не зависит от рабоче го тела и тем выше, чем нижа температура холодильника.
3. Второе начало термодинамики
Как видно, не все количество тепла, получаемое рабочим телом оn нагревателя, можно превратить в работу, часть его остается неиспользованным. Следовательно, существуют опреде ленные ограничения при превращении тепла в работу для круго вых процессов. Эти ограничения не регламентированы первым на чалом, которое допускает любое превращение теплоты в работу и обратно лишь в эквивалентных соотношениях.
Таким образом, дели бы на было указанных ограничении, то можно было бы построить тепловую машину, которая путем охлаж дения окружающих тел, могла бы превращать взятую теплоту в работу (). Так как запасы тепловой энергии, содержащейся в земле, воде и атмосфера практически не ограничены, то такая машина для практики была бы эквивалентна вечному двигателю. Такую гипотетическую машину называют вечным двигателем II ро да и второе начало термодинамики формулируют как невозмож ность построения вечного двигателя второго рода.
Второе начало термодинамики накладывает ограничения на направлениях возможных тепловых процессов: невозможны такие тепловые процессы, единственным коночный результатом которых будет превращение в работу тепла, извлеченного из источника о постоянной температурой (отсутствие холодильника).
Второе начало термодинамики не имеет такого всеобщего действия как первое начало. Но вместе с ним оно управляет всеми тепловыми процессами.
|
Лекция 14 |
Энтропия. Энтропия идеального газа. Статистическое толкование второго начала термодинамики. |
|
Изменение энтропии в необратимых процессах. Теорема Нернста. |
1. Энтропия
Рассмотрим, как математически формулируется второе нача ло термодинамики.
Для обратимого цикла Карно:
откуда
Эта формула определяет максимальную работу, получаемую при превращении тепла в работу. Часть тепла, равная , при этом не может быть превращена в работу, она передается ок ружающим телам. Отношение как раз и характеризует ту часть тепла, которую нельзя превратить в работу. Это отношение явля ется мерой неиспользованного тепла. Р. Э. Клаузис назвал эту ве личину энтропией (от греч. превращение).
(10.7)
Энтропия является как и внутренняя энергия функцией состояния и может быть выражена через параметры состояния системы :
Она имеет размерность теплоемкости. В термодинамике её определяют через дифференциальное соотношение:
(10.8)
Из (10.5) следует, что для обратимого цикла Карно или, т.к. (10.9)
Это соотношение справедливо для любого обратимого цикла или .
Отсюда следует, что для любых обратимых циклов энтропия остается постоянной.
Если цикл необратимый, то и для такого цикла . Если система теплоизолирована (), то для нее , т.е. в ней возможны процессы, для которых энтропия возрастает.
С помощью энтропии математически формулируется второе начало термодинамики.
В изолированных системах возможны лишь процессы, при ко торых энтропия возрастает: .
Итак, второе начало термодинамики связано с необратимостью реальных процессов, что, в свою очередь, обусловлено мо лекулярной природой тепловых процессов, хаотичным движением молекул.
Из опыта известно, что в системе, состоящей из большого числа хаотически движущихся молекул, могут возникнуть самопроизвольные процессы, приводящие систему к равновесному состоянию (выравнивание температур, концентраций и т.д.). Обрат ные из процессы практически не наблюдаются, т.е. они малове роятны. Таким образом, необратимость тепловых процессов имеет вероятностный характер.
В равновесном состоянии частицы равномерно распределены по всему объему тела, поэтому вероятность такого состояния наибольшая, следовательно, процессы идут в сторону увеличения вероятности состояния. С другой стороны, энтропия процесса возрастает, т.е. энтропия системы связана с вероятностью состояния, в этом заключается статистический смысл энтропии и второго начала термодинамики.
Количественной характеристикой теплового состояния тела может служить число микроскопических способов, которым это состояние может быть осуществлено. Это число называют термоди намической вероятностью или статистическим весом . Как сле дует из вышесказанного, должна существовать функциональная зависимость между и .
Такая зависимость была установлена Л. Больцманом, который показал, что:
(10.10)
где - постоянная Больцмана.
|
Лекция 16 |
Реальные газы. Сила и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия. |
|
Уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа. Изотермы уравнения. Метастабильные состояния. |
1. Отклонение свойств газов от идеальных.
Уравнение состояния идеального газа (Менделеева-Клапей рона) является приближенным. Оно выполняется при достаточно малых плотностях и давлениях (до 100 атм). Так, например, для одного моля азота при С и атм отличается от теоретического более чем на , а при атм - на . При дальнейшем увеличении давления это отклонение еще больше.
Таким образом, опыт показывает, что реальные газы значительно отличаются по своим свойствам от идеальных. Такие отклонения связаны с межмолекулярным взаимодействием и размера ми самих молекул, чем нельзя пренебрегать при больших плотностях газа. Между молекулами действую силы электрического происхождения - притягивания и от талкивания. Характер этих сил показан на рис. 11.1, где приве дена зависимость потенциальной энергии взаимодействия от рассто яния. На расстоянии силы при тяжения уравновешиваются силами отталкивания. Действие сил притяжения приводит к тому, что мо лекулы газа занимают определенный объем, дальше которого газ не может быть сжат.
Поэтому уравнение Менделеева-Клапейрона, справедливое для идеальных газов, необходимо уточнить с учетом размера молекул и сил взаимодействия между ними.
2. Уравнение состояния реального газа (уравнение Ван-дер-Ваальса)
Для 1 моля идеального газа уравнение состояния имеет вид , где - объем, предоставленный молекулам газа. Для реальных газов некоторая его часть занята самими моле кулами. Поэтому объем надо заменить разностью .
Учтем теперь взаимодействие молекул. Силы притяжения, действующие между молекулами, приводят, к уменьшению давления газа на стенки сосуда на некоторую величину , так что:
или (11.1)
где - дополнительное давление, обусловленное силами притя жения. Его называют также внутренним или молекулярным давлени ем. Это давление пропорционально концентрации молекул и силе, действующей на данную молекулу со стороны остальных, которая в свою очередь, также пропорциональна концентрации молекул. Таким образом, или , где - пос тоянная, характеризующая силы молекулярного притяжения и зави сящая от природы газа. Таким образом, получаем для 1 моля уравнение:
(11.2)
Это уравнение состояния реального газа или уравнение Ван-дер-Ваальса; и - константы, определяемые экспериментально. Исследуем уравнений (11.2), для чего перепишем его в виде:
(11.3)
С его помощью можно построить теоретические изотермы ре ального газа - зависимость от при заданных значениях .
Уравнение (11.3) - уравнение третьей степени относитель но . Поэтому оно может иметь либо три действительных корня, либо один. Одна из таких изотерм изображена на рис. 11.2. На участках ,, т.е. с увеличением давления объем уменьшается, на участке же , что соответству ет неестественному состоянию вещества, когда сжатие приводит к увеличению объема. Поэтому на опыта изотерма пожег быть лишь вида (Рис. 11.3). Такая изотерма действительно была получена Т. Эндрьюсом с углекислотой. Наличии горизонтального участка связано с тем, что при изменении объема вещество не может все время оставаться в однофазном состо янии. В некоторый момент про исходит скачкообразной измене ние состояния вещества и его распадение на две фазы: жидкую () и газообразную (). Горизонтальный участок () соответ ствует двухфазному состоянию вещества - переходу газа в жид кость при заданных температуре и давлении. Эта область насы щенного пара.
|
Лекция 17 |
Изотермы реальных газов. Сравнение уравнения Ван-дер-Ваальса с экспериментальными данными. |
|
Фазовые переходы 1-го и 2-го рода. Критическое состояние. |
1. Критическое состояние вещества
Экспериментальные изотермы при различных температурах изображены на рис. 11.4. Как видно, с ростом температуры го ризонтальные участки становят ся все короче. При некоторой температуре прямолинейный от резок исчезает и на изотерме остается лишь точка перегиба . Это означает, что исчезает переход из газообразного сос тояния в жидкое и наоборот, исчезает разница между жидким и газообразным.
Это состояние называется критическим состоянием, а температура, при которой оно наступает - критической температурой . Понятие критической температуры было введено Д. И. Менде леевым.
При температурах выше критической вещество может сущест вовать только в газообразном состоянии и никакими способами не может быть переведено в жидкое.
Критической температуре соответствует критическое дав ление и критический объем . Совокупность этих величин и характеризует критическое состояние. Так, например, для воды ; для углекислого газа ; для водорода . Критические параметры связаны с поправками и уравнения Ван-дер-Ваальса.
Уравнение (11.3), как говорилось, может иметь либо три действительных корня - ниже , либо один при . Поэтому (11.3) можно в этом случае записать в виде:
Сравнивая коэффициенты этого уравнения с (11.3) при одинаковых степенях, где , получаем:
, откуда
.
|
Лекция 18 |
Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля – Томсона и его физическая сущность. |
|
Сжижение газов и получение низких температур. |
1. Внутренняя энергия реального газа
Внутренняя энергия реального газа будет состоять из кинетической энергии молекул - внутренней энергии идеального газа , которая для 1 моля равна , и потенциальной энергии взаимодействия между молекулами так что:
При расширении газа силы молекулярного давления совер шают работу, равную изменению потенциальной энергии:
, откуда и
При , поэтому , а
(11.5)
Наличие потенциальной энергии взаимодействия между моле кулами у реального, газа приводит к изменению его температуры при адиабатическом расширении эффект Джоуля-Томпсона.
Например, если осуществить адиабатное расширение реально го газа без совершения внешней работы (расширение в вакуум), то на оснований первого закона термодинамики при или ,
откуда:
,
т.к. при расширении , то - реальный газ при атом охлаждается.
В процессе Джоуля-Томпсона осуществлялось расширение газа без теплообмена при постоянных давлениях. Для этого газ пропускался через пористую перегородку, чем обеспечивалась медленность процесса. При этой было установлено, что знак зависит от природы газа, его начальной температуры , плотности.
Если температура газа понижается, , то эффект счи тается положительный, если - эффект отрицательный.
Знак эффекта зависит от относительной роли поправок и в уравнении Ван-дер-Ваальса. При высоких температурах эффект отрицательный, при низких - положительный. Температура, при которой эффект Джоуля-Томпсона меняет знак, называется температурой (точкой) инверсии. Выше этой температуре эффект всегда отрицательный. Так, для гелия точка инверсии - 40, водо рода - 200, кислорода - 1063 , углекислого газа - 2073 К и т.п.
Охлаждение газов в процессе Джоуля-Томпсона может быть значительным. Так, воздух при расширении от 200 до 1 атм охлаждается на 40 К. Поэтому положительный эффект Джоуля-Томпсона используется для снижения газов.
|
Лекция 19 |
Жидкости, их строение. Диффузия и вязкость. |
|
Поверхностное натяжение, смачивание и капиллярные явления. Поверхностно –активные вещества. |
1. ЖИДКОСТИ.
Жидкость представляет собой агрегатное состояние вещества, в котором проявляются как свойства твердого состояния - занимать определенный ограниченный объем, сохранять прочность отрыву частиц, так и газообразного - изменчивость формы.
Одним из основных физических свойств жидкости является вязкость. Вязкость или внутреннее трение - свойство газов и жидкостей, характеризующее сопротивление действию внешних сил вызывающих их течение. Она оценивается коэффициентом вязкости , от которого зависит сила внутреннего трения между двумя слоями жидкости при их относительном движении. В отличие от газов, где вязкость возрастает о увеличением температуры, в жидкостях вязкость с увеличением температуры резко убывает по закону:
(12.1)
где - постоянная Больцмана, - энергия перехода молекулы жидкости из одного положения в другое.
Для жидкостей имеет место ближний порядок в расположении частиц и малое различие в кинетической энергии теплового дви жения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Теп ловое движений молекул жидкости состоит из колебательного движения молекул около положения равновесия и пароходов от од ного равновесного положения в другое. С этим связана текучесть жидкости, которая, оценивается величиной . Таким образом, в отличие от твердых тел жидкость имеет "рыхлую" структуру. В то же время молекулы жидкости находятся на таких же рассто яниях друг от друга, как и в твердом теле. На это указывает тот факт, что плотности вещества в твердом и жидком состоянии примерно одинаковы, а, например, для воды наоборот: плот ность льда меньше.
Термодинамические величины, характеризующие такие свойства жидкости, как плотность теплоемкость и т.д. не имеют простой и одновременно строгой температурной зависимости как у газов, т.е. вследствие проявления сил межмолекулярного вза имодействия найти простое уравнение состояния для жидкостей как для газов не представляется возможным.
2. Поверхностное натяжение.
Из опыта известно, что поверхностный слой жидкости нахо дится в особом состоянии, напоминающем состояние натянутой резиновой пленки. Напряженное состояние поверхностного слоя жидкости называется поверхностным натяжением. Оно вызвано силами сцепления между молекулами.
Молекула, находящаяся внутри жидкости (Рис. 12.1), равномерно окружена соседями, поэтому результирующая сила притяжения, действующая на нее, равна нулю. На молекулы же поверхностного слоя действуют лишь молекулы, расположенные под ними. Поэтому равнодействующая сила, действующая на молекулу, не направлена внутрь жидкости. Действие всех таких сил отнесенное к площади поверхности жидкости, создает на всю жидкость давление, ко торое называют внутренним или молекулярным. На каждую поверхностную молекулу, кроме того, действуют силы , лежащие в плоскости, касательной к поверхности. Для всех молекул, лежащих внутри поверхности , они скомпенсированы, для молекул, расположенных вдоль периметра поверхности, они направлены по касательной к поверхнос ти жидкости, перпендикулярно периметру. Эти силы (Рис.12.2), растягивающие поверхность жидкости, называют силами поверхностного натяжения. Силу поверх ностного натяжения, отнесенную к единице длины контура , ограничивающего поверхность жидкости, называют коэффициентом поверхностного натяжения:
(12.2)
Действие сил поверхностного натяжения на молекулы поверхностного слоя приводит к тому, что эти молекулы обладают избы точной потенциальной энергией, которую называют поверхностной энергией . Используя соотношение между силой и потенциальной энергией , можно найти:
(12.3)
т.е. поверхностная энергия пропорциональна площади поверхности, а коэффициент поверхностного натяжения есть удельная поверхностная энергия. Знак минус указывает, что сила поверхностного натяжения направлена внутрь поверхности.
Силы поверхностного натяжения стремятся сократить поверхность жидкости. С этим и связано то, что капли жидкости стре мятся принять форму шара. Из определения вытекает, что он измеряется в СИ в Н/м или Дж/м2. Коэффициент поверхностного натяжения зависит от химического состава жидкости и соприкасающейся с ней среды и от температура, эта зависимость может быть выражена формулой (Р. Этвеш):
(12.4)
где , - мольный объем; - критическая температура.
При 20°С, например, принимает значения: для воды - 0,073; эфира - 0,0165; спирта - 0,0225 ; глицери на - 0,065 ; ртути - 0,48 Н/м.
3. Явление смачивания.
Смачивание - поверхностное явление, возникающее при соприкосновении жидкости и твердого тела. Оно проявляется в растекании жидкости по твердой поверхности, пропитывании по ристых тел, образовании мениска - искривленная поверхность жидкости внутри узкой (капиллярной) трубки.
На молекулу , находящуюся на поверхности жидкости, соприкасающейся о твердым телом, действуют молекулярные силы со стороны твердого тела , молекул жидкости и газа, взаимодействием с молекулами которого можно пренебречь. В за висимости от соотношения сил и их равнодействующая может быть направлена либо в сто рону твердого тела (Рис.12.3), либо в сторону жидкости (Рис. 12.4). В первом случае говорят, что жидкость смачивает твердое тело. Во втором случае жидкость не смачивает твердое тело. При равновесии жидкости с твердым телом ее поверхность, если она смачивает твердое тело, несколько приподымается, образуя вогнутый мениск. В другом случае поверхность жидкости несколько опускается, образуя выпуклый мениск (Рис.12.5,12.6). Количественной мерой смачиваемости жидкости служит краевой угол .
Краевым углом называется угол между касательной поверхностью жидкости и поверхностью твердого тела. Он отсчитывается внутрь поверхности жидкости. Если жидкость смачивает поверхность, то , если же жидкость не смачивает поверхность, то .
4. Формула Лапласа.
Поверхность жидкости представляет собой как бы натянутую резиновую пленку, которая благодаря силам поверхностного натяжения стремится сократиться. Поэтому под ее искривленной поверхностью возникает добавочное давление, точно так же, как внутри резинового шара или мыльного пузыря давление на определенную величину больше давления наружного воздуха.
Для вычисления этого давления рассмотрим шарообразную каплю жидкости радиуса . Для изменения объема капли на необходимо затратить работу , которая идет на изменение поверхностной энергии . Таким образом,
(12.5)
Так как для шара , то:
Подставляя это в (12.5), получим:
(12.6)
Это выражение называют формулой Лапласа, которая опреде ляет избыточное (капиллярное) давление - положительное под выпуклой поверхностью и отрицательнее - под вогнутой.
5. Капиллярность.
Смачивание жидкостью поверхности твердого тела проявляется при движении жидкости в узких трубках - капиллярах. Если жидкость смачивает капилляр, то вследствие вогнутого мениска капиллярное давление будет приподымать уровень жидкости, и, наоборот, если жидкость не смачивает капилляр, то уровень жидкости будет опускаться. Определим высоту поднятия (опускания) жидкости. Пусть жидкость смачивает капилляр (Рис.12.7). В этом случае мениск вогнутый и капиллярное давление отрицательно. Жидкость будет подыматься, пока его давление уравновесится давлением столба жидкости:
Если - радиус капилляра, то радиус мениска и
(12.7)
Эта формула называется законом Пюрена.
Капиллярные явления широко проявляются в природе, смачивание используется при флотации, облегчает механическую обработку металлов, влияет на моющее действие мыл.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
|
Лекция 20 |
Электрический заряд и поле. Напряжённость поля, принцип суперпозиции, силовые линии. |
|
Поток напряжённости, теорема Гаусса. Применение ее для расчета электростатических полей. |
1. Взаимодействие тел
В основе всех физических явлений лежит взаимодействие между телами или частицами, участвующими в этих явлениях. Так, в механике рассматривались силы тяготения, упругости, трения. Из них лишь закон тяготения является фундаментальным - он справедлив во всех случаях, независимо от строения тел и условий, где они находятся. Законы же для сил трения и упругости не являются фундаментальными. В формулы, отражающие эти законы, входят опытные коэффициенты, и сами формулы применимы не всегда. Трение и упругость проявляются как усреднение большого числа взаимодействий между атомами и молекулами. Такое взаимодействие не имеет гравитационной природы, т.к. тела сопротивляются не только растяжению, но и сжатию - между частицами тела может возникать не только притяжение, но и отталкивание, а это есть проявление нового, типа взаимодействия - электромагнитного.
Электромагнитное взаимодействие - фундаментальное взаимодействие, в котором участвуют частицы, имеющие электрический заряд. Это взаимодействие обуславливает существование атомов, молекул, является причиной действия сил между атомами и молекулами газов, жидкости и твердых тел. По силе электромагнитное взаимодействие значительно превосходит гравитационное.
2. Электрический заряд
Электрический заряд есть физическая величина, выражающая свойство частиц вступать в электромагнитное взаимодействие. Опытные данные о зарядах сводятся к следующему:
1. Заряды бывают двух типов. Одни из них условились называть положительными, другие - отрицательными.
2. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные - притягиваются.
3. В природе существует наименьшим возможный заряд - элементарный заряд (). Носителем этих за рядов являются элементарные частицы: электроны () и протоны (***) . Заряд других частиц может быть только кратным элементарному: , где
4. Тела, не участвующие в электрическом взаимодействии, называются нейтральными. У таких тел число положительных заря дов равно числу отрицательных.
5. Полный заряд изолированной системы остается постоянным. Это есть фундаментальный закон сохранения электрического заряда.
3. Закон Кулона
Основным фундаментальным законом электрических сил является закон Кулона (1785 г.). В результате опытов было установлено, что величина силы взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами и , находящимися на расстоянии друг от друга, равна:
(13.1)
где - коэффициент, зависящий от выбора системы единиц.
Из опытов было также установлено, что сила взаимодействия направлена по прямой, соединяющей заряды. В векторном виде закон запишется так:
(13.2)
где - вектор, проведенный от к , сила, действующая на .
Закон Кулона автоматически учитывает и знак заряда (Рис.13.1.)
4. Единицы заряда.
В системе СГС полагают и на основании основных единиц (см, г, с) находят единицу заряда - абсолютную электростатическую единицу 1 СГС - заряд, который взаимодействует в вакууме с равным ему на расстоянии 1 см с силой в 1 дн. Его размерность . В СИ одной из основных единиц является единица силы тока 1 ампер (1А), а единица заряда является производной - 1 кулон (1 Кл). 1 Кл - заряд, проходящий по проводнику за 1 с при токе 1 А(). 1 Кл очень большая единица. Опыт показывает, что 1 Кл =. Заряд элементарных частиц равен Кл. Поэтому в СИ и является размерной величиной. Вычисления дают Н/м2Кл. Принято законы электромагнетизма в СИ записывать в рационализированной форме, для чего принимают в виде:
(13.3),
где - электрическая постоянная ( - фарада, единица емкости в СИ). С учетом оказанного закон Кулона записывают так:
(13.4) в СГС; (13.5) в СИ.
5. Электрическое поле.
Пространство, окружающее электрический заряд , обладает особыми свойствами: на внесенный в это пространство другой заряд действует электрическая сила, величина и направление которой определяются законом Кулона. Если в каждой точке пространства заданы силы, действующие на материальную точку, то говорят, что задано силовое поле. В рассматриваемом случае заряд создает в окружающем пространстве поле электрических сил или электрическое поле. В каждой точке электрическое поле характеризуется напряженностью поля, являющейся его силовой характеристикой. Напряженностью электрического поля в данной точке называют вектор , равный силе, действующей на единичный положительный заряд в данной точке:
(13.6)
В соответствии с этим и законом Кулона напряженность поля точечного заряда равна:
(13.7) или в векторной форме (13.8)
Задание не требует знания источника поля и сила, действующая со стороны поля на произвольный заряд , равна:
(13.9)
Если напряженность в каждой точке поля постоянна, то поле называют однородным, в противном случае - неоднородным. Если электрическое поло создано системой точечных зарядов , то каждый из них создает поле , а результирующее поле при этом равно:
(13.10)
Сложение напряженностей электрических долей по правилу векторного сложения выражает принцип суперпозиции электрических полей. Согласно атому принципу, например, напряженность поля двух точечных зарядов в т. А изображается вектором (Рис. 13.2). В СИ единица напряженности 1 () (1 В(вольт) - единица потенциала в СИ). В СГС единица напряженности 1 СГС= - абсолютная электростатическая единица 1 СГС=.
6. Силовые линии. Поток вектора напряженности.
Для наглядного описания электрического поля используют силовые линии (линии напряженности). Силовой
линией называют линию, направление касательной в каждой точке которой совпадает с направлениям . (Рис.13.3). Условились так проводить силовые линии, чтобы их густота - число линий, пронизывающих единицу поверхности площадки, перпендикулярной линиям, была численно равна значению в данной области пространства. Силовые линии начинаются и заканчи ваются на электрических зарядах либо уходят в бесконечность (Рис.
13.4).
Естественно предположить, что напряженность электрического поля пропорциональна заряду, который его создает. Чтобы установить эту закономерность, вводят понятие потока вектора напряженности . Потоком вектора напряженности через площадь называют полное число силовых линий, пронизывающих данную площадь перпендикулярно ей.
Если поле однородно, а поверхность плоская, то поток равен (Рис. 13.5)
(13.11)
где - проекция на нормаль к поверхности.
В общем случае: (13.12)
7. Теорема Гаусса.
Основное соотношение между источником и полем можно выразить с помощью потока вектора напряженности через замкнутую поверхность, охватывающую данный заряд. Этот поток является мерой полного воздействия заряда на пространство, окружающее его. Вычислим для простоты поток вектора поля точечного заряда через сферическую поверхность, центр которой совпадает с положением заряда.
По формуле (13.12) имеем . Т.к. для шаровой поверхности , то . Используя формулу напряженности (13.7) и (13.3), находим:
(13.13)
Этот результат обобщается на произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряд : поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряд , не зависит от формы поверхности и равен . Для системы зарядов в силу принципа суперпозиции (13.10):
(13.14)
Итак, полный поток вектора напряженности электрического поля, выходящий из замкнутой поверхности, пропорционален алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью (теорема Гаусса).
Если внутри поверхности зарядов нет, то из теоремы следует, что поток силовых линий через нее равен нулю.
Теорема Гаусса позволяет вычислять напряженности полей, создаваемые зараженными телами простой формы.
Вычислим для примера напряженность поля бесконечно заряженной плоскости о поверхностной плотностью заряда . Из соображений симметрии ясно, что вектор напряженности поля должен быть направлен перпендикулярно плоскости (Рис.13.6).
Пусть плоскость пересечена поверхностью прямого параллелепипеда с площадью основания . Напряженность поля будет перпендикулярна к основаниям и параллельна остальным граням. Поток через основания в силу теоремы Гаусса равен , откуда напряженность поля заряженной плоскости равна:
(13.15)
Для пространства между двумя разноименно заряженными плоскостями:
(13.16)
|
Лекция 21 |
Работа поля по перемещению заряда. Потенциал электрического поля, его связь с напряжённостью. Энергия системы зарядов. |
|
Проводники в электростатическом поле. Распределение зарядов и поля в проводнике. |
1. Работа сил электрического поля.
Найдем работу, совершаемую электрическими силами поля заряда при перемещении заряда (Рис. 14.1). Элементарная работа при этом равна:
Т.к. перемещается в поле точечного заряда , а , то (14.1)
Из этой формулы видно, что не зависит от пути перемещения заряда , а зависит лишь от начальной и конечной точек перемещения. Отсюда также следует, что работа по перемещению заряда по замкнутому контуру равна нулю. Силовые поля, для которых выполняется указанное свойство, называют потенциальными.
2. Циркуляция вектора напряженности.
Условие потенциальности поля можно записать и в другой форме. Т.к. , где - проекция вектора напряженности на направление перемещения , а для замкнутого контура , то отсюда:
(14.2)
Выражение называют циркуляцией вектора по замкнутому контуру. Т.е. формула (14.2) выражает условие потенциальности электрического поля. Этот результат называют также теоремой о циркуляции вектора .
3. Потенциал электрического поля.
Как известно из механики, тело, находящиеся в потенциальном поле, обладает потенциальной энергией. При этом работа, связанная с перемещением тела, равна убыли потенциальной энергии:
(14.3)
Сопоставляя это выражение с (14.1), можно найти выражение для потенциальной энергии точечного заряда в поле точечного заряда :
(14.4)
Поле заряда можно охарактеризовать величиной
(14.5)
которая численно равна потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в данную точку. Эта скалярная величина, являющаяся энергетической характеристикой электрического поля, называется потенциалом электрического поля.
Если поле задано системой точечных зарядов , то потенциал поля является алгебраической суммой потенциалов полей, созданных отдельными зарядами: , где - расстояние от -го заряда до данной точки.
В СИ потенциал измеряется в вольтах (1 В), 1 В = ; В СГС - в абсолютных единицах потенциала - 1 СГС, причем 1 СГС - 300 В.
4. Связь потенциала с напряженностью поля.
Из Формул (14.3) и (14.5) следует, что работа по перемещению заряда из т.1 в т.2 равна:
(14.6)
Для элементарной работы можно написать или . Из этих Формул следует, что:
(14.7)
где - произвольное направление в пространстве.
Из этой формулы можно найти компоненты :
и вектор
(14.8)
т.е. напряженность электрического поля равна градиенту потенциала со знаком минус.
Формулы (14.7) и (14.8) позволяют находить потенциал поля, созданного заряженным телом. Вычислим, например, потенциал поля, созданного равномерно заряженной бесконечной плоскостью (Рис. 14.2).
Напряженность поля в т. по формуле (13.14) равна . Из формулы (14.7) находим , откуда , где - потенциал заряженной плоскости.
5. Эквипотенциальные поверхности.
Наряду с силовыми линиями электрическое поле изображают с помощью эквипотенциальных поверхностей - геометрического места точек с равным потенциалом, которые определяются уравнением . Пересечение этих поверхностей плоскостью чертежа дает эквипотенциальные линии. Они всегда перпендикулярны силовым линиям, т.к. для линии работа перемещения заряда равна нулю:
, откуда (Рис.14.4). По густоте эквипотенциальных линий можно судить о напряженности поля.
|
Лекция 22 |
Электрическое поле в диэлектриках. Полярные и неполярные молекулы, поляризованность. Теорема Гаусса для неё. |
|
Электрическое смещение, относительная диэлектрическая проницаемость, поле в диэлектрике. Условия на границе двух диэлектриков. Сегнетоэлектрики. |
1. Проводники и диэлектрики.
Все тела в природе можно условно разделить по их электрическим свойствам на два класса - проводники и диэлектрики. К проводникам обычно относят все металлы, в которых имеется много "свободных" электронов, оторвавшихся от ионов кристаллической решетки и свободно перемещающихся по металлу. В диэлектриках такие заряды отсутствуют. Имеются также вещества с небольшим количеством "свободных" зарядов, занимающих промежуточное положение между проводниками и диэлектриками, - полупроводники. Такое деление, однако, условное и зависит от внешних условий.
2. Поляризационный заряды в диэлектриках.
Заряды, входящие в состав атомов и молекул диэлектрика, прочно связаны между собой и могут перемещаться лишь в пределах своей молекулы. Однако такая ограниченная подвижность зарядов может привести к образованию в диэлектрике заряженных областей или поверхностей под действием внешнего электрического поля. Такие заряды, возникающие при этом, называют поляризационными или связанными зарядами. В отличие от "свободных" зарядов металла они не могут перетекать по проволоке от одного образца к другому.
3. Дипольная модель диэлектрика.
Процессы, происходящие в диэлектриках во внешнем поле, легко рассмотреть, если представить диэлектрик как среду, состоящую из электрических диполей. Электрический диполь - система двух разноименных зарядов, которая характеризуется дипольным моментом (Рис.15.1). Эту величину можно определить и так: (15.1)
где - радиус-векторы зарядов.
Такое определение можно распространить на систему зарядов, для которой можно поставить эквивалентный диполь с моментом
(15.8)
Т.о., любую молекулу можно систематично рассматривать как электрический диполь с дипольным моментом.
4. Типы диэлектриков
Диэлектрики, молекулы которых имеют отличный от нуля дипольный момент, называются полярными. К ним относятся молекулы, имеющие несимметричное строение, например, дипольный момент молекулы СО равен 0,1 D, для паров воды 1,87 D (1 D – (Дебай) = 10-18 СГС – единица дипольного момента).
Диэлектрики, молекулы которых в отсутствие внешнего поля не имеют дипольного момента, называют неполярным. К ним относятся молекулы, имеющие симметрическое строение, например, метан СН4.
5. Вектор поляризации
Для количественного описания свойств диэлектрика используется физическая величина – вектор поляризации , являющийся количественной мерой процесса поляризации диэлектрика. Он равен дипольному моменту в единице объема
(15.3)
Для однородного и изотропного диэлектрика
(15.4)
где - дипольный момент одной частицы,
n - концентрация.
6. Поляризация диэлектриков
В отсутствие внешнего поля вектор поляризации неполярного диэлектрика равен нулю. Во внешнем поле равномерные заряды молекул смещаются в разные стороны и молекула приобретает некоторый дипольный момент, направленный вдоль поля.(рис.15.2)
Т.к. внешние поля намного меньше электрического поля внутри молекулы, то такая поляризация носит упругий характер. Вектор поляризации при этом пропорционален электрическому полю. В СИ эта зависимость такая:
(15.5)
Безразмерный коэффициент пропорциональности называют диэлектрической восприимчивостью.
В отсутствие внешнего поля молекулы полярного диэлектрика ориентированы хаотически, и вектор поляризации равен нулю. Действие внешнего поля приводит к частичной ориентации молекулы, на которую действует вращающий момент (Рис.15.3)
F1=qE, F2=-qE
Эти силы образуют пару, механический момент которой равен
(15.6)
В результате молекулы приобретают частичную ориентацию (ориентации препятствует тепловое движение), и вектор поляризации становится отличным от
нуля. И в этом случае при не слишком больших полях . Рассмотренную группу явлений, приводящую к появлению в объеме диэлектрика отличного от нуля дипольного момента, называют диэлектрической поляризацией.
7. Вектор поляризации и связанные заряды
Плотность поляризационных зарядов определяется вектором поляризации. Рассмотрим для простоты объем однородного диэлектрика в форме прямоугольного параллелепипеда, помещенного в электрическое поле.
При этом диэлектрик поляризуется, и на его противоположных гранях S возникнут связанные заряды, с поверхностной плотностью . Величина дипольного момента всего объема диэлектрика при этом , где -вектор поляризации, - объем; с другой стороны, . Сопоставляя оба выражения: и , находим . В общем случае, если вектор поляризации не перпендикулярен поверхности, на которой возникает поляризационный заряд, то расчет показывает, что плотность связанного заряда численно равна нормальной составляющей вектора поляризации:
(15.7)
В большинстве диэлектриков поляризация неоднородна, поэтому в них появляются объемные поляризационные заряды q'. Вычислим теперь величину объемных поляризационных зарядов. Для этого в диэлектрике, помещенном в
электрическое поле, выделим произвольный объем V, ограниченный поверхностью S (рис.15.6). За счет поляризации внутрь площадки dS сместится отрицательный заряд согласно (15.7), равный . Через всю поверхность S внутрь объема V при поляризации поступит поляризационный заряд:
(15.8)
8. Электрическое поле в диэлектриках.
Поляризационные заряды диэлектриков создают свое поле , противоположное внешнему . Результирующее поле при этом .
рассмотрим для простоты частный случай поля между двумя плоскопараллельными пластинами, между которыми находится диэлектрик (рис.15.7). Результирующее поле при этом E=Eo+E’ или согласно (13.15) . Так как ,то отсюда следует, что
(15.9)
Величину называют отрицательной диэлектрической проницаемостью среды. Она показывает, во сколько раз поле в диэлектрике ослабляется по сравнению с вакуумом. Значения ее различны: дл газов ; для жидкостей 1,8 + 81 (вода), стекло 4 + 7, слюда 6 + 8 и т.д.
9. Теорема Гаусса для диэлектриков.
Электрическое смещение
Влияние диэлектрика на электрическое поле сводится к действию поляризационных зарядов. К диэлектрикам также можно применить формулу (13.4), добавив к свободным зарядам Q поляризационные q’:
(15.10)
Подставив сюда значение q’ из (15.8), получим
Введем новый вектор
(15.11)
который называют вектором электрического смещения или электростатической индукции. Тогда
(15.12)
Это и есть теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Как видно, поток вектора через замкнутую поверхность определяется только свободными зарядами.
Вектор не является силовой характеристикой поля. Это есть вспомогательная величина, с помощью которой определяется , этим и оправдывается введение вектора . Он связан простым соотношением с . Т.к. , то из (15.11) находим
(15.13)
10. Сегнетоэлектрики
Существует группа кристаллических диэлектриков ч- «сегнетоэлектрики», поляризуемость которых очень велика (104). Они обладают рядом особенностей. Вектор поляризации в таких диэлектриках определяется не только напряженностью поля, но и предшествующим состоянием образца. В них сохраняется остаточная поляризация.
|
Лекция 23 |
Электроёмкость. Конденсаторы. |
|
Энергия заряжённого проводника и конденсатора. Объёмная плотность энергии электрического поля. |
1. Электрическое поле заряженного проводника
Если к проводнику добавить или отнять у него часть электронов, то он оказывается заряженным отрицательно или положительно. Избыточные заряды могут перемещаться по проводнику только под действием внешнего поля. При равновесии заряда на заряженном проводнике направленное движение их отсутствует. Это означает, что поле внутри проводника равно нулю (Рис.16.1).
Отсутствие поля внутри проводника приводит к отсутствию и избыточного заряда внутри него (по теореме Гаусса), а также означает постоянство потенциала внутри проводника. Потенциал на поверхности проводника также постоянен, что следует из непрерывности потенциала как функции координат.
Электрические заряды располагаются лишь вдоль поверхности проводника с некоторой плотностью и создают вне его электрическое поле, напряженность которого пропорциональна плотности поверхностных зарядов.
2. Электроемкость
Увеличение заряда на проводнике пропорционально увеличению напряженности поля, что приводит в свою очередь к возрастанию потенциала проводника. Следовательно, потенциал проводника пропорционален его заряду:
(16.1)
Коэффициент пропорциональности между зарядом и потенциалом проводника С называют электроемкостью. Как следует из (16.1), емкость численно равна заряду, который надо сообщить уединенному проводнику, чтобы повысить его потенциал на единицу. Эта величина характеризует способность тел накапливать электрические заряды. Электроемкость проводника не зависит от материала проводника, а зависит от его формы и размеров, а также свойств среды, где находится проводник.
В СИ единица емкости 1 фарада . На практике пользуется долями этой единицы — 1 мкФ, 1 пкФ.
В СГС единица емкости 1СГСс=
Ее размерность совпадает с единицей длины — см.
3. Емкость проводящей сферы
Поле заряженной сферы обладает центральной симметрией, т.е. направление совпадает с направлением радиуса . По теореме Гаусса (r>R), откуда , т.е. поле напряженной сферы совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центр сферы. Вычислим потенциал заряженной сферы. Из формулы (14.7) находим (полагая ) , а если сфера находится в среде с диэлектрической проницаемостью , то (16.2). Сопоставляя (16.1) c (16.2), находим емкость сферы, находящейся в диэлектрике:
, (16.3)
4. Конденсаторы
На практике бывает необходимо иметь большие емкости, способные при небольшом потенциале накапливать значительный заряд. Это можно достигнуть, приблизив к данному проводнику другой. При этом под действием поля заряженного проводника на поднесенном к нему другом проводнике возникают индуцированные заряды противоположного знака, поле которых ослабляет потенциал данного. Такие устройства, основанные на свойстве проводника увеличивать свою емкость в присутствии других проводников, называются конденсаторами. Простейший конденсатор представляет систему из двух проводников, которые называют обкладками. В зависимости от их формы различают плоские, сферические, цилиндрические конденсаторы. Емкость конденсатора вычисляется по формуле
, (16.4)
где - потенциалы обкладок, Q - заряд обкладки.
Вычислим для примера емкость плоского конденсатора с площадью обкладок S, расстояния между ними d, между которыми находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью . Т.к. разность потенциалов между обкладками равна , то из (16.4) следует
, (16.5)
5. Энергия электростатического поля
Если соединить пластины заряженного конденсатора проводником, то начнется перемещение электрических зарядов, и конденсатор разрядится. Это связано с определенной работой, которую производят силы электрического поля. В результате энергии поля превратиться во внутреннюю энергию проводника – он нагревается. Подсчитаем эту работу, которая численно будет равна энергии электрического поля конденсатора W. При перемещении заряда q совершается работа , откуда
, (16.6)
Использовав (16.4), можно получить выражение для энергии электрического поля заряженного конденсатора:
, (16.7)
Энергию электрического поля конденсатора можно выразить через напряженность поля Е. Т. к. , то
, (16.8)
где - объем конденсатора.
Распределение энергии поля в пространстве характеризуется плотность энергии , где dW - энергия поля в малом объеме dV. Для однородного поля, как в плоском конденсаторе,
, (16.9)
|
Лекция 24 |
Электрический ток, его характеристика и условия существования. Обобщённый закон Ома. |
|
Разность потенциалов, электродвижущая сила, напряжение. Закон Джоуля – Ленца. Правила Кирхгофа. |
1. Электрический ток
Электрический ток есть упорядоченное движение электрических зарядов – носителей тока, заряд которых будем обозначать e.В металлах и полупроводниках — это электроны, в электролитах и ионизированных газах — положительные и отрицательные ионы. Ток, возникающий в проводнике, называют током проводимости. Для его появления и осуществления необходимо, во-первых, наличие носителей тока, во-вторых, наличие в среде электрического поля, за счет которого осуществлялось бы направленное движение зарядов.
Электрический ток может быть вызван также перемещением в
пространстве микроскопического заряженного тела – проводника или диэлектрика. Такой ток называют конвекционным.
За направление тока условно принимают напряжение движения положительных зарядов.
Основные свойства электрического тока следующие:
2. Сила и плотность тока
Количественной мерой электрического тока является сила тока (i,I)- количество электричества, переносимое через сечение проводника за единицу времени:
, (17.1)
Если сила тока и его направление не меняется, то ток называют постоянным, для него .
Единица силы тока в СИ – ампер (1A), 1A=1Кл/с
Для характеристики направления тока вводят вектор плотности тока () - вектор, по направлению совпадающий с движением положительных зарядов, а по величине равный заряду, прошедшему за единицу времени через единицу площади, перпендикулярную движению зарядов:
, (17.2)
Т.к. плотность заряда , а , то
(17.3)
3. Источники тока. Э.Д.С.
Электрический ток может существовать лишь в замкнутой цепи, в которой (Рис.17.1) можно выделить два участка: 1 а 2, где заряды движутся от большего потенциала к меньшему () - такое движение может быть вызвано электрическими силами – и 2 в 1, где заряды движутся от меньшего потенциала к большему. Ясно, что такое движение зарядов может быть обеспечено силами не электрического происхождения. Такие силы получили общее название сторонних сил. Они могут быть обусловлены химическими процессами, диффузией, магнитным полем и т.д. Устройство, в котором возникают сторонние силы, называют источником тока, например, гальванические элементы. Сторонние силы характеризуются работой, которую они совершают, перемещая по цепи заряды. Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единицы положительного заряда, называется электродвижущей силой (э.д.с.) источника тока:
(17.4)
Как видно, э.д.с. имеет такую же размерность, что и потенциал и измеряется в вольтах.
Действие сторонних сил характеризуют напряженностью поля сторонних сил , поэтому работа, совершаемая ими при перемещении заряда на участке 1-2, может быть представлена в виде , откуда
(17.5)
Если на участке цепи заряд перемещается как под действием сторонних, так и кулоновских сил, то полная работа при этом
Величина А/q, равная суммарной работе по перемещению единичного заряда, называется напряжением на данном участке цепи u. Из формул (14.6) и (17.4) следует, что
(17.6)
4. Закон Ома. Сопротивление проводников
Для каждого проводника существует зависимость между напряжением , приложенным к его концам, и силой тока i в нем: i=f(u). Для металлических проводников эта зависимость прямо пропорциональная:
(17.7)
Этот закон называют законом Ома. Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. В СИ единица сопротивления 1 Ом – сопротивление проводника, в котором при напряжении 1В течет ток 1А:1Ом=1В/1А. Величина сопротивления зависит от формы, размеров и материала проводника. Для цилиндрических проводников (проволоки)
(17.8)
где l - длина, S – сечение проволоки, - удельное сопротивление.
Величина называется удельной электропроводностью. Из закона Ома легко получаются формулы для последовательного (Рис.17.2) и параллельного (Рис.17.3) соединения проводников.
R=R1+R2
Для большинства металлов сопротивление при нагревании увеличивается по закону , где 0 - удельное сопротивление при 00С, . Однако для ряда металлов при низких температурах (критическая температура Ткр) сопротивление скачком падает до нуля. Это явление называют сверхпроводимостью (Камерлинг – Оинес, 1911 г.). Значение для разных металлов от 0,2 до 10 К.
Закон Ома (17.7) можно представить в другой форме, более удобной для решения физических задач о токах в проводящих средах.
Выделим небольшой объем проводника с током (Рис.17.4). Запишем для него закон Ома с учетом (17.8): . Т.к. - напряженность поля внутри проводника, то
(17.9)
Это соотношение называют дифференциальной формой закона Ома.
5. Законы Кирхгофа
Для решения практических задач на расчет электрических цепей пользуются правилами (законами) Кирхгофа.
Первое правило. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Это есть следствие закона сохранения заряда.
(17.10)
Узел – точка, где сходится не менее трех проводников.
Второе правило. В замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений силы тока на сопротивление соответствующего участка равна алгебраической сумме э.д.с.:
(17.11)
При этом ток и э.д.с. считается положительными, если их направление совпадает с направлением выбранного обхода контура. Для примера составим уравнение Кирхгофа для цепи, изображенной на рис.17.5
Для узла В:
Для контура А1ВА:
Для контура АВ2А:
6. Работа и мощность тока
Внешнее электрическое поле совершает работу над зарядами проводника. Если на концах участка проводника приложено напряжение u, то работа по переносу заряда на этом участке равна A=qu
Т.к. q=it, где t — время, то
A=iut (17.12)
Используя закон Ома (17.7), можно также получить
(17.13)
Сталкиваясь с частицами проводника, носители тока передают им свою энергию, которую они получают от поля. Поэтому работа электрического поля над зарядами переходит во внутреннюю энергию атомов проводника, т.е. происходит нагревание проводника. Выделяющееся тепло Q равно работе
(17.14)
Эта формула носит название Джоуля-Ленца.
Из формулы (17.14) можно получить выражение, характеризующее выделение тепла в различных местах проводника. Для этого, рассматривая малый объем проводника (Рис. 17.4), находим , где .
Количество, выделяющееся в единице объема за единицу времени, называют удельной мощностью тока , которая равна с учетом (17.9)
(17.15)
Эта формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
|
Лекция 25 |
Классическая электронная теория электропроводности металлов. |
|
Её опытные обоснования. Границы применимости закона Ома. |
1.Свободные электроны в проводниках
Прохождение тока в металлах не сопровождается изменениями химического состава проводника. Следовательно, ток в металлах обусловлен не перемещением атомов, а движением свободных электронов. Атомы в металлах частично диссоциированы на положительные ионы и электроны, которые могут свободно перемещаться в кристаллической решетке, образованной ионами. Эти электроны совершают хаотичное тепловое движение. Внешнее электрическое поле увлекает электроны в определенном направлении со скоростью направленного движения (дрейфовая скорость), и их перемещение образует электрический ток.
Такое предположение было подтверждено экспериментально (Рикке, 1901), качественно это положение доказали Мандельштам и Папалекси в 1913г., и решающий эксперимент поставили в 1916г. Стюарт и Толмен, измерив удельный заряд частиц (), осуществляющих проводимость металлов.
2.Свойства электронного газа
Объяснение свойств вещества существованием и движением в нем электронов составляет содержание электронной теории. Свободные электроны в металле рассматривают как электронный газ, подобный идеальному газу в молекулярной физике. Хаотичная скорость теплового движения электронов при этом составляет . Концентрация электронного газа соответствует концентрации атомов в металле, т.е. . Здесь — плотность, — молекулярная масса металла, NA — число Авогадро. Плотность тока в металле определяется формулой (17.3), из которой можно оценить величину u. Так, при максимально технически допустимой плотности тока j~107A/м2
u~10-210-3м/с, поэтому u<<VT и увеличение средней скорости теплового движения за счет внешнего поля несущественно.
3. Законы постоянного тока в электронной теории
С помощью модели электронного газа можно объяснить законы Ома и Джоуля-Ленца.
Если в металле имеется электрическое поле , то на электрон будет действовать сила , и он будет двигаться с ускорением , пока не столкнется с ионом. Средний путь, проходимый свободно движущимся электроном между двумя последовательными столкновениями с ионами решетки, называется средней длиной свободного пробега . Среднее время свободного пробега . Перед соударением скорость направленного движения будет равна . Т.к. из-за столкновений движение электрона хаотичное, за период между двумя столкновениями электрон движется со средней скоростью , и плотность тока при этом
(18.1).
Сопоставляя это с законом Ома (17.9) , получаем
(18.2)
Как видно в электронной теории плотность тока пропорциональна напряженности поля, как и на опыте; кроме того, эта теория позволила найти выражение для электропроводности металлов, из которого видно: с увеличением температуры электропроводность металлов уменьшается, т.к. , что наблюдается на опыте.
К концу свободного пробега электроны приобретают под действием внешнего поля кинетическую энергию
Вся эта энергия передается кристаллической решетке при соударениях и переходит в тепло. Количество тепла w, выделяющееся в единице объема металла за единицу времени, будет равно w=W·n·z, где n — концентрация электронов, — число столкновений электронов с ионами за 1с.
или с учетом (18.2) , что представляет собой закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
4. Пределы применимости электронной теории.
Как видно, электронная теория хорошо объясняет существование электрического сопротивления метало, законы Ома, Джоуля-Ленца, позволяет найти выражение для удельной электропроводности металлов. Эта теория объясняет и другие электрические и оптические свойства вещества.
Однако в некоторых вопросах эта теория дает расхождение с опытом.
Так, из опыта известно, что удельное сопротивление проводников
увеличивается прямо пропорционально температуре. Как видно из (18.2), , т.к. VT~. Т.о., теория дает лишь количественно согласие с опытом (рис.18.1). Другим примером служит теория теплоемкости электронного газа и теплоемкости кристаллической решетки. Поэтому теплоемкость металлов должна быть намного выше, чем у диэлектриков, у которых свободных электронов нет. Однако опыт не подтверждает этого.
Недостатки теории возникли вследствие того, что к электронам в металле нельзя применять законы механики Ньютона. Их движение подчиняется другим закономерностям, что рассматривает квантовая механика.
Однако электронная теория не утратила своего значения. Она позволяет во многих случаях быстро найти правильные ка чественные результаты в наглядной форме. Расхождение между электронной и квантовой теориями оказывается тем меньше, чем меньше концентрация электронов и выше температура. Поэтому при рассмотрении электронных явлений в газах и полупроводни ках, где концентрация электронов значительно меньше, чем в металлах, электронная теория может быть применима не только качественно, но и количественно.
Лекция 19. ТОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
1. Полупроводники
Наряду с металлическими проводниками существуют и провод ники другого типа. Как и у металлов проводимость у них элек тронная, и ток не сопровождается химическими изменениями. Однако концентрация электронов в них намного меньше, чем у металлов и сильно увеличивается с возрастанием температуры. Вещества такого типа называют электронными палупроводниками. Они занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками. Принято относить к ним вещества, удельная электропроводность которых лежит в пределах 10-8Ом-1м-1<<107Ом-1м-1. Полупроводниками являются многие элементы - кремний, германий, селен и др., а также многие химические соединения. Сильная зависимость электропроводности, а, следовательно, концентрации носителей тона от температуры в полупроводниках показыва ет, что в них электроны проводимости возникают под действием теплового движения. Взаимодействие между атомами в полупро водниках не достаточно для отщепления свободных электронов. Для этого электронам необходимо сообщить добавочную энергию W - энергию ионизации, которая берется за счет тепла. Так, для кремния она составляет 1,09эв , для германия 0,72эв . Энергия же теплового движения при комнатной температуре (Т~300К) составляет 0,025эв.
2. Собственная проводимость полупроводников
При отличной от нуля температуре часть электронов атомов полупроводника (валентные электроны) под влиянием запасенной тепловой энергии получают возможность отрываться от своих атомов и становятся электронами проводимости. С повышением температуры увеличивается интенсивность тепловых колебаний решетки кристалла, что приводит к дополнительному разрыву связей валентных электронов с атомами. Соответственно растет с температурой и проводимость полупроводников. Можно показать, что
(19.1)
где - удельная электропроводность при O0C, W- энер гия ионизации, К- постоянная Больцмана, Т- температура.
Такую проводимость называют электронной проводимостью. Разрыв валентной связи приводит к появлению вакантного места с отсутствующей связью,
что эквивалентно наличию поло жительного заряда, называемого "дыркой". Это дает возможность для дополнительного переноса за ряда. Какой-либо электрон может перейти на место дырки, но зато появится дырка в другом месте. В эту новую дырку может перейти дру гой электрон и т.д. Рассмотренный процесс получил название дырочной проводимости. Т.о., в полупровод никах имеются носители заряда двух типов - отрицательные электроны и положительные дырки. Участвуя в проводимости, дырка перемещается по полупроводнику в направлении внешнего поля. Схематично такой процесс изоб ражен на Рис. 19.1 для решетки германия, где двойные линий -валентные связи атомов. При данной температуре в полупроводнике устанавливается равновесная концентрация электронов и дырок.
3. Примесная проводимость полупроводников
При наличии примесей электропроводность полупроводников сильно изменяется. Например, миллионные доли мышьяка могут привести к увеличению проводимости германия при комнатной температуре в 1000 раз. Такое влияние примесей объясняется представлениями о строении полупроводников. Рассмотрим
для примера примесные атомы 5-валентного мышьяка в решетке 4-ва лентного германия (Рис. 19.2). "Лишний" пятый электрон фосфора легко отрывается от атома вследствие либо "теплового возбуждения, либо слабого внешнего поля, образуя свобод ный электрон проводимости. Об разование же дырки не проис ходит. Подобные примеси, вызывающие появление электронов проводимости, называют донорными примесями, а соответствующую проводимость полупроводников - электронной или проводимостью n - типа (negative- отрицательный).
Если примесный атом имеет валентность на единицу меньшую, чем атомы кристаллической решетки, тo недостающий электрон будет захвачен из соседних мест кристалла, в соответствующем месте образуется дырка, а атом примеси превратится в отрицательный ион. Например, 3- валентный атом бора в 4 -валентной решетке кремния (рис.19.3). В этом случае электрический ток будет обус ловлен движением дырок, а не электронов. Такие примеси, вызывающие появление дырок, называют акцепторными примесями, а проводимость полупроводников -проводимостью р-типа - дырочной (positiv - положительный).
Носители заряда, представленные в большинстве, называются основными.
Если же концентрации электронов и дырок сравнимы, то проводимость называют смешанной.
В этом случае плотность тока определяют по формуле
где nе, nр - концентрации электронов и дырок, Vе,Vр - их дрейфовые скорости. Как правило, скорость дрейфа носителей тока обычно пропорциональна напряженности поля, и ее выражают формулой
V=UE, (I9.2)
где Е - напряженность электрического поля, U - подвижность частицы или средняя скорость движения под действием поля с напряженностью, равной единице.
Поэтому для плотности тока в полупроводнике имеем
(19.5)
Этa формула есть закон Ома для полупроводника.
4. Применение полупроводников
Полупроводники широко применяются в технике. На различ ной проводимости (р- и n-типа) основано действие полупровод никового диода. При контакте полупроводников с р- и n-проводимостью при определенном направлении тока в цепи создается запорный слой (Рис.19.4) - двой ной электрический слой, поле
ко торого препятствует переносу но сителей заряда. На этом и основа но действие полупроводникового диода, служащего для выпрямления переменного тока. Одними из пер вых получили распространение се леновые выпрямители.
Помимо диодов в радиотехнике широко применяются и полу проводниковые триоды - транзисторы, в которых имеется два р-n перехода: либо р-n-р , либо n-р-n.
Сильная зависимость полупроводников от температуры используется в термисторах - высокочувствительных приборах для измерения температуры.
Среди многочисленных применений полупроводников является также солнечные батареи, действие которых основано на фотопроводимости полупроводников - способности изменять сопротивление под действием света (явление подобное фотоэффекту, происходящему целиком внутри твердого дела).
|
Лекция 27 |
Магнитное поле и его индукция. Закон Ампера. Закон Био-Савара-Лапласа. |
|
Магнитное поле прямого проводника с током и кругового тока. Магнитный момент витка с током. |
1. Магнитные силы
Магнитные свойства веществ были известны еще в глубокой древности. Описываемый древними учеными камень, притягивающий железо, представляет собой естественный магнит - минерал, до вольно часто встречающийся в природе. Он состоит из соединений железа (FeO- 31% и Fe2O3- 69%). Уже в 1600 г. вышел труд В.Гильберта "О магните, магнитных телах и о великом магните Земли", в котором содержалось обобщение большого числа опытных фактов. Основные из них сводились к следующему:
1) магнит имеет два полюса - северный и южный, различные по своим свойствам,
2) разноименные полюсы притягиваются, одноименные отталкиваются;
3) магнитная стрелка располагается в пространстве определенным образом, указывая север к юг;
4) нельзя получить магнит с одним полюсом;
5) Земля - большой магнит.
Природа магнитных явлений была раскрыта лишь после уста новления в 19 веке экспериментальных фактов, что электрический ток (движущиеся заряды) создают магнитное поле (Р.Эрстад,1820г.) Изучение взаимодействия проводников с токами, в результате чего было установлено, что параллельные токи одного направления притягиваются, а противоположного отталкиваются (Я.Ампер, I820г.), привело к выводу, что силы взаимодействия между движущимися электрическими зарядами отличаются от сил взаимодействия между неподвижными зарядами.
Дополнительные силы, возникающие между движущимися зарядами, назвали магнитными силами. Это связано о тем, что их об наружили по воздействию тока на магнитную стрелку.
Т.о., все магнитные мления можно свести к электрическим, а магнитные силы, как показал Эйнштейн, есть релятивистская поправка к закону Кулона.
Пока в проводниках тока нет, между ними не возникают силы взаимодействия, т.к. положительный заряд ионов кристалличес кой решетки металла и отрицательный заряд электронов распре делены равномерно и суммарный заряд внутри проводника равен нулю. При наличии тока, вследствие движения электронов, среднее расстояние между ними сокращается в раз, где
V - дрейфовая скорость электронов. В результате плотность заряда электронов увеличится в раз и, следователь но, результирующий заряд не будет равен нулю. Это и приводит к взаимодействию проводников.
2. Взаимодействие между движущимися зарядами
Если два электрических заряда q и Q движутся парал лельно друг другу со скоростью V (Рис. 20.1), то можно по казать, что результирующая сила
взаимодействия между ними будет равна
(20.1)
где С=108м/с - скорость света в вакууме. Она складывается из чис то кулоновской силы и магнитной силы взаимного притяжения
(20.2)
где - магнитная постоянная. Сравнение Fе и Fm показывает, что магнитная сила значительно меньше электрической: Fm/Fg=V2/c2~10-24! Однако в обычном проводнике заряд электронов проводимости составляет порядка 105 Кл/м, и перемещение такого громадного за ряда вызывает действие магнитных сил между проводниками.
3.Вектор индукции магнитного поля
Формулу (20.2) можно записать в виде
(20.3)
где величина В называется индукцией магнитного поля.
(20.4)
Точно так же, как для описания электростатического взаимодействия, ввели понятие электрического поля - пространства, окружающего неподвижный заряд Q (источник поля): для описания магнитного взаимодействия вводят понятие мaгнитного поля пространства, окружающего движущийся заряд Q. Оно обладает особым свойством - в любой его точке на другой движущийся заряд q действует магнитная сила. Т.о., магнитное поле порождается движущимися зарядами. Это также пространство вокруг проводников с током, вокруг постоянных магнитов, т.к. в них также имеются движущиеся электроны, входящие в состав атомов.
Вектор индукции В является силовой характеристикой магнитного поля, так же как напряженность Е - силовая характеристика электрического поля.
Величину индукции можно определить как магнитную силу, действующую на единичный заряд, движущийся со скоростью V перпендикулярно В:
(20.5)
Единица индукции в СИ 1 тесла (Т) — индукция магнитного поля в точке, где на заряд 1 Кл, движущийся со скоростью 1 м/с, действует сила 1 Н (1Т=Н∙с/Кл∙м=В∙с/м2). Определим направление вектора индукции. Т.к. при движении заряда Q со скоростью возникает магнитная сила, перпендикулярная
его скорости, то на движущийся заряд q, находящийся в направлении, перпендикулярном , действует Fm=Fmax, а если q движется вдоль направления , то Fm=0 (Рис.20.2). Следовательно В=f(α), где . Причем , значит величина В зависит от sinα, и для индукции магнитного поля, созданного точечным зарядом для произвольного направления, можно записать:
(20.6)
или в векторном виде:
(20.7)
Т.е. вектор лежит в плоскости, перпендикулярной плос кости, где лежат и , и образует о ними правовинтовую систему .(Рис. 20.3), а силовые линии магнитного поля представляют концентрические окружности, охватывающие движущийся заряд. Поле движущегося заряда было об наружено экспериментально (Роуланд 1877, А.А.Эйхенвальд 1901, А.Ф.Иоффе I9II).
4. Сила Лоренца
На заряд, движущийся со скоростью V в магнитном поле с индукцией В будет действовать согласно формуле (20.5) сила
(20.8)
Она называется силой Лоренца. Ее направление составляет право-винтовую систему со скоростью движения положительного заряда V и индукцией В (Рис.20.4). Если заряд отрицательный, то сила Лоренца имеет противоположное направление.
Величина силы Лоренца равна
(20.9)
где .
Т.к. сила Лоренца F перпендикулярна плоскости, где находится V и B, то
сила Лоренца перпендикулярна скорости и поэ тому работы не совершает: , где и ΔА=0. Действие этой силы приводит лишь к искривлению траектории движения заряженных частиц в магнитном поле.
5. Магнитное поле проводника с током. Закон Био-Савара-Лапласа
Если по проводнику течет ток, то вокруг него возникает магнитное поле. Индукцию такого поля можно определить, исходя из формулы (20.6). Для этого введем понятие элемента тока. Элемент тока определяется как произведение силы тока в про воднике l на элемент длины проводника Δl. Элемент тока
(20.10)
Как видно, движущийся заряд q математически эквивалентен элементу тока. Направление тока совпадает с направлением тока в проводнике. поэтому и силы, действующие на токи, не что иное как силы, действующие между движущимися зарядами. Поста вим (20.10) в (20.6):
(20.11)
Эта формула определяет индукцию магнитного поля, созданного элементом тока на расстоянии r от него (Рис. 20.5). Она выража ет закон Био-
Савара-Лапласа. С его помощью можно вычислять ин дукцию магнитных полей, создан ных токами различной конфигура ции. Для удобства вычислений (20.11) записывают в дифферен циальной форме:
(20.12)
или в векторном виде:
(20.13)
Если магнитное поле создано несколькими токами, тo результирующее поле находят как векторную сумму отдельных полей. Т.о., как и для электрического поля, так и для магнитного поля спра ведлив принцип суперпозиции:
(20.14)
6. Магнитное поле токов
Пользуясь законом Био-Савара-Лапласа, найдем индукцию маг нитного поля в точке А (Рис. 21.1) на расстоянии х от оси провода, длина которого
значительно больше х. Индукция элемента проводника dl определяется формулой (20.12). Как видно из .
Подставив эти выражения в (20.12), находим . Полная индукция магнитного поля
(21.1)
Вычислим теперь индукцию магнитного поля кругового тока (Рис.21.2). В этом случае все элементы проводника dl перпендикулярны радиусу-вектору R и
поэтому sin=1. Формула (20.12) для этого случая имеет вид .
Все элементы dl создают магнитное поле одного направле ния в центре витка:
(21.2)
Индукция поля вдоль оси будет уменьшаться по мере удале ния от центра. На некотором расстоянии х от центра формула для индукции поля имеет вид
(21.3)
В случае кругового тока индукция определяется не только током, а произведением тока на площадь витка S. Величину
Pm=iS (21.4)
называют магнитным моментом контура. Это величина векторная. Направление Рm,
совпадает с направлением внешней нормали к плоскости витка (Рис. 21.3)
(21.5)
7. Действие магнитного поля на проводники c током
Как говорилось, на движущийся электрический заряд в магнитном поле действует сила Лоренца. Т.к. ток в проводнике есть со вокупность движущихся зарядов, то на отрезок проводника Δl будет действовать сила. Заменяя в формулах (20.8) и (20.9) qV элементом тока iΔl, получаем силу, действующую на проводник Δl c током в магнитном поле
(21.6)
или (21.7).
Эти формулы выражают закон Ампера. Направление этой силы определяют как и направление силы Лоренца. Если в магнитном поле с индукцией Б находится контур с током (Рис. 21.4), то на каждую его сторону будет дей
ствовать сила Ампера. Силы, дей ствующие на стороны а, перпендикулярны к ним и к полю, поэ тому они направлены вертикально и лишь деформируют контур. Сто роны b перпендикулярны к В и на каждое из них действует сила Ампера F=ibB (sinα=1). Эти силы стремятся повернуть виток так, чтобы его плоскость была перпендикулярна В. В результате появляется пара сил, момент которой равен
где - плечо пары. Т.к. , а , тo
(21.8)
или в векторной форме
(21.9)
т.e. в однородном магнитном поле на контур с током действует вращающийся момент, пропорциональный магнитному моменту конту ра и индукции поля. Его максимальное значение Мmax при . Из формулы (21.8) можно определить индукцию магнитного поля как отношение вращательного момента, действующего в магнит ном поле, на контур к магнитному моменту контура площадью S с током i:
(21.10)
Пользуясь законом Ампера, можно также найти силу взаимо действия между параллельными про водниками с токами (Рис. 21.5). Индукция магнитного поля, созда ваемая проводником 1, там, где находится проводник 2, определяетcя
формулой (21.1):
Вектор индукции В1 перпендикулярен проводу 2, поэтому сила, действующая на проводник 2, равна
(21.11)
Такое же выражение получится, если вычислять силу, дей ствующую на проводник I. Обычно вычисляют силу, действующую на единицу длины, т.е. :
(21.12)
На основании этой формулы устанавливается основная единица силы тока в СИ - ампер (А): 1 А - сила неизменяющегося тока, который при прохождения по двум параллельным прямоли нейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого сечения, расположенным в вакууме на расстояний 1 м друг от друга, вызвал бы между ними силу, равную H на каждый метр длины.
|
Лекция 28 |
Циркуляция вектора магнитной индукции в вакууме. Поле соленоида и тороида. |
|
Магнитный поток, теорема Гаусса для магнитного поля. |
1. Магнитный поток
Поток вектора магнитной индукции вводится как и в элек тростатике для характеристики интенсивности поля. Его опреде ляют как полное число магнитных силовых линий, пронизывающих площадь S , перпендикулярную линиям. Для прямоугольной площад ка и однородного поля
(21.13)
В общем случае для произвольной поверхности
(21.14)
Единица магнитного потока имеет специальное название. В CИ единица магнитного потока вебер (Вб):
Для замкнутой поверхности
(21.15)
Формула (21.15) выражает теорему Гаусса для магнитного поля. Этот результат есть следствие замкнутости магнитных си ловых линий, что существенно отличает свойства магнитного по ля от электрического. Физические поля с замкнутыми силовыми линиями называют соленоидальными.
2. Работа магнитного пола по перемещению проводника о током
На проводник с током в магнитной пола действует сила Ампера, под действием которой он перемещается. Вычислим работу, совершаемую такими силами при перемещении проводника.
Пусть отрезок проводника Δl c током перемещается в магнитном поле с индукцией В на расстояние Δх (Рис.21.6). Вектор В можно разложить на и .
Т.к. сила Ампера всегда перпендикулярна полю, тo сос тавляющая вызывет силу, пер пендикулярную перемещению Δх, и работа этой составляющей будет равна нулю. Поэтому
где ΔS - площадь, описываемая при движении проводника. Окончательно
(21.16)
3. Закон полного тока
Поскольку магнитные силовые линии являются замкнутыми, то соотношение между током и вызванным им магнитный полем характеризуют не потоком магнитной индукции, а циркуляцией вектора магнитной индукции вдоль замкнутой кривой. Для простоты рассмотрим магнитное поле бесконечного прямолинейного про водника с током (Рис. 21.7). Линии магнитной индукции в этом случае являются концентрическими окружностями, лежащими в плоскос ти, перпендикулярной току. В этом случае циркуляция равна. Т.к. b во всех
точках направлен по касательной, тo α=0, а :
(21.17)
Этот результат справедлив для любого произвольного контуpa, который охватывает токи. Если внутри контура имеется несколько токов, то
(21.18)
формулы (21.17) и (21.18) выражают закон полного тока или теорему о циркуляции вектора В.
Для магнитного поля циркуляция вектора магнитной индук ции вдоль замкнутого контура равна произведению μ0 на алгеб раическую сумму токов, охватываемых этим контуром.
Эта теорема выражает один из основных законов магнетизма. Сопоставляя этот результат с условием потенциальности электро статического поля - формула (14.2), видно также, что магнитное поле не является потенциальным. Такие поля называют вихревыми.
Применим формулу (21.17) для вычисления индукции магнит ного поля на оси тонкого соленоида - систему круговых токов, диаметр которых много меньше
длины (Рис. 21.8). Индукция внутри такого соленоида направлена вдоль его оси. Применяя (21.17) к прямоугольному контуру 1-2-3-4, имеем
(21.19)
Т.к. поле сосредоточено внутри соленоида, а на участках 1-2 и 3-4 В перпендикулярен участкам контура и , то из (21.19) получаем
где l - длина соленоида, N- число витков соленоида.
Итак,
(21.20)
где n - число витков, приходящихся на единицу длины.
|
Лекция 30 |
Явление и закон электромагнитной индукции – его выводы на основе закона сохранения энергии и электронной теории. |
|
Самоиндукция и индуктивность. Взаимная индукция. Объёмная плотность энергии магнитного поля. |
1.Основной закон электромагнитной индукции
В 1851г. Фарадеем было сделано одно из фундаментальных открытий в электродинамике, которое получило название электромагнитной индукции. Это явление заключается в следующем: при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый проводящий контур, в нем возникает электродвижущая сила (э.д.с. индукции). Электрический ток , вызванный этой э.д.с., называют индукционным током.
Возбуждение электрического тока при движении проводника в магнитном поле объясняется действием силы Лоренца. Пусть проводник АВ, в котором име ются отрицательные и положитель ные заряды, движется в магнитном поле со скоростью V перпенди кулярно В (Рис.22.1). На каждый движущиеся заряд будет
действовать сила Лоренца . В результате в проводнике будет происходить разделение зарядов. Сила Лоренца в этом случае играет роль сторонней силы, а соответствующая напряженность стороннего поля равна . Э.д.с., создаваемая этим полем, и называется э.д.с, индукции , т.к. согласно (17.5) , то . Знак "-" поставлен потому, что напряженность возникающего стороннего поля в проводнике противоположна электростатическому (разделение зарядов проис ходит пока ). Величина lV есть приращение площади, описываемой проводником при движении. Поэтому . Таким образом,
(22.1)
Эта формула выражает основной закон электромагнитной индукции: э.д.с. индукции равна скорости изменения магнитного потока.
К формуле (22.1) можно прийти также с помощью закона сохранения энергии (Г.Гельмгольц, 1847). Так, при движении замкнутого витка с э.д.с. ε в магнитном поле за время dt силы Ампера совершают работу idФ, в витке выделяется тепло i2Rdt, а работа источника тока при этом εidt. Тогда на оснований закона сохранения энергии запишем
,
откуда
(22.2)
Т.о., в движущемся витке ток определяется не только э.д.с. источника тока. К ней добавляется величина - dФ/dt , что и представляет собой э.д.с. индукции.
Формула (22.1) применима не только к отдельному контуру или витку, но и к катушке, в которой имеется N витков. В этом случае
(22.3)
Здесь - суммарный магнитный поток, пронизывающий все витки. Его называют потокосцеплением.
2. Правило Ленца
Закон электромагнитной индукции определяет не только ве личину, но и направление индукционного тока. Так, если - поток магнитной индукции, пронизывающий плоскость витка, возрастает, то это вызывает εi, действующую в направлении отрицательного обхода контура. Таким образом, индук ционный ток
всегда имеет такое направление, что он ослабляет дей ствие причины, возбуждающей его появление. Это правило впервые было сформулировано Ленцем. На Рис.22.2 поясняется действие этого правила. При возрастании магнитного потока поле Bi направлено навстречу внешнему полю B , что и определяет направление индукционного тока.
3. Возникновение индукционного тока в витке
При поступательном движении витка в однородном магнитном поле поток магнитной индукции, пронизывавший его плоскость, не меняется, поэтому и εi=0.
Если же виток вращается вокруг оси, не параллельной B, то в этом случае при его вращении магнитный поток, пронизыва ющий его плоскость, непрерывно меняется (Рис.22.3). Если угло вая скорость ω, тo и . Подставив это в (22.1), находим
(22.4)
Т.о., в витке, равномерно вращающемся в магнитном поле, возбуждается э.д.с. индукции, изменяющаяся по гармоническому закону
(22.5)
Это и явилось основой для созданий генераторов перемен ного тока. Под действием εi в витке возникает индукционный ток, также изменяющийся по гармоническому закону
(22.6)
4. Явление самоиндукции
Э.д.с. индукции может возникать в контуре (проводе) и без воздействия внешнего магнитного поля. Она может возникать под воздействием меняющегося тока, текущего в самом контуре. Это явление получило название самоиндукции.
Если в контуре течет ток i, то он создает индукцию поля В, линии кото рого пересекают плоскость конту ра (Рис.22.4). При этом магнит ный поток Ф через площадь контура как и В будут пропорцио нальны току:
Ф=Li (22.7)
Коэффициент L не зависит от силы тока. Он определяется конфигурацией контура (провода) и называется его индуктивностью. Его называют также самоиндукцией или коэффициентом само индукции. Для примера вычислим индуктивность тонкого солено ида. Если его длина l, общее число витков N, площадь од ного витка S, то индукция внутри соленоида равна
Магнитный поток через один виток равен BS, а через все N витков
Сопоставляя эту формулу с (22.7), находим
(22.8)
где n=N/l - число витков на единицу длины.
В СИ единица индуктивности генри (1Г) - индуктивность контура (провода), который при токе 1 А создает магнитный по ток 1 Вб: 1Г=1Вб/1А.
При изменении тока в контуре из (22.1) и (22.7) находим возникающую э.д.с., которую называют э.д.с. самоиндукции εS:
(22.9)
т.e. э.д.с. самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока в контуре.
5. Магнитная проницаемость вещества
Опыт показывает, что индуктивность контура зависит и от свойств среды, в которой он находится. Так, если в соле ноид вдвинуть железный сердечник, то его индуктивность намного возрастет. Величину равную
(22.10)
где L0- индуктивность контура в вакууме, a L - в среде, называют магнитной проницаемостью вещества.
6. Энергия магнитного поля
При размыкании цепи (Рис. 22.5) в ее замкнутом участке аГbа некоторое время будет течь ток за счет самоиндукции - экстраток размыкания I. Работа , совершаемая этим током за время dt, равна ,
откуда
(22.11)
Эта работа идет на нагревание проводников и сопровожда ется исчезновением магнитного поля. Т.о., проводник с индуктив ностью L , по которому идет ток i, обладает энергией, сосредоточенной в окружающем его магнитном поле:
(22.12)
Выразим эту энергию через индукцию магнитного поля. Для этого найдем энергию магнитного поля внутри соленоида, для которого , здесь V=lS - объем. Подставляя эти выражения a (22.12), находим
(22.13)
Для однородного поля плотность энергии равна
(22.14)