Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции, линии магнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса.
Магнитное поле и его характеристики. При прохождении электрического тока по проводнику вокруг него образуется магнитное поле. Магнитное поле представляет собой один из видов материи. Оно обладает энергией, которая проявляет себя в виде электромагнитных сил, действующих на отдельные движущиеся электрические заряды (электроны и ионы) и на их потоки, т. е. электрический ток. Под влиянием электромагнитных сил движущиеся заряженные частицы отклоняются от своего первоначального пути в направлении, перпендикулярном полю (рис. 34).Магнитное поле образуется только вокруг движущихся электрических зарядов, и его действие распространяется тоже лишь на движущиеся заряды. Магнитное и электрические поля неразрывны и образуют совместно единое электромагнитное поле. Всякое изменение электрического поля приводит к появлению магнитного поля и, наоборот, всякое изменение магнитного поля сопровождается возникновением электрического поля. Электромагнитное поле распространяется со скоростью света, т. е. 300 000 км/с.
Рис. 34. Схемы действия магнитного поля на движущиеся электрические заряды: положительный ион (а) и электрон (б).
Вектор магнитной индукции (В) – аналог напряженности электрического поля. Основной силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции.
Направление этого вектора для поля прямого проводника с током и соленоида можно определить по правилу буравчика: если направление поступательного движения буравчика (винта с правой нарезкой) совпадает с направлением тока, то направление вращения ручки буравчика покажет направление линий магнитной индукции. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линиям.
Линии магнитной индукции. Это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора магнитной индукции. Силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Их направление определяется правилом « правой руки» или правилом буравчика.
Поток вектора магнитной индукции, пронизывающий площадку S - это величина, равная:
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) измеряется в веберах (Вб)
Магнитный поток - величина скалярная.
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) равен числу линий магнитной индукции, проходящих сквозь данную поверхность.
Теорема Гаусса для магнитной индукции:
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:
2. Движение заряженных частиц в магнитном и электрическом полях.
Электрические и магнитные поля действуют на движущиеся заряженные частицы с известной силой. Поэтому эти поля могут использоваться для управления движением заряженных частиц. Потоки движущихся заряженных частиц широко используются в различных приборах, принципы действия и применения некоторых из них мы рассмотрим в данном параграфе.
Описание движения заряженной частицы проводится на основании второго закона Ньютона, уравнение которого имеет вид
где qE − сила, действующая на частицу с электрическим зарядом q со стороны электрического поля; qv x B − сила Лоренца, действующая на частицу со стороны магнитного поля. В общем случае напряженность электрического поля E и индукция магнитного поля B могут зависеть от координат (в неоднородных полях) и времени (в нестационарных полях). Для однозначного решения уравнения (1) его необходимо дополнить начальными условиями: положением частицы ro и скоростью vo в некоторый момент времени to.
При описании распространения потоков частиц в некоторых случаях необходимо также учитывать взаимодействия частиц между собой, или принимать во внимание зависимость характеристик полей от положения и скоростей других частиц. Наконец, при записи уравнения (1) принято, что частицы движутся в вакууме, где отсутствуют силы сопротивления среды. Движение частиц в средах, обладающих сопротивлением, описываются в рамках уравнений для электрического тока. При движении частиц в электромагнитном поле, как правило, пренебрегают действием силы тяжести, которая обычно значительно меньше электромагнитных сил.
Записанное уравнение движения справедливо для частиц, движущихся со скоростями, значительно меньшими скорости света. В противном случае необходимо использовать релятивистские уравнения движения теории относительности.
Рассмотрим некоторые частные простейшие случаи решения уравнения (1) для частиц, движущихся в стационарных полях
3.Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции для поля в вакууме. Магнитное поле соленоида и тороида (с выводом).
Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл
где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, Bl=Bcosa — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a — угол между векторами В и dl.
Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):
циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:
(118.1)
где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис. 173,
Выражение (118.1) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.
Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 174). Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равна
Согласно выражению (118.1), получим В×2pr=m0 I(мю)(в вакууме), откуда
Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше (см. (110.5)).
Сравнивая выражения (83.3) и (118.1) для циркуляции векторов Е и В, видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.
Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био - Савара - Лапласа.
Соленоид
Соленоид и тороид.
Соленоид представляет цилиндрический каркас, на который намотаны витки проволоки. Рассмотрим бесконечно длинный соленоид, т.е. соленоид у которого l >> d, где l- длина, d – диаметр соленоида. Внутри такого соленоида магнитное поле однородно. Однородным называется поле, силовые линии которого параллельны и густота их постоянна.
Применим закон полного тока для вычисления напряженности магнитного поля соленоида. Представим контур L, по которому рассматривается циркуляция вектора Н, состоящим из четырех связанных участков 1-2; 2-3; 3-4; 4-1. Тогда циркуляция вектора Н по выбранному нами контуру L будет равна
.
.
, т.к. и, следовательно, ,,
, т.к. мы выбрали участок 3-4 достаточно далеко от соленоида и можно считать, что поле вдали от соленоида равно нулю,
, т.к . и, следовательно, .
Контур L охватываетN токов, где N – число витков соленоида, тогда по закону полного тока
;
- магнитное поле бесконечно длинного соленоидаТороид!
n – плотность намотки – число витков на единицу длины .
Напряженность поля внутри соленоида равна числу витков, приходящихся на единицу длины соленоида, умноженному на силу тока.
Тороид – тор, с намотанными на него витками проволоки. В отличие от соленоида, у которого магнитное поле имеется как внутри, так и снаружи, у тороида магнитное поле полностью сосредоточено внутри витков, т.е. нет рассеивания энергии магнитного поля.
,
где . .
– магнитное поле тороида.
Если R >>Rвитка, то R ≈r и H = nl.
4. Магнитное поле в веществе. Механизмы намагничения магнетиков. Вектор намагниченности и его связь с напряженностью магнитного поля для слабых магнетиков. Закон полного тока для магнитного поля в веществе. Напряжённость магнитного поля.
Физическая величина, показывающая, во сколько раз индукция магнитного поля в однородной среде отличается по модулю от индукции магнитного поля в вакууме, называется магнитной проницаемостью:
|
|
Магнитные свойства веществ определяются магнитными свойствами атомов или элементарных частиц (электронов, протонов и нейтронов), входящих в состав атомов. В настоящее время установлено, что магнитные свойства протонов и нейтронов почти в 1000 раз слабее магнитных свойств электронов. Поэтому магнитные свойства веществ в основном определяются электронами, входящими в состав атомов.
Магнитные свойства веществ определяются магнитными свойствами атомов или элементарных частиц (электронов, протонов и нейтронов), входящих в состав атомов. В настоящее время установлено, что магнитные свойства протонов и нейтронов почти в 1000 раз слабее магнитных свойств электронов. Поэтому магнитные свойства веществ в основном определяются электронами, входящими в состав атомов.Одним из важнейших свойств электрона является наличие у него не только электрического, но и собственного магнитного поля. Собственное магнитное поле электрона называют спиновым (spin – вращение). Электрон создает магнитное поле также и за счет орбитального движения вокруг ядра, которое можно уподобить круговому микротоку. Спиновые поля электронов и магнитные поля, обусловленные их орбитальными движениями, и определяют широкий спектр магнитных свойств веществ.Вещества крайне разнообразны по своим магнитным свойствам. У большинства веществ эти свойства выражены слабо. Слабо-магнитные вещества делятся на две большие группы – парамагнетики и диамагнетики. Они отличаются тем, что при внесении во внешнее магнитное поле парамагнитные образцы намагничиваются так, что их собственное магнитное поле оказывается направленным по внешнему полю, а диамагнитные образцы намагничиваются против внешнего поля. Поэтому у парамагнетиковμ > 1, а у диамагнетиков μ < 1.
Рисунок . Парамагнетик (1) и диамагнетик (2) в неоднородном магнитном поле.
Магн. проницаемость μ ферромагнетиков не является постоянной величиной; она сильно зависит от индукции B0 внешнего поля. Типич. завис-сть μ (B0) приведена на рис. снизу.. В таблицах обычно приводятся значения максимальной магнитной проницаемости.
Непостоянство магнитной проницаемости приводит к сложной нелинейной зависимости индукции B магнитного поля в ферромагнетике от индукции B0 внешнего магнитного поля. Характерной особенностью процесса намагничивания ферромагнетиков является так называетмый гистерезис, то есть зависимость намагничивания от предыстории образца. Механизм намагничивания ферромагнетиков оказывается довольно сложным, и полный цикл намагниченности ферромагнетиков описывается петлей гистерезиса. Кривая намагничивания B (B0) ферромагнитного образца представляет собой петлю сложной формы, которая называется петлей гистерезиса
Напряжённость магнитного поля, векторная физическая величина (Н), являющаяся количественной характеристикой магнитного поля. Н. м. п. не зависит от магнитных свойств среды.НАПРЯЖЁННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ - аксиальный вектор H(r, t), определяющий [наряду с вектором магнитной индукции B(r, t)] свойства макроско-пич. магн. поля. В случае вакуума двухвекторное описание магн. поля является чисто формальным, поэтому в гауссовой системе единиц в вакууме B=H, хотя, в силу традиций, и измеряются в единицах с разным наименованием: В - в гауссах (Гс), a H - в эрстедах (Э). В СИ сохраняется различие и для вакуума: B= m0 H, где m0 - магнитная постоянная .Измеряется H. м. п. в СИ в амперах на метр (А/м), 1 A/м = = 4p.10-3Э. В соответствии с первым Максвелла уравнением источниками H. м. п. являются электрич. токи (проводимости, смещения и т. п.):где j, jCM - плотность тока, переносимого зарядами, и плотность тока смещения, D - вектор электрической индукции (здесь и далее применяется гауссова система единиц). В среде могут также присутствовать токинамагничивания с плотностью jм, связанные с индуцированной и (или) спонтанной намагниченностью M; jм = с[M]. Эти токи и обусловливают различие векторов поля В и H:
Закон полного тока для магнитного поля в веществе утверждает, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура L равна алгебраической сумме макротоков сквозь поверхность, натянутую на этот контур: (6.3.6) Выражение (6.3.6) – это закон полного тока в интегральной форме. В дифференциальной форме его можно записать: Намагниченность изотропной среды с напряженностью связаны соотношением: где – коэффициент пропорциональности, характеризующий магнитные свойства вещества и называемый магнитной восприимчивостью среды. Он связан с магнитной проницаемостью соотношением
5)
Магнетики подразделяются на слабомагнитные и сильномагнитные вещества. К слабомагнитным относятся парамагнетики и диамагнетики, к сильномагнитным – ферромагнетики.
Диамагнитные свойства наблюдаются у веществ, атомы которых имеют магнитный момент равный нулю, например, большинство органических соединений, углекислый газ.
Электрон, движущийся по орбите, подобен волчку. Под действием магнитного поля, индукция которого составляет угол с осью орбиты электрона,возникает прецессияэлектронной орбиты с Ларморовой частотой , которая одинакова для всех электронов. Такие индуцированные (наведённые) круговые токи создают собственное магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле, поэтому у диамагнетиков .
Парамагнитные свойства наблюдаются у веществ атомы, которых имеют отличный от нуля суммарный магнитный момент , например, платина (Pt), алюминий (Al), эбонит, воздух. Магнитное поле стремится установить магнитные моменты вдоль , тепловое движение – их разориентировать. В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация магнитных моментов вдоль поля, тем большая, чем больше и тем меньшая, чем выше температура. Кюри экспериментально установил закон, согласно которому восприимчивость парамагнитного вещества(17.6)
где С – постоянная Кюри, зависящая от рода вещества; Т – абсолютная температура.
Классическая теория парамагнетизма разработанная Ланжевеном подтвердила закон Кюри (17.6). В парамагнетиках наблюдается и диамагнитный эффект, но он значительно слабее парамагнитного и им можно пренебречь.
3. Ферромагнетики и их свойства. Природа ферромагнетизма
Ферромагнетики – сильномагнитные вещества, обладающие спонтанной намагниченностью, например, железо, никель, кобальт, гадолиний, их сплавы и соединения.
Наряду с этим свойством, для ферромагнетиков характерно: 1) кристаллическое строение; 2) большие положительные значения магнитной проницаемости (до сотен тысяч: для железа – 5000, для сплава супермаллоя – 800000), а также нелинейная её зависимость от напряженности Н магнитного поля и температуры; 3) способность намагничиваться до насыщения при обычных температурах уже в слабых полях; 4) гистерезис – зависимость магнитных свойств от предшествующего магнитного состояния ("магнитной истории"); 5) точка Кюри, т. е. температура, выше которой материал теряет ферромагнитные свойства, превращаясь в обычный парамагнетик.
На рисунке 17.2 показана зависимость индукции магнитного поля B от напряженности Н, намагниченности J и магнитной проницаемости от Н для мягкого железа.
На рисунке видно, что В и J растут вначале быстро с увеличением напряженности намагничивающего поля, затем их рост замедляется, а, начиная с некоторого значения , намагниченность достигает практически предельного значения . Это состояние Столетов назвал магнитным насыщением. Индукция после достижения магнитного насыщения растет пропорционально Н.
6) 2. Контур с током в магнитном поле. Момент сил, действующий на рамку с током. Магнитный момент.
Положим, что контур имеет форму прямоугольной рамки (рис. 23.2). Согласно формуле силы Ампера силы, действующие на ребра a перпендикулярны к ним и к магнитной индукции B и поэтому стремятся только растянуть (или сжать) виток.
Силы же действующие на ребра b, стремятся повернуть виток так, чтобы его плоскость стала перпендикулярна B. Следовательно, на виток действуетпара сил с некоторым моментом M.
Момент пары сил M равен произведению силы на плечо , то есть .
Подставляя вместо силы , получим . Произведение – площадь рамки S.
(*)
Модуль магнитного момента .
В
Рис.1,20
Выражение перепишем в виде , а в векторной форме:
Из этого выражения следует, что вращающий момент будет стремиться к 0, когда , т.е. рамка будет расположена перпендикулярно силовым линиям поля.
Примечание: из последнего уравнения можно дать определение магнитной индукции как максимального вращающего момента к магнитному моменту рамки.
7. Явление электромагнитной индукции. Основной закон электромагнитной индукции. Правило Ленца.
Явление электромагнитной индукции было открыто выдающимся английским физиком М. Фарадеем в 1831 г. Оно заключается в возникновении электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении во времени магнитного потока, пронизывающего контур.
Магнитным потоком Φ через площадь S контура называют величину
|
где B – модуль вектора магнитной индукции, α – угол между вектором и нормалью к плоскости контура (рис. 1.20.1).
Рисунок 1.20.1.
Магнитный поток через замкнутый контур. Направление нормали и выбранное положительное направление обхода контура связаны правилом правого буравчика
Определение магнитного потока нетрудно обобщить на случай неоднородного магнитного поля и неплоского контура. Единица магнитного потока в системе СИ называется вебером (Вб). Магнитный поток, равный 1 Вб, создается магнитным полем с индукцией 1 Тл, пронизывающим по направлению нормали плоский контур площадью 1 м2:
|
1 Вб = 1 Тл · 1 м2. |
Фарадей экспериментально установил, что при изменении магнитного потока в проводящем контуре возникает ЭДС индукции инд, равная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус:
|
|
Эта формула носит название закона Фарадея.
Опыт показывает, что индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток. Это утверждение, сформулированное в 1833 г., называется правилом Ленца.
Рис. 1.20.2 иллюстрирует правило Ленца на примере неподвижного проводящего контура, который находится в однородном магнитном поле, модуль индукции которого увеличивается во времени
Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения энергии.
8. Явление самоиндукции. ЭДС самоиндукции. Индуктивность проводящего контура. Индуктивность длинного прямого соленоида (с выводом).
Явление самоиндукции можно определить следующим образом.
Ток I, текущий в любом контуре, создает магнитный поток Ф, пронизывающий этот же контур. При изменении I будет изменяться Ф. Следовательно, в контуре будет наводиться ЭДС индукции.
Т.к. магнитная индукция В пропорциональна току I следовательно
где L – коэффициент пропорциональности, названный индуктивностью контура.
Если внутри контура нет ферромагнетиков, то (т.к. ).
Индуктивность контура L зависит от геометрии контура, числа витков, площади витка контура.
За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого контура, у которого при токе возникает полный поток . Эта единица называется Генри (Гн).
Размерность индуктивности:
Вычислим индуктивность соленоида L. Если длина соленоида l гораздо больше его диаметра d ( ), то к нему можно применить формулы для бесконечно длинного соленоида. Тогда
здесь N – число витков. Поток через каждый из витков
Потокосцепление
Но мы знаем, что , откуда индуктивность соленоида
где n – число витков на единицу длины, т.е. – объем соленоида, значит
|
|
, |
(5.1.1) |
|
Из этой формулы можно найти размерность для магнитной постоянной:
При изменении тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции, равная:
|
|
, |
(5.1.2) |
|
Знак минус в этой формуле обусловлен правилом Ленца.
Явление самоиндукции играет важную роль в электротехнике и радиотехнике. Как мы увидим дальше, благодаря самоиндукции происходит перезарядка конденсатора, соединенного последовательно с катушкой индуктивности, в результате в такой LC-цепочке (колебательном контуре) возникают электромагнитные колебания.
Индукти́вность (или коэффициент самоиндукции) — коэффициент пропорциональности между электрическим током, текущим в каком-либо замкнутом контуре, и магнитным потоком, создаваемым этим током через поверхность[1], краем которой является этот контур[2][3][4].
В формуле
Ф — магнитный поток, I — ток в контуре, L — индуктивность.
Нередко говорят об индуктивности прямого длинного провода(см.). В этом случае и других (особенно - в не отвечающих квазистационарному приближению) случаях, когда замкнутый контур непросто адекватно и однозначно указать, приведённое выше определение требует особых уточнений; отчасти полезным для этого оказывается подход (упоминаемый ниже), связывающий индуктивность с энергией магнитного поля.
Через индуктивность выражается ЭДС самоиндукции в контуре, возникающая при изменении в нём тока[4]:
.
Из этой формулы следует, что индуктивность численно равна ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре при изменении силы тока на 1 А за 1 с.
При заданной силе тока индуктивность определяет энергию магнитного поля, создаваемого этим током[4]:
Практически участки цепи со значительной индуктивностью выполняют в виде катушек индуктивности[4]. Элементами малой индуктивности (применяемыми для больших рабочих частот) могут быть одиночные (в том числе и неполные) витки или даже прямые проводники; при высоких рабочих частотах необходимо учитывать индуктивность всех проводников[5].
Для имитации индуктивности, т. е. ЭДС на элементе, пропорциональной и противоположной по знаку скорости изменения тока через этот элемент, в электронике используются[6] и устройства, не основанные на электромагнитной индукции такому элементу можно приписать определённую эффективную индуктивность, используемую в расчётах полностью (хотя вообще говоря с определёнными ограничивающими условиями) аналогично тому, как используется обычная индуктивность.
Катушка в форме соленоида (конечной длины).
Соленоид — длинная, тонкая катушка, то есть катушка, длина которой намного больше, чем её диаметр (также в дальнейших выкладках здесь подразумевается, что толщина обмотки намного меньше, чем диаметр катушки). При этих условиях и без использования магнитного материала плотность магнитного потока внутри катушки является фактически постоянной и (приближённо) равна
где − магнитная постоянная, N − число витков, − ток и L − длина катушки. Пренебрегая краевыми эффектами на концах соленоида, получим[16], что потокосцепление через катушку равно плотности потока В, умноженному на площадь поперечного сечения S и число витков N:
Отсюда следует формула для индуктивности соленоида (без сердечника):
Если катушка внутри полностью заполнена магнитным материалом (сердечником), то индуктивность отличается на множитель — относительную магнитную проницаемость[17] сердечника:
В случае, когда , можно (следует) под S понимать площадь сечения сердечника и пользоваться данной формулой даже при толстой намотке, если только полная площадь сечения катушки не превосходит площади сечения сердечника во много раз.
9)Самоиндукция — это явление возникновения ЭДС индукции в проводящем контуре [1]при изменении протекающего через контур тока. При изменении тока в контуре пропорционально меняется и магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром. Изменение этого магнитного потока, в силу закона электромагнитной индукции, приводит к возбуждению в этом контуре индуктивной ЭДС.Это явление и называется самоиндукцией. (Понятие родственно понятию взаимоиндукции, являясь как бы его частным случаем).Направление ЭДС самоиндукции всегда оказывается таким, что при возрастании тока в цепи ЭДС самоиндукции препятствует этому возрастанию (направлена против тока), а при убывании тока — убыванию (сонаправлена с током). Этим свойством ЭДС самоиндукции сходна с силой инерции.Величина ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости изменения силы тока :. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура (катушки).
При любом изменении силы тока в проводящем контуре возникает э.д.с. самоиндукции, после чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, по правилу Ленца, всегда имеют такое направление, чтобы оказывать сопротивление изменениям тока в цепи, т. е. имеет направление, противоположное току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки так же направлены, как и ослабевающий ток. Значит, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.
Исследуем процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ , катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R . Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток
(пренебрегаем внутренним сопротивлением источника тока).В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет убывать, что приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающей препятствие, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи задается законом Ома I= ξs/R, или (1)Разделив в формуле (1) переменные, получим (dI/I) = -(R/L)dt . Интегрируя эту формулу по I (от I0 до I) и t (от 0 до t), найдем ln (I/I0) = –Rt/L, или (2) где τ = L/R — постоянная, которая называется временем релаксации. Из (2) видно, что τ есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.
Значит, в процессе отключения источника тока сила тока уменьшается по экспоненциальному закону (2) и задается кривой 1 на рис. 1. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше τ и, значит, тем медленнее убывает ток в цепи при ее размыкании.
Рис.1При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. ξ возникает э. д. с. самоиндукции ξs = -L(dI/dt) оказывающая препятствие, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR = ξ+ξs или Зададим переменную u = (IR - ξ) преобразуем эту формулу как
где τ — время релаксации. В момент замыкания (t=0) сила тока I = 0 и u = –ξ . Значит, интегрируя по u и (от –ξ до IR–ξ) и t (от 0 до t), найдем ln[(IR–ξ)]/(–ξ) = -t/τ, или
(3) где I0=ξ/R — установившийся ток (при t→∞). Значит, в процессе включения источника тока увеличение силы тока в цепи определяется функцией (3) и кривой 2 на рис. 1. Сила тока увеличивается от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I0=ξ/R . При этом, скорость нарастания тока задается тем же временем релаксации τ = L/R, что и убывание тока. Установление тока осуществляется тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и чем больше ее сопротивление. Оценим значение э.д.с. самоиндукции ξs , которая возникает при мгновенном нарастании сопротивления цепи постоянного тока от R0до R. Допустим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I0=ξ/R . При размыкании цепи ток будет менеться по формуле (2). Подставив в нее формулу для I0 и τ, найдем
Э.д.с. самоиндукции т. е. при значительном возрастании сопротивления цепи (R/R0>>1), которая обладает большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз быть больше э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Значит, необходимо учитывать, что контур, который содержит индуктивность, нельзя резко размыкать, так как при этом (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и поломке измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции больших значений не достигнет.
10) Взаимоиндукция (взаимная индукция) — возникновение электродвижущей силы (ЭДС индукции) в одном проводнике вследствие изменения силы тока в другом проводнике или вследствие изменения взаимного расположения проводников. Взаимоиндукция — частный случай более общего явления — электромагнитной индукции. Общее выражение для взаимной индуктивности двух контуров произвольной формы (рис. 3.5), выполненных из немагнитного материала и расположенных в воздухе, выглядит следующим образом:
где V1 и V2 – объемы пространства, занимаемого первым и вторым контуром; r – расстояние от элемента объема dv1 первого контура до элемента объема dv2 второго контура; – вектор плотности тока в точках элемента объема dv1; – вектор плотности тока в точках элемента объема dv2.
11)магнитная энергия тока. плотность энергии магнитного поля
Значит, энергия магнитного поля, которое связано с контуром,
(1)
Энергию магнитного поля можно рассматривать как функцию величин, которые характеризуют это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (1) формулу индуктивности соленоида, найдем
Так как I=Bl/(μ0μN) и В=μ0μH , то
(2)
где Sl = V — объем соленоида.
Магнитное поле внутри соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия (2) заключена в объеме соленоида и имеет с нем однородное распределение с постоянной объемной плотностью (3)
Формула (3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный выражению для объемной плотности энергии электростатического поля, с тем отличием, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (3) выводилась для однородного поля, но она верна и для неоднородных полей. Формула (3) справедлива только для сред, для которых линейная зависимость В от Н , т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам.
12. Фарадеевская и максвелловская трактовки явления электромагнитной индукции.
Как известно электрические токи создают вокруг себя магнитное поле. Связь магнитного поля с током привела к многочисленным попыткам возбудить ток в контуре с помощью магнитного поля. Эта задача была решена в 1831 г. английским физиком М. Фарадеем, открывшем явления электромагнитной индукции, заключающееся в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного.
Для обнаружения явления электромагнитной индукции Фарадеем было проделано ряд опытов. Первый с соленоидом и постоянным магнитом, а второй с двумя катушками.
Из закона Фарадея следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Однако э.д.с. в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы. Возникает вопрос о природе сторонних сил в данном случае. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представления Максвелла, контур, в котором появляется э.д.с., играет второстепенную роль, являясь своего рода лишь “прибором”, обнаруживающим это поле.
Итак, по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле , циркуляция которого равна: , (1)где - проекция вектора на направление . Учитывая, что получим: Известно, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля ( обозначим его ) вдоль любого замкнутого контура равна ну (2).
Сравнивая выражения (1) и (2) видим, что между рассматриваемыми полями имеется принципиальное различие: циркуляция вектора в отличии от циркуляции вектора не равна нулю. Следовательно, электрическое поле , возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является вихревым.
Ток смещения.
Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем Максвелл вел в рассмотрение так называемый ток смещения.
Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор.
Между обкладками заряжающегося и разряжающего конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор “протекают” токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники
По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток проводимости, равный току в проводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости () и смещения () равны. Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора для общего случая можно записать так:
Сравнивая это выражение с , имеем . (3)Данное выражение было названо Максвеллом плотностью тока смещения.
Направление вектора , а следовательно, и вектора совпадает с направлением вектора , как это следует из формулы (3). из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно – способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Следует отметить, что ток смещения по своей сути – это изменяющееся со временем электрическое поле. Ток смещения поэтому существует не только в вакууме или в диэлектриках, но и внутри проводников по которым течет переменный ток. Однако в данном случае он пренебрежительно мал по сравнению с током проводимости.
Вихревое электрическое поле
Если замкнутый проводник, находящийся в магнитном поле, неподвижен, то объяснить возникновение ЭДС индукции действием силы Лоренца нельзя, так как она действует только на движущиеся заряды.
Известно, что движение зарядов может происходить также под действием электрического поля Следовательно, можно предположить, что электроны в неподвижном проводнике приводятся в движение электрическим полем, и это поле непосредственно порождается переменным магнитным полем. К этому выводу впервые пришел Дж. Максвелл.
Электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем, называется индуцированным электрическим полем. Оно создается в любой точке пространства, где имеется переменное магнитное поле, независимо от того, имеется ли там проводящий контур или нет. Контур позволяет лишь обнаружить возникающее электрическое поле. Тем самым Дж. Максвелл обобщил представления М. Фарадея о явлении электромагнитной индукции, показав, что именно в возникновении индуцированного электрического поля, вызванного изменением магнитного поля, состоит физический смысл явления электромагнитной индукции.
Индуцированное электрическое поле отличается от известных электростатического и стационарного электрического полей.
1. Оно вызвано не каким-то распределением зарядов, а переменным магнитным полем.
2. В отличие от линий напряженности электростатического и стационарного электрического полей, которые начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах, линии напряженности индуцированного поля — замкнутые линии. Поэтому это поле — вихревое поле.
Исследования показали, что линии индукции магнитного поля и линии напряженности вихревого электрического поля расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях. Вихревое электрическое поле связано с наводящим его переменным магнитным полем правилом левого винта:
если острие левого винта поступательно движется по направлению ΔΒ, то поворот головки винта укажет направление линий напряженности индуцированного электрического поля (рис. 1).
Рис. 1
3. Индуцированное электрическое поле не является потенциальным. Разность потенциалов между любыми двумя точками проводника, по которому проходит индукционный ток, равна 0. Работа, совершаемая этим полем при перемещении заряда по замкнутой траектории, не равна нулю. ЭДС индукции и есть работа индуцированного электрического поля по перемещению единичного заряда по рассматриваемому замкнутому контуру, т.е. не потенциал, а ЭДС индукции является энергетической характеристикой индуцированного поля.
Первое уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции, которое в интегральной форме имеет вид
1. Из выражения для магнитного потока следует
→ Интеграл в правой части является функцией только от времени.
2. Неравенство нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру означает, что возбуждаемое переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым, как и само магнитное поле.
3. Из первого уравнения Максвелла следует, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.
4. По теореме Стокса в векторном анализе
где ротор вектора Е выражается определителем
что позволяет записать первое уравнение Максвелла в дифференциальном виде
Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.
Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 196). Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники.
Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим и вызываемым им магнитным полями. По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (I) и смещения (Iсм) равны: Iсм =I.
Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора
(138.1)
(поверхностная плотность заряда s на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе )Подынтегральное выражение в (138.1) можно рассматривать как частный случай скалярного произведения когда и dS взаимно параллельны. Поэтому для общего случая можно записать
Сравнивая это выражение с , имеем
(138.2)
Выражение (138.2) и было названо Максвеллом плотностью тока смещения.
Рассмотрим, каково же направление векторов плотностей токов проводимости и смещения j и jсм. При зарядке конденсатора (рис. 197, а) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой; поле в конденсаторе усиливается; следовательно, >0, т. е. вектор направлен в ту же сторону, что и D. Из рисунка видно, что направления векторов и j совпадают. При разрядке конденсатора (рис. 197, б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой; поле в конденсаторе ослабляется; следовательно, <0, т. е. вектор направлен противоположно вектору D. Однако вектор направлен опять так же, как и вектор j. Из разобранных примеров следует, что направление вектора j, а следовательно, и вектора jсм, совпадает с направлением вектора , как это и следует из формулы (138.2).
Подчеркнем, что из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения (в вакууме или веществе) создает в окружающем пространстве магнитное поле (линии индукции магнитных полей токов смещения при зарядке и разрядке конденсатора показаны на рис. 197 штриховыми линиями).
В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так как, согласно (89.2), D=e0E+P, где Е – напряженность электростатического поля, а Р — поляризованность, то плотность тока смещения
(138.3)
где e0 — плотность тока смещения в вакууме, — плотность тока поляризации — тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах). Возбуждение магнитного поля токами поляризации правомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости. Однако то, что и другая часть плотности тока смещения , не связанная с движением зарядов, а обусловленная только изменением электрического поля во времени, также возбуждает магнитное поле, является принципиально новым утверждением Максвелла. Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля приводит к возникновению в окружающем пространстве магнитного поля.
Следует отметить, что название «ток смещения» является условным, а точнее — исторически сложившимся, так как ток смещения по своей сути — это изменяющееся со временем электрическое поле. Ток смещения поэтому существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым проходит переменный ток. Однако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Наличие токов смещения подтверждено экспериментально А.А. Эйхенвальдом, изучавшим магнитное поле тока поляризации, который, как следует из (138.3), является частью тока смещения.
Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщение закона полного тока.
с плотностью тока смещения
где D – вектор электрического смещения.
14. Полная система уравнений Максвелла в интегральной форме.
Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено.
В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения:
1. Электрическое поле может быть как потенциальным (ЕQ), так и вихревым (ЕB), поэтому напряженность суммарного поля Е=ЕQ+ЕB. Так как циркуляция вектора ЕQ равна нулю , а циркуляция вектора ЕB определяется выражением, то циркуляция вектора напряженности суммарного поля:
Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.
2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н:
Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.
3. Теорема Гаусса для поля D:
Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью , то эта формула запишется в виде:
4. Теорема Гаусса для поля В:
Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):
Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.
15)
Система уравнений Максвелла : диффер. форма. Материальные уравнения.
Теорией Максвелла назвывается последовательная теория единого электромагнитного поля, создаваемого произвольной системой электрических зарядов и токов. В теории Максвелла решается основная задача электродинамики :заданному распределению зарядов и токов отыскиваются характеристики создаваемых ими электрического и магнитного полей. Если мы из системы 4-х уравнений перейдем в проэкции на оси ( E - Ex Ey Ez, B - Bx By Bz), то не сможем решить ее, из-за большого кол-ва неизвестных. Для их нахождения пользуются так называемыми материальными уравнениями, характеризующими электрические и магнитные св-ва среды.
Анализ уравнений Максвелла. 1-е уравнение указывает на то, что поле является вихревым (вопр. 30). 2-е уравнение - Максвелл обобщил теорему Остроградского-Гаусса для электростатического поля. Он предположил, что она справедлива для любого электрического поля как стационарного, так и переменного. 3-е уравнение : См. ток смещения. В интегральной форме показывает, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме макротоков и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур. 4-е уравнение - теорема Остроградского-Гаусса справедлива для любого магнитного поля.
Если электрические и магнитные поля стационарны (dD/dt = dB/dt = 0), то эти поля существуют независимо друг от друга. Электрическое поле описывается двумя уравнениями электростатики : rot E = 0 и div D
16) Относительность электрических и магнитных полей.
(2)