Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Оглавление
|
[1] [1.1] ЛИТЕРАТУРА ПО ЛЕКЦИЯМ [1.2] МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНЮ ЗАДАЧ [1.3] Литература по лабораторному практикуму [2] Предмет, задачи и методы физики [3] ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ [3.1] Элементы кинематики. [3.1.1] Основные понятия. [3.1.2] Перемещение [3.1.3] Скорость. [3.1.4] Ускорение [3.1.5] Угловая скорость и угловое ускорение.
[3.2] [3.2.1] Законы Ньютона. [3.2.2] Силы трения [3.2.3] Закон всемирного тяготения [3.2.4] Силы упругости [3.2.5] Закон сохранения импульса [3.2.6] Центр масс. Движение центра масс механической системы. [3.2.7] Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея. [3.2.8] Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.
[3.3] [3.3.1] Работа силы и кинетическая энергия. [3.3.2] Потенциальная энергия [3.3.3] Потенциальная энергия растянутой пружины или стержня. [3.3.4] Закон сохранения механической энергии. [3.4] Динамика твердого тела. [3.4.1] Момент силы и момент импульса относительно оси. [3.4.1.1] Уравнение движения вращающегося тела [3.4.1.2] Вычисление момента инерции некоторых тел [3.4.2] Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. [3.4.2.1] Работа внешних сил при вращении твердого тела. [3.5] Элементы механики жидкостей и газов. [3.5.1] Давление в жидкости и газе. [3.5.2] Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности [3.5.3] Уравнение Бернулли [3.5.4] Измерение давлений [3.5.5] Следствия из уравнения Бернулли [3.5.6] Применение закона сохранения импульса для текущей жидкости [3.5.7] Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей [3.5.8] Методы определения вязкости [3.6] Постулаты специальной теории относительности. [3.6.1] Релятивистская кинематика [3.6.2] Релятивистский закон сложения скоростей. [3.6.3] Основной закон релятивистской механики. |
1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высш.шк., 1999.
2. Савельев И.В. Курс общей физики, Т.1-5. - М.: Изд-во Астрель: Изд-во АСТ, 2004
1. Бердинская Н.В., Нижникова В.О., Ясько С.С. Кинематика и динамика вращательного движения. Методические указания по решению задач. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004.
2. Данилов С.В., Егорова В.А., Прокудина Н.А. Законы сохранения. Элементы СТО. Методические указания по решению задач. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004.
3. Ласица А.М., Кондратьева Т.Н., Павловская О.Ю. Молекулярная физика и термодинамика. Методические указания по решению задач. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004.
Методические указания к лабораторным работам «Механика» - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006.
Мир есть закономерное движение материи, совершающееся в пространстве и времени. Каждая наука занимается изучением определенных форм движения материи.
Физика занимается изучением физической формы движения материи, под которой понимается механическое, тепловое, электромагнитное, внутриатомное, внутриядерное движения.
Эти формы движения являются наиболее простыми и вместе с тем наиболее общими. Более сложные формы движения содержат в себе более простые, хотя полностью к ним не могут быть сведены.
Резкой границы между физикой и другими естественными науками провести нельзя.
Связь физики с остальными естественными науками носит двусто ронний характер.
В своем развитии физика опирается на достижения других наук о природе, а достижения физики используют многие естественные науки.
Перед физикой стоят следующие задачи:
1) исследовать явления природы и найти законы, которым они подчиняются;
2) установить причинно-следственную связь между вновь откры тыми явлениями и явлениями, изученными ранее;
3) применить полученные знания для дальнейшего активного воздействия на природу.
Методы физических исследований следующие:
а) наблюдение - изучение явлений в естественной, природной обстановке. Научное наблюдение представляет далеко не простую задачу, так как требует умения совместно сгруппировать ряд родст венных явлений, отметив их характерные черты сходства и различия, выяснения факторов, от которых зависит изучаемое явление, и уста новления влияния каждого фактора в отдельности при сохранении неизменными всех остальных и т. д.;
б) эксперимент - изучение явления путем его воспроизведения в искусственной, лабораторной обстановке. Эксперимент имеет ряд преимуществ перед наблюдением. Он экономит время, ускоряя возмож ность изучения явления. Эксперимент очень часто расширяет диапазон изуче ния явлений (например, в природе происходит колебание температур в очень небольшом интервале, в лаборатории же можно создать темпе ратуры как очень высокие, так и очень низкие, приближающиеся к абсолютному нулю). Эксперимент позволяет производить исследова ния при помощи более сложных стационарных приборов, т. е. произво дить их значительно точнее, чем в природных условиях;
в) создание гипотез, т.е. научных предположений, выдвигаемых для объяснения явлений. Если гипотеза не вступает в противоречие ни с одним из опытных факторов, то она переходит в теорию. Эксперимент является лучшим критерием истины.
Механика – часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение.
Механическое движение – это изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей.
Механика Галилея – Ньютона называется классической механикой.
В классической механике изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме (v c).
Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света c, изучаются релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности, сформированной А.Эйнштейном (1879-1955).
Движение микроскопических тел со скоростями много меньшими скорости света описывается квантовой механикой.
Область физики, изучающая движение микроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света, называется релятивистской квантовой механикой, построение которой не завершено и в настоящее время.
В классической механике общепринята концепция пространства и времени, разработанная Исааком Ньютоном и господствующая на протяжении 17-19 в которой пространство и время рассматриваются как объективные формы существования материи, но в отрыве друг от друга и от движения материальных тел. Дальнейшие исследования показали ограниченность таких представлений.
Изучение механики начнем с классической механики, которая делится на три раздела:
Кинематика - изучает движение тел, не рассматривая причины, которые вызывают или изменяют это движение.
Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.
Статика изучает законы равновесия системы тел.
Наиболее простым видом движения является движение материальной точки.
Материальная точка это тело, обладающее массой, размерами и формой которого в данной задаче можно пренебречь.
Изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению движения системы материальных точек.
Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми точками которого не меняется со временем.
Абсолютно твердое тело, с которым связывают ту или иную систему координат, условно считают неподвижным и относительно которого исследуют движение других тел, называется телом отсчета.
Совокупность системы координат, жестко связанной с телом отсчета, часов для отсчета времени и указание начала отсчета времени называется системой отсчета.
В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x, y, z или радиусом-вектором , проведенным из начала системы координат в данную точку.
При координатном способе
x = x(t); y = y(t); z = z(t) – они называются кинематическими уравнениями движения материальной точки в скалярной форме.
Векторный способ описания движения основан на том, что положение точки в пространстве указывается радиус-вектором .
Перемещение
; (1.)
Модуль вектора перемещения
(1.)
Линия, которую описывает материальная точка, перемещаясь в пространстве, называется траекторией.
Путь - длина траектории, вдоль которой движется тело.
Скорость - является векторной величиной, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.
Средняя скорость это скорость тела расчитанная за относительно большой интервал времени
Пример.
Определить среднюю скорость на всем пути, если первую половину пути тело двигалось со скоростью 72 км/ч, а вторую половину пути со скоростью 36 км/ч.
|
Си |
||
|
=20 м/с =10 м/с |
Мгновенная скорость -скорость в данной точке траектории в данный момент времени.
; (1.)
Вектор мгновенной скорости для каждого момента времени направлен по касательной к траектории в сторону движения, т.е.
Мгновенная скорость по модулю
; (1.)
Если выражение проинтегрировать в пределах от до , то найдем длину пути, пройденного точкой за время :
(1.)
Ускорение- это физическая величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости.
Средним ускорением , называется векторная физическая величина, численно равная отношению изменения вектора скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло:
(1.)
Направление совпадает с направлением .
Мгновенным ускорением называют векторную величину, численно равную пределу, к которому стремится среднее ускорение за промежуток времени , при . Т.е. это ускорение в данной точке траектории
(1.)
Используя соотношение (1.12), получим:
. (1.)
Вектор мгновенного ускорения равен первой производной от вектора скорости по времени или второй производной от вектора перемещения по времени.
Тангенциальное ускорение - составляющее полного ускорения характеризующие изменение скорости по величине.
(1.)
Направление вектора совпадает с направлением касательной к траектории:
(Следует обратить внимание: полное ускорение = и тангенциальное ускорение = две разные физические величины).
Нормальное ускорение – составляющие полного ускорения, характеризующие изменение скорости по направлению.
Нормальная составляющая вектора , характеризует изменение ско рости за время t по направлению.
Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому s можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ.
Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует, что , но т.к. , то
(1.)
При , стремится к нулю, а так как треугольник EAD равнобед ренный, то угол ADE между и стремится к прямому. Следовательно, при векторы и также оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то вектор , перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная
(1.)
называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).
Соотношение для справедливо не только для плоского движения, но и для любого движения, только вместо радиуса окружности r надо подставлять радиус кривизны траектории.
Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих ускорения (рис. 1.6).
; (1.)
Модуль ускорения можно определить по формуле:
(1.)
При равномерном движении по окружности тангенциальное ускорение отсутствует. Полное ускорение равно нормальному ускорению и направлено по радиусу окружности к ее центру. Поэтому нормальное ускорение часто называют центростремительным.
Прямолинейное равноускоренное/равнозамедленное движение
(1.)
(1.)
Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений.
Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первоначальному положению.
Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
Средняя угловая скорость это величина, равная отношению угла поворота тела к тому промежутку времени, за которое этот поворот произошел:
(1.)
Мгновенная угловая скорость - угловая скорость в данный момент времени в данной точке траектории. Или просто угловая скорость - псевдовекторная величина. Направление вектора находится по правилу буравчика (правилу правого винта). Если поворачивать винт с правой нарезкой в сторону движения точки по окружности, то поступательное движение винта будет направлено в направлении вектора , (рис. 1.8).
;
Линейная скорость точки
,
. (1.)
В векторной форме
; (1.)
Модуль линейной скорости || = wRsin().
Если w = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т – временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p.
Промежутку времени t = Т, соответствует угол поворота j = 2p, то
(1.)
Число полных оборотов, совершаемых телом при его равномерном движении по окружности в единицу времени называется частотой вращения.
;
; (1.)
Среднее угловое ускорение это физическая величина, численно равная отношению изменения угловой скорости к тому промежутку времени, за которое это изменение произошло:
(1.)
Мгновенное угловое ускорение или просто угловое ускорение является первой производной угловой скорости по времени.
. (1.)
При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору , при замедленном – противоположен ему (рис.1.8).
Тангенциальная составляющая ускорения, аt =d/dt, = wR,
; (1.)
Нормальная составляющая ускорения
(1.)
Связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:
S= R;
= R;
a = R;
an = 2R.
В случае равнопеременного движения точки по окружности ( = const),
(1.)
(1.)
При совпадении направления векторов угловой скорости и углового ускорения используется знак плюс, при противоположном направлении – знак минус.
Сила – это векторная физическая величина, характеризующая взаимодействие тел.
Взаимодействия тел, в результате которых они приобретают ускорения или деформируются, или имеет место то и другое одновременно, называются силами. О наличии и действии сил мы можем судить:
1. по их динамическому проявлению, т.е. по тем ускорениям, которые она сообщает взаимодействующим телам
2. по статическому проявлению сил - по деформациям, которые возникают во взаимодействующих телах.
В соответствии с этим используются два метода измерения сил:
- равнодействующая всех сил
В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил:
. (1.)
Первый закон Ньютона: Существуют такие системы отсчета, относительно которых тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.
Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения при отсутствии воздействия со стороны других тел называется инерцией. Движение тела при отсутствии внешних воздействий называется движением по инерции.
Инерциальной системой отсчета является такая система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы отсчета.
Системы отсчета, в которых первый закон Ньютона не выполняется, называются неинерциальными.
Физическая природа взаимодействий в механике не изучается. Это задача физики в целом. Механика изучает лишь такие взаимодействия между телами, которые приводят либо к изменению механического движения тел, либо к их деформациям.
Второй закон Ньютона: Ускорение, приобретаемое материальной точкой, пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела):
; (1.)
или
, (1.)
в классической механике m = const, поэтому её можно внести под знак производной.
, (1.)
где - механический импульс тела (количество движения тела).
Используя уравнение (1.35) второй закон Ньютона можно записать в виде:
, (1.)
где – импульс силы
или
. (1.)
Обобщенная формулировка второго закона Ньютона имеет вид:
(1.).
Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.
[F] = Н = кгм/с2.
Третий закон Ньютона: Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы приложены к телам всегда парами и являются силами одной природы.
Принцип относительности Галилея: Законы механического движения одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой величины сил и значения масс тел не изменяются. Ускорение тел в инерциальных системах отсчета также остается постоянным.
Силы трения возникают при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга.
Трение, возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел, называется внешним;
Сила трения, возникающая при движении твердого тела относительно жидкой или газообразной среды, относится к категории сил внутреннего трения.
Трение между поверхностями твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки или смазки, называется сухим.
Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется вязким или жидким.
Сухое трение
Различают три вида сухого трения: трение покоя, трение скольжения и трение качения.
Трение покоя.
Таким образом, до возникновения скольжения сила трения покоя может иметь любое направление и может принимать любое значение от нуля до некоторого максимального, равного натяжению нити, при котором возникает скольжение
0 = -
Силу трения покоя, равную по модулю той внешней силе, при которой начинается скольжение данного тела по поверхности другого, называют максимальной силой трения покоя. Модуль максимальной силы трения покоя не зависит от направления приложенной силы.
В случае жидкого трения никакого порога для внешней силы не существу ет.
У грубо обработанной поверхности основную роль в возникновении сил трения покоя и скольжения играют зацепления неровностей, а при тщательной обработке — молеку лярное или атомное сцепление.
Fтр.мах N
Введя безразмерный коэффициент пропорциональности , называемый коэффициентом трения покоя, получим уравнение, называемое законом Кулона (Амонтона):
Fтр.мах = N
Трение скольжения. Вернувшись к нашему опыту с бруском, мы видим, что, когда модуль внешней силы достигает значения максимального значения трения скольжения Fтр.пок.мах возникает скольжение бруска. При этом сила трения продолжает существовать и называется в этом случае си лой трения скольжения.
Fтр.ск = скN
(1.)
Коэффициент трения скольжения зависит от материала и со стояния поверхности тел и от относи тельной скорости движения.
Трение качения. При качении тела по поверхности другого возникает особая сила — сила трения качения, которая препят ствует качению тела.
Fк = кN/R
(1.)
где к — коэффициент трения качения, величина которого уменьшается с увеличением твердости материала и шероховатости его поверхности.
Для уменьшения трения скольжения употребляют жидкую смазку. По отношению к режимам смазки в машинах существуют четыре основных вида трения:
1. Сухое трение чистых поверхностей. Причина такого тре ния — молекулярное сцепление, механическое зацепление неров ностей, царапание. Коэффициент трения больше 0,3.
2. Граничное трение при граничной смазке масляной жид костью. Трение происходит между граничными слоями молекул смазки, прилипшими к поверхности деталей. Коэффициент тре ния 0,1 ... 0,3.
3. Полужидкостное трение с участием маслянистой и вязкой жидкости. Передача нагрузки — непосредственно между деталями или через граничный слой смазки и через толстый слой жидкой смазки. Коэффициент трения 0,005 ... 0,1.
Коэффициент пропорциональности G одинаков для всех тел в природе. Его называют гравитационной постоянной
G = 6,67·10–11 Н·м2/кг2 (СИ).
Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести. Так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности. Если М – масса Земли, RЗ – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна
где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли:
Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения. Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с2. Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (RЗ = 6,38·106 м), можно вычислить массу Земли М:
При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества. Ее называют силой упругости.
Простейшим видом деформации является деформация растяжения или сжатия.
Деформация растяжения (x > 0) и сжатия (x < 0). Внешняя сила
При малых деформациях (|x| << l) сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации:
Fx = Fупр = –kx.
Это соотношение выражает экспериментально установленный закон Гука. Коэффициент k называется жесткостью тела. В системе СИ жесткость измеряется в ньютонах на метр (Н/м). Коэффициент жесткости зависит от формы и размеров тела, а также от материала. В физике закон Гука для деформации растяжения или сжатия принято записывать в другой форме. Отношение
ε = x / l
называется относительной деформацией, а отношение
σ = F / S = –Fупр / S,
где S – площадь поперечного сечения деформированного тела, называется напряжением. Тогда закон Гука можно сформулировать так: относительная деформация ε пропорциональна напряжению σ:
Коэффициент E в этой формуле называется модулем Юнга. Модуль Юнга зависит только от свойств материала и не зависит от размеров и формы тела. Для различных материалов модуль Юнга меняется в широких пределах. Для стали, например, E ≈ 2·1011 Н/м2, а для резины E ≈ 2·106 Н/м2, т. е. на пять порядков меньше.
Закон Гука может быть обобщен и на случай более сложных деформаций. Например, при деформации изгиба упругая сила пропорциональна прогибу стержня, концы которого лежат на двух опорах.
Деформация изгиба.
В технике часто применяются спиралеобразные пружины (рис. 1.12.3). При растяжении или сжатии пружин возникают упругие силы, которые также подчиняются закону Гука. Коэффициент k называют жесткостью пружины. В пределах применимости закона Гука пружины способны сильно изменять свою длину. Поэтому их часто используют для измерения сил. Пружину, растяжение которой проградуировано в единицах силы, называют динамометром. Следует иметь в виду, что при растяжении или сжатии пружины в ее витках возникают сложные деформации кручения и изгиба.
Деформация растяжения пружины.
Fx = Fупр = –kx.
В отличие от пружин и некоторых эластичных материалов (резина) деформация растяжения или сжатия упругих стержней (или проволок) подчиняются линейному закону Гука в очень узких пределах. Для металлов относительная деформация ε = x / l не должна превышать 1 %. При больших деформациях возникают необратимые явления (текучесть) и разрушение материала.
Совокупность взаимодействующих между собой тел образует механическую систему.
Если движение таково, что размеры и формы отдельных тел, образующих систему, не играют роли, то мы имеем дело с системой материальных точек.
Силы, действующие между телами, образующими систему, называются внутренними силами.
Силы, действующие на тела, образующих систему, со стороны тел, не входящих в данную систему, называются внешними силами.
Система называется замкнутой, если внешние силы отсутствуют.
Рассмотрим систему, состоящую из трех тел, на которую действуют внутренние и внешние силы. Каждой из внутренних сил, например 12, соответствует сила 21. Причем 12 = -21;
1, 2, 3 - результирующие внешних сил, с которыми внешние тела действуют соответственно на 1-е, 2-е и 3-е тело системы.
Напишем для каждого из трех тел уравнение второго закона Ньютона:
(1.)
Сложим все три уравнения вместе. Сумма внутренних сил будет равна нулю, вследствие чего
; (1.)
Если рассматриваемая система замкнутая, то результирующая внешних сил, действующих на систему, равна нулю, следовательно
, (1.)
таким образом для замкнутой системы количество движения является постоянной величиной.
В общем случае, для замкнутой системы, состоящей из n тел, это выражение приобретает вид:
и
(1.)
что при процессах, происходящих в замкнутых системах, скорость центра масс не изменяется. Например, лодка с человеком на носу неподвижно стоит в воде озера. Импульс системы равен нулю. Человек переходит с носа на корму. При этом лодка приходит в движение в противоположную сторону с такой скоростью, чтобы mчч - mлл = 0. Центр масс системы лодка –человек остается в покое относительно воды. В рассматриваемом случае сопротивлением воды, играющем роль внешней силы, пренебрегли.
При наличии внешних сил
d=
Таким образом, изменение полного количества движения системы тел равно импульсу результирующей внешних сил, внутренние силы не могут привести к изменению полного импульса системы. Они приводят лишь к движению отдельных частей системы друг относительно друга.
Закон сохранения импульса, полученный нами как следствие законов Ньютона, является фундаментальным законом природы. Он справедлив не только в классической физике, но и в области микромира (для замкнутой системы микрочастиц).
Как показывается в теоретической физике, закон сохранения импульса является следствием определенного физического свойства пространства - его однородности. Однородность пространства означает, что изменение выбора системы координат не должно отражаться на физических свойствах системы и законах ее движения.
Центром масс системы материальных точек с координатами х1 и х2 называется точка хс делящая расстояние между ними на части обратно пропорциональные их массам. Для двух точек:
; (1.)
Отсюда
. (1.)
Для системы, состоящей из n тел,
. (1.)
В общем случае
. (1.)
; (1.)
Полное количество движения механической системы равно количеству движения материальной точки массой, равной массе тел системы и движущейся как движется её центр масс.
Продифференцировав выражение (1.46) по времени и сравнив с формулой
= ( m), выражающей второй закон Ньютона, получим:
, (1.)
где -количество движения центра масс системы, - вектор результирующей внешних сил, действующих на тела системы.
Центр масс механической системы движется так же, как двигалась бы материальная точка, в которой сосредоточена масса всех тел системы, под действием результирующей внешних сил, приложенных к телам, образующим систему.
Если механическая система замкнута, то = 0 и = const.
Центр масс замкнутой механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
Одну из этих систем (К) будем условно считать неподвижной. Другая же система (К') пусть движется равномерно и прямолинейно со скоростью относительно первой. Движение тела в подвижной системе отсчета называется относительным движением, а в условно неподвижной - абсолютным движением. Движение тела относительно неподвижной системы отсчета, которым оно обладало бы, будучи жестко связанным с одной из точек подвижной системы, называется переносным движением.
(1.)
Соотношения (1.56) называются преобразованиями Галилея. Дифференцируя формулы (1.56) по времени, получим классический закон сложения скоростей:
; (1.)
Здесь , , - это проекции вектора относительной скорости тела (по отношению к системе отсчета К'), а , , - это проекции вектора абсолютной скорости (по отношению к системе отсчета К). В векторной форме закон сложения скоро стей имеет вид
.
Механический принцип относитель ности Галилея. Все законы механики должны иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.
Другими словами, уравнения, описывающие законы механики, должны быть инвариантными по отношению к преобра зованиям Галилея.
Принцип относительности Галилея можно сформулировать и по-другому: при одинаковых условиях все механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают совершенно одинаково.
Системы отсчета, движущиеся ускоренно относительно одной из инерциальных систем отсчета, называются неинерциальными.
Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга со скоростью , являющейся функцией времени.
x = x' +сt;
y' = y;
(1.)
z' = z;
Дифференцируя по времени, получим закон сложения скоростей:
x = x' + с(t);
y = y';
z = z';
Здесь x' , y', z' - это проекции вектора относительной скорости тела ' (по отношению к системе отсчета К'), а x, y, z - это проекции вектора абсолютной скорости (по отношению к системе отсчета К). В векторной форме закон сложения скоро стей имеет вид
= ' + (t).
Ускорения будут связаны соотношениями:
ax = ax' + aс;
ay = ay';
az = az';
или в векторной форме:
;
Уравнение движения материальной точки, массой m, на которую действует сила относительно неподвижной системы отсчета, будет иметь вид:
или
;
Второй закон Ньютона в системах отсчета, движущихся с ускорением, включает в число сил, действующих на тело, взятое с обратным знаком произведение массы тела на ускорение системы. Это произведение, учитывающее ускоренное движение системы отсчета, носит название силы инерции. Для составления уравнений движения тела относительно системы отсчета, движущейся с ускорением, к результирующей сил, действующих на тело, надо добавить силу инерции.
Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно одной из инерциальных систем отсчета, поэтому в общем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил:
-силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета;
- силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета;
- силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета;
Пример с лифтом, движущимся вверх:
В инерциальной системе отсчета:
R - mg = ma;
R - mg = m ('+с);
Т.к. через некоторое время ' = 0, то
R - mg = maс; или
R = mg + maс;
В неинерциальной системе отсчета: R - mg – maс = 0;
R = mg + maс;
Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравнове шивается равной и противоположно направленной ей силой которая является силой инерции, так как на шарик никакие дру гие силы не действуют. Сила называется центробежной си лой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна
Fцб = m2 R;
Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета. Сила Кориолиса
(’ = const,
= const,
' ).
Это возможно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендику лярная скорости ' .
Эта сила называется кориолисовой силой инерции. Она равна
к = 2m[,];
Вектор к лежит в плоскости диска и перпендикулярен векторам ско рости ' тела и угловой скорости враще ния системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.
Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета имеет вид:
m' = + ин +цб +к
Обратим внимание еще раз на то, что силы инерции вызы ваются не взаимодействием тел, а ускоренным движением си стемы отсчета. Поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на какое-либо тело действует сила инер ции, то не существует противодействующей силы, приложенной к данному телу.
Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принцип эквивалентности Эйнштейна): все физические явления в поле тяготения происходят совершенно также, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы.
Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. В механике различают два вида энергии : энергию определяемую скоростями тел - кинетическую энергию и энергию, которая зависит от взаимного положения тел - их потенциальную энергию.
Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.
Работа - мера передачи механического движения от одного тела к другому или превращение его в другие виды движения в процессе взаимодействия.
Механическая энергия является физической величиной, характеризующей способность тела или системы тел совершать работу; она измеряется величиной работы, которую при определенных условиях может совершить эта система.
А = FS.S = FScos. (1.)
Элементарной работой силы на перемещении d называется скалярная величина
где dS = | dr | -- элементарный путь; - угол между направлениями элементарного перемещения dи силы , Fs - проекция на вектор d.
Суммируя элементарные работы, можно найти работу на любом протяжении траектории. Работа на графике FS-S определяется площадью заштрихованной фигуры.
Мощность - скалярная физическая величина равная работе совершаемой в единицу времени
N = dA/dt == ;
N- величина скалярная.
[N]= Вт = 1Дж/с.
1 л.с. = 735 Вт.
Мощность, развиваемая человеком - 70 Вт.
Мощность, развиваемая муравьем - 10-5 Вт.
Если на тело действует несколько сил,
Работа нескольких сил равняется сумме работ выполненной каждой силой.
Работа, совершаемая в стационарном поле при перемещении тела из некоторой точки М1 в точку М2 равна
,
и в общем случае зависит от формы и длины пути от М1 до М2.
Выразим работу А12 через разность кинетических энергий тела в точках М1 и М2. Выберем какое-либо элементарное перемещение dr на кри волинейном пути от точки М1 до точки M2. Спроектируем теперь силу и ускорение во втором законе Ньютона F = та на направле ние dr. Принимая во внимание, что величина тангенциального ускорения
;
где — угол между векторами F и dr , получим:
После умножения левой части этого уравнения на dS, a правой на dt = dS формула для элементарной работы примет вид
dA = FdScos = md
Пусть в начальной точке пути скорость тела равна 1, а в конечной точке пути его скорость стала равной 2. Тогда после интегрирования получим
(1.)
Отсюда вытекает формула, определяющая кинетическую энергию тела
, (1.)
где С — произвольная постоянная.
В классической физике обычно эту постоянную считают равной нулю.
Легко видеть, что (1.65) можно переписать в сле дующем виде:
A12 = WK2 – WК1;
Если на тело действует сила трения, то некоторая часть механической энергии, которой обладало тело, перейдет в молекулярно тепловое движение и изменение кинетической энергии будет меньше работы совершенной силой.
Работа, которую совершает движущееся тело при торможении до полной остановки, не зависит от траектории движения, и от того, каким образом производится торможение. Она равна кинетической энергии тела.
Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему.
В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а, следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Т.о. кинетическая энергия зависит от системы отсчета.
Потенциальная энергия - механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Если работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это движении произошло, а зависит только от начального и конечного положений, то такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них – консервативными или потенциальными. Работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю.
dA = - dWП(r).
(1.)
Таким образом, потенциальная энергия — это физическая величина, элементарное изменение которой равно элементарной работе (взятой со зна ком минус), совершаемой силами поля.
А12 = WП1 - WП2 =
=- (WП2 - WП1)
Силы являются консервативными тогда, когда в системе нет перехода механического движения в другие формы движения материи или превращения других форм движения материи в механическое.
Силы, работа которых возрастает по величине при увеличении пути независимо от того, замкнут путь или нет, называются диссипативными. В этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю и работа сил определяется неоднозначно.
Рассмотрим движение тела в поле центральных сил.
Рассчитаем работу внешних сил внеш = при перемещении пробного тела массой m из положения 1 в положение 2 без изменения кинетической энергии (внеш= -грав)
dA=Fвнеш.dS.cos = Fвнешdr
где dr -проекция перемещения на направление силы.
;
при r1 ; т.е. W0 – потенциальная энергия пробного тела на бесконечном удалении от тела, создающего поле, обычно полагают, что W0 = 0, тогда ;
W равна той работе, которую совершают внешние силы при перемещении тела массой m без изменения кинетической энергии из бесконечности в данную точку поля. Работа отрицательна, т.к. угол между силой и перемещением тупой и cos 0.
В поле консервативных сил потенциальная энергия и сила связаны соотношением:
(1.)
где dr - элемент длины в направлении действия силы, т.е. в направлении наиболее резкого изменения потенциальной энергии. Знак “-“ показывает, что Fконс направлена в сторону убывания потенциальной энергии. Для гравитационного поля
; ;
; (1.)
Знак минус означает, что сила тяжести направлена в сторону уменьшения , т.е. к центру притяжения.
1.Работа консервативных сил всегда связана с изменением потенциальной энергии системы. Если работа этих сил положительна, то изменение потенциальной энергии системы отрицательно (потенциальная энергия системы уменьшается). Наоборот, при отрицательной работе консервативных сил потенциальная энергия системы возрастает.
2. Если Fвнеш Fконс, то Fполн=Fвнеш-Fконс0 следовательно тело будет приобретать кинетическую энергию. Однако и в этом случае работа консервативных сил по-прежнему будет связана с изменением потенциальной энергии системы, т.е. работа внешних сил идет на изменение потенциальной энергии системы и на изменение кинетической энергии движущегося тела.
Работа силы тяжести
(1.)
Работа силы тяжести не зависит от пути, а зависит только от начального и конечного положения тел, т.е. сила тяжести является консервативной силой.
Рассчитаем работу внешней силы, изменяющейся пропорционально смещению точки
F = kx на пути от х0 = 0 до х.
; (1.)
Работа силы упругости при растяжении на x : ;
Рассмотрим систему материальных точек массами m1, m2,… mn, движущихся со скоростями 1, 2 ...n. Пусть F1’, F2’ ..., Fn’, — равнодействующие внутренних консер вативных сил, действующих на каждую из этих точек, a F1, F2, ..., Fn, — равнодейст вующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим f1, f2, ..., fn.
При с массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:
(1.)
Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения, соответственно равные dr1, dr2, ..., drn. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dri=i dt, получим
(1.)
Сложив эти уравнения получим:
В этом уравнении первый член представляет собой изменение кинетической энергии WK, второй – изменение потенциальной энергии системы WП, а - работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему.
d(WK + WП) = A
При переходе системы из состояния 1 в состояние 2
; (1.)
Т.е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами.
Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то
d(WK + WП)=0 и
WK + WП = const.
- момент силы, действующий на тело
Момент силы – псевдовекторная величина равная произведению силы действующей на тело, на плечо этой силы
В кинематике мы представляли угловое ускорение вектором, параллельным оси вращения. Так как правая часть равенства есть модуль векторного произведения , то, выбрав указанный порядок умножения, мы получим век тор , параллельный .
=
Величина М называется моментом силы F от носительно оси вращения или вращающим мо ментом.
Момент силы - псевдовектор – его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от R к F.
F2 = Fsin, будет создавать вращение, сообщая телу ускорение.
dS = Rd = Rdt ( - угловое перемещение)
dA = =RF2dt,
dW = Id = dA.
. есть угловое ускорение тела.
I = RF2 = RFsin.
Основное уравнение динамики вращательного движения
(1.)
- проекция момента силы на ось вращения.
Это уравнение по форме аналогично второму закону Ньютона: = m и является аналитическим выражением второго закона Ньютона для вращательного движения.
Если на тело действует несколько внешних сил, лежащих в плоскости вращения, то суммарный вращающий момент по принципу суперпозиции равен:
(1.)
По II закону Ньютона miati = Fti; ;
(1.)
– момент инерции тела относительно оси Z.
; (1.)
Jz= - момент импульса тела относительно оси Z.
Мz = 0,
(Jz) = 0.
Jz= const. закон сохранения момента импульса тела, вращающегося около закрепленной оси.
J = ;
1. Момент инерции однородного обруча относительно оси, перпендикулярной к плоскости обруча и прохо дящей через его центр.
Будем считать толщину обруча посто янной, разобьем обруч на малые элементы mi;. Момент инерции относительно оси вы разится выражениями ,
;
2. Момент инерции стержня относительно оси, перпен дикулярной стержню и проходящей через центр масс и через один из концов стержня.
Разобьем стержень на малые элементы. Момент инерции относи тельно оси одной половины стержня равен , а всего стержня , .
Если S - сечение стержня, - плотность материала, то m = Sr;
JC=2Sri2r=2Sri2r в пределе операция суммирования переходит в интегрирование ;
Так как m = Sl - масса стержня, то момент инерции стержня относительно центра
JC = ;
Момент инерции шара
Момент инерции сплошного цилиндра или диска
Момент инерции тела зависит от формы тела, относительно какой оси вращается тело и от распределения массы по объему тела.
Теорема Штейнера: Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту инерции JC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния между осями d.
Рассмотрим теперь вращение тела с энергетической точки зрения. Допустим, что в некоторой точке тела приложена сила (в плоскости, перпендикулярной оси вращения), направление кото рой совпадает с вектором линейной скорости этой точки. Поэтому речь идет о силе = .
Элементарная работа этой силы равна
dA = Fds,
где ds — элемент дуги окружности, связанный, как известно, с ее радиусом и углом поворота следующим образом:
dS = rd;
Тогда
dA = Frd или
dA = Md .
Если М = const, то при повороте тела на конечный угол , формула для работы имеет вид
A = M;
Найдем теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Очевидно, эта энергия должна быть равна сумме кинетических энергий отдельных материальных точек, т.е.
WК = ,
i = ri и, принимая во внимание, что момент инерции тела относительно оси вращения
WK =
Сравнивая полученное выражение с выражением для кине тической энергии тела, движущегося поступательно WK = , приходим к выводу, что момент инерции вращательного движе ния - мера инертности тела.
Работа А, совершенная моментом внешних сил на протяжении угла поворота = 2 - 1, связана с изменением кине тической энергии вращения тела следующим образом
A = ;
где 2 и 1 — угловые скорости тела в моменты, когда его угловые координаты равны соответственно 2 и 1.
В случае, например, скатывающегося цилиндра с наклонной плоскости без скольжения энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения
WK = +
где т — масса катящегося тела; C — скорость центра масс тела;
Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; - угловая скорость тела.
Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое дви жение, не связаны или слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стре мятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т.е. объем газа определяется объемом того сосуда, кото рый газ занимает.
Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в кото рый она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом.
Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одинако выми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика — раздел механики, изучающий равновесие и дви жение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми или твердыми телами — использует единый подход к изучению жидкостей и газов.
В механике жидкости и газы рассматриваются как сплош ные, непрерывно распределенные тела в занятой ими части про странства.
Плотность жидкости мало зависит от давления и во многих задачах можно пользоваться понятием несжимаемой жид кости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не из меняется со временем.
Жидкости имеют следующие наиболее характерные свойства.
Типичные жидкости (вода, бен зин, спирт и т.п.) не имеют трения покоя, частицы их очень подвижны. В других жидкостях имеется вязкость (внутреннее трение) — это мед, масло, вар и т.п. Однако при продолжитель ном действии силы частицы вязкой жидкости тоже становятся подвиж ными. Это свойство выражается так: жидкости не имеют упругости формы, для них модуль сдвига равен нулю.
Практически все жидкости не сжимаемы. Это значит, что для них коэффициенты сжатия имеют очень малые значения. Следовательно,
приближенно можно считать все жид кости невязкими и несжимаемыми: такие жидкости назы ваются идеальными.
[P]=Па=н/м2
Действие силы тяжести приводит к возникновению разности давлений между горизон тальными слоями жидкости находящимися на различной глубине. Разность сил давления в слоях АВ и СД (рис. 1.27) равна весу вертикального столба жидкости с основанием S и высотой h1. При поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности сила давления на слой находящийся на глубине h находится по формуле:
F =ghS, а давление на нижнее основание
давление столба жидкости
(1.)
Если давление на поверхности P0, то в любом го ризонтальном слое давление постоянно и будет зависеть от глубины слоя АВ:
(1.)
Согласно формуле (1.82) сила давления на нижние слои жид кости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погружен ное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), дей ствует со стороны этой жидкости (газа) направленная вверх вы талкивающая сила, равная весу жидкости (газа) вытесненной телом.
(1.)
где — плотность жидкости, V — объем погруженного в жид кость тела.
Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком.
Абсолютно несжимаемая и абсолютно невязкая жидкость называется идеальной жидкостью.
Всю жидкость можно представить в виде поля вектора скорости. Тогда в поле вектора скорости можно провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости частицы жидкости в этой же точке. Такие линии называются линиями тока жидкости (рис. 1.29). Линии тока приня то проводить так, что густота их была бы больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость те чет медленнее.
Установившееся течение жидкости называют стационарным течением.
В случае стационарного течения скорость жидкости в любой точке объе ма остается неизменной. Линии тока при стационарном течении остаются неизменными и совпадают с траекто рией отдельных частиц жидкости.
Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока
Возьмем трубку тока и выберем два нормальных сечения S1 и S2 (рис. 1.29). Обозначим через скорость течения жидкости в том месте, где проведено сечение S1, — скорость в сечении S2. Тогда за единицу времени через сечение S1 пройдет объем жид кости, равный , а через сечение S2 объем . Посколь ку жидкость несжимаемая, то
(1.)
Это соотношение справедливо для любых двух сечений труб ки тока. уравнением неразрывности для не сжимаемой жидкости
(1.)
где - объемный расход.
По теореме о неразрывности струи в тех местах, где труба шире, жидкость будет протекать медленней, а в тех местах, где труба уже, скорость течения жидкости будет больше. Другим вы водом является то, что давление в широких местах больше, чем в узких.
При протекании некоторой массы жидкости m, будет совершаться механическая работа, т.к. на эту массу жидкости действует сила, обу словленная наличием давления Р. По закону сохранения энергии
Е2 – Е1 = А
(1.)
; ;
(1.)
Для переноса массы жидкости m в месте расположения первого сечения жидкость должна продвинуться на отрезок l1 = 1t, во втором сечении на отрезок .
Силы, дей ствующие на оба конца выделенного участка жидкости, соответ ственно равны
и (1.)
, (1.)
(1.)
Перепишем последнее уравнение в виде
(1.)
Согласно закону о неразрывности струи
где V - объем жидкости, заключенный между сечениями S1 и S2.
(1.)
Разделим на V
и, принимая во внимание, что плотность жидкости = m/V, имеем
(1.)
т.к. сечения выбирались произвольно, то можем записать уравнением Бернулли
(1.)
Уравнение Бер нулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости.
Р -статическое давле ние (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела),
— динамическое давление.
gh -гидростатическое давле ние.
Если трубка тока расположена горизонтально (h1 = h2), то уравнение Бернулли имеет следующий вид:
(1.)
или
, (1.)
где – называется полным давлением.
Трубка Вентури
, (1.)
т.к. , то и следовательно
(1.)
трубка Пито-Прандтля
Р0 – Р = 0gh (1.)
где 0 — плотность жидкости в манометре.
согласно уравнению Бернулли,
(1.)
Из формул (1.58) и (1.59) получаем искомую скорость пото ка жидкости
(1.)
3. Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса рис.1.36.
Таким образом, можно откачивать воздух из сосуда до давления 100мм.рт.ст. (1 мм рт.ст. =133,32 Па)
(1.)
Так как давление Р1 и P2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т.е. Р1 = P2, то уравнение будет иметь вид
(1.)
Из уравнения неразрывности (1.62) следует, что .
где S1 и S2 - площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S1 S2 то членом можно пренебречь и ;
- это выражение получило название формулы Торричелли,
т.е. скорость истечения жидкости из отверстия (бокового или донного) равна скорости тела при свободном паде нии его с высоты уровня жидкости. Эта скорость не зависит ни от плотности жидкости, ни от давления.
,
' = -.
На законе сохранения импульса основано действие гребных винтов, работа реактивных двигателей и т.п.
Вязкость (внутреннее трение) — это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой.
, (1.)
В результате инерции частиц в этих слоях появляются силы, противодействующие происходящим в них изменениям движения, а это и есть трение (внутреннее).
Сила внутреннего трения
, (1.)
где коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости, называется динамической вязкостью (или просто вязкостью).
=[Па.с].
Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей c увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Например, вязкость касторового масла в интервале 18-400С падает в четыре раза. Русский физик П. Капица (1894-1984) открыл, что при температуре 2,17 К жидкий гелий переходит в сверхтекучее состояние, в котором его вязкость равна нулю.
Существует два режима течения жидкостей. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относительно соседних, не перемешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).
Английский ученый О. Рейнольдс (1842-1912) установил, что характер течения зависит от безразмерной величины, называемой
числом Рейнольдса:
(1.)
где = / - кинематическая вязкость; — плотность жидкости;
<> — средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например, диаметр трубы.
Вычисляя числа Рейнольдса для разных жидкостей и газов, нашли, что переход от ламинарного движения к турбулентному происходит
при значении Rе 1160:
если Re 1160 — движение ламинарное;
если Re> 1160 — движение турбулентное.
Для воды в водопроводных трубах 1200 < Re< 2000.
Если число Рейнольдса одинаково, то режим течения различных жидкостей (газов) в трубах разных сечений одинаков.
Метод Стокса.
Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленно движущихся в жидкости небольших тел сферической формы.
Сила тяжести
Р = r3g,
Сила архимеда
FA=4r3’g/3,
где ' — плотность жидкости;
Сила сопротивления, (формула Стокса)
F = 6r,
где r — радиус шарика, и - его скорость.
При равномерном движении шарика.
P=FA+F (1.)
или
r3g = r3’g +6r, (1.)
откуда
(1.)
Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жидкости (газа).
Метод Пуазейля.
Этот метод основан на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l.
В жидкости мысленно выдели цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr (рис.3). сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность этого слоя,
, (1.)
где dS — боковая поверхность цилиндрического слоя, поэтому
(1.)
После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место
прилипание жидкости, т.е. скорость на расстоянии R от оси равнанулю, получим
= (R2-r2).
Отсюда видно, что скорости частиц в жидкости распределяются по параболическому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы Откуда За время t из трубы вытекает жидкость объем которой можно определить по следующей формуле
(1.)
Тогда вязкость определяется по следующей формуле
=. (1.)
Классическая механика Ньютона, как теория движения, долгое время находилась в полном согласии с опытом, пока не были проведены эксперименты по определению скорости света. Применение элементарного преобразования Галилея относительно движущегося приемника или источника приводит к тому, что скорость света cR = c , где – скорость приемника, который движется навстречу источнику (+) или от него (-) относительно движущегося приемника должна определяться как
Однако многочисленные попытки подтвердить это равенство оказались безуспешными. Во всех экспериментах с движущимся источником скорость света оказывалась неизменной в свободном пространстве cR = с, т.е. имела одно и то же значение во всех си стемах отсчета, движущихся равномерно и прямолинейно относи тельно источника света. Другими словами, скорость света оказа лась инвариантной для, инерциальных систем отсчета.
Кроме этого, в природе не было обнаружено объектов, дви жущихся с большей скоростью, чем скорость света. Не увенчались успехом и попытки ускорить, в частности, заряженные, частицы до скоростей, больших или равных скорости света.
В связи с этим было признано, что механика Ньютона является ограниченно справедливой, т.е. справедлива для движения больших масс и малых скоростей, где ее выводы хорошо совпада ют с практикой. В результате возникла необходимость создания новой, более всеобъемлющей механики, которая включала бы ме ханику Ньютона, как частный предельный случай для малых скоростей.
Такую теорию в 1906 г. предложил Эйнштейн. Она получила название специальной (частной) теорий относительности. В основу теории Эйнштейн положил два постулата:
1.
Принцип относительности, который является обобщением принципа относительности Галилея на любые физические процес сы. Он формулируется следующим образом:
Все физические явления протекают одинаково во всех инер циальных системах. Или другими словами: все законы природы и уравнения, их описывающие, инвариантны (не изменяются) при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Таким образом, никаким опытом нельзя, в принципе, выде лить предпочтительную инерциальную систему, они все эквива лентны.
2. Скорость света в вакууме не зависит от движения источника и одинакова во всех направлениях, т.е. скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах и является предельной.
С=3108 м/с
Из этого постулата следует, что никакой сигнал, никакое воздействие одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света. Это положение принципиально отличается от положенного в основу механики Ньютона положения, что взаимодействие тел распространяется мгновенно, т.е. с бесконечно большой скоростью.
факт постоянства скорости света требует пересмотра представлений о геометрии мира и представлений о времени.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета:
К с осями XYZ и началом в точке О и K’ с осями X’Y’Z’ и началом в точке O’. Времена t и t’ в обеих системах отсчитываются от момента, когда точки
O и O’ совпадали. При t = t’= 0 в начале координат происходит вспышка света. ОА = ОВ = l; O’A’ = O’B’ = l;
Рассмотрим в какой последовательности во времени световой сигнал будет достигать точек A, B, A’, B’. (Обе системы равноправны, свет в обеих системах распространяется с одинаковой скоростью во всех направлениях).
Система К. Световой сигнал достигает точек А и В через одинаковое время t = l/c. Точка A’ движется навстречу лучу света и будет поэтому освещена раньше. Точка B’ удаляется от источника света и будет освещена позже всех.
Свет достигнет точки A’ раньше всех;
Свет достигнет точек A и В одновременно;
Свет достигнет точки В’ позже всех.
Система К’.
Свет достигнет точки B раньше всех;
Свет достигнет точек A’ и В’ одновременно;
Свет достигнет точки A позже всех.
Таким образом, в специальной теории относительности в от личие от механики Ньютона при переходе от одной системы коор динат к другой преобразования координат и времени должны быть такими, чтобы (в отличие от преобразований Галилея) значение скорости света было независимо от движения источника.
Такая форма преобразования координат и времени получила название преобразований Лоренца.
x’ = ; x =
y’ = y; y = y’
z’ = z; z = z’
t’ = ; t = ;
Лоренц был уверен в том, что время во всех системах отсчета должно течь одинаково. Поэтому преобразования времени он счел фиктивными, а следовательно и все остальные преобразования лишенными физического смысла. Лишь Эйнштейн сумел понять, что речь идет об истинных временах инерциальных систем S и S’. Величина t есть реальное время системы отсчета S, t’ –столь же реальное время системы отсчета S’.
Из преобразований Лоренца следует, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняется при переходе от одной системы отсчета к другой. В закон преобразования координат входит время, в закон преобразования времени- координаты. Устанавливается взаимосвязь пространства и времени.
1. Из преобразований Лоренца видно, что относительные скорости имеют верхнюю границу с, при с становится мнимым и координаты
x’ и t’ теряют физический смысл.
2. Движущиеся тела изменяют свои размеры. Пусть стержень расположен вдоль оси О’Х’ и движется вместе с системой отсчета S’.
l0’ = x2’ – x1’ = const;
Значок «’» показывает, что длина l измеряется в системе отсчета S’, индекс нуль – что в данной системе отсчета стержень покоится.
Измерим координаты концов стержня х1 и х2 в системе отсчета S в один и тот же момент времени t этой системы. Эти события в системе S’ будут неодновременными.
l0’ = x2’ – x1’ = -
= = ; (1.)
; (1.)
Из симметрии преобразований Лоренца следует, что если бы стержень длиной l0 покоился в системе S и мы измеряли бы координаты его концов в движущейся системе S’ в один и тот же момент времени этой системы t’, то его длина l’ по отношению к l0 укоротилась бы в то же число раз.
(1.)
3. В движущейся системе изменяется ход течения времени.
Пусть в некоторой точке x0’ движущейся системы O’X’Y’Z’ произошли два последовательных события в моменты времени t1’ и t2’. Для простоты будем говорить о показаниях часов, помещенных в точку x0’ и неподвижных относительно S’.
. (1.)
Следя из системы S за движущимися относительно нее часами, мы обнаружим, что эти часы идут медленнее.
При изучении движения элементарных частиц (мезонов) получе ны прямые подтверждения изменения хода времени в системе, связанной с Землей, по сравнению с системой, связанной с быстродвижущимся мезоном. Мезон — нестабильная частица, несущая единич ный элементарный положительный заряд; масса его превышает массу электрона в 270 раз. Установлено что в системе, где мезон покоится, время его жизни равно t0=2,5.10-8 с.
Однако имеются, данные, свидетельствующие о возможности ре гистрации мезона на расстоянии сотен метров от места его рождения (в системе отсчета, связанной с Землей). С классической точки зре ния путь, который способен пройти мезон до своего распада, равен: l0 сt0= 7,5 м, так как скорость мезона очень близка к скорости света. Эта величина в сотни раз меньше пути, оцениваемого земным наблюдателем. Дело в том, что в системе отсчета, связанной с Землей, время жизни мезона составляет:
.
За это время мезон может пройти путь, равный 750 м, что соответствует опытным данным.
Прямых опытов, дающих возможность измерить сокращение длины, пока не имеется, но справедливость этого заключения доказывается справедливостью специальной теории относительности в целом.
В системе S’ точка движется с относительной скоростью .
Система S’ движется относительно системы S в том же направлении с переносной скоростью . Определим, чему равна абсолютная скорость материальной точки w.
. (1.)
Пусть при t = t’ = 0, x =x’ = 0, т.е. точка находится в начале координат.
Из преобразований Лоренца следует, что
, (1.)
Время определяется по следующей формуле
, (1.)
тогда
; (1.)
т.к. , то
. (1.)
При u c, V c, 1 и U = u +.
При u =c (для фотона),
, (1.)
т.е. преобразования Лоренца удовлетворяют постулату Эйнштейна.
Эйнштейн показал, что форма записи второго закона Ньютона сохраняется, если понимать релятивистский импульс
. (1.)
Основной закон динамики материальной точки имеет вид
. (1.)
Релятивистская масса (масса движущегося тела m) связана с массой покоящегося тела соотношением
. (1.)
Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.
Масса и энергия релятивистской частицы взаимосвязаны и возможны их взаимные превращения. .
Полная релятивистская энергия, инвариантная относительно систем отсчета, определяется выражением:
, (1.)
при = 0, имеем W0 = m0c2 – эта энергия представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого.
В релятивистской механике полная энергия частицы равна сумме кинетической энергии Т и энергии покоя W0.
W = W0 + T;
Отсюда
Т = W – W0 = (m – m0)c2.
Из выражения для энергии
(1.)
и выражения для импульса
(1.)
удается образовать инвариант, т.е. величину, не изменяющуюся при преобразованиях Лоренца:
, (1.)
или
W2 = m02c4 + p2c2.
(1.)