Лекция 5 Механические колебания План лекции 5
Работа добавлена на сайт samzan.net:
PAGE 75
Курс лекций по физике. Часть I: Механика PAGE 75
Лекция 5. Механические колебания
План лекции
5.1. Основные характеристики колебательного движения.
5.2. Кинетическая, потенциальная и полная энергии гармонических колебаний.
5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Маятники.
5.4. Затухание колебания.
5.5. Вынужденные колебания. Резонанс.
5.6. Явление резонанса в строительстве.
5.7. Сложение гармонических колебаний одного направления.
5.8. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
5.1. Основные характеристики
колебательного движения
Процессы, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени, называются колебаниями. В зависимости от физической природы различают механические, электромагнитные и другие виды колебаний. Несмотря на разную природу колебаний, в них обнаруживаются одни и те же физические закономерности, они описываются одними и теми же математическими уравнениями и исследуются общими методами, разработка и применение которых составляют задачу теории колебаний.
Среди разнообразных колебаний основную и существенную роль играют так называемые гармонические колебания, т.е. такие, при которых колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
Рассмотрим механические гармонические колебания на примере колеблющейся материальной точки. Пусть точка С вращается по окружности радиуса А с угловой скоростью ω0 (рис. 5.1).
Если точку С спроецировать на оси X и Y, то ее проекции будут совершать колебания и удовлетворять следующим уравнениям:
, , (5.1)
где φ = ω0t + φ0 – фаза колебаний.
Тогда
0) и y = A sin (0t + 0), (5.2)
где х и y – смещения колеблющейся точки от положения равновесия; А – амплитуда колебания (максимальное смещение); ω0 – круговая (циклическая) частота колебаний; 0 – начальная фаза (при t = 0).
Точка совершает одно полное колебание за время Τ, называемое периодом колебания. Частота колебаний ν (число колебаний в единицу времени) есть . Между указанными величинами существует взаимосвязь
(5.3)
Геометрический смысл параметров уравнений (5.2) можно объяснить с помощью векторных диаграмм. Выберем на оси Х точку О и из этой точки под углом φ0 проведем вектор А. Будем
вращать вектор А с угловой скоростью ω0 и тогда его проекция на ось ОХ будет смещаться на величину x (рис. 5.2):
х = Acos (0t + 0).
Колеблющаяся точка обладает скоростью и ускорением. Скорость материальной точки
0). (5.4)
Ускорение материальной точки
0). (5.5)
С учетом формулы (5.2) получим
(5.6)
Сравнивая уравнения (5.2), (5.4) и (5.5), замечаем, что скорость опережает смещение на π/2. Фазы ускорения и смещения различаются на π (изменяются в противофазе). Графические зависимости смещения, скорости и ускорения от времени показаны на рис. 5.3.
Умножив обе части равенства в уравнении (5.6) на массу m материальной точки, получим
(5.7)
Используя второй закон Ньютона, получаем
(5.8)
Рис. 5.3
Таким образом, чтобы совершались гармонические колебания на материальную точку, должна действовать сила F, пропорциональная смещению x, которая возвращает ее в положение равновесия
(5.9)
где k – некоторый коэффициент, зависящий от свойств колеблющейся системы, называемой жесткостью.
Из сравнения уравнений (5.8) и (5.9) видно, что
5.2. Кинетическая, потенциальная
и полная энергии гармонических колебаний
Полная энергия Е колеблющейся материальной точки равна сумме кинетической Ек и потенциальной Еп энергий
Е = Ек + Еп. (5.10)
Кинетическую энергию можно найти, зная массу m и скорость ,
(5.11)
Учитывая, что
0),
получаем
(5.12)
Выражение для потенциальной энергии можно найти из соотношений между потенциальной энергией и силой:
или
(5.13)
Отсюда
(5.14)
Учитывая, что и 0), получаем
(5.15)
Полную энергию получим, сложив выражения (5.12) и (5.15):
0)0)] = (5.16)
Таким образом, полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
Из формул (5.12) и (5.15) видно, что, когда Ек увеличивается, Еп уменьшается и наоборот.
5.3. Дифференциальное уравнение
гармонических колебаний. Маятники
На колеблющуюся материальную точку массой m действует возвращающая сила F = – kx. Эта сила вызывает ускорение Равенство этих сил позволяет записать
ma = – kx, (5.17)
где а – ускорение материальной точки; k – жесткость системы, ; х – смещение.
Сделав соответствующие подстановки в формулу (5.17), получим:
или (5.18)
Уравнение (5.18) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка незатухающих гармонических колебаний материальной точки. Решением этого дифференциального уравнения как раз и является уравнение (5.2):
0).
Колебания любого гармонического осциллятора (или гармонического вибратора) описываются дифференциальным уравнением второго порядка
(5.19)
Решением этого уравнения является:
+ 0), (5.20)
где s0 – амплитудное (максимальное) значение параметра s.
Примерами гармонических осцилляторов являются маятники, колебательный контур. В качестве примера малых колебаний рассмотрим колебания маятников.
Пружинный маятник
Груз массой m, подвешенный на упругой пружине, представляет собой пружинный маятник (рис. 5.4). Если груз оттянуть вниз и отпустить, то под действием силы F = – kx маятник будет
совершать колебания; k – коэффициент жесткости (в данном случае коэффициент упругости).
Уравнение движения маятника имеет вид
или
Его решение:
0).
Это значит, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0:
С другой стороны, , тогда период колебаний пружинного маятника
(5.21)
Физический маятник
Физическим маятником называется твердое тело, которое может колебаться под действием силы тяжести вокруг оси, не проходящей через центр масс С. При отклонении маятника относительно оси О на угол α, на него действует момент М возвращающей силы (рис. 5.5):
(5.22)
где I – момент инерции относительно оси О; l – плечо силы Fτ; при малых углах
Из выражения (5.22) получаем дифференциальное уравнение
или
(5.23)
Сравнив уравнение (5.23) с уравнением гармонического осциллятора (5.19), получим
(5.24)
где – приведенная длина физического маятника.
На рис. 5.5 от точки подвеса О (на линии ОС) на расстоянии приведенной длины L находится точка О1, называемая центром качания. Точки О и О1 обладают свойством взаимозаменяемости.
Математический маятник
Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, которая колеблется под действием силы тяжести.
Момент инерции материальной точки относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса, равен
Математический маятник является частным случаем физического маятника, поэтому период колебаний математического маятника можно вычислить по формуле (5.24), учитывая, что приведенная длина физического маятника и длина математического маятника равны (L = l),
5.4. Затухание колебания
Движение в реальных системах всегда сопровождается трением, и в результате потери энергии колебания затухают. Свободные колебания всегда являются затухающими. Затухающие колебания можно продемонстрировать с помощью установки, изображенной на рис. 5.6. Если привести в колебание воронку с песком, то при движении под воронкой листа картона, обернутого черным бархатом, в направлении стрелки высыпающийся песок оставляет на нем след затухающих колебаний.
При малых скоростях колебания сила трения пропорциональна скорости
(5.25)
где r – коэффициент сопротивления.
На колеблющуюся систему массой m действует сумма сил (), которая вы-
зывает ускорение этой системы, т.е.
или
(5.26)
Зная, что , и обозначив (α – коэффициент затухания), получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний
(5.27)
Решением этого уравнения при условии ω0 > α является выражение
). (5.28)
Здесь – частота затухающих колебаний, а постоянные А0 и φ зависят от начальных условий.
На рис. 5.7 представлен график функции (5.28). На графике пунктиром показаны кривые затухания амплитуд. Уменьшение амплитуд происходит по закону
(5.29)
где α – коэффициент затухания, характеризующий скорость затухания колебаний.
Найдем время τ, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Если в формулу (5.29) подставить , получим = 1 или
Следовательно, коэффициент затухания обратно пропорционален времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз.
Мерой затухания является величина, называемая логарифмическим декрементом затухания δ. Логарифмический декремент затухания
есть логарифм отношения двух последовательных амплитуд колебаний, отличающихся на время периода колебаний:
(5.30)
При малых значениях δ пользуются понятием добротности
Период затухающих колебаний равен:
При система совершает периодические затухающие колебания, как показано на рис. 5.8.
Когда , то Τ ∞. Это значит, что движение перестает быть периодическим (см. рис. 5.8). В зависимости от начальных условий система возвращается в положение равновесия по одной из двух указанных кривых.
5.5. Вынужденные колебания. Резонанс
Колебания реальной системы всегда происходят с трением и с течением времени они затухают. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо компенсировать потери энергии воздействием на систему внешней силой.
Наиболее простой случай, когда внешняя сила F изменяется по гармоническому закону
(5.31)
где F0 – амплитудное значение силы; ω – циклическая частота действия вынуждающей силы.
Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными. К силам, действующим при свободных колебаниях (5.26), прибавляется вынуждающая сила и тогда:
или
(5.32)
где – коэффициент затухания; – собственная циклическая частота колебаний системы;
Это неоднородное дифференциальное уравнение незатухающих колебаний, решение которого равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Установившиеся вынужденные колебания происходят по гармоническому закону с частотой, равной частоте внешней силы ω. В этом случае решением уравнения (5.32) будет
), (5.33)
где А – амплитуда, φ – сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой.
А и φ зависят от соотношений между ω и ω0. Чтобы установить эти зависимости, воспользуемся уравнением (5.33) и подставим в уравнение (5.32) значение х, , .
После соответствующих преобразований получим:
(5.34)
и
tg . (5.35)
Из выражения (5.34) видно, что амплитуда А зависит от частоты вынуждающей силы ω и при она максимальна. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда циклические частоты вынуждающей силы и свободных колебаний близки друг к другу, называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой. Резонансные кривые изображены на рис. 5.9.
Рис. 5.9
Из уравнения (5.34) видно, что при ω = 0
;
при ω ≈ ω0 (при резонансе)
Из формулы (5.35) следует, что при ω = 0 и φ = 0 фазы силы и колебания совпадают, а при резонансе (ω ≈ ω0, φ = π/2) сила опережает колебания на π/2. При увеличении ω сдвиг фаз увеличивается и при ω >> ω0 φ → π. Это значит, что фаза колебаний почти противоположна фазе вынуждающей силы.
В подтверждение сказанному можно продемонстрировать явление резонанса и сдвиг фаз на установке (рис. 5.10). Если тяжелый правый маятник вывести из равновесия, то крайний левый, одинаковый по длине маятник придет в резонанс и будет максимально отклоняться. При этом их колебания по фазе будут отличаться на π/2.
Явление резонанса может быть вредным и полезным. Оно учитывается в строительстве, используется в акустике, радиотехнике и т.д.
5.6. Явление резонанса в строительстве
Важнейшую роль играет учет резонанса в строительстве. Будущим строителям дорог и мостов, например, важно знать, почему на мосту сбавляют скорость поезда. При уменьшении скорости поезда увеличивается период между ударами колес о стыки рельсов, и он становится больше периода собственных колебаний моста. В этом случае уменьшается возможность резонанса, т.е. становится меньше раскачка вагонов и их разрушающее воздействие на мост.
При строительстве зданий и сооружений, при проектировании машин и различных сооружений, которые подвергаются колебательным нагрузкам, приходится предусматривать возможные последствия резонанса. Несбалансированность работы двигателей и машин в зданиях может быть причиной возникновения резонанса. В результате вынужденные колебания могут быть настолько сильны, что они постепенно разрушат фундамент здания. Чтобы избежать резонанс или ослабить его действие, производят расстройку периодов, увеличивают затухание колебаний демпфированием, выносят некоторые машины на отдельный фундамент.
Явление резонанса широко используется в строительстве в различных вибраторах и вибростендах. Вибраторы – это устройства с преднамеренным возбуждением механических колебаний (вибраций) для выполнения различных функций. Например, для уплотнения грунта и бетонной смеси, для погружения в грунт свай и труб, удаления окалины и продуктов коррозии с поверхностей деталей и др. На специальных вибрационных стендах испытывают строительные изделия на вибропрочность и виброустойчивость.
Есть способ понижения трения резонансным методом. При наложении к трущимся деталям нормальных вынужденных колебаний в резонансном режиме можно добиться резкого уменьшения трения.
5.7. Сложение гармонических колебаний
одного направления
Если точка одновременно участвует в двух или нескольких колебаниях, то происходит сложение этих колебаний. Рассмотрим два случая: сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой и происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях.
Сложим вначале гармонические колебания, происходящие по одной прямой с одинаковой частотой
x1 = A1 cos (t + 1);
x2 = A2 cos (t + 2),
где амплитуды их колебаний А1 ≠ А2 и начальные фазы φ1 ≠ φ2.
Результирующее смещение колеблющейся точки х равно алгебраической сумме х1 и х2:
1) + А2 cos (t + 2). (5.37)
После соответствующих тригонометрических преобразований уравнение (5.37) можно привести к виду
x = A cos (t + ), (5.38)
где А – амплитуда; φ – начальная фаза результирующего колебания.
Теперь сложим колебания (5.36) геометрически. Смещения х1 и х2 можно представить как проекции вращающихся векторов
и с одинаковой угловой скоростью ω.
Результирующее колебание представляется в виде проекции вектора , вращающегося с той же угловой скоростью ω, и согласуется с уравнением (5.38) (рис. 5.11). Здесь (t + 1), (t + 2), (t + ) – углы, определяющие векторы , и . Угол
между векторами и равен:
(t + 2) – (t + 1) = 2 – 1. (5.39)
В момент времени t = 0 углы, определяющие векторы , и, соответственно равны φ1, φ2 и φ. Тогда
. (5.40)
Из ∆ОВD можно определить модуль вектора
(5.41)
Из рис. 5.11 видно, что α = 180° – (φ2 – φ1).
Так как
– cos = – cos [180o – (2 – 1)] = cos (2 – 1),
то
(2 – 1). (5.42)
Из уравнения (5.42) видно, что результирующее колебание зависит от начальных условий (от разности фаз (φ2 – φ1)). Если φ2 – φ1 = 2kπ (k = 0, 1, 2, …), то (5.42) примет вид
и A = A1 + A2,
т.е. при синфазных колебаниях амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний.
Если φ2 – φ1 = (2k + 1)π (k = 0, 1, 2, …), то cos (2k + 1)π = –1 и выражение (5.42) принимает вид
А = |А1 – А2|,
т.е. при противофазных колебаниях амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд слагаемых колебаний.
Рассмотрим теперь сложение колебаний, происходящих по одному направлению с одинаковыми фазами и с разными частотами ω1 и ω2, но мало отличающимися друг от друга
x1 = A1 cos (1t + );
x2 = A2 cos (2t + ).
Для упрощения допустим, что амплитуды колебаний одинаковы А1 = А2 = А0 и начальная фаза равна нулю (φ = 0)
(5.44)
Результирующее смещение х равно
(5.45)
Выражение (5.45) представляет собой произведение двух колебаний с циклическими частотами и . Учитывая, что << , результирующее колебание приближенно можно считать гармоническим. Амплитуда его хоть и медленно, но изменяется со временем. На рис. 5.12 изображен график функции (5.45) и на нем видно, что амплитуда то увеличивается, то уменьшается. Гармониче-
Рис. 5.12
ское колебание с пульсирующей амплитудой называется биением. Величина называется циклической частотой биения, а – период биения.
Метод биений широко используется на практике: для определения частоты тона при настройке музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.
5.8. Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний
Изучим результирующее колебание при сложении двух колебаний с одинаковыми циклическими частотами ω, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей Х и Y.
x = Acos (t + 1);
y = Bcos (t + 2).
Для определения уравнения траектории результирующего движения необходимо из уравнения (5.46) исключить время t. Для этого раскроем косинус суммы углов, затем умножим первое уравнение на сos φ2, второе на cos φ1 и вычтем из первого уравнения второе
(5.47)
После этих преобразований получим
2 1 = sin t sin (2 – 1). (5.48)
Аналогичные действия произведем, умножив уравнения (5.47) на sin φ2 и sin φ1:
2 1 = cos t sin (2 – 1). (5.49)
Возводя в квадрат уравнения (5.48) и (5.49) и складывая их, получим уравнение эллипса
(2 – 1) = sin2 (2 – 1). (5.50)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1). Пусть разность фаз φ2 – φ1 = 0. Уравнение (5.50) примет вид
или .
Отсюда – уравнение прямой (рис. 5.13). Следовательно, результирующее колебание точки происходит по прямой, составляющей с осью ОХ угол, тангенс которого равен . Точка совершает гармонические колебания с циклической частотой ω и амплитудой .
2). При разности фаз φ2 – φ1 = π уравнение (5.50) примет вид .
Тогда – уравнение прямой (рис. 5.14). Результирующее колебание также гармоническое с частотой ω происходит по прямой около центра О, наклоненной к ОХ под углом, большим, чем π/2.
Рис. 5.13 Рис. 5.14
Иными словами, при значениях φ2 – φ1 = kπ (k = 0, 1, 2, …) в уравнении (5.50) , , и мы получаем уравнение прямой .
3). При 2 – 1 уравнение траектории будет представлять собой эллипс
При равенстве амплитуд А + В = R эллипс превращается в окружность
.
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных, но кратных между собой частот (например, и т.д.) получаются различные траектории материальной точки, называемые фигурами Лиссажу (рис. 5.15). Вид фигур зависит от соотношения частот ω1/ω2 и разности начальных фаз (φ2 – φ1) слагаемых колебаний.
Рис. 5.15
Исследования частот и разности фаз складываемых колебаний с помощью фигур Лиссажу широко используется на практике, особенно в измерительной технике.
К началу
К следующей лекции К содержанию
К титулу
PAGE 76
Лекция 5. Механические колебания
2. 1История развития вычислительной техники
3. Логистика Преподаватель ~ Ташбаев Ы
4. Вариант 5 1Укажите с чем был связано возникновение практики управления
5. Сущность и общие положения производства очной ставки Очная ставка это одновременный допрос двух ранее
6. Теоретические основы исследования игровых технологий как средства развития познавательных интересов младших школьников
7. ] бугорокКлетки поверхностного слоя растягиваются
8. Зачем Левша блоху ковал
9. Нефтяной экспорт России и «голландская болезнь»
10. Социальная философия ЛН Толстого
11. Тема- Построение диаграмм Цель- Проанализировать объем продаж и прибыли предприятия
12. квадрат в 2014 году Постановлением правительства Челябинской области установлен минимальный размер взнос
13. Дорогочинская ВА Присадки к смазочным материалам
14. Реферат- Интернет об интернете
15. Тема- Путешествие в сказку со Снежной королевой
16. Реферат- Роль денег в экономической системе
17. Реферат- Автоматизация рабочего места бухгалтера-кассира
18. Реферат- Олово и его основные сплавы
19. Реферат- Нефть - чёрное золото планеты
20. Тема ВКР-