ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 Интерполирование степенными многочленами
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Специальность 220201 Управление и информатика в технических
системах .
Кафедра Информационных и управляющих систем /.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
«Интерполирование степенными многочленами.» .
(Тема выпускной квалификационной работы)
Шифр ВКР ЛР – 02068108 – 2.12
Автор ________________ _________ Клёцкин А.А. .
(Подпись) (Дата) (Фамилия, инициалы)
Руководитель ________________ _________ Хромых Е.А. .
(Подпись) (Дата) (Фамилия, инициалы)
ВОРОНЕЖ – 2006 г.
Цель работы – освоение приемов и методов интерполирования табличных зависимостей
степенными многочленами на ЭВМ.
1. Постановка задачи
1 Методом неопределенных коэффициентов осуществить интерполирование значений градировочной таблицы (приложение 2), в которой отражена зависимость сопротивления от температуры. Для интерполирования использовать степенной полином. Метод решения системы линейных уравнений выбирается в соответствии с вариантом. Составить алгоритм и программу расчета коэффициентов интерполяционной зависимости. Определить значение сопротивления при заданной температуре.
2 Осуществить интерполирование табличной зависимости плотности жидкости от температуры (приложение 3). Для интерполирования использовать интерполяционный полином Лагранжа или интерполяционные формулы Ньютона (в соответствии с выбранным вариантом). Составить алгоритм и программу расчета коэффициентов степенного полинома, используя формулы Лагранжа или Ньютона. Определить плотность жидкости при заданной температуре.
3 Провести анализ полученных результатов.
4 Оформить отчет.
Приложение 2
2. Исходные данные
|
Номер варианта |
Табличные зависимости |
Контрольная температура |
Метод решения системы линейных уравнений |
|||
|
i |
1 |
2 |
3 |
|||
|
2.12 |
ti,С Ri,Oм |
2 5 |
25 6 |
45 9.1 |
7 |
Гаусса |
ti- табличное значение i-ой температуры;
Ri- сопротивление, соответствующее i-ой температуре;
tк=7 оС – контрольная температура;
Rк - искомое сопротивление.
3. Математическая формулировка
Для получения данных, не вошедших в таблицу известных, используют метод интерполирования. Использование степенных многочленов является наиболее простым и удобным способом. Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что если в уравнение подставить табличные значения , то определение коэффициентов сводится к решению системы m линейных уравнений, где m=n+1:
Для решения системы линейных уравнений чаще всего используют методы Крамера, Гаусса, обращения матриц.
Метод Гаусса
Количество экспериментальных точек m=3. Следовательно, порядок интерполяционного многочлена n=2. Получаем систему уравнений:
Исключим элементы первого столбца из второго и третьего уравнений системы:
Обозначим =t1*
= t2*
= t3*
= t4*
= r1*
= r2*
Система уравнений принимает следующий вид:
Разделим вторую строку на :
Умножим ее на и вычтем из третьей:
Пусть:
=
=
=
=
Откуда получаем:
Теперь мы можем найти искомое сопротивление:
4. Выбор метода решения
Анализ математической формулировки показывает, что в качестве метода решения необходимо использовать линейный вычислительный процесс (с точки зрения программирования). С точки зрения математики, будем использовать метод Гаусса.
5. Алгоритм решения
6. Решение задачи в MathCAD
Запишем систему уравнений с 3-мя неизвестными:
Полученную систему решим методом Гаусса:
Коэффициент a2 в общем виде:
Коэффициент a1 в общем виде:
Коэффициент a0 в общем виде:
Неизвестные коэффициенты равны:
Сделаем проверку правильности коэффициентов:
Построим график функции R(t):
Рассчитаем сопротивление при температуре tk=7
Сопротивление при температуре 7 равно 4.984
Приложение 3
2. Исходные данные
|
Номер варианта |
Вещество |
Табличные зависимости |
Заданная температура |
Метод интерполирования |
||||||
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||||
|
2.12 |
Муравьиная кислота |
ti,С , кг/м3 |
20 1220 |
40 1195 |
60 1171 |
80 1147 |
100 1121 |
- |
67 |
2-я интерполяционная формула Ньютона |
ti- табличное значение i-ой температуры;
ρi- плотность, соответствующая i-ой температуре;
tк=67 оС – заданная температура;
Rк- искомая плотность;
m=5-количество данных.
3. Математическая формулировка
Интерполяционные многочлены Ньютона можно построить только при равноотстоящем расположении узлов интерполирования (точки должны быть равноотстоящие).
Пусть функция y=f(x) задана своими значениями в n+1 узлах интерполирования, т.е.
y1 = f(x1); y2 = f(x2); … f(xn+1); … f(xn+1) = yn+1
h = xi+1-xi = const, n+1=m.
Требуется найти многочлен Pn(x) такой, чтобы
Pn(x1) = f(x1)
Pn(x2) = f(x2)
.
.
Pn(xn+1) = f(xn+1)
(7)
Вторая формула Ньютона используется для интерполирования в конце таблицы, т.к. не рассматривает 1-го узла интерполирования (х1, у1).
h =ti+1-ti
∆4=5-4
∆23=∆4 -∆3=y5 -2*4+3
∆32=∆23-∆22=y5-3*4+3*3-2
∆41=∆32-∆31=5-4*4+6*3-4*2+1
Формула многочлена для n=4 будет иметь вид:
(*)
4. Выбор метода решения
Анализ математической формулировки показывает, что в качестве метода решения необходимо использовать линейный вычислительный процесс (с точки зрения программирования). С точки зрения математики, будем использовать вторую интерполяционную формулу Ньютона.
5. Алгоритм решения
6. Решение задачи в MathCAD
Количество экспериментальных точек m=5. Порядок 2-й интерполяционной формулы Ньютона n=4
Формула будет выглядеть следующим образом:
Построим график функции:
Сделаем проверку:
Вывод
Выполняя данную лабораторную работы, я освоил приемы и методы интерполирования табличных зависимостей степенными многочленами на ЭВМ с использованием MathCAD. В каждом задании построены графики, которые подтверждают правильность решения, так как все точки лежат на графике, также делаются проверки. Метод неопределенных коэффициентов представляет собой трудоёмкий процесс из-за многочисленности формул. Они имеют большие размеры и могут вызвать ошибки, но благодаря средствам пакета существуют автоматические функции, помогающие отслеживать правильность хода решения. Вторая интерполяционная формула Ньютона использует лишь одну формулу, что существенно экономит время. Оба эти метода являются точными.
2. Поволжская государственная социальногуманитарная академия Мероприятия
3. Конфуцианство в Китае
4. Анализ эффективности использования основных средств предприятия
5. Роль индивидуальных различий в кадровом менеджменте
6. Реферат- Аппараты электросна
7. задание по линейным пространствам и линейным преобразованиям Задача 1 Является ли линейным пространств
8. реферат дисертації на здобуття наукового ступенядоктора педагогічних наук Київ ~ 2006 Дисертацією є руко
9. Власть тьмы Плоды просвещения
10. Г.К.С. это культура крупных и средних несельскохозяйственных поселений обычно крупных индустриальных и
11. Лабораторная работа 4 Тема Технічна діагностика цифрової АТС Атлант
12. На тему- Министр финансов Выполнили- студентки ФЭФ 13 Нгуен Ча Ми Полетаева Ксения Научный ру
13. Кліти~на від лат
14. СанктПетербургский Институт Проектного Менеджмента 197022 г.
15. Биосфера и ее свойства Последствия парникового эффекта
16. Одним из наиболее важных механизмов позволяющих государству осуществлять экономическое и социальное регу
17. реферату ІсламРозділ Релігія Іслам Іслам ~наймолодша світова релігія
18. Реферат на тему- ldquo;Термометрия
19. Тема лекции- Представления Представления относятся к группе вторичных образов
20. Европол, его назначение и структура управления