Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Практическое занятие 2.
Криволинейные системы координат. Координатные поверхности и линии
Связь координат точек в криволинейной системе координат с координатами точек в декартовой системе устанавливается соотношениями:
, , .
Координатные поверхности задаются следующим образом
, , .
Пересекаясь между собой координатные поверхности образуют координатные линии.
Так пересекаясь между собой поверхности
и
образуют координатную линию, вдоль которой изменяется переменная ν.
Поверхности
и
образуют при пересечении линию, вдоль которой изменяется переменная μ.
Поверхности
и
образуют линию γ.
Координатные поверхности одного типа, например, и не пересекаются между собой.
В ортогональной криволинейной системе координат координатные линии пересекаются под прямыми углами (касательные к этим линиям в точке пересечения перпендикулярны друг другу).
Приращения длин координатных линий равны:
, , .
Элементы площади:
, , .
Элемент объема:
.
В прямоугольной системе координат координатные поверхности (z=zi , y=yi), (x=xi , z=zi) и (x=xi , y=yi) – это плоскости, которые пересекаясь между собой соответственно образуют прямые координатные линии, вдоль которых изменяются переменные x,y,z.
Так попарно пересекаясь плоские поверхности (z=0, y=0), (x=0, z=0) и (x=0, y=0) образуют координатные линии x,y,z, проходящие через начало координат, рис.1. Приращения dl вдоль этих линий равны соответственно dx,dy и dz.
Рис.1. Координатные линии x, y, z
в прямоугольной системе координат, проходящие через начало координат.
Цилиндрическая система координат
Рассмотрим основные координатные поверхности, координатные линии, а также соответствующие приращения dl в цилиндрической системе координат.
В этой системе координаты точки В задаются переменными ρ, φ и z, рис.2.
Рис.2. Цилиндрическая система координат.
Координатные поверхности описываются функциями:
, , .
Попарно пересекаясь эти поверхности образуют координатные линии.
Образуется при пересечении координатных поверхностей
и .
Первая из них является цилиндрической поверхностью, вторая – это плоскость, рис.3.
Рис.3. Образование координатной линии φ.
При ρ=ρ1 и z=z1 вдоль координатной линии φ изменяется лишь переменная φ. Зафиксировав φ=φ1 получим координаты точки В(ρ1, φ1, z1).
Элемент приращения длины вдоль линии φ равен
, .
Рис.4. Образование координатной линии ρ.
Первая координатная поверхность – это полуплоскость, вторая – плоскость, параллельная плоскости X0Y. Здесь
, .
Получаем при пересечении координатных поверхностей цилиндра ρ=ρ1 и координатной полуплоскости φ=φ1.
Рис.5. Координатная линия z
Очевидно, что
, .
Таким образом,
, , ,
, , .
Элемент площади
, , .
Элемент объема
.
Сферическая система координат
Координатами точки B(ρ, φ, θ) являются расстояние ρ от начала координат, азимут φ и угол θ между ρ и осью z, рис.6.
Рис.6. Сферическая система координат.
Координатными поверхностями здесь являются поверхности
, , .
Рассмотрим попарно эти поверхности и соответствующие координатные линии их пересечения.
1. , .
Координатной поверхностью является шар радиуса ρ1. Координатной поверхностью является конус с углом 2θ1, осью и вершиной в начале координат. При пересечении конуса с шаром образуется окружность радиуса ρsinθ, являющейся координатной линией φ, рис7.
Рис.7. Образование координатной линии .
Здесь приращение длины вдоль координатной линии равно:
, .
2. , .
Координатной поверхностью является шар, а координатной поверхностью является полуплоскость. При пересечении этих поверхностей получаем координатную линию θ в виде полуокружности радиуса ρ1.
На рис.8. показано пересечение поверхности шара радиуса ρ1 с правой полуплоскостью .
Рис.8. Образование координатной линии .
Здесь , .
3. , .
Здесь координатную линию получаем в результате пересечения конуса (θ=θ1) и полуплоскости (φ=φ1). На рис.9. показано сечение конуса полуплоскостью φ=π/2.
Рис.9. Образование координатной линии ρ.
Приращение длины вдоль координатной линии ρ:
, .
Таким образом:
, , ,
, , .
Элементы площади в сферической системе координат равны:
,
,
,
Элемент объема
.
Запишем выражения для gradU, divE , уравнение Лапласа div gradU и выражение для ротора в общем виде, а затем декартовой, в цилиндрической и сферической системах координат.
В общем виде:
;
;
;
.
В декартовой системе координат:
;
;
.
В цилиндрической системе координат:
, , .
;
;
;
.
В сферической системе координат:
, , ;
;
;