криволинейные и поверхностные интегралы теория поля 11
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-20
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
11. криволинейные и поверхностные интегралы
теория поля
11.1. Вычислить , если L – отрезок прямой y=–2, заключённый между точками A(0,–2) и B(4,0).
11.2. Вычислить , если L – контур прямоугольника с вершинами в точках A(0,0), B(4,0), C(4,2), D(0,2).
11.3. Вычислить , если L – первая арка циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost)(a>0).
11.4. Вычислить , если L – отрезок прямой между A(1,0,1) и B(2,2,3).
11.5. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра x2+y2=Rx, заключённой внутри сферы x2+y2+z2=R2.
11.6. Вычислить , где LAB дуга параболы y=x2 от точки A(1,1) до точки B(2,4).
11.7. Вычислить , где LAB – отрезок прямой, соединяющий точки A(1,1,1) и B(2, 3, 4).
11.8. Вычислить , где L – дуга винтовой линии x=Rcost, y=Rsint, z=at/(2π) от точки ее пересечения с плоскостью z=0 до точки ее пересечения с плоскостью .
11.9. Вычислить , если линия LAB, соединяющая точки A(0,0) и B(1,1), задана уравнением: а) y=x; б) y=x2; в) y2=x; г) y=x3.
11.10. Найти координаты центра масс первой полуарки циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost), t [0;π].
11.11. Вычислить:
a) , если L – отрезок прямой, соединяющий точки A(0,0) и B(1,2);
б), где LAB - дуга параболы y=x2, лежащая между точками A(–1,1) и B(1,1).
11.12. Вычислить:
а) , если L – часть окружности x2+y2=9, лежащая в первом квадранте;
б), если LAB - отрезок прямой, соединяющий точки A(2,3) и B(3,5).
11.13. Вычислить:
а) , если L – отрезок прямой y=x+2, соединяющий точки A(2, 4) и B(1 ,3);
б), если LAB – дуга параболы y=2x–x2, расположенная между точками A(1,1) и B(3,–3).
11.14. Вычислить массу дуги кривой y=lnx плотностью =x2, если концы дуги определяются следующими значениями x: x1=, x2=.
11.15. Вычислить площадь поверхности, которую вырезает из круглого цилиндра радиусом R такой же цилиндр, если оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом.
11.16. С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь фигуры, ограниченной:
а) линией x=acos3t, y=asin3t (астроида);
б) первой аркой циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost) и осью Ox.
11.17. Найти функции u(x,y) по их полным дифференциалам:
а) du=4(x2–y2)(xdx–ydy);
б) du=(2xcosy–y2sinx)dx+(2ycosx–x2siny)dy;
в) du=(3y–x)dx+(y–3x)dy)/(x+y)3.
11.18. Вычислить работу силы F=(x2+y2+1)i+2xyj вдоль дуги параболы y=x3, заключенной между точками A(0,0) и B(1,1).
11.19. Применив формулу Грина, вычислить , где L – контур треугольника ABC с вершинами в точках A(3,0), B(3,3) и C(0,3).
11.20. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (4x3–y2)dx+(3x4y2–2xy)dy=0.
11.21. а) С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь области D, ограниченной линиями y=x2 и ;
б) Найти функцию u(x,y), если
du(x,y)=(2xy+x2–5)dx+(x2–y3+5)dy.
11.22. а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и дугой эллипса x2/a2+y2/b2=1, расположенной в первом квадранте.
б) Найти функцию u(x,y), если
du(x,y)=(x2+ +2xy–y2)dx+(x2–2xy+y2)dy.
11.23. а) Вычислить работу силы F(x,y)=2xyi+x2j, совершаемую на пути, соединяющем точки A(0,0) и B(2,1).
б) Найти функцию u(x,y), если
Поверхностные интегралы и теория поля.
- Вычислить поверхностный интеграл первого рода , если S – часть поверхности конуса , расположенная между плоскостями z=0 и z=3.
- Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где S – часть плоскости x+y+z=1, лежащая в первом октанте.
- Вычислить массу полусферы , если поверхностная плотность в каждой ее точке .
- Вычислить массу полусферы , если поверх-ностная плотность в каждой ее точке =x2+y2.
- Вычислить поверхностный интеграл второго рода , если S – верхняя часть поверхности x+2y+z–6=0, расположенная в первом октанте.
- Вычислить , если S – часть поверхности конуса x2+y2–z2=0, отсекаемая плоскостями z=0 и z=1, нормаль к которой образует тупой угол с осью Oz.
- Вычислить , если S – внешняя сторона сферы x2+y2+z2=1.
- Вычислить , если S – внешняя сторона цилиндра x2+y2=R2 с основаниями z=0 и z=H.
- Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностью S, , где S – внешняя сторона поверхности S.
- Вычислить , если S – внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и состоящей из цилиндра x2+y2=R2 и плоскостей x=0, y=0, z=0, z=H.
- Вычислить , если S – внешняя сторона пирамиды, гранями которой являются плоскости x=0, y=0, z=0, x+y+z=1.
- Вычислить , если S – верхняя часть плоскости 6x+3y+2z=6, расположенная в первом октанте.
- Вычислить , если S – часть поверхности параболоида z=x2+y2, отсекаемая плоскостью z=1.
- Вычислить , если S – внешняя часть поверхности тела, ограниченного поверхностями z=0, x2+y2=1, z=x2+y2+2.
- Вычислить дивергенцию векторного поля
a(M)=(xy+z2)i+(yz+x2)j+(zx+y2)k в точке М(1,3,–5).
- Вычислить поток векторного поля
a(M)=(x–3z)i+(x+2y+z)j+(4x+y)k через верхнюю часть плос-кости x+y+z=2, лежащую в первом октанте.
- Вычислить поток векторного поля a(M)=2xi+yj+3zk через часть поверхности эллипсоида , лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали.
- Вычислить поток векторного поля a(M)=(x–y)i+(x+y)j+z2k через поверхность цилиндрического тела, ограниченного поверхностями x2+y2=1, z=0 и z=2, в направлении внешней нормали.
- Доказать, что поток П радиуса-вектора r=xi+yj+zk через внешнюю сторону поверхности, ограничивающей тело V объемом , равен 3.
- Вычислить дивергенцию вектора напряженности магнитного поля H=(21/r)(–yi+xj), создаваемого током I, проходящим по бесконечно длинному проводу.
- Найти поток П векторного поля a(M)=x3i+y3j+z3k через поверхность шара x2+y2+z2=R2 в направлении внешней нормали.
- Вычислить поток П векторного поля a(M)=8xi+11yj+17zk через часть плоскости x+2y+3z=1, расположенной в первом октанте. Нормаль составляет острый угол с осью Oz.
- Найти поток П вектора a=xi–2yj–zk через замкнутую поверхность S, ограниченную поверхностями 1–z=x2+y2, z=0 в направлении внешней нормали.
- Найти поток П вектора a=x2i+z2j через часть поверхности z2=4–x–y, лежащую в первом октанте, и части координатных плоскостей, отсекаемых этой поверхностью, в направлении внешней нормали.
- 1. Найти дивергенцию поля grad u, если u=ln(x2+y2+z2);
2. Вычислить поток П векторного поля a(M)=xi+3yj+2zk через верхнюю часть плоскости x+y+z=1, расположенную в первом октанте.
- 1. Найти дивергенцию векторного поля a(M)=xy2i+x2yj+z3k в точке М(1,–1,3);
2. Вычислить поток векторного поля a(M)=3xi–yj–zk через поверхности 9–z=x2+y2, x=0, y=0, z=0, ограничивающее некоторое тело, в направлении внешней нормали.
- 1. Найти ;
2. Найти поток векторного поля a(M)=2xi+zk в направлении внешней нормали к поверхности тела, ограниченного поверхностями z=3x2+2y2, x2+y2=4. z=0.
- Найти ротор векторного поля a(M)=xyzi+(x+y+z)j+(x2+y2+z2)k в точке М(1,–1,2).
- С помощью формулы Стокса преобразовать интеграл , где Г – замкнутый контур, в интеграл по поверхности, «натянутой» на этот контур.
- Найти циркуляцию векторного поля a(M)=yi–2zj–xk вдоль эллипса, образованного сечением однополостного гиперболоида 2x2–y2+z2=R2 плоскостью y=x. Результат проверить с помощью формулы Стокса.
- Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=zi+xj+yk вдоль контура Г: x2+y2=4, z=0 в положительном направлении обхода относительно орта n0=k непосредственно и с помощью формулы Стокса.
- Найти циркуляцию векторного поля a(M)=z2i+x2j+y2k по сечению сферы x2+y2+z2=R2 плоскостью x+y+z=R в положительном направлении обхода относительно вектора n=(1,1,1).
- Найти циркуляцию векторного поля a(M)=y2i+xyj+(x2+y2)k по контуру, вырезаемому в первом октанте из параболоида x2+y2=Rz плоскостями x=0, y=0, z=R в положительном направлении обхода относительно внешней нормали поверхности параболоида.
- Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=zy2i+xz2j+yx2k по контуру пересечения параболоида x=y2+z2 с плоскостью x=9 в положительном направлении обхода относительно орта n0=i.
- Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=–yi+2j+k по линии Г пересечения конуса x2+y2–z2=0 с плоскостью z=1 в положительном направлении обхода относительно орта n0=k.
- Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=yi–xj+zk вдоль линии Г пересечения сферы x2+y2+z2=4 с конусом в положительном направлении обхода относительно орта n0=k.
- Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=yzi+2xzj+y2k по линии Г пересечения полусферы с цилиндром x2+y2=16 в положительном направлении обхода относительно орта n0=k.
- Вычислить циркуляцию векторного поля a(M)=(x–y)i+xj–zk вдоль линии Г пересечения цилиндра x2+y2=1 с плоскостью z=2, если n0=k.
- Доказать с помощью формулы Cтокса, что , где Г – любой замкнутый контур. Результата проверить путем вычисления интеграла по контуру треугольника АВС с вершинами А(0,0,0), В(1,1,0), С(1,1,1).
- Найти grad div a(M), если a(M)=x3i+y3j+z3k.
- Среда вращается как твердое тело вокруг оси Oz с угловой скоростью . Найти ротор поля линейных скоростей , где r – радиус-вектор движущейся точки М(x,y,z).
- Найти циркуляцию поля скоростей v, описанного в предыдущем задании, по окружности x2+y2=R2, z=0 в положительном направлении обхода относительно орта k.
- Доказать, что div rot a(M)=0 для любого поля a(M).
- Установить потенциальность поля a(M) и найти его потен-циал u, если:
а) ;
б) ;
в) .
- Проверить, является ли гармонической функция u=lnr, если .
- Установить потенциальность поля a(M) и найти его потенциал u:
а) ;
б) .
- Доказать, что векторное поле , где r=xi+yj+zk, которое описывает гравитационное поле, создаваемое точечной массой m, помещенной в начало координат, помещенной в начало координат ( – ньютоновская постоянная тяготения), является гармоническим (потенциальным и без-вихревым), найти его потенциал u и убедиться, что потенциал u удовлетворяет уравнению Лапласа.
- Доказать, что rot grad u(M)=0.
- Найти потенциал u поля a(M)=(yz+1)i+xzj+xyk и вычислить: .
Ответы
11.1. ln2. 11.2. 24. 11.3. 4πa. 11.4. 12. 11.5. 4R. 11.6. 40. 11.7. 13. 11.8. 0. 11.9. а) 1/3; б) 1/12; в) 17/30; г) –1/20. 11.10. 8a/3, 4a/3. 11.11. а) ; б) 2. 11.12. а) 27; б) 23/2. 11.13. а) ; б) . 11.14. 19/3. 11.15. 8R2. 11.16. а) 3a2/8; б) 3a2. 11.17. а) ; б) ; в) . 11.18. 196/105. 11.19. 18. 11.20. x4y3–xy2=C. 11.21. а) 1/3; б) . 11.22. а) ab/4. 11.23. а) 4; б) . 11.24. . 11.25. . 11.26. 128/15. 11.27. . 11.28. 54. 11.29. 8/3. 11.30. 32/15. 11.31. 3R2H. 11.33. . 11.34. 1/8. 11.35. 8/3. 11.36. 0. 11.37. 5. 11.38. –1. 11.39. 26/3. 11.40. 24. 11.41. – 4. 11.43. divH=0. 11.44. 12R2/5. 11.45. 1. 11.46. –. 11.47. . 11.48. =1. 11.49. =81/8. 11.50. =20. 11.51. rota(M)= –3i–3j–k. 11.53. 3R2. 11.54. 4. 11.55. 3R4/2. 11.56. R3/3. 11.57. 729. 11.58. . 11.64. 2k. 11.65. 2R2. 11.67. а) u=x2y–y2z+C; б) u=x3y–xy3+C; в) u=xy+yz+xz+C. 11.69. а) u=ey/z(x+1)+eyz–e–z+C; б) u=zsin(xy)+C. 11.70. u=m/|r|. 11.72. u=x+xyz+C; 12.
165
PAGE 167