Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Контрольная работа
«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
Задача 2. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид
, (1)
где А, В – координаты нормального (перпендикулярного) вектора прямой.
Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно вектору :
. (2)
Уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору , имеет вид
. (3)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
(4)
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данной направлении, имеет вид
(5)
где - угловой коэффициент прямой, - угол, образованный прямой с положительным направлением на оси ОХ.
у
х
Если прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид
. (6)
Уравнение (7)
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, где b – величина отрезка, отсекаемого прямой от оси ОУ.
у
b
х
Пусть две прямые заданы общими уравнениями
.
Если , то .
Если , то .
Если , то .
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
.
Если , то .
Если , то .
Если , то .
Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле
(8)
Пример 2
Даны координаты вершин треугольника .
1) Вычислить длину стороны .
2) Составить уравнение линии .
3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.
4) Найти точку пересечения медиан.
5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.
6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.
А
О
В С
М
Решение
1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .
; .
2. Уравнение прямой ВС: ; ; .
3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :
. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .
4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:
; ; .
Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .
Используем формулы деления отрезка в данном отношении :
.
5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;
.
6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:
.
Точка К является серединой отрезка АМ.
.
Контрольные варианты к задаче 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение линии ВС;
3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
5) найти точку пересечения медиан;
6) вычислить внутренний угол при вершине В;
7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.
|
1. |
. |
2. |
. |
|
3. |
. |
4. |
. |
|
5. |
. |
6. |
. |
|
7. |
. |
8. |
. |
|
9. |
. |
10. |
. |
|
11. |
. |
12. |
. |
|
13. |
. |
14. |
. |
|
15. |
. |
16. |
. |
|
17. |
. |
18. |
. |
|
19. |
. |
20. |
. |
|
21. |
. |
22. |
. |
|
23. |
. |
24. |
. |
|
25. |
. |
26. |
. |
|
27. |
. |
28. |
. |
|
29. |
. |
30. |
. |
Пример 3
Через точку М(3, 5) провести прямую так, чтобы она отсекала от координатного угла равнобедренный треугольник.
«Провести прямую» - это значит записать уравнение прямой, при этом делать чертеж и проводить прямую не обязательно.
Будем искать уравнение прямой в отрезках, т. е. в форме , где a и b – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат. По условию задачи и прямая проходит через точку М(3, 5). Следовательно, . Для определения а и b имеем две системы: и
Решение первой системы: , решение второй системы: . Получаем две прямые: и
Контрольные варианты к задаче 3
1. Вершина квадрата , сторона СD лежит на прямой, отсекающей на осях координат отрезки . Написать уравнение стороны АД (Квадрат АВСD).
2. В треугольнике АВС даны уравнения: высоты ,
высоты и стороны . Составить уравнение третьей высоты.
3. Найти точку, симметричную точке относительно прямой .
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых
и и образующей угол в с прямой .
5. Через точку пересечения прямых провести прямую перпендикулярно прямой .
6. В треугольнике АВС даны уравнения: стороны АВ и высот . Составить уравнения двух других сторон треугольника.
7. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон () и уравнение одной из его диагоналей .
8. Из точки выходит луч света под углом к оси Ох и от нее отражается. Написать уравнения падающего и отраженного лучей.
9. Под каким углом к оси Ох наклонена прямая, проходящая через точки .
10. В квадрате АВСD даны вершина и точка - точка пересечения диагоналей. Найти уравнения сторон квадрата, не проходящих через верши-
ну А.
11. Даны точки . Отрезок АС разделен точкой D в отношении . Найти расстояние от точки А до прямой ВD.
12. Отрезок прямой , заключенный между осями координат, является диагональю квадрата. Найти уравнение одной (любой) стороны квадрата.
13. Через точку пересечения прямых провести прямую перпендикулярно прямой .
14. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: и точка пересечения диагоналей . Составить уравнения двух других сторон
параллелограмма.
15. Составить уравнения прямых, проходящих через точку и составляющих угол с прямой .
16. Даны уравнения двух сторон параллелограмма - и точка пересечения его диагоналей . Составить уравнения
двух других его сторон.
17. Даны середины противоположных сторон квадрата . Написать уравнения двух сторон квадрата, на которых лежат точки .
18. Провести прямую так, чтобы точка была серединой ее отрезка, заключенного между осями координат. Составить уравнение этой прямой.
19. Даны две точки: . Через середину отрезка АВ провести прямую, отсекающую от оси Ох отрезок, вдвое больший, чем отрезок на оси Оу.
20. В треугольнике АВС даны вершины: . Определить: а) угол между стороной АВ и медианой стороны ВС; б) длину высоты, опущенной из вершины С.
21. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольни-
ка, зная уравнение гипотенузы и вершину прямого угла .
22. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью 8 дм2.
23. В треугольнике АВС даны вершины: . Найти точку, симметричную точке В относительно стороны АС.
24. В треугольнике АВС даны вершины: . Найти угол между медианой АМ и высотой ВН.
25. Даны точки . На отрезке ОА ( О – начало координат), построить параллелограмм ОАСД, диагонали которого пересекаются в точке В. Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.
26. Под каким углом к оси Ох наклонена прямая, проходящая через точки ?
27.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и образующую с осью Ох угол, вдвое больший угла, образованного с той же осью прямой .
28. Найти точку, симметричную точке относительно прямой .
29. Прямая отсекает на осях координат отрезки . Найти точку, симметричную точке относительно прямой .
30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: - и одна из его вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.
З а д а ч а 4
Канонические уравнения кривых второго порядка имеют вид
1) - эллипс с фокусами , где , и эксцентриситетом . Если , то уравнение описывает окружность, в этом случае ;
2) - гипербола с фокусами , где , и эксцентриситетом . Прямые являются асимптотами гиперболы;
3) - парабола, симметричная оси Ох, с фокусом и директрисой , - парабола, симметричная относительно Оу, с фокусом и директрисой .
Пример 4
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директриса параллельна оси Оу и проходит через левый фокус гиперболы:
.
Определим координаты левого фокуса гиперболы: , . Так как директриса параболы параллельна оси Оу и проходит через точку , то она имеет уравнение . Определим значение параметра р параболы: . Каноническое уравнение параболы имеет вид , т. е. .
Контрольные варианты к задаче 4
1. Написать уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок, отсекаемый на оси Ох параболой .
2. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом , при условии, что эксцентриситет ее равен 5/4.
3. Найти точки пересечения асимптот гиперболы с окружностью,
имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат
4. Найти длину и уравнение перпендикуляра, опущенного из фокуса параболы на прямую, отсекающую на осях координат отрезки .
5. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от точки и оси абсцисс. Построить чертеж.
6. Дан эллипс . Составить уравнение гиперболы, имеющей фокусы,
общие с фокусами эллипса, если известно, что эксцентриситет гиперболы равен .
7. Составить уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его «верхней» вершине.
8. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок, отсекаемый на оси Ох параболой .
9. Построить эллипс и параболу и найти площадь трапеции, основаниями которой служат большая ось эллипса и общая хорда эллипса и параболы.
10. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси Ох.
11. Дан эллипс . Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы - в вершинах данного эллипса.
12. Составить уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы и касающейся ее директрисы. Найти точки пересечения параболы и окружности.
13. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок, отсекаемый параболой на оси Оу.
14. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок, отсекаемый на оси Оу параболой .
15. Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом
, при условии, что эксцентриситет её равен 5/4.
16. Фокус параболы совпадает с центром окружности , а вершина параболы лежит в начале координат. Составить уравнение параболы и ее директрисы.
17. Написать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его «нижней» вершине.
18. Дан эллипс . Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы совпадают с вершинами эллипса, а ее вершины – с фокусами эллипса.
19. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директриса параллельна оси Ох и проходит через «верхний» конец малой оси эллипса .
20. На параболе найти точку, расстояние которой до фокуса равно четырем.
21. На параболе найти точку, расстояние которой до фокуса равно
пяти.
22. Вершина параболы лежит в начале координат, директриса ее проходит через «правый» фокус эллипса . Составить уравнение параболы.
23. На прямой найти точку, одинаково удаленную от «левого» фокуса и «верхней» вершины эллипса .
24. Дано уравнение гиперболы . Составить уравнение эллипса, имеющего с гиперболой общие фокусы и проходящего через точку .
25. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок пря-
мой , заключенный между осями координат.
26. Через вершину параболы проведена прямая под углом к оси Ох. Вычислить длину хорды, отсекаемой параболой на этой прямой.
27. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точку и имеет эксцентриситет . Написать простейшие уравнение эллипса и найти расстояния от точки М до фокусов.
28. Даны вершины треугольника АСВ:. Составить уравнение окружности, для которой медиана АЕ служит диаметром.
29. Найти эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы, фокусы которой находятся в вершинах эллипса , если произведение эксцентриситетов гиперболы и эллипса равно единице.
30. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки . Найти фокусы и точки пересечения эллипса и окружности, центр которой находится в начале координат и радиус равен .
З а д а ч а 5
Нормальные уравнения кривых второго порядка с центром в точке имеют вид
- окружность радиусом R;
- эллипс с полуосями а и b;
- гипербола;
или - парабола.
Пример 5
Дано уравнение линии . Записать уравнение линии в нормальной форме и построить эту кривую.
Чтобы привести уравнение к нормальной форме, сгруппируем слагаемые, содержащие только х и у, вынося коэффициенты при за скобки:
.
Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:
;
;
;
.
Разделив обе части на 144, получим нормальное уравнение эллипса:
с полуосями с центром в точке . Через точку проведем новые оси координат ( и ) параллельные соответственно осям Ох и Оу. По обе стороны от точки отложим по оси отрезки длиной , а по оси - , получив таким образом вершины эллипса. Проведя через вершины вспомогательные отрезки, параллельные осям, получим прямоугольник, в который нужно вписать эллипс. Чертим эллипс.
у
х
Координаты фокусов эллипса в новых осях: . Здесь . Старыми координатами фокусов будут , т. к. и
Контрольные варианты к задаче 5
Дано уравнение линии . Построить линию, записав это уравнение в нормальной форме. Записать координаты фокусов. Если эта линия окажется пара-
болой, то записать уравнение директрисы.
|
1. . |
2. . |
|
3. . |
4. . |
|
5. . |
6. . |
|
7. . |
8. |
|
9. . |
10. . |
|
11. . |
12. . |
|
13. . |
14. . |
|
15. . |
16. . |
|
17. . |
18. . |
|
19. . |
20. . |
|
21. . |
22. . |
|
23. . |
24. . |
|
25. . |
26. . |
|
27. . |
28. . |
|
29. . |
30. . |
З а д а ч а 6
Общее уравнение плоскости имеет вид: , где - ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (нормальный вектор плоскости).
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и определяется равенством
.
Расстояние от точки до плоскости находится по формуле .
Пример 6
Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки :
Вычислим определитель, разложив его по первой строке:
Найдем расстояние от точки до плоскости .
Контрольные варианты к задаче 6
Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через три точки
:
|
1. |
. |
||
|
2. |
. |
||
|
3. |
. |
||
|
4. |
. |
||
|
5. |
. |
||
|
6. |
. |
||
|
7. |
. |
||
|
8. |
. |
||
|
9. |
. |
||
|
10. |
. |
||
|
11. |
. |
||
|
12. |
|||
|
13. |
. |
||
|
14. |
. |
||
|
15. |
. |
||
|
16. |
. |
||
|
17. |
. |
||
|
18. |
. |
||
|
19. |
. |
||
|
20. |
. |
||
|
21. |
. |
||
|
22. |
. |
||
|
23. |
. |
||
|
24. |
. |
||
|
25. |
. |
||
|
26. |
. |
||
|
27. |
. |
||
|
28. |
. |
||
|
29. |
. |
||
|
30. |
. |
З а д а ч а 7
Косинус угла между плоскостями и вычисляется по формуле
.
Пример 7
Найти угол между плоскостями .
Найдем косинус искомого угла:
, .
Контрольные варианты к задаче 7
Найти угол между плоскостями:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9.
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30.
З а д а ч а 8
Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид
, (9)
где - точка, лежащая на прямой, а - направляющий вектор прямой (ненулевой вектор, параллельный прямой).
Чтобы перейти от общих уравнений прямой
(10)
к ее каноническим уравнениям, нужно на прямой найти какую-нибудь точку и определить направляющий вектор прямой . Точку можно найти так: задаем произвольно значение одной переменной, например, , и из общих уравнений прямой (10) найдем значения . Направляющий вектор параллелен
линии пересечения плоскостей (10) и, следовательно, перпендикулярен векторам . Поэтому в качестве можно взять вектор
.
Пример 8
Написать канонические уравнения прямой
Найдем точку , лежащую на прямой. Пусть .
Тогда
Решив систему, найдем . Таким образом, . Найдем направляющий вектор прямой
.
Запишем канонические уравнения: .
Контрольные варианты к задаче 8
Написать канонические уравнения прямой:
|
1. |
2. |
|
3. |
4. |
|
5. |
6. |
|
7. |
8. |
|
9. |
10. |
|
11. |
12. |
|
13. |
14. |
|
15. |
16. |
|
17. |
18. |
|
19. |
20. |
|
21. |
22. |
|
23. |
24. |
|
25. |
26. |
|
27. |
28. |
|
29. |
30. |
З а д а ч а 9
Точка пересечения Р прямой и плоскости находится следующим образом: уравнения прямой приводят к параметрическому виду , затем подставляют в уравнение плоскости и определяют значение параметра t , соответствующее точке пересечения. Если при такой подстановке уравнение плоскости выполняется при любом t, то прямая лежит в плоскости, а если не выполняется ни при каком t, то прямая параллельна плоскости. Найденное значение t подставляют в параметрические уравнения прямой.
Пример 9
Найти точку пересечения прямой и плоскости .
Приведем уравнения прямой к параметрическому виду:
; , т. е. параметрические уравнения прямой имеют вид
Подставив х, у, z в уравнение плоскости, найдем t:
.
Искомая точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты
, т. е. .
Контрольные варианты к задаче 9
Найти точку пересечения прямой и плоскости:
|
1. и . |
||
|
2. и . |
||
|
3. и . |
||
|
4. |
и |
. |
|
5. |
и |
. |
|
6. |
и |
. |
|
7. |
и |
. |
|
8. |
и |
. |
|
9. |
и |
. |
|
10. |
и |
. |
|
11. |
и |
. |
|
12. |
и |
. |
|
13. |
и |
. |
|
14. |
и |
. |
|
15. |
и |
. |
|
16. |
и |
. |
|
17. |
и |
. |
|
18. |
и |
. |
|
19. |
и |
. |
|
20. |
и |
. |
|
21. |
и |
. |
|
22. |
и |
. |
|
23. |
и . |
|
|
24. |
и . |
|
|
25. |
и . |
|
|
26. |
и . |
|
|
27. |
и . |
|
|
28. |
и . |
|
|
29. |
и . |
|
|
30. |
и . |
З а д а ч а 10
Чтобы найти точку , симметричную точке относительно прямой, нужно найти проекцию точки М на прямую . Проекция будет серединой отрезка . Проекция есть точка пересечения прямой с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку М. Так как вектор перпендикулярен этой плоскости, ее уравнение запишем в виде
.
Далее, как и в предыдущей задаче, находим точку Р (точку пересечения данной прямой с найденной плоскостью). Зная середину отрезка , найдем координаты точки . Чтобы найти точку , симметричную точке относительно плоскости , нужно найти проекцию точки М на плоскость. Проекция будет серединой отрезка .
Проекция точки на плоскость будет точкой пересечения перпендикуляра к плоскости, проходящего через точку М, с самой плоскостью. Вектор будет направляющим вектором перпендикулярной прямой.
Далее, как и в задаче 9, находим точку пересечения перпендикуляра с данной плоскостью.
Зная середину отрезка , найдем координаты точки .
Пример 10
Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .
Запишем канонические уравнения перпендикуляра к плоскости. Вектор будет направляющим вектором перпендикуляра
.
Параметрические уравнения прямой : Подставляя х, у, z из этих уравнений в данное уравнение плоскости, найдем значение t:
Точка Р пересечения прямой с плоскостью будет иметь координаты
т. е. .
Так как Р – середина отрезка и - координаты, так как если то
Контрольные варианты к задаче 10
Найти точку , симметричную точке М относительно прямой (для вариантов 1-15) или плоскости (для вариантов 16-30):
|
1. , . |
|
2. , . |
|
3. , . |
|
4. , . |
|
5. , . |
|
6. , . |
|
7. , . |
|
8. , . |
|
9. , . |
|
10. , . |
|
11. , . |
|
12. , . |
|
13. , . |
|
14. , . |
|
15. , . |
|
16. , . |
|
17. , . |
|
18. , . |
|
19. , . |
|
20. , . |
|
21. , . |
|
22. , . |
|
23. , . |
|
24. , . |
|
25. , . |
|
26. , . |
|
27. , . |
|
28. , . |
|
29. , . |
|
30. , . |