Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Определение. Системой линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется совокупность соотношений
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
… … … …
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm, (26.1)
где aij,bi(i=1,m, j=1,n) – заданные вещественные числа, а x1,…,xn – неизвестные величины. Числа aij называются коэффициентами системы, а bi – свободными членами.
Упорядоченная совокупность чисел с1,…,сn ϵR называется решением системы, если при подстановке этих чисел в систему вместо неизвестных x1,…,xn соответственно каждое уравнение обращается в тождество.
Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения. Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения
Исследовать и решить систему – это значит:
- установить, совместна ли она или несовместна;
- если она совместна, установить, является ли она определенной или неопределенной, при этом:
- в случае определенной системы найти единственное решение;
- в случае неопределенной системы описать множество всех ее решений.
Определение. Две системы линейных алгебраических уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают.
Теорема 26.1. Умножение обеих частей системы Ax=b слева на невырожденную матрицу приводит ее к эквивалентной системе.
Доказательство. Пусть QϵRmxm и |Q|≠0. Рассматриваемые системы имеют вид Ax=b и QAx=Qb. Если сϵRn – решение первой системы, то Ас≡b, и , следовательно, QAс≡Qb, откуда следует, что с –решение второй системы. С другой стороны, если с – решение второй системы, то QAс≡Qb. Умножив обе части это тождества слева на Q-1, получаем тождество Ас≡b, откуда следует, что с – решение первой системы. #
§27.Системы с квадратной невырожденной матрицей. Правило Крамера.
Прежде чем рассматривать системы общего вида, исследуем простейший класс систем (26.2), когда число уравнений совпадает с числом неизвестных и |A|≠0.
Теорема 27.1. Система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение.
Доказательство. В силу невырожденности матрицы А для нее существует обратная матрицаА-1. Непосредственной проверкой легко установить, что вектор x=A-1b (27.1)
является решением системы (26.2). Это решение единственно, так как если y – другое решение системы (26.2), то Ах≡Ay. Умножив обе части тождества слева на А-1, получим, что х=y. #
Решение (27.1) может быть записано покомпонентно, если воспользоваться явным выражением (5.3) для обратной матрицы. Действительно, x=Âb/|A| или, в соответствии с (5.1),
xi=(A1ib1+A2ib2+…+Anibn)/|A|, i=1,n.
Эти соотношения в свете свойств определителя означают, что xi=|Ai|/|A|, i=1,n (27.2), где Ai получается из матрицы А заменой ее i-го столбца столбцом свободных членов. Формулы (27.2) называются правилом Крамера.
Замечание. Правило Крамера дает решение системы в явном виде и в некотором смысле носит алгоритмический характер. Однако это правило полезно лишь в теоретических исследованиях и противопоказано для практического использования в приложениях. В самом деле, для решения систем n-го порядка по правилу Крамера требуется вычислить (n+1) определителей n-го порядка, тогда как большинство современных методов решения систем по объему вычислений равносильны вычислению одного определителя.
§28. Системы общего вида.
Совместимость системы. Пусть теперь Ax=b(28.1)– система общего вида и А=(aij) ϵ Rmxn. Исследование системы следует начать с вопроса о ее совместности. Для этой цели составим матрицу B, приписав к матрицеА столбец свобдных членов: B=[A|b].
Матрица В называется расширенной матрицей системы (28.1).
Теорема 28.1.(Теорема Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Доказательство. Необходимость. Пусть система (28.1) совместна. Тогда из (26.3) следует, что существуют числа x1,…,xnϵ R такие, что b=x1a1+…+xnan. Следовательно, столбец b является линейно комбинацией столбцов a1,…,an матрицы А. Из теоремы 16.8 следует, что rgA=rgB.
Достаточность. Пусть rgA=rgB=r. Возьмем в матрице А какой-нибудь базисный минор. Так как rgB=r, то он же будет базисным минором и матрицы В. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы В будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы А. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы А. Это означает совместность системы. #
Схема исследования совместной системы. Теорема Кронекера-Капелли устанавливает совместность системы. Перейдем к исследованию совместной системы. Итак, пусть система уравнений
a11x1+…+a1rxr+…+a1nxn=b1,
… … … …
ar1x1+…+arrxr+…+arnxn=b2, (*)
… … … …
am1x1+…+amrxr+…+amnxn=bm
совместна и rgA=rgB=r. Не нарушая общности рассуждений, будем считать