Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Гармонические колебания и их характеристики: амплитуда, фаза, период и частота. Метод векторных диаграмм как способ представления гармонических колебаний.
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.
Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса).
Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа
s =A cos (ω0 t +φ) , (1)
где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, ω0 – круговая (циклическая) частота, φ – начальная фаза колебания в момент времени t=0,
(ω0 t + φ) – фаза колебания в момент времени t.
Фаза колебания определяет значения колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус изменяется в пределах от 1 до -1, то s может принимать значения от +А до -А.
Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания получает приращение равное 2π, т.е.
ω0 (t+T)+ φ =( ω0 t + φ)+ 2π ,
откуда
T=2π/ω0 (2)
Величина, обратная периоду колебаний,
ν=1/T (3)
т. е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (2) и (3), получим
ω0 = 2πν
Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.
Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.
Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси x под углом φ, равным начальной фазе колебания, откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (см. рисунок 1).
Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w0, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x и принимать значения от -А до +А , а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s =A cos (ω0 t +φ). Таким образом, гармоническое колебание можно представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом φ, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω0 вокруг этой точки.
2. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре, их частота и период. Фазовые соотношения между колебаниями тока в контуре и напряжением на конденсаторе. Энергия свободных гармонических колебаний в колебательном контуре.
Колебательный контур – электрическая цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С и резистора сопротивлением R (рис. 1).
Рассмотрим стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, у которого активное сопротивление мало (R=0), а индуктивность L и электроемкость С сосредоточены только в катушке и конденсаторе соответственно (контур с сосредоточенными параметрами). Пусть в какой-либо момент времени конденсатор С оказался заряженным. Обкладки конденсатора получили в начальный момент времени (t=0) заряды qm и в этот момент между обкладками возникает электрическое поле, энергия которого . В следующие моменты времени конденсатор начинает разряжаться и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля Wэ будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки – возрастать. Так как R=0, то на нагревание энергия не расходуется и, согласно закону сохранения энергии, полная энергия
.
Возрастающий ток разряда, создавая увеличивающееся магнитное поле, вызывает появление ЭДС самоиндукции (катушка поэтому обладает индуктивным сопротивлением , и конденсатор разряжается не мгновенно). В момент времени, когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля, а, следовательно, и ток достигают максимального значения. Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки и в ней индуцируется ток, который течет (по правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Когда ток прекратится, заряд на обкладках и электрическое поле конденсатора достигнут максимума, а энергия магнитного поля катушки станет равной нулю. Закончится первая половина периода электромагнитных колебаний и конденсатор окажется перезаряженным (поменяются знаки на обкладках). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении и система, к моменту времени t=T, придет в первоначальное состояние. После этого начнется повторение рассматриваемого цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если потерь энергии в контуре нет (R=0), то в контуре совершаются периодические (с периодом Т) и неизменные по амплитуде (незатухающие) колебания заряда q на обкладках конденсатора, напряжения Uс на конденсаторе и силы тока I, текущего через катушку индуктивности. Причем, в течение первой половины периода ток идет в одном направлении, а в течение второй половины – в противоположном. Колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.
Исходя из этого правила, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью С и резистор сопротивлением R,
I R + Uc = s ,
где IR – напряжение на резисторе; Uс = q/C – напряжение на конденсаторе; – ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока. Следовательно,
(1) (1)
Разделив уравнение (1) на L и подставив и , получим дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда q в контуре:
(2)
В данном колебательном контуре внешние ЭДС отсутствуют, поэтому рассматрисаемые колебания представляют собой свободные колебания. Если сопротивление R=0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (2) получим дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда q в контуре:. (3)
Решением этого уравнения является гармоническое колебание заряда по закону q = qm cos (ot + ), (4)
где qm – амплитуда колебаний заряда с циклической частотой o, называемой собственной частотой контура:
(5) (5)
и периодом, определяемым формулой Томсона:
T = 2. (6)
Напряжение на конденсаторе
, (7)
где Um = qm/C – амплитуда напряжения. Продифференцировав функцию (4) по времени, получим выражение для силы тока
, (8) (8)
где Im = oq m –амплитуда силы тока. Из сопоставления формул (4), (7) и (8), видно, что в момент, когда ток достигаем максимального значения, заряд и напряжение на конденсаторе обращаются в нуль и наоборот.
3. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения.
Пусть совершаются два гармонических колебания одного направления и одинаковой частоты
(4.1)
Уравнение результирующего колебания будет иметь вид
Убедимся в этом, сложив уравнения системы (4.1)
Применив теорему косинусов суммы и сделав алгебраические преобразования:
(4.2)
Можно найти такие величины А и φ0 , чтобы удовлетворялись уравнения
(4.3)
Рассматривая (4.3) как два уравнения с двумя неизвестными А и φ0, найдем, возведя их в квадрат и сложив, а затем разделив второе на первое:
Подставляя (4.3) в (4.2), получим:
Или окончательно, используя теорему косинусов суммы, имеем:
Тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2-φ1) сгладываемых колебаний.
В зависимости от разности фаз (φ2-φ1):
1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), тогда A= А1+А2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;
2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, …), тогда A= |А1-А2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний
Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биением.
Пусть два колебания мало отличаются по частоте. Тогда амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω намного меньше ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:
Решим систему
Решение системы:
Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:
Частота изменения А в два раза больше частоты изменения косинуса. Частота биений равна разности частот складываемых колебаний: ωб = Δω
Период биений:
Определение частоты тона (звука определенной высоты биений эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый на метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.
4. Затухающие колебания и их характеристики: амплитуда, частота, коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания.
Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.
Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими.
Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения
где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что FC направлена в сторону противоположную скорости.
Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r. По второму закону Ньютона
где β - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.
дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
уравнение затухающих колебаний:
ω – частота затухающих колебаний:
Период затухающих колебаний:
Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно говорить, когда β мало.
Если затухания выражены слабо (β→0), то Затухающие колебания можно
рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону
В уравнении (1) А0 и φ0 - произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания
Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D, который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:
Логарифмический декремент затухания равен логарифму D: ;
Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний уменьшилась в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.
Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q.
Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.
Добротность Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.
Добротность Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.
Чем больше добротность, тем медленнее происходит затухание, тем затухающие колебания ближе к свободным гармоническим.
5. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в колебательном контуре (с выводом) и его решение. Условный период затухающих колебаний. Коэффициент и логарифмический декремент затуханий.
Уравнение колебаний можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения на ёмкости, индуктивности и активном сопротивлении должна быть равна нулю:
Разделив это выражение на L и заменив I через , а через , получим
Беря во внимание, что равно квадрату собственной частоты контура w0, вводим обозначение: , после этого уравнение принимает вид :
Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них не повторяется, например, максимальное значение амплитуды. Поэтому называть ω – циклической (повторяющейся, круговой) частотой можно лишь условно. По этой же причине и называется условным периодом затухающих колебаний.
- Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону , где А0 – начальная амплитуда. Зависимость амплитуды показана на рис. 8.3.
Промежуток времени , в течение которого амплитуда уменьшается в e раз, называется временем релаксации. Если А(t) и А(t + Т) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение: называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания; N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз.
6. Энергетические соотношения для свободных незатухающих и затухающих колебаний в контуре.
При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.
Для груза на пружине (см. §2.2):
Для малых колебаний математического маятника:
Здесь hm – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, xm и υm = ω0xm – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.
Превращения энергии при свободных механических колебаниях в отсутствие трения можно проиллюстрировать графически. Рассмотрим в качестве примера колебания груза массой m на пружине жесткости k. Пусть смещение x (t) груза из положения равновесия и его скорость υ (t) изменяются со временем по законам:
|
υ (t) = –ωxm sin (ω0t). |
Следовательно,
На рис. 2.4.1 изображены графики функций Ep(t) и Ek(t). Потенциальная и кинетическая энергии за период колебаний два раза достигают максимальных значений. Сумма остается неизменной.
|
Рисунок 2.4.1. Превращения энергии при свободных колебаниях |
В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими (рис. 2.4.2).
|
Рисунок 2.4.2. Затухающие колебания |
Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания.
Частота свободных колебаний зависит от скорости их затухания. При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания затухают быстро.
Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π:
|
|
Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше добротность Q колебательной системы. Добротность колебательной системы, определенная по затуханию колебаний на рис. 2.4.2, приблизительно равна 15.
Добротности механических колебательных систем могут быть очень высокими – порядка нескольких сотен и даже тысяч.
Понятие добротности имеет глубокий энергетический смысл. Можно определить добротность Q колебательной системы следующим энергетическим соотношением:
|
|
Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний.
7. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных синусоидальных колебаний. Резонанс. Резонансные кривые.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.
Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, колебания, возникающие в какой-либо системе в результате периодически изменяющегося внешнего воздействия: силы в механической системе, напряжения или тока в колебательном контуре. Вынужденные колебания всегда происходят с частотой, равной частоте внешнего воздействия; в системе при определенных условиях возможен резонанс. Вынужденные колебания полностью устанавливаются в системе лишь после того, как в ней затухнут также вызванные внешним воздействием собственные колебания. Примеры вынужденных колебаний: колебания мембраны телефона, иглы швейной машины, поршня в цилиндре автомобильного двигателя, рессор автомобиля, движущегося по неровной дороге, океанические приливы под действием Луны и др.
Резонанс — элементарная частица, представляющая собой возбуждённое состояние адрона. Большинство известных частиц являются резонансами.
Посередине графика виден пик, отвечающий ипсилон-резонансу
Время жизни резонансов: 10−22—10−24 с, поэтому их невозможно наблюдать непосредственно в виде треков на детекторах. Они определяются как пики в полном сечении образованиявторичных частиц:
Максимальное сечение соответствует резонансу с энергией и шириной . Ширина резонанса, выражаемая в единицах энергии соответствует его среднему времени жизни
Резонансы аналогичны возбуждённым состояниям атома: когда электрон поглощает энергию и переходит на другой более высокий энергетический уровень. Подобные возбуждённые состояния, называемые изомерами, существуют и у атомных ядер. Аналогично электрону в атоме или нуклону в ядре, кварки, получая достаточную порцию энергии, также переходят на другой энергетический уровень. Обычные же (метастабильные) частицы при этом являются основными состояниями кварковой системы. Соответственно, резонансы можно описыватьспектральными термами , где:
В отличие от электрического поля внутри атома, теория которого довольно проста, кварки находятся в глюонном поле, а описание представляет довольно большую сложность. Поэтому невозможно заранее предсказать спектр возбуждения кварковой системы. В связи с этим каждый новый резонанс до сих пор является своего рода сюрпризом для физиков. Сложность представляет даже отделение чистых и состояний от систем с дополнительными кварками (тетракварк, пентакварк) и глюонной примесью (глюбол).
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближениичастоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствиерезонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемойдобротность. Явление резонанса впервые было описано Галилео Галилеем в 1602 г в работах, посвященных исследованию маятников и музыкальных струн.[1][2] Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели. Если вы будете подталкивать качели в соответствии с их резонансной частотой, размах движения будет увеличиваться, в противном случае движения будут затухать. Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния, можно найти по формуле:
,
где g это ускорение свободного падения (9,8 м/с² для поверхности Земли), а L — длина от точки подвешивания маятника до центра его масс. (Более точная формула довольно сложна, и включает эллиптический интеграл). Важно, что резонансная частота не зависит от массы маятника. Также важно, что раскачивать маятник нельзя на кратных частотах (высших гармониках), зато это можно делать на частотах, равных долям от основной (низших гармониках).
Резонансные явления могут вызвать необратимые разрушения в различных механических системах.
В основе работы механических резонаторов лежит преобразование потенциальной энергии в кинетическую. В случае простого маятника, вся его энергия содержится в потенциальной форме, когда он неподвижен и находится в верхних точках траектории, а при прохождении нижней точки на максимальной скорости, она преобразуется в кинетическую. Потенциальная энергия пропорциональна массе маятника и высоте подъёма относительно нижней точки, кинетическая — массе и квадрату скорости в точке измерения.
Другие механические системы могут использовать запас потенциальной энергии в различных формах. Например, пружина запасает энергию сжатия, которая, фактически, является энергией связи её атомов.
8) Вынужденные колебания в последовательном RLС-контуре под действием синусоидальной электродвижущей силы. Векторная диаграмма напряжений. Полное сопротивление контура переменному току. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонансные кривые.
Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями.
Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.
Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω0.
Если частота ω0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника.
Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δt. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.
Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока.
Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть RLC-цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):
e (t) = e0cos ωt, где e0 – амплитуда, ω – круговая частота.
-
Рисунок 2.3.1.Вынужденные колебания в контуре
Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома: . Величина -это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности. Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде: uR + uC + uL = e (t) = e0 cos ωt, где uR (t), uC (t) и uL (t) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами UR, UC и UL. При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока
Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного RLC-контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через I0. Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного RLC-контура изображена на рис. 2.3.2.
- Рисунок 2.3.3.Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи
Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.
Из рисунка видно, что откуда следует
Из выражения для I0 видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии
или
Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω0 электрической цепи называется электрическим резонансом. При резонансе Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной RLC-цепи называется резонансом напряжений. Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R, L и C (так называемый резонанс токов).
При последовательном резонансе (ω = ω0) амплитуды UC и UL напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:
понятие добротности RLC-контура:
Рисунок 2.3.4. Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q. Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды UC напряжения на конденсаторе к амплитуде е0 напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q. Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми.
Полное сопротивление: Если в цепи переменного тока имеются нагрузки разных типов, то закон Ома выполняется только для максимальных (амплитудных) и действующих значений тока и напряжения.
читывая, что отношение напряжения к силе тока – это сопротивление, и подставляя конкретные выражения для соответствующих сопротивлений, получим: (2)
9. Волновые процессы и их основные характеристики: длина волны, волновое число, фазовая скорость. Уравнения плоской и сферической волн.
Волной называется процесс распространения колебаний или других возмущений в пространстве.
Основными видами волн являются механические упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны.
Упругими волнами называются волны, которые могут распространяться в упругой среде (т. е. среде, которая сопротивляется сжатию: твердой, жидкой и газообразной). К ним относятся, в частности, ударные, звуковые и сейсмические волны. Упругие волны называют также механическими волнами.
Электромагнитные волны могут распространяться как в среде, так и в вакууме (например, радиоволны, световые волны).
Характерным свойством волн является перенос энергии без переноса вещества
В продольной волне частицы колеблются вдоль направления распространения волны, в поперечной волне колебания частиц совершаются перпендикулярно направлению распространения волны. В жидкой и газообразной среде возможно распространение только продольных волн, в твердой среде - как продольных, так и поперечных.
длина́ волны́-расстояние между двумя ближайшими точками гармонической волны, находящимися в одинаковой фазе. Длина волны λ = vT, где Т — период колебаний, v — фазовая скорость волны.
ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ -скорость перемещения фазы волны в определ. направлении. В случае монохроматич. плоской волны вида
где А - амплитуда, j-фаза, w-круговая частота, k - волновое число, t- время, х - расстояние, отсчитываемое в направлении распространения волны)
Волновое число- величина, связанная с длиной волны λ соотношением: k = 2π/λ (число волн на длине 2π). В спектроскопии В. ч. часто называют величину, обратную длине волны (1/λ).
Уравнение плоской волны
Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.
Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t:
Пусть колебание точек, лежащих в плоскости х=0 , имеет вид (при начальной фазе ф=0)
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .
Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х=0 , т.е.
– это уравнение плоской волны.
Уравнение сферической волны
В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.
Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ф=0 ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону 1/ r . Следовательно, уравнение сферической волны:
10) Волновое уравнение для электромагнитного поля. Электромагнитные волны в диэлектриках и их свойства.
Волновое уравнение
В 1863 г. Максвелл предсказал на основе полученных им уравнений электромагнетизма существование электромагнитных волн. Покажем, что в вакууме векторы поля удовлетворяют волновому уравнению. Напишем систему уравнений Максвелла:
(1)
(2)
(3)
(4)
Продифференцировав уравнение (1) по времени и заменив в полученном уравнении получим : (5)
Пользуясь формулой векторного анализа и принимая во внимание уравнение (3), получим:
(6)
Аналогичным образом, исключая из уравнений (1) и (2), находим, что вектор H удовлетворяет волновому уравнению: (7)
где – скорость волны. Уравнения (6) и (7) – это волновые уравнения для векторов E и H соответственно. Из того, что векторы E и H удовлетворяют волновому уравнению, вытекает, что электромагнитное поле, которое характеризуют эти векторы, может распространяться в виде волны. Но волны возникают лишь тогда, когда их возбуждают. Электромагнитные волны возбуждаются зарядами и токами. Но, возникнув, электромагнитная волна существует и тогда, когда породивших ее токов и зарядов уже нет. Этим переменное поле отличается от статического, которое не может существовать без порождающих его зарядов. Из уравнений (6) и (7) следует, что электромагнитные волны могут распространяться и в вакууме. Рассмотрим теперь решения волнового уравнения. Начнем с самого простого случая – пространственно одномерного волнового уравнения:
Общее решение этого уравнения имеет вид :
где f1 и f2 – произвольные функции, а аргументы этих функций представляют собой специальные комбинации переменных x,t и постоянной V. Смысл этих решений прост. Если в момент t=0 графически изобразить функции f1(x) и f2(x) , то в последующие моменты времени эти функции смещаются вдоль оси X со скоростью V как целое: f1 – вправо, а f2- влево.
- Распространение электромагнитной волны в диэлектрике представляет собой непрерывное поглощение и переизлучение электромагнитной энергии электронами и ионами вещества, совершающими вынужденные колебания в переменном электрическом поле волны. При этом в диэлектрике происходит уменьшение скорости волны.
11) Энергия электромагнитных волн. Плотность энергии и вектор плотности потока энергии э/м волн. Вектор Пойнтинга. Интенсивность электромагнитной волны.
Энергия электромагнитной волны складывается из энергии электрического поля и энергии магнитного поля.
Как показывает опыт, электромагнитные волны могут производить различные действия: нагревание тел при поглощении света, вырывание электронов с поверхности металла под действием света (фотоэффект). Это свидетельствует о том, что электромагнитные волны переносят энергию. Эта энергия заключена в распространяющихся в пространстве электрическом и магнитном полях.
В курсе электричества и магнетизма было показано, что объемная плотность энергии электрического поля равна
а магнитного поля –
где и – электрическая и магнитная постоянные. Таким образом, полная плотность энергии электромагнитной волны равна
Так как модули вектора напряженности электрического и индукции магнитного поля в электромагнитной волне связаны соотношением , то полную энергию можно выразить только через напряженность электрического поля или индукцию магнитного поля:
Плотность энергии электромагнитного поля можно представить в виде:
Плотностью потока энергии называют электромагнитную энергию, переносимую волной за единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярной к направлению распространения волны:
Вектор Пойнтинга (также вектор Умова — Пойнтинга) — вектор плотности потока энергии электромагнитного поля, одна из компонент тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга S можно определить через векторное произведение двух векторов:
(в системе СГС),
(в системе СИ),
где E и H — векторы напряжённости электрического и магнитного полей соответственно.
- Модуль среднего значения вектора Пойнтинга называется интенсивностью электромагнитной волны:
В случае синусоидальной монохроматической плоской (когда плоскости колебаний векторов Е и Н не меняются со временем) электромагнитной волны, распространяющейся в направлении х:
для интенсивности получается: