Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Вещественные числа
Вещественное (действительное) число - любое положительное число, отрицательное число или нуль. Разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как в виде рациональной дроби, т. е. дроби p/q, где р и q — целые, q > 0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а вторые — только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.
2. Комплексные числа
Комплексные числа, числа вида a + ib, где a и b — действительные числа, а i —мнимая единица (число, квадрат которого равен -1); х называют действительной частью, а ib — мнимой частью
z = a + ib
3. Действия над комплексными числами.
4. Степени комплексного числа. Формула Муавра
Муавра формула, формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме
z = |r| (cos α + i sin α)
согласно формуле, модуль r комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент j умножается на показатель степени
zn = (|r| (cos α + i sin α))n = |r|n (cos n α + i sin n α)
При извлечении корня n-той степени из комплексного числа z используется формула Муавра:
5. Последовательности и их пределы
Числовую функцию f(n) = an, заданную на множестве натуральных чисел называют числовой последовательностью. Говорят, что последовательность задана, если каждому натуральному числу n по некоторому закону f поставлено в соответствие число f(n). Часто закон, по которому задается последовательность, позволяет построить очередной член последовательности по известным предыдущим. Такой способ задания называется рекуррентным (арифметическая / геометрическая прогрессия)
- числовые последовательности могут быть ограничены либо сверху, либо снизу, либо и сверху и снизу.
Рассмотрим далее три последовательности:
1, 0, -1, -2, -3, ...... , -п,......;
2, 4, 6, ......2n, …...;
1, 2-1, 2-2, 2-3, ……. , 2-n …,
При увеличении числа n члены первой последовательности неограниченно убывают, члены второй — неограниченно возрастают, а члены третьей последовательности убывают, начиная с числа 1 до числа 0. Таким образом,
Формально последовательность называется ограниченной сверху, если существует число М (верхняя граница), такое, что, an<M для всех n. Первая из приведенных выше последовательностей ограничена сверху, например, числом 2. Поскольку для всех n кроме того выполняется условие аn < аn-1, то это убывающая последовательность.
Последовательность {аn} называется ограниченной снизу, если существует такое число m (нижняя граница), что an > m для всех n. Если для всех членов последовательности выполняется условие аn > аn-1, то она называется возрастающей. Вторая из приведенных выше последовательностей является ограниченной снизу возрастающей последовательностью.
Последовательность {аn} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. Очевидно, что третья последовательность является ограниченной убывающей последовательностью.
Последовательность {хn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А (сколь бы большим его ни взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство |хn| > А.
Последовательность {аn} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε>0 (сколь бы малым его ни взяли) существует номер N, такой, что для всех членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство |аn| < ε.
Рассмотрим последовательность Члены этой последовательности по мере возрастания номера члена приближаются к числу 1. Говорят, что эта последовательность сходится к числу 1.
Формально сходимость последовательности определяется следующим образом. Последовательность {аn} сходится к числу А, если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 можно указать такое натуральное число n0(ε), что для всех n больше n0, то есть для n > n0, выполняется неравенство |аn — А| < ε.
Проиллюстрируем это определение на приведенном выше примере. Построим отклонение общего члена последовательности от 1.
С возрастанием n это отклонение, уменьшаясь, стремится к нулю. Пусть ε = 3/500. Вычислим отклонение для а166 :
.
Тем самым установлено, что начиная с n = 166 (n0 = 165) выполняется неравенство |аn — 1| < 3/500.
Каждому члену числовой последовательности (поскольку это число) соответствует точка на числовой оси. Если последовательность имеет пределом точку А, то для всех номеров последовательности, начиная с некоторого n0 члены последовательности находятся внутри отрезка (А - ε, А + ε), называемого ε -окрестностью числа А.
Если ε очень мало, то число n0 может быть весьма большим. Следовательно, много членов последовательности окажутся вне
ε-окрестности, однако их всегда будет лишь конечное число. Все остальные члены последовательности, начиная с номера n0 и более, попадают в ε-окрестность. Таким образом, если последовательность сходится к А, то какую бы окрестность точки А ни взять, почти все числа аn попадают в выбранную окрестность.
Отсюда следует, что добавление или исключение конечного числа членов такой последовательности не влияет на ее сходимость. Если последовательность {аn} сходится к А, то пишут: (читается: «предел аn при n стремящемся к бесконечности равен А»). В этом случае говорят, что число А есть предел последовательности {аn} или иначе, при неограниченном увеличении номера общий член последовательности стремится к величине А.
Если последовательность не имеет конечного предела или не имеет предела вообще, то ее называют расходящейся. Так, последовательность -1, 1, -1, 1, ... (-1)n, ... расходится, так как в этом случае не существует.
Bторая из трех, ранее приведенных последовательность тоже является расходящейся, так как по мере возрастания n члены последовательности становятся больше любого наперед заданного числа, то есть аn стремится к бесконечности. В этом случае пишут: . Заметим, что, хотя здесь предел формально и существует, он не является конечным числом.
Пусть {хn} сходится и имеет своим пределом число а. Тогда последовательность {аn} = {хn - а} будет бесконечно малой, так как для любого ε > 0 существует номер N, такой, что при n > N выполняется неравенство |аn| = |xn - a| < ε. Следовательно, любой элемент xn сходящейся к числу а последовательности можно представить в виде хn = а + аn, где аn — элемент бесконечно малой последовательности {аn}.
Справедливо и обратное: если хn можно представить в виде хn = а + аn, где {аn} — бесконечно малая последовательность, то .
Легко показать, что если {хn} — бесконечно малая последовательность, то .
Например, последовательность {хn} = {1/n} бесконечно малая, так как .
Если последовательность {хn} бесконечно большая, то предел ее равен бесконечности, и в этом случае пишут: или хn → ∞ при n → ∞, причем если, начиная с некоторого номера n, последовательность {хn} сохраняет определенный знак, то говорят, что {хn} имеет предел, равный + ∞ или - ∞. Например, последовательности {хn} = {n} и {хn} = {-n} бесконечно большие: , .
6. Свойства пределов последовательностей
Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.
Если предел функции в точке существует, то он единственный.
Предел постоянной величины есть постоянная величина.
Аддитивность: Предел суммы равен сумме пределов (если каждый из них существует)
Однородность: Константу можно выносить из-под знака предела:
Предел произведения равен произведению пределов (если существуют)
Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют, и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
7. Числовые ряды
Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Рассматриваются числовые ряды двух видов
Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.
Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.
8. Признаки сходимости, сравнения числовых рядов
1) Сравнение положительных числовых рядов. Есть три ряда:
Если V сходящийся и Un < Vn и Un >= Wn, то U сходится.
2) Одновременно сходятся или расходятся
Если K <= <= M, то оба ряда сходятся (расходятся при обратном???)
9. Признаки сходимости Коши и Д-Аламбера
Признак д’Аламбера
Ряд
Признак Коши
Пусть задан ряд
Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями
Признак Коши сильнее признака Даламбера в том смысле, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов; существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.
10. Непрерывные функции
Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, а также:
Точки, в которых это равенство не выполняется, называются точками разрыва функции.
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то функции cf(x) (с — постоянная), f(x) ± g{x), f(x)g(x), f(x)/g(x) (если g(х0) ≠ 0) также непрерывны в точке х0.
11. Основные свойства непрерывных функций
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке а непрерывна справа, в точке b непрерывна слева).
Если функция f(x) определена на множестве X и существует такое х0 принадлежащее X, что для всех х из X выполняется условие f(x) ≤ f(х0) (f(x)≥f(х0)), то число f(х0) называется наибольшим (наименьшим) значением функции f(x) на множестве X.
Непрерывные на отрезке функции обладаю рядом важных свойств, которые выражаются следующими теоремами, приводимыми здесь без доказательства.
Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на этом отрезке.
Теорема становится неверной, если в ней отрезок [а, b] заменить интервалом (а, b) или полуинтервалом [а, b) либо (а, b]. Рассмотрим, например, функцию f(x) = 1/x на интервале (0, 1) (или на полуинтервале (0, 1]). Эта функция непрерывна на указанном интервале (или полуинтервале), но не является на нем ограниченной, так как
lim 1/x = + ∞ при x → 0.
Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения m и наибольшего значения М, т. е. существуют точки х1, x2 из отрезка [a, b] такие, что f(x1) = m,
f(x2) = M.
Заметим, что точки х1, х2, в которых достигаются наименьшее и наибольшее значения функции f(х) на отрезке [а, b], не обязательно должны быть единственными.
Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Она утверждает, что значения непрерывной на отрезке [а, b] функции заключены между ее наименьшим и наибольшим значениями, т. е. m ≤ f (x) ≤ M.
Если функция f(x) непрерывна на интервале (а, b), то она может не достигать наименьшего и наибольшего значений на нем. Например, функция f(x) = x2 на интервале (0, 1) не достигает значений m = 0 и М = 1, так как эти значения функция принимает в точках x1 = 0 и x2 = 1, а эти точки данному интервалу не принадлежат.
Теорема Больцано - Коши о промежуточном значении.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и f(a) = A,
f(b) = B (A ≠ B), то каково бы ни было число С, заключенное между А и В, найдется точка с принадлежащая [а, b], такая, что f(c)=C.
Следствие. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b] и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка х0, в которой функция обращается в нуль, т. е. f(х0) = 0.
12. Производная функции
Значение функции в каждой допустимой фиксированной точке есть число. Изменяя значения аргумента, получим в общем случае различные значения функции. Как сильно изменится значение функции при данном изменении аргумента? Поиск ответа на этот вопрос приводит к понятию производной.
Пусть задана некоторая функция у = f(x). Выберем произвольное допустимое значение аргумента х и вычислим f(x). Затем, не выходя из области определения, изменим х на малую величину ∆х. Вычислим f(x+∆х) и образуем отношение
Если существует конечный предел отношения, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке х, а значение предела называется производной от функции f(x) в точке х.
Значение производной зависит от выбранного значения точки х. Следовательно, производная — это функция от того же аргумента, что и f(x). Операция вычисления производной называется дифференцированием функции.
Рассмотрим геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции f(x), то величина отношения равна тангенсу угла наклона секущей графика к его оси абсцисс.
Если ∆х→0, то точка N стремится к точке М и секущая MN стремится занять положение касательной к графику f(x) в точке М. Следовательно, значение производной f'(x) в любой точке х области определения функции равно тангенсу угла наклона этой касательной в точке с координатами х и f(x).
Для практического применения математического анализа важен еще и механический смысл производной. Если пройденный путь есть известная функция времени s = f(t), то ее производная f'(t) равна скорости движения в каждый момент времени t. В общем случае производная описывает скорость изменения функции при изменении аргумента независимо от физического смысла величины, описываемой этой функцией.
13. Дифференцируемые функции
Нахождение производных — одна из наиболее распространенных операций математического анализа, называемая дифференцированием. Для того, чтобы уметь вычислять любые производные, необходимо помнить производные основных элементарных функций и знать правила дифференцирования. В приведенной таблице представлены основные элементарные функции и их производные.
Отметим, что функция f(x) = ех (эта функция называется экспонентой) — единственная в математике функция, которая не изменяется при дифференцировании.
Основные правила дифференцирования.
1. Производная линейной комбинации функций:
2. Производная произведения функций:
3. Производная частного двух функций:
4. Дифференцирование сложной функции.
Таблица производных основных элементарных функций
|
Функция f(x) |
Производная f'(x) |
Функция f(x) |
Производная f'(x) |
|
с (const) |
0 |
lnx |
1 / x |
|
xa |
aхa-1 |
logax |
1 / x * ln a |
|
|
|
ax |
ax ln a |
|
|
|
ex |
ex |
|
cosx |
-sin х |
arctg x |
1 / 1+x2 |
|
sinx |
cosx |
arcsin x |
1 / sqrt(1-x2) |
|
tg(x) |
1 / cos2x |
ctg(x) |
- 1 / sin2x |
14. Производные высших порядков
Производная f'(x) является функцией того же аргумента х, что и исходная функция. Поэтому ее можно опять дифференцировать, т. е. вычислять предел, подобным образом можно ввести производные n-го порядка
f(n)(x) = (f(n-1)(x))'
15. Формула Тейлора
Это изображает функцию f (x), имеющую n-ю производную f (n)(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена Rn (x), являющегося в окрестности точки, а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) n.
16. Первообразные функции
Первообразная функция – функция, производная от которой равна данной функции.
Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Так, например, функция +C является первообразной .
17. Неопределенные интегралы
Неопределённый интеграл - общее выражение первообразной для подынтегральной функции f (x).
Обозначается . Например,
Основные свойства неопределенных интегралов
А) константу можно вынести за интеграл:
б) интеграл суммы равен сумме интегралов:
Методы интегрирования
Пример:
И сразу пример:
Замена:
Тогда
18. Степенные ряды
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x0), то есть ряд вида
где x0 − действительное число.
Интервал и радиус сходимости
Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.
Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.
Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
19. Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд
с0 + с1 х + с2 х2 + ... + сn xn + ... , (10.1)
имеющий радиус сходимости R>0 (R может равняться ). Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначим ее через S(x). Тогда можно записать равенство
S(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn + ... , (10.2)
понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции S(x) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд (10.1) сходится к функции S(x) на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство (10.2) не имеет смысла.
Пример.
Найти сумму степенного ряда
1 - х + х2 - ... + (-1)n xn + ... .
Это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q= -x. Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если |x|<1. Поэтому равенство
cправедливо лишь для значений х (-1; 1), хотя функция определена для всех значений х, кроме х= -1.
Можно доказать, что сумма степенного ряда S(x) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке [a, b] внутри интервала сходимости.
Равенство (10.2), справедливое в интервале сходимости степенного ряда, называют разложением S(x) в степенной ряд.
Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:
Теорема 1.
Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны S`(x), S``(x), ... , S(n)(x).
Теорема 2.
Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х, если х (-R; R), причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны .
20. Ряд Тейлора
Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции f в точке a.
21. Интеграл Римана
Римана интеграл - обычный определённый интеграл
Это одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
Свойства:
Пример:
Пусть есть график f(x); a и b – две точки на нем, с – где-то посредине них. Тогда:
22. Элементы комбинаторики
Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.
Комбинаторный принцип умножения если одну часть действия можно выполнить k способами, а другую - p способами, то все действие можно выполнить k*p числом способов.
+ см. 23-26 вопросы.
23. Перестановки, размещения, сочетания
Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множества Х.
Если выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством
(размещения без повторений).
Пусть из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество Y (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается и равно
.
Справедливы равенства: , , .
Перестановки.
Pn – количество перестановок из n элементов (сколько способами можно упорядочить)
24. Размещения с повторениями
Если выбор элементов множества Y из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле: = nk.
25. Сочетания с повторениями
Сочетание с повторениями – сколько способами можно взять из n k элементов с возвращениями и без учета порядка. Число сочетаний с повторениями из n по k равно биномиальному коэффициенту.
26. Основные комбинаторные схемы
- число перестановок (упорядочивание)
- число перемещений (число размещений)
- число сочетаний (без учета порядка)
- число сочетаний с возвращениями с учетом порядка
- число сочетаний с возвращениями без учета порядка (число сочетаний с повторениями)
27. Основные алгебраические структуры
Из википедии:
Алгебраическая система или алгебраическая структура — множество G (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Понятие алгебраической системы родственно понятию универсальной алгебры.
Алгебраическая структура это множество, на котором определены некоторые операции и отношения. Это не означает, что множества (иногда называемые носителями алгебраических структур) замкнуты относительно этих операций. Определенность операций и отношений означает то, что эти самые операции и отношения отвечают некоторой системе аксиом.
Как и любая система аксиом, она в достаточной степени произвольна, так что не стоит искать в ней скрытый смысл. Просто следует смириться с тем, что именно такими терминами оперирует современная математика.
Множество операций и отношений также называется сигнатурой алгебраической структуры. Приведём простой пример. Допустим, у нас есть некоторое множество , и другое множество , в свою очередь состоящее из подмножеств . Тогда будет содержать в себе различные операции, определенные для\на\в множестве (например, сложение и умножение, а — набор определенных отношений (например, равенство).
Таким образом, мы получили , являющуюся сигнатурой алгебраической структуры . Стоит отметить, что тут возможна некая терминологическая путаница, т.к. множество , строго говоря, не является структурой до того, как мы не определили его сигнатуру.
Существует множество алгебраических структур, однако мы рассмотрим лишь два их класса и три вида.
Итак, первый класс и, соответственно, вид структуры это группа.
Как класс, группа содержит такие виды структур (элементы), как группоид, квазигруппа, лупа, моноид и т.п. Мы же остановим свой взгляд лишь на одном представителе, называемом, как и сам класс, группой.
Итак, группа это непустое множество с определённой на нём бинарной операцией.
Т.к. мы уже сказали, что такое множество должно удовлетворять системе аксиом, то приведём эти аксиомы. Условимся обозначать нашу операцию символом (это может быть любой другой символ).
Группа:
0) определена бинарная операция
1) (это свойство называется коммутативностью)
2) (ассоциативность)
3) существует нейтральный элемент, обозначаемый, как правило, символом , такой, что
4) для каждого элемента существует обратный элемент такой, что
Таким образом, мы завершили построение абелевой (или аддитивной, что, как будет видно ниже, не всегда одно и то же) группы. Обратим внимание, что если бы наша структура не обладала свойством 1), то она бы называлась просто группой. Зачастую в литературе и задачах не делают различий, подразумевая под группой обязательно абелеву, тем не менее, мы будем бдительны.
Понятно, что можно при желании переписать любую из указанных нами аксиом формально. Математическая строгость того требует, поэтому приведём ещё раз все 4 аксиомы (не считая нулевой, которая, является неким уточнением, характеристикой, не имеющей отношения к самой сути операций), но уже в строгом математическом виде.
Опять возьмём наше множество . Предположим, что и получаем:
1)
2)
3)
4)
Отметим, что основное требование для того, чтобы именовать группу абелевой, это как раз наличие коммутативности, т.е. свойства один.
Нетрудно понять, что свойства операции, которые мы перечислили, подпадают под описание сложения, таким образом, мы определили абелеву аддитивную группу.
если же мы заменим пункты 3) и 4), соответственно, на следующие:
3)
4) ,
то получим уже абелеву мультипликативную группу.
в случае аддитивной группы — нулевой (нейтральный) элемент, а и — противоположные элементы.
в случае с мультипликативной: — единица (нейтральный элемент), и — обратные элементы.
Любая структура, на которой определено сколько угодно операций может быть группой по какой-то из этих операций, т.е. эта одна операция может быть определена на структуре в соответствии с указанными аксиомами, однако, сама структура, ввиду множества операций, уже будет называться не группой.
Кольцо:
0) определены две операции
1) относительно одной из них суть аддитивная группа
2) (дистрибутивность)
Этих двух свойств достаточно для определения просто кольца. Тем временем, кольцо может быть коммутативным, если умножение (условно говоря, речь может идти о любой операции) в нём коммутативно, т.е. если .
Также ничто не мешает ему быть ассоциативным, т.е. .
Однако, как видно, кольцу вовсе не обязательно иметь нейтральный элемент мультипликативной группы, единицу.
Существует крайне общеупотребительная разновидность кольца, называемая полем.
Поле:
0) определено две операции
1) суть ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, где каждый ненулевой элемент обратим.
Собственно говоря, обратимость каждого ненулевого элемента следует из свойства 4) мультипликативной группы.
28. Полугруппы
|
В математике, полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией (S, * ). |
||
|
Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента. Мы не будем предполагать непустоту и существование нейтрального элемента, а полугруппу с нейтральным элементом будем называть моноидом. Следует отметить, что любую полугруппу S, не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент и определив . |
Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f : S → T, такая что .
Структура полугруппы
Если , то принято обозначать
Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно замкнуто относительно полугрупповой операции и само в свою очередь является полугруппой.
Если подмножество A непусто и AS (SA) лежит в A, то A называют правым (левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.
Пересечение двух идеалов - также идеал; из этого следует, что полугруппа не может иметь более одного наименьшего идеала. Пример полугруппы, в которой нет наименьшего идеала - положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.
Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как
.
Для степени элемента справедливо .
Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (b\a) частное.
29. Группы
Гру́ппа — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Примерами групп являются вещественные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп.
Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией называется группой (G, * ), если выполнены следующие аксиомы:
,
.
Группу можно задать:
30. Кольца
В абстрактной алгебре кольцо́ — это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных, комплексных, …), функций на множестве (всех, непрерывных, гладких, аналитических, …) и матриц. Во всех случаях имеется множество, чрезвычайно похожее на множество чисел, в том смысле что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом. Однако есть и существенные отличия. Уже на примере целых чисел видно, что операция умножения может быть необратимой (операция деления определена не на целых числах, а на рациональных). Это различие ещё более существенно в кольцах функций и матриц: в них существуют элементы, произведение которых равно 0. Например, квадрат матрицы равен 0, так что она в принципе не может иметь обратную. Кроме того, умножение матриц не коммутативно. Более хитрые кольца, такие как алгебры Ли, являются важными примерами колец, в которых умножение не ассоциативно и не имеет единицы (тождественного по умножению элемента). Понятие кольца формализует общие свойства всех указанных примеров, позволяя изучать их общими абстрактными методами.
|
Заметим, что, согласно алгебраической геометрии, любое коммутативное ассоциативное кольцо с единицей можно рассматривать как кольцо функций на некотором пространстве (аффинной схеме), однако соответствующая конструкция весьма нетривиальна, а её результат сложнее, чем может подсказывать элементарная интуиция. Хотя в целом интуитивное представление о кольце как о некотором кольце функций или кольце матриц не слишком сильно искажает истину, необходимо помнить о различиях. |
Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:
Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра , такая что алгебра — абелева группа, и операция + дистрибутивна слева и справа относительно . Кольцо ассоциативно, если мультипликативный группоид является полугруппой.
Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:
Кольца, для которых выполнены два последние свойства, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).
Иногда под ассоциативным кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей. Но имеются примеры ассоциативных колец без единицы, например — нулевое кольцо, кольцо чётных чисел, или же любой несобственный идеал в кольце. Рассматриваются также неассоциативные кольца без единицы, например лиевские кольца и др.
Пусть R — кольцо, тогда выполнены следующие свойства:
31. Отношение эквивалентности
x1, x2 ∈ X
x1 ρ x2 – находятся в отношении
Отношение эквивалентности – это отношение, для которого выполняются 3 свойства:
x ∈ X
x ρ x
32. Операции над матрицами
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
Свойства умножения матриц на число
1. 1*A = A;
2. (Λβ)A = Λ(βA)
3. (Λ+β)A = ΛA + βA
4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB
Сложение матриц
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
Свойства сложения матриц
5.коммутативность (перестановочность - );
6.ассоциативность ();
7.сложение с нулевой матрицей;
8.существование противоположной матрицы;
Все свойства линейных операций , повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:
Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица является и вектором этого пространства.
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .
Свойства умножения матриц
1.ассоциативность;
2.произведение не коммутативно;
3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;
4.справедливость дистрибутивного закона;
5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);
Комплексное сопряжение
Если элементами матрицы A = (aij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь — число, комплексно сопряжённое к a.
Транспонирование и эрмитово сопряжение
Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (aij), то AT = (aji). Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.
33. Элементарные преобразования матриц
Это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Элементарными преобразованиями называют:
Элементарные преобразования обратимы.
34. Определители матриц
Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.
Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A). (Это из википедии)
|
Из его лекций: Определитель квадратной матрицы – алгебраическая сумма таких произведений элементов матрицы |
Для определителя 2-го порядка:
Для определителя 3-го порядка:
35. Свойства определителей
Если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A| = –|A| или |A| = 0.
.
.
36. Миноры и алгебраические дополнения
Минором называется определитель квадратной матрицы, получаемый из исходной матрицы путем вычеркивания некоторых строк и столбцов
Пусть имеем определитель третьего порядка: .
Минором, соответствующим данному элементу aij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу aij будем обозначать Mij.
Например, минором M12, соответствующим элементу a12, будет определитель , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.
Таким образом, формула, определяющая определитель третьего порядка, показывает, что этот определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на соответствующие им миноры; при этом минор, соответствующий элементу a12, берётся со знаком “–”, т.е. можно записать, что
|
. |
(1) |
Аналогично можно ввести определения миноров для определителей второго порядка и высших порядков.
Алгебраическим дополнением называется полученный минором определитель, взятый со знаком - который определяется номерами вычеркиваемыми строками и столбцами
Алгебраическим дополнениемэлемента aij определителя называется его минор Mij, умноженный на (–1)i+j.
Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается Aij.
Из определения получаем, что связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством Aij = (–1)i+jMij.
Например,
Теорема (о разложении определителя по заданной строке или столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.
37. Обратимые матрицы
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.
Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию (единичная матрица). (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.
38. Способ нахождения обратных матриц
Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:
Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .
Примеры.
|A| = 2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A.
39. Ранг матрицы
Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.
Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы.
|
Из лекций: Ранг матрицы – кол-во ненулевых элементов на главной диагонали |
40. Системы линейных уравнений над полем
Системой линейных уравнений над полем k от неизвестных (или относительно неизвестных) x1 , x2 ,...,xn называется набор выражений вида
|
(1) |
где . Каждое из этих выражением называется линейным уравнением, aij -- коэффициентами при неизвестных, bi -- свободными коэффициентами уравнений. Решением системы (1) называется строка , для которой
Система совместна, если у нее есть хотя бы одно решение. Две системы равносильны (или эквивалентны), если у них одно и то же множество решений: любое решение первой системы является решением второй и любое решение второй является решением первой.
Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: ,
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного. Для системы линейных уравнений матрица А = называется матрицей системы, а матрица А*= называется расширенной матрицей системы. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. Однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.
41. Матричное представление системы линейных уравнений
СЛУ можно представить в виде матрицы.
Матрица, состоящая из коэффициентов неизвестных, называется матрицей системы. Обозначается как A.
Матрица, из правой части системы (того, что после знака равенства) называется вектором свободных членов. Обозначается как .
При их объединении получается расширенная матрица системы:
42.Теорема Кронекера-Капелли
Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
СЛУ имеет решение тогда и только тогда, когда rang(A) =
43.Правило Крамера
Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)
с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде
(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
xi=i
Система линейных уравнений:
Определители:
Решение:
44. Однородные системы линейных уравнений
Однородные системы линейных уравнений
Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rang A < n.
Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:
а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения
В линейном пространстве n - r;
45. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений
Для примера рассмотрим систему однородных линейных уравнений
Ее можно преобразовать (см. билет 46 – начальная суть решения такая же) к следующей равносильной системе:
Если x3 и x4 считать параметрами, то эту систему можно считать системой из двух уравнений с двумя неизвестными и определителем, отличным от нуля. Для ее решения можно воспользоваться формулами Крамера:
Тогда:
Теперь, для свободных переменных выберем наборы:
И найдем соответствующие комбинации значений x1,x2:
И теперь получаем решения однородной системы в виде (x1,x2,x3,x4)
(-2, -1, 1, 0); (-1, -1, 0, 1)
Именно они и образуют фундаментальную систему решений однородной системы.
Теперь общее решение однородной системы может быть записано в виду всевозможных линейных комбинаций векторов фундаментальной системы решений:
46. Общее решение системы линейных уравнений
И сразу пример с пошаговым разбором.
Матрица этой системы будет иметь вид:
A =
=1
Итак, неизвестные x1 и x2 выражены через остальные неизвестные, и тем самым получено т.н. общее решение исходной системы.
Векторное пространство (линейное пространство) - множество элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения и умножения на число. Простейший, но важный пример - совокупность векторов a, b, c, ... обычного 3-мерного пространства. Каждый такой вектор - направленный отрезок, задаваемый тремя числами: ; числа называются координатами вектора. При умножении вектора на вещественное число соответствующий отрезок, сохраняя направление, растягивается в раз: . Сумма двух векторов находится по правилу параллелограмма; если и то . Паре векторов a и b сопоставляют также скалярное произведение (см. Векторная алгебра). Непосредственным обобщением З-мерного пространства является n-мерное евклидово пространство. Его элементы - упорядоченные наборы вещественных чисел, Например, , . Сложение и умножение векторов на число определены формулами , , а скалярное произведение - формулой Примером комплексного бесконечномерного векторного пространства может служить совокупность комплексных функций f, заданных на всей оси и квадратично суммируемых (то есть имеющих конечный интеграл ). Многие классы функций, например, полиномы заданного порядка, функции непрерывные, дифференцируемые, интегрируемые, аналитические и тому подобные, также образуют бесконечномерные векторные пространства.
В каждом векторном пространстве, помимо операций сложения и умножения на число, обычно имеются те или иные дополнительные операции и структуры (например, определено скалярное произведение). Если же не уточняют природы элементов векторного пространства и не предполагают в нем никаких дополнительных свойств, то векторное пространство называют абстрактным. Абстрактное векторное пространство L задают с помощью следующих аксиом:
Сложение допускает обратную операцию, то есть для любых х и у из L существует единственный элемент w из L такой, что x+w=y. Кроме того, имеют место формулы . Если все числа вещественны (комплексны), говорят о вещественном (комплексном) векторном пространстве; множество чисел называют полем скаляров L. Понятие векторного пространства можно ввести и для произвольного поля, например, поля кватернионов.
Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число. Суммой векторов является вектор - Произведение -, при этом коллинеарен .Вектор сонаправлен с вектором ( ), если > 0.Вектор противоположно направлен с вектором (), если < 0.
Базис – упорядоченная система линейно независимых векторов, через которую выражаются другие вектора
Если - элементы векторного пространства L, то выражение вида называется их линейной комбинацией; совокупность всех линейных комбинаций элементов подмножества S из L называют линейной оболочкой S. Векторы из L называют линейно независимыми, если условие ( - любые элементы поля скаляров) может выполняться только при . Бесконечная система векторов называется линейно независимой, если любая ее конечная часть является линейно независимой. Множество элементов подмножества S из L называется системой образующих S, если любой вектор х из S можно представить в виде линейной комбинации этих элементов. Линейно независимая система образующих S называется базисом S, если разложение любого элемента S по этой системе единственно. Базис, элементы которого каким-либо образом параметризованы, называется системой координат в S. Базис векторного пространства всегда существует, хотя и не определяется однозначно. Если базис состоит из конечного числа n элементов, то векторное пространство называется n-мерным (конечномерным); если базис - бесконечное множество, то векторное пространство называется бесконечномерным. Выделяют также счетномерные векторные пространства, у которых имеется счетный базис.
Подмножества векторного пространства L, замкнутые относительно его операций, называются подпространствами L. По любому подпространству S можно построить новое векторное пространство L/S, называемое фактор-пространством L по S: каждый его элемент есть множество векторов из L, различающихся между собой на элемент из S. Размерность L/S называется коразмерностью подпространства S в L; если размерности L и S равны соответственно n и k, то коразмерность S в L равна n-k. Если J - произвольное множество индексов i и Si - семейство подпространств L, то совокупность всех векторов, принадлежащих каждому из Si, есть подпространство, называется пересечением указанных подпространств и обозначаемое . Для конечного семейства подпространств S1, ..., Ss совокупность всех векторов, представимых в виде
|
, xi из Si, |
(*) |
есть подпространство, называемое суммой S1, ..., Ss и обозначаемое S1+ ... +Ss. Если для любого элемента суммы S1+ ... +Ss представление в виде (*) единственно, эта сумма называется прямой и обозначается . Сумма подпространств является прямой тогда и только тогда, когда пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора. Размерность суммы подпространств равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения. Векторное пространство L1 и L2 называют изоморфным и, если существует взаимно однозначное соответствие между их элементами, согласованное с операциями в них; L1 и L2 изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.
Базис – упорядоченная система линейно независимых векторов, через которую выражаются другие вектора.
Если в пространстве все вектора некоторой системы векторов лежат на одной плоскости, либо на параллельных плоскостях, то такая система называется компланарной. В противном случае – некомпланарной.
Любая упорядоченная система трех векторов пространства (через которые однозначно может быть выражен любой вектор) называется его базисом. Поэтому, любая некомпланарная тройка векторов пространства образует базис.
Если вектора a,b,c – базис, то числа r1, r2, r3 из соотношения: f = r1a + r2b + r3c называются координатами вектора f в базисе a,b,c, а само это соотношение называется разложением вектора f по заданному базису.
Если любые два вектора базиса пространства перпендикулярны, то базис называется ортогональным, а если, вдобавок, длины всех вектором равны единице, то базис называется ортонормированным.
Пусть имеется два вектора a и b, которые для некоторого ортонормированного базиса (e1, e2, e3) могут быть записаны в виду своих координат:
a = (a1, a2, a3) и b = (b1, b2, b3)
Для этих векторов операция скалярного произведения может быть введена соотношением:
(a, b) = (a1, a2, a3)(b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3.
Скалярное произведение облазает свойством коммутативности: (a,b) = (b,a)
Основываясь на операции скалярного произведения векторов, можно сформулировать критерий ортогональности векторов, а именно, векторы a и b ортогональны тогда, когда для их координат выполняется соотношение:
a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
И еще:
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. = cos
Свойства скалярного произведения:
= 2;
= 0, если или = 0 или = 0;
= ;
(+) = + ;
(m) = (m) = m();
Метрическим пространством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.
Метрическое пространство M есть множество точек с фиксированной функцией расстояния (также называется метрикой) , где обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:
Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть (это вытекает из аксиомы треугольника при z = x) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x.
Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти от x до y, а потом от y до z.
Обычно расстояние между точками x и y в метрическом пространстве M обозначается или .
где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O является открытым, если для любой точки найдётся положительное число r, такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O.
Тогда , только если x принадлежит замыканию S.
Свойства
Векторы.
- скалярное произведение векторов
- скалярное произведение в координатной форме
- условие перпендикулярности век-ров
- условие параллельности (коллинеарности) векторов
- длина вектора
- угол между век-рами
- векторное произведение век-ров
- смешанное произведение векторов
- формула вычисления смешанного произ-ния век-ров
На плоскости можно задать точку, линию, какую-то фигуру по двум координатам – x и y. В пространстве же есть еще Z-координата (направлена вверх обычно). Поэтому для задания точки в пространстве нужно задать три координаты x, y, z. Такая система координат называется декартовой системой координат.
Я не знаю, дополнить бы чем-нибудь.
Получим канонические уравнение прямой линии, однозначно определяемой лежащими на ней вектором v = (a,b,c) и точкой T0(x0, y0, z0). Для любой точки пространства T(x,y,z) вектор T0T принадлежит прямой, которой принадлежит вектор v. Отсюда следует, что существует такое действительное число r, для которого T0T = r⋅v: (x-x0, y-y0, z-z0) = r(a, b, c) или x-x0 = r⋅a, y-y0 = r⋅b, z-z0 = r⋅c.
Отсюда, в случае, когда прямая не || ни одной из плоскостей (т.е. a≠0,b≠0,c≠0) следует канонические уравнение прямой линии:
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Есть вектор v =(x2-x1, y2-y1, z2-z1) и два точки T0(x0,y0,z0) T1(x1,y1,z1)
Тогда a = x2-x1 ≠0, b = y2-y1≠0, c = z2-z1≠0.
Подставив это дело каноническое уравнение прямой, можно получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
Прямая на плоскости.
- уравнение прямой с угловым коэффициентом k
- уравнение прямой, проходящей через одну точку
- уравнение прямой, проходящей через 2 точки
- общее уравнение прямой
- уравнение прямой в отрезках
- угловой коэффициент
- условие параллельности
- условие перпендикулярности
- угол между прямыми
- расстояние от точки до прямой
Прямая в пространстве.
- общее уравнение прямой
- каноническое уравнение прямой
- параметрическое уравнение прямой
- условие параллельности прямых
- условие перпендикулярности прямых
- угол между прямыми
Пусть в пространстве задана плоскость p. Чтобы записать ее уравнение, надо ввести декартову систему координат OXYZ, и ортонормированный правый базис (i, j, k).
Положение плоскости в пространстве изначально определяется точкой T0, принадлежащей этой плоскости и любым ненулевым вектором n, перпендикулярным к p. Пусть координаты точки T0 (x0,y0,z0), а координаты вектора n в базисе (i, j, k) равны A, B, C:
T0 = T0(x0, y0, z0), n = (A, B, C)
Пусть T(x,y,z) – любая точка пространства, принадлежащая p. Тогда вектор T0T, соединяющий точка T0 и T очевидно лежит в плоскости p. А т.к. вектор n перпендикулярен p, то он перпендикулярен и T0T, координаты которого в базисе (i, j, k) имеют вид (x-x0, y-y0, z-z0). Отсюда в силу критерия ортогональности векторов следует, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю, что можно записать в виду следующего выражения:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Раскрыв скобки это выражение можно записать как
Ax + By + Cz + D = 0, где D = -Ax0 – By0 – Cz0
Это уравнение называется общим уравнением плоскости p.
Пусть p – плоскость и на ней лежат три точки T1(x1,y1,z1) T2(x2,y2,z2) T3(x3,y3,z3). Произвольная точка T(x,y,z) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда все вектора T1T, T2T, T3T лежат в плоскости p.
Т. о. можно получить следующее соотношение:
которое является однородной СЛУ. Т.к. она имеет ненулевое решение, то ее определитель равен нулю. И называется эта штука уравнением плоскости, проходящей через три точки.
А если плоскость p пересекает OX в (a, 0, 0), OY (0, b, 0), OZ (0, 0, c), то вычислив определитель матрицы
= 0
Который будет равен bcx + acy +abz – abc = 0. Преобразовав его можно получить уравнение плоскости в отрезках:
Вот, а еще есть нормальное уравнение плоскости.
Введем несущественное допущение, которое в дальнейшем можно быть снято. Пусть заданная плоскость p не проходит через начало координат. Тогда она определяется вектором ON, который ⊥ p и проведен из точки O в точки N на плоскости.
Очевидно, что точка M (x,y,z) будет лежать в плоскости только тогда, когда вектор ON ⊥ NM, т.е. их скалярное произведение ON⋅ NM = 0. А т.к. NM – OM – ON, то уравнение плоскости p может быть записано так:
ON⋅(OM-ON) = 0 или ON⋅OM = ON⋅ON.
Если длина вектора ON = d, и α, β, γ – углы вектора ON, тогда в базисе (i,j,k) вектора ON и OM могут быть записаны в виде:
ON = (d⋅cos α, d⋅cos β, d⋅cos γ) OM = (x,y,z)
Тогда соотношение ON ⋅OM = ON ⋅ON может быть записано так:
x⋅d⋅cos α+y⋅d⋅cos β + z⋅d⋅cos γ = d2
А теперь если всю эту хрень поделить на d, можно получить искомое нормальное уравнение плоскости:
x ⋅cos α+y⋅cos β + z⋅cos γ = d
Параллельность и перпендикулярность плоскостей в пространстве
Две плоскости, заданные уравнениями
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Будут параллельны тогда, когда будет выполняться соотношение:
(A1, B1, C1) = r(A2,B2,C2), r – некоторое действительное число
А чтобы эти две плоскости были ⊥, надо чтобы были ⊥ вектора (A1, B1, C1) и (A2,B2,C2)
А чтобы вектора были ⊥ надо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю:
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
- общее ур-ие плоскости
- уравнение плоскости, проходящей через 3 точки
- уравнение плоскости в отрезках
- нормальное уравнение плоскости
- направляющие косинусы вектора
- расстояние от точки до плоскости
- условие параллельности плоскостей
- условие перпендикулярности плоскостей
- угол между плос-ми