Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа
Вейвлет-анализ
Цель: получение и закрепление навыков работы в среде Matlab с пакетом расширения Wavelet Toolbox. Исследование вейвлет-спектра типовых сигналов (стационарных и нестационарных).
Теоретическое введение:
В основе Фурье-анализа лежит утверждение, что любую 2-периодичную функцию можно разложить на составляющие, т.е. может быть получена суперпозицией целочисленных растяжений базисной функции .
(1.1),
где cn – коэффициенты Фурье
(1.2).
Процесс разложения функции проиллюстрирован на рис.1.1
Преобразование Фурье
дает спектральную информацию о сигнале и описывает его поведение в частотной области.
При переходе в частотную область полностью теряется информация о времени, что делает непригодным метод спектрального анализа при обработке нестационарных сигналов, в которых определяющее значение имеет момент времени, в который произошло то или иное событие.
В отличие от кратковременного преобразования Фурье, которое обеспечивает равномерную сетку в частотно-временной области, вейвлет-преобразование имеет неравномерное разрешение, что позволяет исследовать сигнал как локально, так и полностью.
Т.к. частота обратно пропорциональна периоду, то требуется более узкое окно для локализации высокочастотно составляющей сигнала и более широкое для низкочастотной составляющей. Кратковременное преобразование Фурье допустимо применять для сигнала со сравнительно узкой полосой частот. Для широкополосного сигнала хотелось бы иметь окно, способное изменять свою ширину при изменении частоты.
Введем функцию , удовлетворяющую условию
и назовем ее «базисным вейвлетом».
Относительно каждого базисного вейвлета интегральное вейвлет-преобразование определяется как
, где
Обозначим
Интегральное преобразование примет вид
Если центр и радиус функции-окна , соответственно, равны t* и , то есть функция-окно с центром b+at* и радиусом . Следовательно, интегральное вейвлет-преобразование локализует аналоговый сигнал во временном окне
.
Рассмотрим
Пусть центр и радиус функции-окна равны, соответственно, и .
Тогда, сместим центр окна на в 0 и обозначим
Применяя равенство Парсеваля
Очевидно, что окно
имеет радиус .
Интегральное вейвлет-преобразование также локализует сигнал по частоте с окном
Аналогично преобразованию Габора введем частотно-временное окно для интегрального вейвлет-преобразования:
Видно, что окно автоматически сужается при высокочастотных явлениях (малых масштабах) и расширяется при низкочастотных (больших масштабах).
Порядок выполнения работы:
Пример
t=0:0.1:6*pi;
Стационарные сигналы
y=sin(t);
z=sin(t)+sin(2*t);
Сигнал с шумом
N=rand(1,189);
w=sin(t);
w=w+N;
Нестационарный сигнал
t=0:0.1:2*pi;
w(1:63)=sin(t);
w(64:126)=cos(t);
w(127:190)=cos(2*t);
Далее их нужно сохранить (каждый сигнал в отдельном файле), для этого в окне рабочей области выделяется нужная переменная и в контекстном меню выбирается пункт Save Selection As….
Для построения Фурье-спектра используется функция
Fft(имя сигнала, число точек ДПФ)
Пример
Y=fft(Sig,512)
A=abs(Y);
plot(A(1:length(A)/2));
Для построения спектрограммы используется функция
Specgram(имя сигнала)
Пример
Specgram(Sig)
Для построения вейвлет-спектра можно использовать графический интерфейс, вызов которого осуществляется командой wavemenu.
Для загрузки сигнала используется пункт меню File/Load Signal
Ниже приведен пример анализа сигнала z=sin(t)+sin(2*t). Видно, что сигнал содержит две частоты, разделенных на масштабе ~ 70. Вейвлет-коэффициенты меняются периодически, что доказывает периодичность сигнала.
При анализе нестационарного сигнала вейвлет-спектр показывает изменение частоты в момент времени 500, а также изменение, произошедшее в момент времени ~250, причем можно сделать вывод, что частота сигнала в данном случае осталась неизменной.
Требования к отчету.
Отчет должен содержать:
Для построения графиков используется функция plot(имя переменной)
Для всех вариантов
Y=3sin(t)
w(t1..t2)=sin(t); w(t2..t3)=sin(5t);w(t3..t4)=sin(10t);
Y=sin(5t)
w(t1..t2)=sin(t); w(t2..t3)=sin(10t);w(t3..t4)=sin(5t);
Y=sin(10t)
w(t1..t2)=sin(t); w(t2..t3)=tg(5t);w(t3..t4)=sin(10t);
Вариант №4
Y=sin(t)+sin(5t)
w(t1..t2)=50sin(t); w(t2..t3)=tg(5t);w(t3..t4)=50sin(5t);
Вариант №5
Y=sin(t)+sin(10t)
w(t1..t2)= square (t); w(t2..t3)= square(10t);w(t3..t4)= square (5t);
Вариант №6
Y=sin(10t)+sin(2t)
w(t1..t2)= sawtooth(t); w(t2..t3)= sawtooth(10t);w(t3..t4)= sawtooth(5t);
Вариант №7
Y=sin(t)+sin(10t)+sin(15t)
w(t1..t2)= sawtooth(t,0.5); w(t2..t3)= sawtooth(10t,0.5);w(t3..t4)= sawtooth(5t,0.5);
Вариант №8
Y=sin(t)+sin(15t)
w(t1..t2)=sinc(t); w(t2..t3)=sinc(10t);w(t3..t4)=sinc(5t);
Вариант №9
Y=sin(t)+cos(10t)
w(t1..t2)=sin(t)+cos(5t); w(t2..t3)=sin(t)+cos(10t);w(t3..t4)=sin(t)+cos(15t);
Вариант №10
Y=sin(t)+cos(20t)
w(t1..t2)=sin(15t)+cos(5t); w(t2..t3)=sin(10t)+cos(10t);w(t3..t4)=sin(5t)+cos(15t);
Астафьева Н.М.
Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук, 1996, Том 166. №11. с.1145-1170
Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А.
Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук, 2001, №5. Том 171.
Чуи Ч.
Введение в вейвлеты: Пер. с англ. – М.: Мир, 2001
5