Вейвлет-анализ
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Лабораторная работа
Вейвлет-анализ
Цель: получение и закрепление навыков работы в среде Matlab с пакетом расширения Wavelet Toolbox. Исследование вейвлет-спектра типовых сигналов (стационарных и нестационарных).
Теоретическое введение:
В основе Фурье-анализа лежит утверждение, что любую 2-периодичную функцию можно разложить на составляющие, т.е. может быть получена суперпозицией целочисленных растяжений базисной функции .
(1.1),
где cn – коэффициенты Фурье
(1.2).
Процесс разложения функции проиллюстрирован на рис.1.1
Преобразование Фурье
дает спектральную информацию о сигнале и описывает его поведение в частотной области.
При переходе в частотную область полностью теряется информация о времени, что делает непригодным метод спектрального анализа при обработке нестационарных сигналов, в которых определяющее значение имеет момент времени, в который произошло то или иное событие.
В отличие от кратковременного преобразования Фурье, которое обеспечивает равномерную сетку в частотно-временной области, вейвлет-преобразование имеет неравномерное разрешение, что позволяет исследовать сигнал как локально, так и полностью.
Т.к. частота обратно пропорциональна периоду, то требуется более узкое окно для локализации высокочастотно составляющей сигнала и более широкое для низкочастотной составляющей. Кратковременное преобразование Фурье допустимо применять для сигнала со сравнительно узкой полосой частот. Для широкополосного сигнала хотелось бы иметь окно, способное изменять свою ширину при изменении частоты.
Введем функцию , удовлетворяющую условию
и назовем ее «базисным вейвлетом».
Относительно каждого базисного вейвлета интегральное вейвлет-преобразование определяется как
, где
Обозначим
Интегральное преобразование примет вид
Если центр и радиус функции-окна , соответственно, равны t* и , то есть функция-окно с центром b+at* и радиусом . Следовательно, интегральное вейвлет-преобразование локализует аналоговый сигнал во временном окне
.
Рассмотрим
Пусть центр и радиус функции-окна равны, соответственно, и .
Тогда, сместим центр окна на в 0 и обозначим
Применяя равенство Парсеваля
Очевидно, что окно
имеет радиус .
Интегральное вейвлет-преобразование также локализует сигнал по частоте с окном
Аналогично преобразованию Габора введем частотно-временное окно для интегрального вейвлет-преобразования:
Видно, что окно автоматически сужается при высокочастотных явлениях (малых масштабах) и расширяется при низкочастотных (больших масштабах).
Порядок выполнения работы:
- Сгенерировать стационарные, нестационарные сигналы и сигналы с шумом;
Пример
t=0:0.1:6*pi;
Стационарные сигналы
y=sin(t);
z=sin(t)+sin(2*t);
Сигнал с шумом
N=rand(1,189);
w=sin(t);
w=w+N;
Нестационарный сигнал
t=0:0.1:2*pi;
w(1:63)=sin(t);
w(64:126)=cos(t);
w(127:190)=cos(2*t);
Далее их нужно сохранить (каждый сигнал в отдельном файле), для этого в окне рабочей области выделяется нужная переменная и в контекстном меню выбирается пункт Save Selection As….
- Проанализировать сигналы с использованием преобразования Фурье, объяснить результаты;
Для построения Фурье-спектра используется функция
Fft(имя сигнала, число точек ДПФ)
Пример
Y=fft(Sig,512)
A=abs(Y);
plot(A(1:length(A)/2));
- Рассмотреть кратковременное преобразование Фурье для анализируемого сигнала, объяснить результаты;
Для построения спектрограммы используется функция
Specgram(имя сигнала)
Пример
Specgram(Sig)
- Проанализировать полученные сигналы с использованием различных вейвлетов (не менее 3), объяснить результаты, определить «оптимальный» (дающий наибольшую информацию) вейвлет для сигнала;
Для построения вейвлет-спектра можно использовать графический интерфейс, вызов которого осуществляется командой wavemenu.
Для загрузки сигнала используется пункт меню File/Load Signal
Ниже приведен пример анализа сигнала z=sin(t)+sin(2*t). Видно, что сигнал содержит две частоты, разделенных на масштабе ~ 70. Вейвлет-коэффициенты меняются периодически, что доказывает периодичность сигнала.
При анализе нестационарного сигнала вейвлет-спектр показывает изменение частоты в момент времени 500, а также изменение, произошедшее в момент времени ~250, причем можно сделать вывод, что частота сигнала в данном случае осталась неизменной.
- Сравнить и объяснить результаты Фурье- и вейвлет-анализов.
Требования к отчету.
Отчет должен содержать:
- Временную реализацию исследуемых сигналов;
Для построения графиков используется функция plot(имя переменной)
- Фурье-спектры сигналов;
- Спектрограммы сигналов;
- Формы используемых вейвлетов;
- Вейвлет-спектры сигналов;
- Результаты анализа и сравнения.
Варианты заданий
Для всех вариантов
- t1, t2, t3, t4 выбираются таким образом, чтобы получаемые сигналы содержали не менее 2-х периодов,
- для генерации сигнала с шумом использовать стационарный сигнал и шум с равномерной плотностью распределения.
Вариант №1
Y=3sin(t)
w(t1..t2)=sin(t); w(t2..t3)=sin(5t);w(t3..t4)=sin(10t);
Вариант №2
Y=sin(5t)
w(t1..t2)=sin(t); w(t2..t3)=sin(10t);w(t3..t4)=sin(5t);
Вариант №3
Y=sin(10t)
w(t1..t2)=sin(t); w(t2..t3)=tg(5t);w(t3..t4)=sin(10t);
Вариант №4
Y=sin(t)+sin(5t)
w(t1..t2)=50sin(t); w(t2..t3)=tg(5t);w(t3..t4)=50sin(5t);
Вариант №5
Y=sin(t)+sin(10t)
w(t1..t2)= square (t); w(t2..t3)= square(10t);w(t3..t4)= square (5t);
Вариант №6
Y=sin(10t)+sin(2t)
w(t1..t2)= sawtooth(t); w(t2..t3)= sawtooth(10t);w(t3..t4)= sawtooth(5t);
Вариант №7
Y=sin(t)+sin(10t)+sin(15t)
w(t1..t2)= sawtooth(t,0.5); w(t2..t3)= sawtooth(10t,0.5);w(t3..t4)= sawtooth(5t,0.5);
Вариант №8
Y=sin(t)+sin(15t)
w(t1..t2)=sinc(t); w(t2..t3)=sinc(10t);w(t3..t4)=sinc(5t);
Вариант №9
Y=sin(t)+cos(10t)
w(t1..t2)=sin(t)+cos(5t); w(t2..t3)=sin(t)+cos(10t);w(t3..t4)=sin(t)+cos(15t);
Вариант №10
Y=sin(t)+cos(20t)
w(t1..t2)=sin(15t)+cos(5t); w(t2..t3)=sin(10t)+cos(10t);w(t3..t4)=sin(5t)+cos(15t);
Рекомендуемая литература
Астафьева Н.М.
Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук, 1996, Том 166. №11. с.1145-1170
Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А.
Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук, 2001, №5. Том 171.
Чуи Ч.
Введение в вейвлеты: Пер. с англ. – М.: Мир, 2001
5
2. Коммерческий банк и система денежных расчетов1
3. осуществляется не любым способом а с помощью применения юридических мер воздействия ~ принуждения 2Приме
4. А Аннотация- Запись контакта начинается с конца предложения ' Переводчик Вы можете перекреститься м
5. Проблеми правового регулювання профілактики дитячого дорожньо-транспортного травматизму в Україні
6. на тему- ldquo;Історія виникнення священиків і просвіти у селі Середній Березівrdquo; О
7. А аналитически QбезЗпостQ-ДЗпер Бграфически
8. ВАРІАНТ 6 1Аптека державної форми власності на підставі ліцензії одержує та реалізує наркотичні лікарсь
9. в сущности ретроспективноперспективное истолкование в зависимости от современных событий
10. ВР від 30 червня 1999 року N 783XIV від 3 квітня 2003 року N 662IVвід 3 квітня 2003 року N 674IVЗаконом України від 3 квітня 20
11. Родриго В Риме Гендель познакомился с Алессандро Скарлатти главой итальянской оперной школы и его сыно
12. Вулкани Сонячної Системи укр
13. на тему что можно и чего нельзя делать во время отношений между парнем и девушкой
14. военного коммунизма проводившуюся в ходе Гражданской войны
15. Психологические особенности подготовки и проведения деловых бесед и переговоров
16. .д.. 2 Оценить состояние пострадавшего определить характер и тяжесть травмы наибольшую угрозу для жизни по
17. У англичан «пересмешник трубы», у Телемана партнер кларнета
18. на тему- Индивидуальный жилой дом
19. Вариант Верны ли следующие рассуждения о взаимосвязи сфер общественной жизни Спад производства
20. Организационные- организационное проектирование; регламентирование ' установление правил обязат