У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематическую задачу.html

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-01-17

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025

Лекция 22.

ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ.

22.1.Частица в одномерной потенциальной яме.

Отыскание собственных значений энергии и собственных волновых функций представляет собой весьма трудную математическую задачу. Рассмотрим пример, достаточно простой, чтобы уравнение Шредингера решалось без особого труда. Исследуем поведение частицы, (например электрона) в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Будем считать, что частица может двигаться только вдоль оси x (рис. 22.1). Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: x=0 и x=l.

Потенциальная энергия U     имеет в этом случае следующие значения:

Поскольку функция   зависит только от координаты, стационарное уравнение

Рис 22.1   Шредингера будет иметь вид:

    За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружить частицу за пределами ямы равна нулю. Следовательно и волновая функция за пределами ямы = 0, т.е. при х<0, x>l (x)=0 (22.1). Далее из условия непрерывности следует, что   должна быть равна нулю и на границах ямы

                                        (0) = 0

( l) = 0              (22.2)

Решение стационарного уравнения Шредингера, имеющие физический смысл,должны удовлетворять условиям (22.1.) и (22.2.)

Внутри ямы U=0 и уравнение Шредингера принимает вид: . Обозначая , получим уравнение:

.

Его решение: (x)= sin (x+). Условия (22.1.) и (22.2) удовлетворяются соответствующим выбором постоянных и .

Из условия (0)=0, sin  =0, =0, а

из условия (l) =0, (l)=a sin l=0,                         (22.3)

что возможно при l=n; n=1, 2, 3…(n=0 отпадает, т.к. тогда 0 и частица нигде не находится). Отсюда получается, что решения уравнения Шредингера будут  иметь физический смысл не при всех значениях энергии Е, а только при значениях, удовлетворяющих соотношению:

.

Таким образом, из уравнения Шредингера, не прибегая ни к каким дополнительным предположениям (как это пришлось делать Бору), получено квантование энергии частицы и найдены собственные значения этой энергии:

                                                            (22.4)

Схема энергетических уровней изображена на рис.22.2. Расстояние между уровнями определяется массой m и шириной ямы l; а  n = 1, 2, 3 - главное квантовое число.

Оценим расстояния между соседними уровнями для различных значений массы частицы m и ширины ямы l. Разность энергий двух соседних уровней равна:

          Рис. 22.2

 Пример 1. Газ в сосуде. Масса молекулы m10-23 г, размер сосуда l = 10см. Вычисляя, получим  n  10-20n эВ.

 Пример 2. Электроны проводимости в металле. m10-27 г, l = 10см. Здесь n 10-16n эВ. В обоих случаях энергетические уровни расположены очень густо и будут восприниматься как сплошной непрерывный спектр значений энергии.

 Пример 3. Электрон находится в яме, размеры которой соизмеримы с атомными, т.е. m 10-27 г, l=10-8см. n 102 n эВ. Дискретность энергетических уровней проявляется весьма заметно. Энергия в этом случае квантуется.

Учитывая (22.3), получим собственные волновые функции

Коэффициент а находим из условия нормировки, которое записывается в виде

Вычисляя интеграл получим, что        a2 =  и a =

т.о. собственные функции имеют вид

                                          (22.5)

                Рис. 22.3(а)                                                Рис. 22.3(б)

Графики собственных функций (22.5) соответствующие уровням энергии E при n =1,2,3 приведены на рис. 22.3, а на рис.22.3, б

изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная /n(x)/2 или *. Из рис. 22.3, б видно, что в состоянии с n =2, частица не может находиться в середине ямы, но одинаково часто находится в правой или левой половине ямы. Такое поведение частицы несовместимо с понятием траектории, т.е. в квантовой механике это понятие несостоятельно.

Из представлений квантовой механики следует, что частица в потенциальной яме имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

Это специфическое квантовое явление - туннельный эффект, т.е. микрообъект может "пройти" сквозь потенциальный барьер.

22.2. Атом водорода в квантовой механике. Квантовые числа.

Строение атома и его излучение до создания квантовой механики объяснялись на основе теории Бора. Для объяснения устройства водородоподобного атома были сформулированы постулаты Бора, выведены сериальные формулы, проведены опыты Франка и Герца.

В квантовой механике задача об энергетических уровня                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                ической физики (принцип соответствия Бора ).

Как уже говорилось, состояние электрона описывается уравнением Шредингера   

=0,

где U(r) = -, а Ze2 - заряд ядра, r - расстояние электрона до ядра. Решая это уравнение для атома водорода, т.е. определяя собственные волновые функции, определим, что они в отличие от одномерной задачи, содержат не одно, а три квантовых числа. Как и для частицы в яме, в атоме должны быть дискретные энергетические уровни. Каждому уровню соответствует целое главное квантовое число n=1, 2, 3 ... Главное квантовое число определяет энергетические уровни электрона и принимает значения от 1 до .

Момент импульса электрона в атоме ( орбитальный момент ), тоже квантованная величина, определяется формулой

(22.6.),

где- орбитальное квантовое число. При заданном n оно принимает значения  =0, 1, 2, 3 ... (n - 1), т. е. всего n значений. От  зависит форма электронной оболочки, оно определяет момент импульса электрона в атоме.

Вектор  момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Lez на направление Z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные

Lez =m                                                       (22.7)

Здесь m - магнитное квантовое число, при данном  оно принимает значения  m=0, 1, 2… , т. е. всего (2+1) значений. Отметим, что магнитное квантовое число определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление.




1. Славянские племена на территории России в X в
2. Реформування податкового законодавства України до європейських стандартів організаційно-правові засади
3. Современная космология и проблема скрытой массы во Вселенной
4. Катенин П
5. Разработка для контроля и определения типа логических интегральных микросхем методом сигнатурного анализ
6. Йод и проблема йододефицита
7. 95 и по сравнению с обычным силосованием значительно снижает потери всех питательных веществ
8. Зоология
9. Центр детского и юношеского туризма и экскурсий
10. Содержание Соответствие программе Глубина научность системность последовательность и др