У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Вариант ~6 Выполнил- студент группы Э72Акопджанян Г

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-06-20

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 5.4.2025

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

в  г.Таганроге

Отчет

По лабораторной работе № 1: «Численное интегрирование»

Вариант –6

Выполнил: студент группы Э-72
Акопджанян Г.Ж.

Проверил:            Цирулик Д.В.

Таганрог 2013

Цель работы:  Применить методы численного интегрирования для вычисления  интеграла .

Описание методов.

Рассмотрим способы приближенного вычисления определенных интегралов

(1.1)

основанные на замене интеграла конечной суммой

(1.2)

где – числовые коэффициенты и – точки отрезка , . Приближенное равенство

называется квадратурной формулой, а сумма вида (1.2) – квадратурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы, а числа коэффициентами квадратурной формулы. Разность

называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов. При оценке погрешности в приводимых ниже примерах функция предполагается достаточно гладкой.

Введем на равномерную сетку с шагом , т.е. множество точек

,

и представим интеграл (1.1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

(1.3)

на частичном отрезке и воспользоваться свойством аддитивности определенного интеграла.

Формула прямоугольников.

Пользуясь малостью , заменим интеграл (1.3) выражением , где .

Тогда получим формулу

(1.4)

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке .

Погрешность формулы (1.4) определяется величиной

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем в виде

(1.5)

и воспользуемся разложением

где . Тогда из (1.5) получим

Обозначая , оценим следующим образом:

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка

(1.6)

т.е. формула имеет погрешность при .

Заметим, что оценка (1.6) является неулучшаемой, т.е. существует функция , для которой (1.6) выполняется со знаком равенства. Действительно, для имеем , и

Суммируя равенства (1.4) по от до , получим составную формулу прямоугольников (центральных прямоугольников):

(1.7)

Погрешность этой формулы

равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,

Отсюда, обозначая , получим

(1.8)

т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина .

В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.

Замечание. Можно также использовать формулы прямоугольников при ином расположении узлов, например, такие формулы (формулы левых и правых прямоугольников соответственно):

Однако из-за нарушения симметрии погрешность таких формул является величиной .

Формула трапеций.

На частичном отрезке эта формула имеет вид

(1.9)

и получается путем замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом первой степени, построенным по узлам , т.е. функцией

Для оценки погрешности достаточно вспомнить, что

Отсюда получим

и, следовательно,

(1.10)

Оценка (1.10) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для .

Составная формула трапеций имеет вид

(1.11)

где .

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:

Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности , но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей (см. (1.8)).

Формула Симпсона.

При аппроксимации интеграла (1.3) заменим функцию параболой, проходящей через точки , , т.е. представим приближенно в виде

,

где – интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени,

(1.12)

Проводя интегрирование, получим

Таким образом, приходим к приближенному равенству

(1.13)

которое называется формулой Симпсона или формулой парабол.

На всем отрезке формула Симпсона имеет вид

Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить

, , ,

и записать формулу Симпсона в виде

(1.14)

Прежде чем переходить к оценке погрешности формулы (1.13), заметим, что она является точной для любого многочлена третьей степени, т.е. имеет место точное равенство

Если , это утверждение нетрудно проверить непосредственно, что и предоставляется сделать читателю.

Для оценки погрешности формулы Симпсона построим многочлен третьей степени такой, что

, ,

Известно, что такой многочлен существует и единственен. Он построен в явном виде. Однако нам даже не потребуется явный вид многочлена . Вспоминая, что формула Симпсона точна для любого многочлена третьей степени, получим

(1.15)

Представим теперь в виде

 ,

(1.16)

где – погрешность интерполирования многочленом . Интегрируя (1.16) и учитывая (1.15), получим

(1.17)

Имеем

поэтому для погрешности получаем оценку

где .

Вычисляя интеграл, приходим окончательно к оценке

(1.18)

Погрешность составной формулы Симпсона (1.14) оценивается так:

Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она имеет точность , а на всем отрезке – .

Программная реализация численных методов

м е т о д  п р а в ы х  п р я м о у г о л ь н и к о в

м е т о д  ц е н т р а л ь н ы х  п р я м о у г о л ь н и к о в

            

м е т о д  л е в ы х  п р я м о у г о л ь н и к о в

            

м е т о д  т р а п е ц и и

м е т о д  С и м п с о н а

Вывод: В ходе проделанной работы мы применили методы численного интегрирования для вычисления  интеграла, такие как: методом левых прямоугольников, методом правых прямоугольников, методом центральных прямоугольников, методом трапеции, методом Симпсона,




1. купить воды. Заплатив и забрав сдачу пошел дальше
2. Контрольная работа- Пенитенциарная система России в XIX веке
3. т~пкілікті ж~не те~
4. 3 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
5. Анкета для гостей Уважаемые гости Мы будем Вам очень признательны если Вы оцените уровен
6. Реферат- Основные причины сопротивления изменениям в организации
7. тематического анализа данных ДЗЗ
8. последний день подачи заявки Объем публикации Стоимость Полная-дополнит
9. Основы физиологии труда
10. Государство один из знаменитых