Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
30. Экстремумы функции нескольких переменных. Понятие о векторе градиента функции двух переменных.
Определение. Точка называется точкой макс (минимума) функции , если существует окрестность точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство , .
Теорема.Пусть точка - есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.
Теорема.Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка
Определение. Производной по направлению функции двух переменных называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, т.е. Определение.Градиентом функции называется вектор с координатами .
Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция и пусть в точке , величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.
Пример. Найти критические (экстремальные) точки функции двух переменных .
Найдем частные производные функции : , . Найдем критические точки функции из системы уравнений , , , , , , , .
Найдем частные производные второго порядка: , , . Проверим выполнение достаточного условия экстремума: . Так как , , то точка есть точка минимума.
Пример.Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .
Найдем частные производные , : , . Значения частных производных в точке равны ,. Градиент функции в точке равен .
Так как , то , , то производная по направлению равна .
31. Понятие первообразной, основные свойства.
Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .Например, является первообразной для функции , так как .
По геометрическому смыслу производной есть угловой коэффициент касательно к кривой в
точке с абсциссой . Геометрически найти первообразную для - значит найти такую кривую , что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке равен значению заданной функции в этой точке (рис. 1).
Следует отметить, что для заданной функции ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, нетрудно убедиться, что функции , и вообще , где - некоторое число, являются первообразными для функции . Аналогично в общем случае, если - некоторая первообразная для , то поскольку , функции вида , где - произвольное число, также являются первообразными для .
Геометрически это означает, что если найдена одна кривая , удовлетворяющая условию , то, сдвигая ее вдоль оси ординат, мы вновь получаем кривые, удовлетворяющие указанному условию (поскольку такой сдвиг не меняет углового коэффициента касательной в точке с абсциссой ) (рис. 1).
Остается вопрос, описывает ли выражение вида все первообразные для функции . Ответ на него дает следующая теорема.
Теорема. Если и - первообразные для функции на промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство .
Поскольку, то по следствию из теоремы Лагранжа, найдется такое число , что или .
Из данной теоремы следует, что если - первообразная для функции , то выражение вида , где - произвольное число, задает все возможные первообразные для .
Определение. Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция,
- подынтегральное выражение. Таким образом , где - некоторая первообразная для , - произвольное постоянна
Отметит, что в определении неопределенного интеграла не исключается, что сама, возможно, является функцией некоторой переменной, однако при проверке правильности нахождения первообразной это несущественно, так как дифференцировать следует лишь по переменной .
Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.
Свойства неопределенного интеграла:
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .
Дифференцируя левую и правую части равенства , получаем .
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .
По определению дифференциала и свойству 1 имеем .
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .
Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать и на основании дифференциал неопределенного интеграл , откуда .
Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимнообратны (знаки и взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, правда, с точностью до постоянного слагаемого).
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. .
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .
24. Интегрирование способом подстановки.
Метод замены переменной описывается формулой: , где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Пример. Вычислить неопределенный интеграл .
. Пусть , , тогда .
25. Метод интегрирования по частям.
Интегрирование по частям. Пусть и - дифференцируемые функции, тогда .Пример. Вычислить .
Пусть , , , , тогда .
27. Разложение действительного многочлена на множители.
Теорема. Если и - корни квадратного уравнения, то справедливо следующее разложение .
Пример. Разложить квадратный трехчлен на множители. По теореме Виета определим корни квадратного трехчлена: , откуда, . Итак, .
Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов. Для этого используют различные приемы. Рассмотрим некоторые из них.
1.Вынесение общего множителя за скобку:
.
2. Группировка слагаемых:
.
3. Формулы сокращенного умножения: , , ;, ;, .
Теорема. Пусть дан многочлен степени, , . Разложение является для многочлена единственным с точностью до порядка сомножителей.
28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
Когда степень многочлена знаменателя дроби равна нулю (т.е. в знаменателе стоит число), дробь является многочленом. По теореме известно, что любой многочлен может быть разложен на множители.
Если степень знаменателя дроби больше нуля и степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь можно представить в виде простейших дробей. Если степень числителя больше дроби знаменателя, то необходимо выполнить деление многочлена на многочлен «углом».
Пример. Разложить рациональную функцию на простейшие дроби.
.
Определим , , и из системы уравнений , . Итак, .
29.Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональных функций сводится к разложению дроби на простейший и проинтегрировав каждое слагаемое.
Пример. .
.
Определим , , и из системы уравнений , . Итак, .
.
30. Интегрирование простейших иррациональностей.
Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций.
Обозначим через функцию от переменных и , и некоторых постоянных, которая построена с использованием лишь четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления). Например, , и т.д.
Рассмотрим интеграл вида . Такие интегралы рационализируются заменой переменной .
Пример. Вычислить .
Пусть , , , , , тогда .
31. Биномиальный интеграл.
Биномиальным дифференциалом наз-ся выражение , где , и - рациональные числа.
Интеграл от биномиального дифференциала приводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях.
Случай 1. Показатель степени - целое число. Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где - общий знаменатель дробей и .
Случай 2. Число - целое. Тогда сводится к интегралу от рац.функции с помощью подстан. , - знаменатель дроби .
Случай 3. Число - целое. Тогда интеграл рационализируется с помощью подстановки , где - знаменатель дроби .
Пример. Найти интеграл .
Здесь , , - целое число, т.е. имеет место первый случай интегрируемости. Поэтому следует применить подстановку , тогда , и данный интеграл принимает вид
32. Интегрирование функции .
Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где . Действительно , , , .
Пример. Вычислить .
.
33 . Интегрирование функции , (первая подстановка Эйлера).
Интеграл вида , где рационализируется с помощью первой подстановки Эйлера .
Пример. Найти интеграл .
Здесь , поэтому применим подстановку . Возведем обе части равенства в квадрат , , приведем подобные члены, получим , откуда , .
Подставляя полученные выражения в данный интеграл, имеем
34 . Интегрирование функции , (вторая подстановка Эйлера).
Интеграл вида , где рационализируется с помощью первой подстановки Эйлера .
Пример. Найти интеграл .
Здесь , поэтому применим подстановку . Возведем обе части равенства в квадрат, , приведем подобные члены, получим , откуда, , .
Подставляя полученные выражения в данный интеграл, имеем Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей: , откуда Полагая , находим , при , получим , при имеем , тогда .
Таким образом, получаем
35 . Интегрирование функции , (третья подст.Эйлера).
Интеграл вида , где рационализируется с помощью первой подстановки Эйлера .
Пример. Вычислить .
Здесь , поэтому применим подстановку . Возведем обе части равенства в квадрат , , откуда , , .
Подставляя полученные выражения в интеграл, .
36. Определенный интеграл и его геометрический смысл.
Пусть функция неотрицательна на . Отдельное слагаемое интегральной суммы в этом случае равно площади прямоугольника со сторонами и , Другими словами, - это площадь под прямой на отрезке . Поэтому вся интегральная сумма равна площади под ломаной, образованной на каждом из отрезков прямой , параллельной оси абсцисс.
Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек , , … и точек , , ... Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , т.е. .
Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции.
37. Основные свойства определенного интеграла.
38. Основные условия интегрируемости функций.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Пример. Вычислить .
Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки разбиения имеют одинаковую длину , равную , где - число отрезков разбиения, причем для каждого отрезка разбиения точка совпадает с правым концом этого отрезка, т.е. , где . В силу интегрируемости функции , выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек на отрезке разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы. Тогда .
Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна . Следовательно, .
39. Связь определенного интеграла с первообразной. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое значение , что .
Доказательство. По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения из верно, что , где и - наименьшее и наибольшее значения функции на . Тогда, имеем .
Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число , что или .
Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е. .
Доказательство. Пусть - некоторая первообразная для функции . По теореме (если функция непрерывна на отрезке , тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции ), т.е. функция , заданная формулой , также является первообразной для функции .
По теореме: если и - первообразные для функции на промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство ) найдется такое число , что .
Тогда для приращения первообразной имеем . Так как , то .
Пример. Вычислить .
.
41.Замена переменной в определенном интеграле
Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где . Тогда справедливо следующее равенство .
Пример. Вычислить определенный интеграл .
Пусть , , , , , тогда .
42.Вычисление определенного интеграла по частям.
Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда .
Пример. Вычислить .
Пусть , , , , тогда .Вычислим . .
Итак, .
48. Интегрирование функций, неопределенных в конечном числе точек.
Определение. Несобственным интегралом от функции на полуинтервале называется предел , где , т.е. .
Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
.
Вычислим . Пусть , , , , тогда
Итак, .
49. Интегрирование функций, имеющих разрывы второго рода
Для установления сходимости или расходимости несобственных интегралов с бесконечным верхним пределом интегрирования часто используется следующий признак.
Пусть при справедливо неравенство , где и - непрерывные знакоположительные функции. Тогда:
Аналогичный признак сравнения имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.
Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: .
. Пусть , , , , тогда . Несобственный интеграл расходится.
50. Интегрирование функций, заданных на бесконечном интервале.
Определение. Несобственным интегралом от функции на полуинтервале называется предел функции при , стремящемся к , т.е. .
Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
.
Вычислим . , , , , , , Т. к.интеграл , то он сходится.
43. Вычисление площади плоской фигуры.
Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим несколько случаев вычисления площадей плоских фигур.
Пример. Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры ограниченной данными линиями , .
|
8 |
|||||||
|
6 |
|||||||
|
4 |
|||||||
|
2 |
|||||||
|
-6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
-2 |
кв. ед.
44. Вычисление объема тела вращения.
Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , осью абсцисс и двумя прямыми и , находится по формуле .
Пример. Найти объем тела, получающегося при вращении кривой вокруг оси от до . куб. ед.
45. Вычисление длины дугиплоской кривой.
Если кривая на отрезке является гладкой (т.е. производная - непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами и , находится по формуле .
Пример. Найти длину дуги кривой от до .
Так как , то . Пусть , , , , тогда .
Пример. Найти длину дуги кривой между точками и в первой четверти.
Длину дуги кривой определим по формуле .Т. к. , , то .
46. Вычисление площади поверхности тела вращения.
Площадь поверхности, образованной вращением оси дуги гладкой кривой между точками и , находится по формуле .
Пример. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси дуги кубической параболы при .
Так как , то . Пусть , , , , тогда .
57. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: , где - какие угодно действительные числа.
Определение. Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что .
В противном случае векторы называются линейно независимыми.
Определение. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существуют линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми.
Пример. Выяснить, являются ли векторы , , линейно зависимыми.
Составим векторное равенство . Записывая , , в виде вектор - столбцов, получим
Задача свелась к решению системы: . Решим систему методом Гаусса: . Следовательно, . Так как , то , , линейно независимы, следовательно, образуют базис.
58. Базис векторного пространства. Матрицы, действия с матрицами.
Определение. Совокупность линейно независимых векторов -мерного пространства называется базисом.
Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.
Теорема. Если - система линейно независимых векторов пространства и любой вектор а линейно выражается через , то пространство является , а векторы - его базисом.
Пример. Даны векторы , , и в некотором декартовом базисе. Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Покажем, что векторы , , образуют, т.е. составим векторное равенство и определим коэффициенты , и .
. Т. К.. , то вектора , , образуют базис.
Определим координаты вектора в этом базисе:
, .
Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Виды матриц:
- Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) - строкой, а из одного столбца – матрицей (вектором) - столбцом.
- Матрица называется квадратной порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .
- Матрица называется диагональной, если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю.
- Матрица называется единичной, если у диагональной матрицы порядка все диагональные элементы равны единице.
- Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю.
Операции над матрицами:
1.Умножение м на число. Произведение матрицы на число называется матрица , элементы которой для ; .
2.Сложение матриц. Суммой двух матриц и одинак. размера называется матрица , элементы которой для ; .
3.Вычитание матриц. Разность двух м. одинак.размера определяется через предыдущ операции: .
4. Умножение матриц. Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов строки матрицы на соответствующие элементы столбца матрицы .
5. Возведение в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение матриц, равных .
6. Транспонирование матрицы. Транспонирование матрицы – переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
Пример. Выполнить действия .
.
59. Определители. Свойства определителей
Определитель квадратной матрицы второго порядка вычисляется по формуле: .
Определителем квадратной матрицы третьего порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или правилу Сарруса: .
Определителем квадратной матрицы порядка, или определителем порядка, называется число, равное алгебраической сумме членов, каждый из которых является произведением элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как , где – число инверсий в перестановке из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк записаны в порядке возрастания: , где сумма берется по всем перестановкам .
Свойства определителей:
1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.
2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножиться на это число .
Пусть определитель исходной матрицы равен . Для определенности первую строку матрицы умножим на , получим новый определитель , который разложим по элементам первой строки: .
Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца.
3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
Предположим вначале, что переставлены две соседние строки матрицы: и . Разложим определитель исходной матрицы по элементам строки, а определитель новой матрицы (с переставленными строками) - по элементам строки. Полученные разложения будут отличаться только знаком, поэтому .
Если переставить не соседние строки, а скажем, и , то такую перестановку можно представить как последовательное смещение строки на строк вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), а строки на вверх, что тоже сопровождается изменением знака, т.е. знак поменяется нечетное число раз, т.е. .
5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.
Действительно, переставим эти строки (столбцы). С одной стороны, определитель не изменится, но с другой стороны, по свойству 4 поменяет знак, т.е. , откуда .
6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.
7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равен 0.
8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.
9. Сумма произведений произвольных чисел , , …, на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа , , …, .
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где ; и - матрицы порядка.
Пример. Вычислить определитель .
.
61. Ранг матрицы, обратная матрица.
Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы,
Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.
Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).
Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: .
Теорема (необходимое и достаточное условие обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.
Алгоритм вычисления обратной матрицы:
Пример. Найти обратную матрицу .
Определитель матрицы равен . Так как определитель матрицы не равен нулю, то существует обратная матрица.
Найдем алгебраические дополнения: , , ,
, ,
, ,
, .
Обратная матрица имеет вид: . Проверим, правильно ли найдена обратная матрица: . Итак, обратная матрица найдена верно.
Пример. Решить матричное уравнение и сделать проверку: ..
Пусть , тогда .
Найдем . , так как , то существует. Транспонированная матрица имеет вид: . Найдем алгебраические дополнения для транспонированной матрицы: , , , , , , , , . Обратная матрица имеет вид: .Итак
Проверка: , , , , , .
62. Системы линейных уравнений, решения систем, свойства. Однородные и неоднородные системы.
Система линейных уравнений с переменными имеет вид: , где - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.
Решением системы называется такая совокупность чисел (, , …, ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Система линейных уравнений с переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид: .
Определение. Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений .
Теорема. Если ранг матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнении меньше числа переменных , то всякая фундаментальная система решений состоит из решений.
63. Решение систем линейных уравнений методами Гаусса и Крамера.
Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы , а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам: ().
Пример. Решить систему уравнений .
Вычислим определители: , , , .
Итак, , , .
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений .
Решим систему методом Гаусса. Предположим, что (иначе найдем такое, что и переставим уравнением с местами).
Умножим уравнение на и прибавим ко второму уравнению. Умножим уравнение на и прибавим к уравнению.
Таким образом, в результате этих преобразований мы получим систему, эквивалентную данной: .
Если в процессе исключения мы получим противоречие , то система в этом случае несовместна, а значит несовместна и система .
Предположим, что такого равенства мы не получили. Тогда из 3, 4, …, уравнений исключаем аналогичным образом: умножим уравнение на и прибавляем к , в результате исключается из уравнения.
Если в полученной системе нет противоречивых равенств, то исключаем из 4, 5, …, уравнений …, продолжая этот процесс, получим, что:
1) система приводится к треугольному виду;
2) система приводится к виду трапеции;
3) в процессе исключения переменных появляется противоречивое равенство.
В случае 1) система имеет единственное решение, в случае 2) – бесконечно много решений, в случае 3) система несовместна.
Пример. Решить систему уравнений .
. Так как ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение, следовательно, , , .