Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
14. Определения основных геометрических понятий в аксиоматике Вейля.
Аксиомы:
3а) для каждой точки АТ отображение А:ТV определяется по закону А(В)=(А,В) является биекцией [иньективно: В-> (если одну точку зафиксируем, тогда можно рассмотреть А-операция откладывания вектора от фиксированной точки), сюрьективно: ВТ: = (если представить какой-либо вектор , то его можно считать приложенным к точке А)].
Т.о. 3а) описывает операцию откладывания вектора от данной точки.
Вектор (А,В) обычно обозначают через . По 3а) АТ, VВT: =, причем такой элемент В единственный.
3б) Тождество Шаля: А,В,С: +=.
4. Скалярное произведение. симметричная положительная определенная билинейная квадратичня форма :VVR.
- скалярное произведение двух векторов – есть число. Форма g симметричная: . g – положительно определенная: V , =0. Билинейность означает линейность по первому и по второму аргументу (по первому: g(λ1ū1+λ2ū2,)=λ1.g(ū1,)+λ2. g(ū2,), по второму аргументу: g(ū, μ11+μ22)=μ1.g(ū,1)+μ2. g(ū,2).
1. Возьмем точку М0E3 и вектор ,(где V-пространство переносов пространства E3). Прямая d определяется как множество точек М: (*)
Вектор -направляющий вектор прямой d. Если взять вектор ,коллинеарный вектору , то и Следовательно, вектор так же служит направляющим вектором прямой d.
Возьмём точку N0d. Тогда (1)
Имеем: (2)
(1),(*),(2), где R. Следовательно, точка M0 не играет какой-либо особой роли в определении прямой d и её можно заменить любой другой точкой N0d.
Две различные точки A,BE3 определяют прямую (AB), через них проходящую:
2. Возьмем точку М0E3 и два неколлинеарных вектора . Плоскостью называем множество П точек М: И в этом определении, как известно, точку М0 можно заменить любой другой точкой N0П. Более того, множество П останется прежним, если вместо векторов взять любой другой базис двумерного векторного подпространства П0V, натянутого на векторы . Это подпространство П0 называется направляющим подпространством или направляющей плоскости П. Три точки A,B,CЕ3, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость (ABC), через них проходящую:
3. Пусть A,BЕ3, А≠В. Мы скажем, что точка М лежит между точками А и В, и запишем μ (АМВ), если
(3)
(3) и .
Имеем: , (4)
(3),(4) (5)
(5).
Итак, если точка М лежит между точками А и В, то А,В,М – три различные точки одной прямой и точка М лежит между точками В и А.
На множестве точек пространства E3 мы определили отношение μ, и теперь можно дать обычные определения отрезка, луча, угла.
Отрезком с концами в точках А и В (А≠В) называется множество точек
[АВ]={А,В}{}.
Каждая из точек М, лежащая между точками А и В, называется внутренней точкой отрезка [АВ]. Так как μ (АМВ) , то [АВ]=[ВА], т.е. [АВ] и [ВА] – это одна и та же фигура.
4. Пусть A,BЕ3, А≠В. Лучом с началом в точке А и проходящим через точку В называется множество точек:
[AB)=[AB].
Это множество можно определить еще так: .
Возьмем точку В1[AB). Тогда . Если В1≠А, то и , (), ≥0.
Поэтому [AB)=[AВ1), следовательно, точка В не играет никакой особой роли на луче [АВ) и ее можно заменить любой другой точкой В1[АВ), В1≠А.
5. В пространстве Е3 возьмем какую-либо плоскость П. Если М0П и {}- базис направляющей П0 плоскости П, то Пусть А,ВП, А≠В. Тогда , (6)
.
Если С(АВ), то . (7)
Имеем: . (8)
(6),(7),(8).
Итак, если две различные точки прямой (АВ) принадлежат плоскости П, то и любая точка этой прямой принадлежит плоскости П. В этом случае говорят, что прямая (АВ)лежит на плоскости П (или в плоскости П), и пишут: (АВ)П. Ясно, что (А,ВП, А≠В) [АВ] П.
На плоскости П возьмем прямую d, и пусть ≠П\d.
Зададим на плоскости П систему координат R={А0,А1,А2}|А0,А1d (рис.1). Рассмотрим фигуры: , . Ясно, что
.
Если М1(x,y), М2(x,y) – две различные точки плоскости П и М(x,y) –
внутренняя точка отрезка [М1М2], то отношение трех точек (М1М2;М)=λ>0,
причем . (9)
Если М1,М2, то (9).
Точно так же М1, М2 .
Таким образом, каждая из фигур , обладает следующим свойством: любые две ее точки можно соединить ломаной линией (и даже отрезком), принадлежащей этой фигуре.
Докажем, что если М1, М2, то эти точки нельзя соединить ломаной, лежащей в плоскости П и не пересекающей прямой d.
Предположим, что ломаная M1N1N2...NkM2 лежит в плоскости П и не пересекает прямую d. Тогда ни одна из точек N1,N2,...,Nk не принадлежит прямой d.
Для ординат y1,y2 точек М1,М2 имеем: y1>0, y2<0. Точка N1 имеет ординату ≠0 (так как N1d). Если <0, то точка К=(M1N1)d, делящая отрезок [M1N1]в некотором отношении λ, имеет ординату, равную нулю: 0=К- внутренняя точка отрезка [M1N1] (а значит, и данная ломаная) пересекает прямую d. Но это противоречит условию. Следовательно, >0.
Точно так же убеждаемся, что ,…,, а потому ордината точки Nk положительна: >0.
Так как y2<0, то отрезок [NkM2] пересекает прямую d, и мы пришли к противоречию.
Напомним следующее. Пусть даны фигуры F и F1F, и пусть фигура F1 разбивает фигуру на две части, т.е. позволяет выделить фигуры , , такие, что . Если при этом выполнены условия:
а) любые две точки фигуры (а также ) можно соединить ломаной, принадлежащей этой фигуре;
б) никакие две точки М1, М2 нельзя соединить ломаной, принадлежащей фигуре F и не пересекающей фигуру F1, то говорят, что фигура F1 делит фигуру на две части , .
Теперь мы можем сказать, что прямая d, лежащая на плоскости П, делит фигуру ≠П\d на две части и . Каждая из фигур и называется полуплоскостью, а прямая d – границей каждой из этих полуплоскостей.
Заметим, что полуплоскость – выпуклая фигура (вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок).
6. Пусть лучи [OA) и [OB) с общим началом О принадлежат некоторой плоскости П (рис.2).
Сперва рассмотрим случай, когда эти лучи не лежат на одной прямой.
Тогда на плоскости П можно определить аффинный репер R={O,A,B}.
Рассмотрим следующие фигуры на плоскости П:
,
, ,
рис.2 , ,
, .
Следовательно, , . Очевидно, П=Г.
Докажем, что фигура Г делит фигуру на две части и . Очевидно, что =, ∩=Ø, т.е. фигура Г разбивает фигуру на две части и .
Возьмем две точки М1(х1,у1), М2(х2,у2).
.
Если х,у – координаты точки М, то , x>0, y>0, поэтому [М1М2]. Итак, любые две точки фигуры можно соединить ломаной, принадлежащей этой фигуре (и даже одним отрезком).
Пусть теперь М1(х1,у1), М2(х2,у2). Рассмотрим два случая:
а) х1<0, х2<0. Тогда М1, М2(см. выше). Следовательно, . Аналогично (у1<0, у2<0);
б) х1<0, х2>0. Тогда y2<0. Возьмем точку Н(0, y2) (рис.2)
Ломаная М1НМ2. Точно так же убедимся, что и в том случае,
когда х1>0, х2<0, точки М1,М2 можно соединить ломаной,
принадлежащей фигуре .
Наконец, докажем, что если М1(х1,у1), М2(х2,у2), то
не существует такой ломаной, которая соединяет точки М1, М2 и не рис.3
пересекает фигуру Г.
Предположим противное, что такая ломаная существует; обозначим ее через M1N1N2...NкM2. Ясно, что (ибо по предположению наша ломаная не пересекает Г). Обе координаты точки М1 положительны. Если хоть одна из координат точки N1 отрицательна или равна нулю, то , что противоречит условию. Значит, координаты точки N1 положительны, а потому N1. Аналогично убеждаемся, что N2,…, Nк, М2. А по условию М2, причем ∩=Ø. Мы пришли к противоречию.
Таким образом, фигура Г делит фигуру П\Г на две части и . Каждая из фигур , называется углом. Точка О называется вершиной угла, а лучи [ОА) и [ОВ) – сторонами угла, фигура (или ) – внутренней областью угла (соответственно ). Говорят, что точка М лежит внутри угла, если она принадлежит внутренней области этого угла.
Если [ОА)[ОВ)=Г – прямая линия, то эта прямая делит фигуру П\Г на две части и (рис.3). Каждая из фигур , называется развернутым углом с вершиной О и сторонами [ОА), [ОВ); фигура (или ) называется внутренней областью угла (соответственно ).
Таким образом, развернутый угол – это полуплоскость, на границе которой указана точка О – вершина этого угла.
Наконец, рассмотрим случай, когда лучи [ОА) и [ОВ), заданные на плоскости П, совпадают: [ОА)=[ОВ). И в этом случае говорят, что данные лучи на плоскости П образуют два угла, один из которых – пара совпавших лучей [ОА) и [ОВ) – не имеет внутренней области и называется нулевым углом, а другой угол называется полным; его стороны – совпавшие лучи [ОА) и [ОВ), а фигуру П\[ОА) называют внутренней областью полного угла.
Рассмотренные случаи позволяют заключить, что по крайней мере один из углов со сторонами [ОА) и [ОВ) является выпуклой фигурой (выпуклым углом).
Пример доказательства теоремы (планиметрия).
Теорема1. Сумма внутренних углов треугольника есть развернутый угол.
Возьмем произвольный треугольник АВС (рис.). Через точку А проведем
прямую а||(ВС). Тогда Но - развернутый
угол. Следовательно, - развернутый угол. #
Теорема2. Существуют прямые углы.
Рассмотрим ортонормированные реперы: и,
где (рис.). Существует движение f|f(R)=R’. Выпуклые углы
А1ОА2 и смежные и конгруэнтные (движение f переводит первый из
этих углов во второй). Следовательно, каждый из этих углов прямой. #
(Примечание: Два выпуклых угла XOY и YOX’ называются
смежными, если они имеют общую сторону, а две другие стороны образуют одну прямую. Угол, конгруэнтный своему смежному углу, называется прямым)