Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
34. Уравнение теплового баланса.
Уравнение баланса єнтропии
Математическое описание любого теплотехничекого процесса основано на вполне определенных законах изменения во времени и в пространстве физических величин, существенных для данного процесса. Эти изменения физических величин должны соответствовать основным термодинамическим законам – перовому и второму закону термодинамики.
Первый закон термодинамики - энергия не исчезает и не возникает вновь, она лишь переходит из одного вида в другой в различных физических и химических процессах.
В общем случае подведенная к телу, совершающему термодинамический процесс, теплота Q расходуется на изменение внутренней энергии ΔU и на совершение работы L:
dQ= dU + dL.
Таким образом первый закон термодинамики характеризует превращения энергии с количественной стороны.
Второй закон термодинамики - наиболее общая формулировка этого закона - Любой самопроизвольный процесс является необратимым.
Аналитическое выражение второго закона термодинамики записывается следующим образом
TdS > dQ,
где - T - температура, К; dQ - теплота, подводимая ( отводимая) к системе; dS - изменение энтропии системы.
Знак = относиться к обратимым процессам, знак > - необратимым процессам.
35. Критерий, который определяет теплообмен между телами и рабочей жидкостью в замкнутой системе.
Nu – является критерием который определяет теплообмен между телами и рабочей жидкостью
36. Построение разничного метода решения стационарных задач теплообмена (внутренний узел).
При выборе математических моделей, описывающих процессы теплообмена в реальных объектах, границы их допустимой сложности в настоящее время часто определяются не столько возможностями численных методов и ресурсами ЭВМ, сколько недостатком достоверной входной информации для этих моделей. При определении различных пространственно-временных полей необходимо находить решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных в заданных областях изменения пространственных переменных и временных интервалах. Отличительной особенностью применения численных методов является дискретизация пространственной и временной областей на первом же этапе решения задачи. При дискретизации выбираются узловые точки в пространственной и временной областях. На втором этапе составляется система алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в этих узловых точках. На третьем — проводится решение системы и находятся значения исследуемых величин в узловых точках. Отметим, что дискретизация области часто делается и при расчете на основе аналитических решений, однако в этих случаях она проводится на заключительных этапах, реализуемых уже после получения аналитического решения.
Чтобы проиллюстрировать метод конечных разностей, рассмотрим двумерную задачу теплопроводности. Во-первых, разделим твердое тело на равные элементарные прямоугольники. Представим, что масса каждого элементарного прямоугольника сосредоточена в его центре, называемом узлом. На рис. 4.9.1. показана внутренняя область типичного двухмерного твердого тела. Каждый элементарный прямоугольник имеет длину ∆ Х в направлении Х и длину ∆У в направлении У. Узел, обозначенный символом «0», окружен четырьмя соседними узлами. Представим, что каждый узел связан с соседними узлами тонкими теплопроводными стержнями. Тепло может передаваться только по этим воображаемым стержням. Другими словами, кондуктивный перенос тепла между узлами «0» и «1», который в действительности происходит в непрерывном материале через поверхность раздела высотой « ∆У», мысленно заменяется переносом тепла через воображаемый стержень, соединяющий узлы «0» и «1». В установившихся условиях баланс энергии для узла «0» при отсутствии внутреннего теплообмена записывается в форме
4
∑ q i = 0.
i=1
Рис.4.9.1. Расположение узлов внутри двухмерного твердого тела
Затем, применяя закон Фурье для каждого члена, выразим это уравнение через температуры в узлах Например, первый член принимает вид
∂ T (T1 –T0)
q 1 0 = - λ F ------ ≈ λ ( ∆У * b) ------------ (4.9.2.)
∂ X ∆ Х ,
где - коэффициент теплопроводности материала рассматриваемого двухмерного тела; b – толщина этого тела по нормали к плоскости чертежа. Аналогичные выражения можно записать для остальных трех членов
(T2 –T0)
q 2 0 = λ ( ∆Х * b) ------------
∆У
(T3 –T0)
q 3 0 = λ ( ∆У * b) ------------ (4.9.3)
∆Х
(T4 –T0)
q 4 0 = λ ( ∆Х * b) ------------
∆У
Если ячейки сетки имеют квадратную форму, то ∆Х = ∆У, и каждое из уравнений для теплового баланса становиться независимым от формы тела. Однако погрешность замены градиента температуры конечной разностью двух температур зависит от размера каждой ячейки. Чем меньше ячейка, тем точнее аппроксимируется градиент температуры.
Подставляя четыре конечно-разностных соотношения в уравнение (4.9.1), можно видеть, что для сетки с квадратными ячейками при постоянном коэффициенте теплопроводности баланс энергии для узла «0» сводиться просто к соотношению между температурой в этом узле и температурами в четырех соседних узлах:
Т1 + Т2 + Т3 + Т4 - 4Т0 = 0 . (4.9.4)
Соотношение вида (4.9.4) применимо ко всем внутренним узлам, т.е. ко всем узлам, не лежащим на границе твердого тела и окруженным со всех сторон равностоотстоящими квадратными ячейками сетки.
Иначе выражается баланс энергии для узлов, расположенных на границе твердого тела. Рассмотрим, например, узел «0», расположенный на границе твердого тела, которое находиться в контакте с окружающей средой. Температуры среды равна Т∞ , коэффициент конвективной теплоотдачи от окружающей среды к твердому телу равен αс . Соответствующая схема представлена на рис.4.9.2. Каждый граничный узел расположен в центре соответствующего элементарного прямоугольника. Отметим, что масса, соответствующая каждому граничному узлу, равна половине массы, соответствующей каждому внутреннему узлу.
Узел “0”, расположенный на границе, может обмениваться кондуктивным потоком тепла с тремя соседними узлами в твердом теле и, кроме того, конвективным тепловым потоком с окружающей средой.
Следовательно, баланс энергии для узла “0” запишется следующим образом
q 1 0 + q 2 0 + q 3 0 + q ∞ 0 = 0 (4.9.4)
Первые три члена выражают кондуктивный тепловой поток в твердом теле, а последний – конвективный тепловой поток к узлу «0» от окружающей среды, параметры которой обозначены индексом «∞». Подставляя конечно-разностные аппроксимации закона Фурье для первых трех членов и закона Ньютона для последнего члена, получим
(T1 –T0) (T2 –T0) (T3 –T0)
λ ( ∆У*b) -------- + λ ( 1/2∆Х*b) -------- + λ (1/2 ∆Х*b) ---------- + αс∆У b( (T∞ –T0) = 0. (4.9.5)
∆Х ∆У ∆У
Соотношение (4.9.5) можно упростить, если выбрать сетку с квадратными ячейками, ∆Х= ∆У . В этом случае уравнение (4.9.5) сводиться у виду
(T2 - T3) αс ∆Х αс ∆Х
----------- + T1 + ( --------- ) T∞ - [ 2 + (----------)] T0 = 0 (4.9.6)
2 λ λ
αс∆Х .
Температуры в граничных узлах зависят от температур в соседних узлах и от параметра ------ . λ .
Этот безразмерный комплекс имеет форму критерия Био.