Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 13
Определители и матрицы
Лекции 1-2
Определители и матрицы
В лекциях 1 – 2 излагаются элементы линейной алгебры, в них приведены первоначальные сведения о матрицах и определителях и их применении. Матричное исчисление широко применяется в различных областях математики (решение систем линейных уравнений, векторная алгебра, дифференциальные уравнения, теория вероятности), механики, электротехники, теоретической физики и т.д. Матричное исчисление позволяет в компактной форме получить решение реальных задач, содержащих большое количество переменных.
1.7.1. Метод понижения порядка
1.7.2. Метод сведения к треугольному виду
обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы
Элементарные преобразования матриц
Ниже будут использоваться сокращенные способы записи сумм и произведений большого количества элементов:
1.1. Понятие матрицы. Частные виды матриц
Матрицей размерности называется прямоугольная таблица чисел
,
где , расположенных в строках и столбцах. Числа называют элементами матрицы. Числа - индексы элемента матрицы, указывающие его местоположение: - номер строки, - номер столбца. Число элементов матрицы определяется как произведение числа строк на число столбцов .
Частные виды матриц
Нулевой матрицей размерности называется матрица, все элементы которой равны нулю, например: .
Матрица размерности называется матрицей-строкой или просто строкой, например: .
Матрица размерности называется матрицей-столбцом или просто столбцом, например: .
Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов, . Число называется порядком матрицы, например при n=3:
.
Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из чисел , идущая из левого верхнего угла в правый нижний; побочной называется диагональ, идущая из правого верхнего угла в левый нижний:
.
Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие выше и ниже главной диагонали, равны нулю:
.
Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю:
- верхняя треугольная матрица;
- нижняя треугольная матрица.
Квадратная диагональная матрица с единичными элементами называется единичной и обозначается буквой Е.
Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид:
.
Транспонированием матрицы называется преобразование, состоящее в замене строк столбцами с сохранением их номеров.
Таким образом, строки данной матрицы будут в той же последовательности столбцами транспонированной матрицы, и наоборот.
, .
В случае квадратной матрицы транспонирование сводится к повороту матрицы на 180˚ вокруг главной диагонали.
1.2. * Перестановки и подстановки
Перестановкой символов называется любое расположение этих символов в определенном порядке.
Так как данные символов можно занумеровать числами , то изучение перестановок любых символов сводится к изучению перестановок этих чисел. Число всех перестановок из чисел равно (читается: «-факториал»).
|
Пример: |
|
|
Все перестановки чисел 1, 2, 3 имеют вид: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Число их 3! = 6. |
Два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число стоит впереди меньшего, и образуют порядок, если меньшее число стоит впереди большего.
Способ подсчета числа инверсий: читаем числа перестановки в порядке их записи (слева направо), для каждого из чисел считаем, сколько чисел, меньших данного, стоит правее него, и все полученные числа складываем.
|
Пример: |
|
|
В перестановке 528371964 число инверсий равно 4 + 1 + 5 + 1 + 3 + 2 + 1 = 17. |
Перестановка называется четной или нечетной, смотря по тому, будет число инверсий в ней четно или нечетно.
Транспозицией называется перемена местами двух чисел перестановки. Транспозиция чисел и обозначается через . От любой перестановки чисел к любой другой перестановке тех же чисел можно перейти путем ряда транспозиций, причем можно обойтись не более чем транспозициями.
|
Пример: |
|
|
От перестановки 25134 к перестановке 42513 можно перейти путем четырех транспозиций: . |
Подстановкой n чисел 1, 2, … n, или подстановкой n-й степени, называется взаимно однозначное отображение совокупности этих чисел на себя, т.е. такое отображение, при котором каждому числу от 1 до n соответствует одно из этих чисел и двум различным числам всегда соответствуют два различных числа.
Подстановка записывается двумя строками в общих скобках, причем каждому числу верхней строки соответствует стоящее под ним число нижней строки.
Например, обозначает подстановку, в которой , , , . Иначе можно сказать, что подстановка n-й степени – это соответствие между двумя перестановками n чисел.
В зависимости от расположения чисел в верхней строке одну и ту же подстановку можно записывать многими способами.
Например, записи обозначают одну и ту же подстановку, в которой 1 переходит в 2, 2 в 3, 3 в 1. Каждая подстановка n чисел допускает n! различных записей. Число различных подстановок n элементов также равно n!.
Подстановка называется четной, если общее число инверсий в обеих ее строках четно, и нечетной, если нечетно. Иначе говоря, подстановка четна, если ее строки имеют одинаковую четность, и нечетна, если – противоположную четность.
1.3. * Понятие определителя любого порядка
Пусть дана квадратная матрица порядка n:
.
Определителем -го порядка, или определителем матрицы , при называется число, полученное из элементов этой матрицы по формулам:
,
где сумма берется по всем различным между собой подстановкам
,
причем - число инверсий в верхней, а - в нижней строке.
Слагаемые суммы называются членами определителя; каждый член определителя равен произведению элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем это произведение берется со своим знаком, если подстановка индексов четна, и с противоположным, если нечетна.
Определитель первого порядка равен единственному своему элементу. Число всех членов определителя -го порядка равно !. Элементы, строки, столбцы и т. д. матрицы называются соответственно элементами, строками, столбцами и т. д. определителя .
1.4. Определители второго и третьего порядка
Определителем квадратной матрицы A второго порядка называется число, равное .
Например, .
Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, равное
.
Это выражение получается по правилу треугольников (правилу Саррюса), которое можно пояснить следующей схемой:
|
+ |
- |
где элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения - отрезками или треугольниками. Знаки «+» и «-» соответствуют знакам слагаемых, входящих в определитель, например,
.
1.5. Свойства определителей
Сформулированные ниже свойства легко проверяются непосредственным вычислением определителей 2-го или 3-го порядков и остаются справедливыми для определителей порядка .
Введем необходимые определения.
Суммой нескольких строк одинаковой длины называется строка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных строк.
Произведением строки на число называется строка, каждый элемент которой получен из соответствующего элемента данной строки умножением его на данное число.
Линейной комбинацией нескольких строк одинаковой длины называется строка, равная сумме произведений данных строк на некоторые числа, называемые коэффициентами этой линейной комбинации. Если одна строка является линейной комбинацией других, то говорят, что она линейно выражается через эти строки. Например, равенство означает, что первая строка является линейной комбинацией двух других.
1˚. При транспонировании определителя его значение не меняется. Свойство 1˚ устанавливает полное равноправие строк и столбцов определителя |A|. Иначе говоря, свойства определителей, доказанные для строк, верны и для столбцов, и наоборот.
2˚. При перестановке местами двух любых строк (столбцов) определитель меняет знак.
3˚. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен 0.
Из 2˚: при перестановке строк , ,.
4˚. Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число, например,
.
5˚. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из предыдущего при .
6˚. Если все элементы одной строки (столбца) определителя пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), то он равен нулю.
7˚. Если всякий элемент любой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых в соответствующей строке (столбце) оставлены первые слагаемые, а во втором – вторые, например,
.
8˚. Если к элементам любой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, то он не изменится.
Пользуясь свойством 8˚, можно все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, сделать равными нулю, не меняя при этом величину определителя.
1.6. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)
Рассмотрим определитель -го порядка .
Минором Мij элемента аij определителя n-го порядка называется определитель (n-1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием
i-строки и j–столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
.
Например, , , .
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, , например,
, .
Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
, ,
, .
Эти формулы представляют собой разложение определителя по i-й строке и по j-му столбцу. Например, для определителей третьего порядка разложение по первому столбцу имеет вид:
.
Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя |A| на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю: .
Непосредственным вычислением показывают, что этой сумме соответствует определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами).
1.7. Методы вычисления определителя n-го порядка
Определители высшего порядка вычисляются с использованием их свойств двумя способами.
1.7.1. Метод понижения порядка
Так как в формуле разложения определителя n-го порядка по строке (столбцу)
все алгебраические дополнения являются определителями (n-1)-го порядка, то задача свелась к вычислению n определителей меньшего, (n-1)-го порядка.
Если в некоторой строке исходного определителя много нулей, то именно по ней удобно проводить разложение. Более того, используя свойство 8˚, можно добиться того, что все элементы некоторой строки (столбца), кроме одного, станут равны нулю.
1.7.2. Метод сведения к треугольному виду
Используя свойства 1˚– 8˚, добиваются такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю, т.е. определитель имеет треугольную форму и численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
|
|
|
|
Вычислить определитель двумя способами. Решение: 1). Разложим определитель по первой строке: . 2). Приведем определитель к треугольному виду: . |
2.1. Операции над матрицами
Две матрицы и равны, , если равны их размерности и все их соответствующие элементы совпадают, , .
Суммой двух матриц и одинаковой размерности называется матрица , , все элементы которой равны .
|
Свойства операции сложения: |
1˚. . 2˚. . 3˚. . 4˚. . |
Произведением матрицы на число α называется матрица
, , все элементы которой равны , .
Свойства операции умножения на число:
5˚. .
6˚. .
7˚. .
8˚. .
Для доказательства свойств 1˚-8˚ достаточно воспользоваться соответствующими определениями.
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы размерности на матрицу размерности называется матрица размерности , элементы которой вычисляются по формуле:
, .
Иначе: элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы произведения , равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
|
Пример: |
|
|
Дано: , . Найти . Решение: , , , , , . . |
9˚. (A B)C= A( B C) (A B) C= A( B C).
10˚. (A+ B) C = A C+ B C.
11˚. A( B + C)= A B+ A C.
12˚. AE=E A= A.
13˚. A= A =.
14˚. (AB)T = B T AT.
15˚. .
Для доказательства свойств 9˚-14˚ достаточно воспользоваться определениями операций над матрицами.
Матрицы A и B называются перестановочными (коммутирующими), если AB=BA. В общем случае произведение матриц не коммутативно, ABBA.
2.2. Обратная матрица. Теорема о существовании левой
и правой обратной матрицы.
Алгоритм нахождения обратной матрицы
Квадратная матрица A n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, , и невырожденной, если .
Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение: .
Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.
Если матрица A не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица , равная , где - присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы).
Доказательство:
Пусть дана квадратная матрица порядка :
.
1. Доказательство существования (необходимость). Пусть существует . По определению . По свойству 15˚ операции умножения матриц , , то есть матрица не вырождена.
2. Доказательство существования (достаточность). Пусть матрица не вырождена. Найдем вид элементов , для чего вычислим произведение
,
по теореме о разложении определителя по строке (столбцу),
откуда ,
т.е. .
Так как , и .
3. Доказательство единственности (от противного). Предположим, что кроме матрицы , для которой , существует матрица , для которой также , причем . Вычтем из одного равенства другое:
, .
Умножив последнее равенство на справа, получим:
.
Так как , , , , что противоречит . Предположение неверно, обратная матрица единственна.
1˚. .
2˚. .
3˚. .
4˚. .
Алгоритм нахождения обратной матрицы:
|
Пример: |
|
|
Найти матрицу, обратную для матрицы . 1.. 2.. 3.. 4., . 5.. Проверка: . |
2.3. Решение матричных уравнений
Если , - известные матрицы, а – неизвестная, то равенство вида называется матричным уравнением.
Основные типы матричных уравнений:
|
Пример: |
|
|
Решить матричное уравнение: , где . Решение: , , , . |
2.4. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров.
Элементарные преобразования матриц
Пусть в матрице размерности выбраны строк и столбцов, причем . Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу -го порядка. Определитель этой матрицы называется минором -го порядка матрицы .
Рангом матрицы называется число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров этой матрицы:
.
Матрицы называются эквивалентными, что обозначается , если .
Ранг матрицы вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице элемент , тогда и . Окаймляем этот элемент элементами -го столбца и -й строки, получаем минор 2-го порядка:
Если , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то .
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: , но все .
|
Пример: |
|
|
Найти ранг матрицы . ; , , ; . |
Метод элементарных преобразований
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие:
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:
.
Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:
.
Тогда ранг матрицы = .
|
В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия:
Студент должен уметь:
|
PAGE 12
Лекции 1-2