Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ«НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра экономической информатики
Отчёт по лабораторной работе №2
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Вариант №13
|
Выполнили: студенты ФБИ-32 |
Задание
Построить распределение вероятностей для заданной случайной величины в соответствии с вариантом № 3. Принадлежит ли полученное распределение известному теоретическому закону распределения? Рассчитать характеристики (математическое ожидание, показатели разброса (дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации), коэффициенты асимметрии и эксцесса, моду, медиану) и построить график распределения. Отобразить на плоскости моментов полученное распределение.
Вариант 13: Время, округленное до минут, между посещениями магазина двух клиентов.
Решение
Просматриваем все возможные ситуации прихода двух клиентов: командой создаем вектор, содержащий все возможные временные промежутки, которые пройдут между посещениями магазина двух клиентов.
for (a in 0:10){for(b in 0:30){y[k] = abs(a-b); k=k+1}}
Полученный вектор Y состоит из 341 элемента и содержит все возможные варианты прихода двух клиентов.
Рисунок 1 - Варианты прихода клиентов (вектор Y)
Далее, находим количество вхождений каждого элемента вектора Y следующей командой.
t = table(y)
Полученный результат:
Рисунок 2 - Частота встречаемости элементов Y
Т.к. приход двух клиентов через определенный промежуток времени – случайное событие, а вероятностью случайного события A называется отношение числа r несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:
Для нахождения вероятности каждого события (здесь и далее: событие – кол-во минут между приходами двух клиентов) можно применить следующую команду. Мы делим количество вхождений элемента в вектор (r)на число всех возможных элементарных событий (N).
t = t/341
Вектор t содержит вероятности каждого события.
Рисунок 3 - Вектор t
Далее рассчитаем характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание найдем по формуле:
где ξ(ω) – период между приходами двух клиентов, P(ω) – вероятность выпадения данного произведения.
Т.к.временные промежутки содержатся в векторе y, а вероятности их выпадения – в векторе t, то нам нужно перемножить векторы y и t по элементам и суммировать полученные произведения. Для этого в среде R напишем следующий код:
math<-sum(y*t)
При выводе вектора math на экран узнаем значение математического ожидания
Рисунок 4 - Математическое ожидание
Показатели разброса – это дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации. Рассчитаем дисперсию по формуле:
где Xk – значения случайной величины, т. е. вектор y. В среде R расчет будет выглядеть так:
d<-sum(((y-math)^2)*t)
Значение дисперсии:
Рисунок 5 - Значение дисперсии
Стандартное отклонение находится как корень из дисперсии и принимает следующее значение:
Рисунок 6 - Стандартное отклонение
Коэффициент вариации найдем как отношение стандартного отклонения к среднему значению случайной величины. Среднее значение – сумма всех значений случайной величины, деленная на количество случайных значений.
k<-sqrt(d)/(sum(y)/length(y))
Значение коэффициента вариации:
Рисунок 7 – Коэффициент вариации
Коэффициент асимметрии найдем по формуле:
В среде R напишем код:
ks<-(sum(((y-math)^3)*t))/(sqrt(d)^3)
Значение коэффициента асимметрии:
Рисунок 8 - Коэффициент асимметрии
Значение положительно, поэтому пик скошен влево, а хвост скошен вправо.
Коэффициент эксцесса показывает степень островершинности распределения и рассчитывается как нормированный центральный момент четвертого порядка:
ke<-(sum(((y-math)^4)*t))/d^2
Значение коэффициента эксцесса:
Рисунок 9 - Коэффициент эксцесса
Мода – это наиболее часто встречающееся значение в совокупности. В данном случае это «1», как видно на Рисунке 2.
Медиану найдем как первое значение, превосходящее 0.5 в числовом ряду кумулятивной вероятности. Для нахождения кумулятивной вероятности применим функцию «cumsum» на вектор t и выведем полученное значение на экран. Как видно на Рисунке 10, это «0.51612903».
Рисунок 10 - Кумулятивная вероятность
График распределения вероятностей строится следующей командой:
plot(y,c(t))
График распределения на плоскости моментов:
plot(ke,(ks)^2)
Рисунок 11 - График распределения вероятностей
На плоскости моментов на оси ординат отметим значение коэффициента эксцесса, а на оси абсцисс – квадрат значения коэффициента асимметрии. На Рисунке 12 дано отображение полученного распределения на плоскости моментов.
Рисунок 12 - Отображение распределения на плоскости моментов
|
Равномерный закон распределения. |
|
|
|
|
|
|
Если плотность вероятности ϕ(х) есть величина постоянная на определенном промежутке [a,b], то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения. |