тематическая статистика ~ это раздел математики посвящённый математическим методам систематизации обрабо

Работа добавлена на сайт samzan.net:

РАБОТА 1

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БОЛЬШИХ ВЫБОРОК

Цель работы. Определение закона распределения СВ, точечных характеристик выборки и характеристик размаха, составление доверительного интервала.

1.  Общие сведения

Математическая статистика – это раздел математики, посвящённый математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Генеральной совокупностью называется полный набор всех значений, которые принимает или может принять случайная величина.

Случайной величиной называют величину, которая принимает то или иное значение, заранее неизвестное, из множества значений, которые известны.

Первичный статистический анализ больших выборок проводится в следующем порядке:

1.  Определяют закон распределения СВ

Законом распределения  называют соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями. Многие показатели, характеризующие процесс бурения, подчиняются нормальному закону распределения (закону Гаусса), для которого характерно:

1.  Количество вариантов (значений СВ), превышающих среднее значение, равно количеству вариантов, которые меньше его (примерная симметричность гистограммы).
2.  Частота вариантов тем больше, чем ближе к среднему значению они расположены - гистограмма имеет наибольшие ординаты в центре и наименьшие – у краев.

В практике бурения приходится иметь дело и с явно асимметричными законами распределения:

1.  Логарифмически нормальный (ЛНЗ), имеющий умеренно асимметричную кривую распределения. В этом случае исходные данные необходимо прологарифмировать.
2.  Показательный (экспоненциальный), имеющий резко асимметричную кривую распределения; имеет место лишь при определении характеристик надежности и долговечности бурового оборудования, инструмента, приборов, средств механизации производственных процессов и т.п.

Следует помнить, что при увеличении объема данных (объема выборки) целый ряд других законов распределения (Стьюдента, x2 – хи  квадрат и др.) стремится превратиться в нормальный закон.

Закон распределения может быть представлен таблично, аналитически и графически.

Наиболее просто и наглядно, хотя в определенной степени субъективно и приближенно, представлять закон распределения графически на основе гистограммы.

2. Находят точечные оценки параметров нормального распределения СВ. К ним относятся:

1. Среднеарифметическое или средневзвешанное значение

Среднее арифметическое значение определяется как сумма, деленная на объем выборки:

Среднее взвешанное значение СВ расчитывают по следующей формуле:

,        (1)

где:

значение варианта (СВ) в середине iго интервала вариационного ряда;

mi – частота (число вариантов СВ), соответствующая iму интервалу;

k – число интервалов.

2. Медиана (m0,5) – это значение случайной величины, которое делит вариационный ряд или площадь, ограниченную кривой распределения, на две равные части:

         (2)

(при четном объеме выборки),

         (3)

(при нечетном объеме выборки),

где

– значение средней по порядку вариационного ряда случайной величины.

3. Мода (m0) – это варианта, которая имеет наибольшую частоту, т.е. соответствует вершине распределения (это наиболее вероятное значение случайной величины):

,      (4)   

где

– нижняя граница модального интервала, т.е. интервала, имеющего наибольшую частоту;

h – длина интервала разбиения (шаг);

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному интервалу;

– частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Для нормального закона распределения среднее арифметическое равно медиане и моде:

3. Определяют характеристики разброса СВ:

1. Размах (R) – это разность между наибольшим (xmax) и наименьшим (xmin) значениями вариант:

или      (5)

2. Дисперсия (D) – это среднее арифметическое значение квадратов отклонений отдельных вариант от их средней арифметической:

     (6)

где

значение СВ в середине i  го интервала;

 среднее взвешенное значение СВ;

mi– частота соответствующая i  му интервалу;

k – число интервалов;

n – объем выборки.

3. Среднеквадратичное (стандартное) отклонение (σ) – квадратный корень из дисперсии:

         (7)

4. Коэффициент вариации () – это отношение среднего квадратичного отклонения к среднему значению случайной величины, выраженное в процентах; чем больше коэффициент вариации , тем больше разброс значений случайной величины вокруг среднего значения, тем менее представительно :

       (8)

В бурении , как правило, находится в пределах от 12 до 27%.

4. Находят интервальную оценку параметров распределения.

Интервальная оценка, заключающаяся в установлении некоторого интервала, внутри которого с определенной вероятностью и находится истинное значение, т. е. генеральная средняя исследуемой СВ:

,        (9)

где

а – генеральная средняя исследуемой СВ

∆ - предельная ошибка выборки, определяется:

,            (10)

где

tα,m – коэффициент Стьюдента, зависящий от принятого уровня значимости α  и числа степеней свободы m: m = n – 1. Обычно пользуются табличными значениями (Приложение 1).

1.  Порядок выполнения работы

1.2.1. Переносим таблицу с заданными величинами СВ в редактор Excel, выстраиваем все значения СВ в один столбец и производим упорядочивание выборки, располагая значения в порядке их возрастания («Сортировка от А до Я»).

1.2.2. Определяем размах вариационного ряда, для чего от нижнего (максимального) значения выборки отнимаем верхнее (минимальное) значение:

R =     

1.  Выбираем число интервалов разбиения (К) вариационного ряда; можно выбирать произвольно или определять по формуле Стержеса или другой формуле:

     (11)

   (12)

Полученный результат округляем до ближайшего целого числа.

1.  По полученным значениям R и k определяем длину интервала разбиения (шаг) H:

      (13)

Результат расчета округляем до ближайшего целого числа. За начало или нижнюю границу первого интервала (h0) принимаем следующую величину:

    (14)

1.  Составляем интервальный (сгруппированный) вариационный ряд, заносим полученные значения в таблицу:
   1.  Строим в масштабе гистограмму – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основанием в виде отрезков, соответствующих длинам интервалов, и высотами, соответствующими частостям. Для этого выделяем наши значения СВ, заходим в командной строке в рубрике «Вставка», выбираем «Гистограмма» (Рис.1).

Таблица 1

Номер интервала	Границы интервала	Частота (число вариантов в i-ом интервале mi)	Частость
1
2
3
4
5
k
Σ=_________	Σ=_______

1.  Определяем закон распределения СВ.

_________________________________________________

1.  Находим точечные оценки параметров нормального распределения СВ:
2.  Среднеарифметическое значение  – ставим «=», набираем статистическую функцию «СРЗНАЧ», выделяем выборку, нажимаем «ENTER»      
3.  Средневзвешенное значение – определяем по формуле (1):

     

1.  Медиана – ставим «=», набираем «МЕДИАНА», выделяем выборку, нажимаем «ENTER»: =    
2.  Мода – ставим «=», набираем «МОДА», выделяем выборку, нажимаем «ENTER»:  =    

Для нормального закона распределения СВ характерно:              

1.  Определяем характеристики разброса СВ:
2.  Дисперсия – ставим «=», набираем «ДИСП», выделяем выборку, нажимаем «ENTER»: D=    
3.  Среднеквадратичное отклонение – ставим «=», набираем «СТАНДОТКЛОН»,  нажимаем  «ENTER»: σ =    
4.  Коэффициент вариации – ставим «=», производим операцию деления, где в числителе среднеквадратичное отклонение, а в знаменателе средневзвешенное, и умножаем на 100%, нажимаем  «ENTER»:

1.  Находим интервальную оценку параметров распределения, для чего необходимо сначала подсчитать предельную ошибку выборки по формуле (10):

∆1=    

∆2=    

∆3=    

∆4=    

∆5=    

∆6=    

∆к=    

Далее записываем доверительные интервалы для каждого вариационного ряда (по принципу «Больше меньшего, но меньше большего»):

1.      ≤ а ≤     

2.      ≤ а ≤     

3.      ≤ а ≤     

4.      ≤ а ≤     

5.      ≤ а ≤     

6.      ≤ а ≤     

k.      ≤ а ≤     

 

РАБОТА 2

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАЛЫХ ВЫБОРОК

Цель работы. Определение закона распределения СВ, точечных характеристик выборки и характеристик размаха, составление доверительного интервала.

2.1. Порядок выполнения работы

2.1. Переносим таблицу с заданными величинами СВ в редактор Excel, выстраиваем все значения СВ в один столбец и производим упорядочивание выборки, располагая значения в порядке их возрастания.

2.2. Проверяем принадлежность имеющихся данных нормальному закону распределения с помощью критерия Шапиро  Уилка. Для этого вычисляем:

2.2.1. сумму квадратов отклонений – ставим «=», набираем статистическую функцию «КВАДРОТКЛ», нажимаем «ENTER»:

S2(х)=     

2.2.2. вспомогательную величину B – определяем по формуле:

=     (15)

где:

L= n/2 – для четного объема выборки;

L = (n-1)/2 – для нечетного объема выборки;

– табулированный коэффициент, значения которых для разных n и i приведены в Приложении 2.

2.2.3. находим расчетное значение критерия Шапиро Уилка - W:

     (16)

2.2.4. находим табличное значение критерия Шапиро Уилка – Wt при заданном (выбранном) уровне значимости α по следующим формулам:

  (17)

  (18)

2.2.5. сравниваем расчетное значение критерия ШапироУилка с табличными – при W > Wt можно считать, что распределение СВ подчиняется нормальному закону. Записываем выводы:                

2.3. Находим точечные оценки параметров нормального распределения СВ:

=    

=    

=    

2.4.Определяем характеристики разброса СВ:

R=    

D=    

σ=    

=    

1.  Находим интервальную оценку параметров распределения:

∆=    

      ≤ а ≤     

2.2. Сравнение МБВ и ММБ

1.                         
2.                         
3.                         
4.                         

РАБОТА 3

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ. ПАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Цель работы. Определение корреляционной связи между двумя случайными величинами x и y, нахождение коэффициента парной корреляции и уравнения регрессии.

3.1. Общие сведения

С помощью корреляционного анализа устанавливаются наличие, форма и сила (степень тесноты) связи между СВ, имеющими нормальное распределение. Форма связи между двумя СВ может быть:

1.  линейной
2.  нелинейной
3.  прямой
4.  обратной

Сила связи между двумя случайными величинами оценивается величиной коэффициента парной корреляции или просто коэффициента корреляции, определяемого по следующей формуле:

    (19)

где:

n – число пар наблюдений (измерений);

– средние арифметические значения х и у;

х, у – среднеквадратические отклонения х и у/

Значения коэффициента корреляции rух изменяются в пределах от –1 до +1, т.е. –1 ≤ rух ≤ +1.

Если с ростом значения х значение у вырастает, то rух будет иметь знак плюс (положительная или прямая связь), а если уменьшается, то – знак минус (отрицательная или обратная связь).

Чем ближе абсолютное значение rух к 1, тем сильнее значения одной СВ зависят от того, какие значения принимает другая СВ, т.е. тем сильнее связь между ними:  

Тесноту связи между х и у обычно считают:

1.  удовлетворительной при rух ≥ |0,5|;
2.  хорошей  при rух = |0,8 ÷ 0,85|.

Следует помнить о том, что rух является СВ, т.е. может принимать различные значения при повторных измерениях. Кроме этого величина rух зависит от числа пар наблюдений – с их уменьшением достоверность выводов, формируемых после определения rух, снижается.

При rух = ±1 – две случайных величины связаны линейной функциональной связью, т.е. каждому конкретному значению х соответствует только одно строго определенное значение у.

При rух = 0 СВ называют некоррелированными (независимыми). Однако обратное утверждение, что СВ независимы, если rух = 0, несправедливо, т.е. значение rух может быть равным нулю, когда СВ связаны нелинейной связью, а следовательно, зависимы друг от друга.

Достоверность коэффициента корреляции оценивают критерием надежности:

, ,         (20)

.         (21)

При > 2,6 с доверительной вероятностью равной 0,95 можно утверждать о значимости найденного коэффициента корреляции rух, т.е. о существовании между х и у линейной связи.

По известным значениям величин rух, х и у несложно определить линейное уравнение регрессии, описывающее связь между х и у, т.е.

,      (22)  

Если коэффициент корреляции имеет значение ≤0,8, т.е. теснота связи удовлетворительная, необходимо после нахождения линейной модели оценить возможность улучшения описания связи между х и у путем перехода к нелинейной модели.  Для этого необходимо вычислить корреляционное отношение по следующей формуле:

,        (23)

где  – значение выходного параметра в  i- м опыте, рассчитанное по найденной нелинейной модели.

Корреляционное отношение у характеризует силу (степень тесноты) связи между двумя СВ при отсутствии между ними линейной зависимости, т.е. связанными не линейно. Значения у также находятся в пределах от 0 до 1.

Для некоррелированных (независимых) СВ у = 0, а в случае функциональной зависимости между ними у = 1.

Если связь между двумя СВ линейна, то корреляционное отношение равно абсолютному значению коэффициента корреляции, т.е. у = │rух │.

Достоверность корреляционного отношения оценивается по критерию его надежности:

        (24)

При > 2,6 с доверительной вероятностью равной 0,95 можно утверждать, что найденное корреляционное отношение значимо.

По известным значениям у и rух оценивают степень нелинейности:

.        (25)

Если n02 < (12/n), то переход к нелинейной модели не улучшит связи между х и у, а в противном случае – может привести к лучшим результатам.

3.2. Порядок выполнения работы

3.2.1. Переносим таблицу с заданными величинами СВ x и у в редактор Excel.

3.2.2. Подсчитываем средние арифметические значения x и y, а также характеристики разброса СВ (D, σ):

Таблица 2

	CB
	x	y
n
Среднее
D
σ

3.2.3. Подсчитываем коэффициент корреляции для СВ x и y – для этого в редакторе Excel ставим «=», выбираем статистическую функцию «КОРРЕЛ», для «Массива 1» выбираем значения СВ xi, для «Массива 2» – yi, нажимаем «ENTER»:

ryx =    

Проводим анализ полученного результата и записываем выводы:                         

3.2.4. Оцениваем достоверность коэффициента корреляции по коэффициенту надежности (формулы 20, 21):

σr =    

=    

3.2.5. Определяем линейное уравнение регрессии y=ax+b – для этого в редакторе Excel ставим «=», выбираем функцию «ЛИНЕЙН», нажимаем «ENTER» (эта функция возвращает параметр линейного приближения по методу наименьших квадратов):

а =   

После расчета коэффициента а производим расчет коэффициента

b =   

Записываем линейное уравнение регрессии:

           

3.2.6. Оцениваем возможность улучшения описания связи между х и у путем перехода к нелинейной модели; для этого подсчитываем (по формулам 23, 24, 25):

1.  корреляционное отношение ηy =     
2.  достоверность ηy – =      
3.  степень нелинейности n0 =      

Проводим анализ полученного результата и записываем выводы:                         

3.2.7. Проверку полученной корреляционной зависимости проводим по графику – для этого выделяем наши значения yi,  заходим в командной строке в рубрике «Вставка», выбираем «График» (рис.2):

РАБОТА 4

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Цель работы. Определение корреляционной связи между несколькими входными факторами (x1, x2… xk) и одним выходным параметром y, нахождение коэффициента множественной корреляции и уравнения регрессии.

4.1. Общие сведения

В практике часто возникает потребность в установлении связи между одним выходным параметром у и многими входными факторами хi. Изучаемый процесс в этом случае описывается многофакторным уравнением регрессии, которое по результатам корреляционного анализа может быть представлено в виде полинома первой степени:

,

где k – число переменных факторов, аk – коэффициенты уравнения регрессии.

Процедуру расчета коэффициентов многофакторного уравнения регрессии лучше всего рассматривать на конкретном примере, поэтому перейдем сразу к решению.

4.2. Порядок выполнения работы

4.2.1. Переносим таблицу с заданными величинами СВ xi и у в редактор Excel.

4.2.2. Для подсчета коэффициентов корреляции необходимо вычислить среднеарифметические значения, дисперсии и среднеквадратичные отклонения каждой СВ:

Таблица 3

	CB
	x1	x2	x3	x4	y
n
среднее
D
σ

4.2.3. Рассчитываем коэффициенты корреляции между всеми возможными парами величин, и заносим полученные результаты в нормированную корреляционную матрицу (Таблица 4). Для подсчета коэффициента корреляции используем статистическую функцию «КОРРЕЛ»:

Таблица 4

Параметр и факторы	Значения коэффициента корреляции
у	х1	х2	х3	х4
у
х1
х2
х3
х4

4.2.4. Оцениваем достоверность всех коэффициентов корреляции по коэффициенту надежности (формулы 20, 21), значимые коэффициенты отмечаем в таблице (*). Глядя на нормированную корреляционную матрицу, записываем выводы:

                                                                       

4.2.5. Рассчитываем коэффициенты многофакторного линейного уравнения регрессии:

При наличии нормированной корреляционной матрицы расчет коэффициентов многофакторного линейного уравнения регрессии производится путем решения следующей системы уравнений:

 (26)

………………………………………………………………...

Для принятого вида уравнения регрессии по данным нормированной корреляционной матрицы составим и решим систему из 4–х линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Значение свободного члена (а0) многофакторного уравнения регрессии определяется по следующей формуле:

где среднее значение i-го фактора.

Записываем полученное многофакторное линейное уравнение регрессии:                       

4.2.6. Рассчитываем коэффициент детерминации, который характеризует силу связи выходного параметра с несколькими входными факторами (значения Q изменяются от 0 до 1):

где   – среднее значение выходного параметра;

– значение выходного параметра в i-ом опыте, рассчитанное по найденному многофакторному уравнению регрессии.

4.2.7. По известному значению коэффициента детерминации легко высчитать коэффициент множественной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции – мера силы линейной связи между параметром у и факторами хi.Так же как и мера идентичности R изменяется от 0 до 1.Если R = 1, то между у и хi существует функциональная линейная связь. Если R = 0, то у не имеет линейной связи с хi, но возможна нелинейная связь:

Проводим анализ полученного результата и записываем выводы:                                     

4.2.8.Оцениваем возможность улучшения описания связи между y и xi путем перехода к нелинейной модели; для этого подсчитываем (по формулам 23, 24, 25):

корреляционное отношение:

ηy      =      

достоверность корреляционного отношения:

θr =       

степень нелинейности:

n0 =    

Если n02 < (12/n), то переход к нелинейной модели не улучшит связи между хi и у, а в противном случае – может привести к лучшим результатам.

Проводим анализ полученного результата и записываем выводы:                         

РАБОТА 5

МНОГОФАКТОРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Цель работы. Освоение навыков построения математической модели. Расчет многофакторного уравнения регрессии.

5.1. Общие сведения

Наиболее распространенным способом обработки экспериментальных данных является метод регрессионного анализа, включающий в себя:

- использование метода наименьших квадратов;

- отражение неизвестной функции истинного отклика f(хi) алгебраическим степенным полиномом.

Функция отклика  – показывает, как откликается у на изменения хi; может быть представлена графически и аналитически.

Графическим представлением функции отклика (наглядно только в трехмерном пространстве) называется  поверхность отклика.

Аналитическое представление (выражение) функции отклика – это математическая модель.

По методу Чубика П.С. искомая математическая модель представляет собой произведение широко употребляемых функций, наиболее адекватно описывающих связь выходного параметра у с каждым из входных факторов хi, с постоянной а0, рассчитываемой по следующей формуле:

где:

 среднее значение выходного параметра.

Наиболее употребляемые функции:

1.  линейная; 
2.  логарифмическая;
3.  экспоненциальной (показательной);
4.  степенная;
5.  дробно - линейная;
6.  гиперболическая;
7.  дробно - рациональная;
8.  квадратичная (параболическая).

Суть метода наименьших квадратов заключается в том, что вид зависимости и значения ее коэффициентов должны обеспечивать минимальную сумму квадратов отклонений (S) ординат экспериментальных точек от ординат этой зависимости:

Этот метод был предложен К.Гауссом. С помощью этого метода были получены формулы для расчета коэффициентов линейной и нелинейных зависимостей (Приложение 3).

Последовательность действий при обработке результатов экспериментов, спланированных по методу комбинационных квадратов и позволяющих получить многофакторную математическую модель в виде произведения отдельных функций, рассмотрим на конкретном примере.

5.2. Порядок выполнения работы

5.2.1. Переносим таблицу с заданными величинами СВ xi и у в редактор Exсel.

5.2.2. Для определения влияния первого фактора (х1) на выходной параметр (у), т.е. связи у = f (х1), в таблице вначале выбираем опыты, в которых концентрация x1 минимальна, выписываем соответствующие им значения у и рассчитываем среднее значение () для данной концентрации х1. Ту же процедуру повторяем и для остальных концентраций х1 (например, при 0%, 2,5%, 5% и т.д.).

Полученные данные записываем в таблицу:

Таблица 5

ПБГ(х1),%	y1

Аналогичным образом определяем влияние на величину у и других переменных факторов: КМЦ(х2), КАl (SO4)2 (х3), НТФ(х4), NaOH(x5) и спринта (х6).

Таблица 6

КМЦ(х2),%	y2

Таблица 7

КАl (SO4)2 (х3),%	y3

Таблица 8

НТФ(х4),%	y4

Таблица 9

NaOH(x5),%	y5

Таблица 10

спринт (х6),%	y6

5.2.3. Средние значения пластической вязкости (y) для всех уровней перечисленных факторов занесем в таблицы:

Х1,%

Х2,%

Х3,%

Х4,%

Х5,%

Х6,%

Анализируем найденные таким образом связи у = f (хi), записываем выводы:

                                                                        

5.2.4. Выбираем вид наиболее предпочтительной зависимости. Для этого:

1.  в редакторе Excel отстраиваем графики – поверхность отклика функции – для каждого фактора и среднего значения выходного параметра.
2.  Добавляем линию тренда – линию, обозначающую общее направление движения. Для этого выделяем правой кнопкой мыши сам график, выбираем «Добавить линию тренда» и вид зависимости.

5.2.5. По методу наименьших квадратов подсчитываем коэффициенты для каждой зависимости, и записывает многофакторные уравнения регрессии:

1.           

2.           

3.           

4.           

5.           

6.           

РАБОТА 6

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ

КРИТЕРИИ

Цель работы. Обработка результатов сравнительных экспериментов. Понятие о статистических гипотезах.

6.1. Общие сведения

Экспериментальную апробацию новых конструкций бурового инструмента, оборудования, новых технологий обычно называют испытаниями. Различают испытания абсолютные и сравнительные.

Абсолютные испытания проводятся с целью определения, какого- либо технического или технологического параметра.

Сравнительные эксперименты  проводятся с целью сравнения показателей работы серийных (базовых) и опытных (новых) технических средств или технологий для того, чтобы оценить целесообразность применения последних на практике. Примером таких испытаний может служить оценка проходки на долото нового типа по сравнению с серийным долотом.

Главными требованиями сравнительных испытаний являются:

1.  идентичность условий их проведения;
2.  типичность;
3.  соответствие назначению;
4.  достоверность результатов.

В буровой практике результаты сравнительных испытаний чаще всего представляют в виде двух или большего числа выборок. При этом необходимо установить существенность различия этих выборок.

Сравнение осуществляется путем проверки различного рода статистических гипотез:

1.  Нулевая гипотеза – это гипотеза об отсутствии различий (Н0):

1.  Альтернативная гипотеза – это гипотеза о значимости различий (Н1).

Правило по которому принимается решение о том, верна или нет нулевая гипотеза Н0, называется критерием.

Для сравнения выборок используют целый ряд различных критериев, которые делятся на две группы:

1.  параметрические критерии;
2.  непараметрические критерии;

Параметрические критерии сравнения требуют, чтобы исследуемые СВ были распределены по нормальному закону. Эти критерии имеют хорошее теоретическое обоснование, но ограниченную область применения.

Непараметрические критерии универсальны, т.е. не зависят от закона распределения СВ. Их достоинством является и простота вычислений. Однако они практически неприменимы для сравнения больших выборок с n > 30.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать следующим образом: если расчетное значение критерия принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то ее принимают, а если критической области, отвергающей нулевую гипотезу, то ее отклоняют.

Для получения основных сведений о наиболее широко используемых критериях сравнения рассмотрим на примере решения конкретных задач.

6.2. Параметрические критерии сравнения

6.2.1. Критерий Стьюдента (t-критерий)

При проверке гипотезы  по критерию Стьюдента возможны два варианта:

1.  сравнение среднего арифметического значения выборки с эталоном (генеральной средней):

где

– среднее арифметическое значение СВ в испытуемой выборке;

x* – значение СВ в базовой выборке (эталон);

– среднеквадратическое отклонение СВ;

n – объем выборки;  

– табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α /2 и числа степеней свободы m = n – 1 (Приложение 1).

1.  сравнение средних арифметических значений двух выборок:

где

Задача №1

Средняя механическая скорость бурения серийными долотами составляет 39 м/ч. При бурении опытными долотами получены следующие значения механической скорости:  51, 36, 39, 51, 48, 36, 55, 39, 42 и 53 м/ч. С помощью критерия Стьюдента выяснить, существенно ли отличаются показатели работы опытных долот от серийных, приняв уровень значимости α= 0,1.

Ход работы:

Xср
D
σ

1.  Записываем гипотезы:                    
2.  Переносим данные в редактор Excel, высчитываем среднеарифметическое значение и среднеквадратичное отклонение, заносим все в таблицу:
3.  Рассчитываем левую сторону формулы (34), затем правую сторону, сравниваем неравенство, записываем выводы:                                       

Задача №2

Даны результаты статистического анализа двух выборок значений проходки на долото для разных интервалов бурения:

- выборка a (интервал 1800 - 1900 м) na=5, Хaср=20 м, σa=3,58 м;

- выборка b (интервал 1900 - 2100 м) nb=10, Хbср=19,4 м, σb=3,16 м.

С помощью критерия Стьюдента проверить, существенно ли различие между средними арифметическими значениями двух выборок, приняв α = 0,1.

Ход работы:

1.  Записываем гипотезы:                    
2.  Переносим данные в редактор Exсel

выборки
a	b
1800-1900 м	1900-2100 м
n
xср
σ

1.  Рассчитываем модуль разницы:

1.  Рассчитываем Sp по формуле (35): Sp=      
2.  Рассчитываем правую сторону формулы:

Сравниваем неравенство, записываем выводы:                                                                .

6.2.2. Критерий Фишера (F-критерий)

Дисперсии двух выборок не отличаются, т.е. верна нулевая гипотеза , если выполняется следующее неравенство:

где

F – расчетное значение критерия Фишера;

– соответственно большее и меньшее значения дисперсий двух сравниваемых   выборок;

Fтабл  –  табличное значение критерия Фишера для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы m1= n1 – 1; m2 = n2 - 1 при объеме выборок n1 и n2. (Приложение 4).

Задача №3

Даны результаты определения растекаемости двух тампонажных композиций (Х1 и Х2):

1.  x1 – 21,5; 20,0; 20,0; 21,0; 19,5;
2.  x2 – 21,0 ; 22,0; 20,5; 21,0; 21,5; 22,0.

С помощью критерия  Фишера определить, существует ли различие  в растекаемости тампонажных композиций, приготовленных на основе цементов разных заводов-изготовителей.

Ход работы:

1.  Записываем гипотезы:                    
2.  Переносим данные в редактор Excel, высчитываем дисперсии, заносим все в таблицу:

	x1	x2
n
D

1.  Рассчитываем критическое значение критерия: F=    

Сравниваем неравенство, записываем выводы:                                        

6.2.3. Критерий Кохрена (G-критерий)

При наличии нескольких выборок одинакового объема нередко выдвигается гипотеза о том, что наибольшая из дисперсий неотличима от дисперсий остальных выборок: Но : Dmax = D1 = D2  = … = Dn.

Для проверки этой гипотезы используют критерий Кохрена:

где  

Di- дисперсия i-й выборки при общем числе выборок равной k;

Gтабл. – табличное значение критерия Кохрена для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы m1 = k (где k- число выборок) и m2 = (n-1), где n - объём отдельной выборки (Приложение 5).

Задача №4

Значения дисперсий производительности буровых работ (в м /ст - мес.) по результатам 9 рейсов для пяти отдельных скважин получились следующими: D1 = 164, D2 = 218, D3 = 196, D4 = 207, D5 =163.

С помощью критерия Кохрена определить, существенно ли влияют изменения геолого-технических  условий на производительность буровых работ, приняв  α = 0,05.

Ход работы:

1.  Записываем гипотезы:                   
2.  Переносим данные в редактор Excel, высчитываем сумму дисперсий, находим максимальную дисперсию:
3.  Рассчитываем критическое значение критерия: G=  

Сравниваем неравенство, записываем выводы:                            

6.3. Непараметрические критерии сравнения

6.3.1. Критерий Розенбаума

Гипотеза  верна, если выполняется следующее неравенство:

Q = S + k < Qтабл,        (39)

где Q – расчетное значение критерия Розенбаума;

S – число значений случайной величины (СВ) одной ранжированной выборки, превышающих максимальное значение СВ другой ранжированной выборки;

k – число значений случайной величины одной ранжированной выборки, меньших максимального значения СВ другой ранжированной выборки;

Qтабл - табличное значение критерия Розенбаума, которое при α = 0,05 может быть принято равным 7.

Задача №5

Даны  результаты  измерений  времени начала схватывания (в мин) двух тампонажных композиций с В/Ц = 0,5,приготовленных из цементов Карадагского (выборка x1) и Новороссийского (выборка x2) заводов, приготовленных из цементов разных заводов – изготовителей.

С помощью критерия Розенбаума определить, существует ли различие во времени начала схватывания тампонажных композиций.

Таблица 11

x1	k
380	390	390	400	400	400	410	410	410	410	420	420	430	430	440
x2	410	410	420	430	440	440	440	440	440	450	450	450	450	460
	S

Ход работы:

1.  Записываем гипотезы:                    
2.  Определяем число значений второй выборки, превышающих максимальное значение СВ первой выборки: S=    
3.  Определяем число значений первой выборки, меньших минимального значения второй выборки: k=     
4.  Находим расчетное значение критерия Розенбаума как сумму S и k: Q=     

Сравниваем неравенство, записываем выводы:                                        .

Задача №6

Даны результаты определения показателя фильтрации двух компонентных составов буровых растворов, один из которых содержит импортные химреагенты (выборка х1), а другой - отечественные (выборка х2).  С помощью критерия Розенбаума при  α = 0,05 установить, существенна ли  разница в значениях показателя фильтрации буровых растворов, обработанных импортными и отечественными химическими реагентами.

Таблица 12

x1	2	3	6	7	8	11	12	14	15
х2	5	7	8	11	12	14	15	16

1.  Записываем гипотезы:                   
2.  Определяем число значений второй выборки, превышающих максимальное значение СВ первой выборки: S=    
3.  Определяем число значений первой выборки, меньших минимального значения второй выборки: k=     
4.  Находим расчетное значение критерия Розенбаума как сумму S и k: Q=     

Сравниваем неравенство, записываем выводы:                                        .

6.3.2. Критерий знаков (Д)

Используется для сравнения средних арифметических значений двух равных по объему выборок, полученных по результатам параллельных опытов. Нулевая гипотеза верна, если выполняется следующее неравенство:

где

Д - расчетное значение критерия знаков;

К – разность между числом  параллельных опытов, в которых значения СВ первой выборки (х1) больше значений СВ второй выборки (х2), и числом параллельных опытов, в которых значения СВ первой выборки (х1) меньше значений СВ второй выборки (х2).

Неравенство х1 > х2 принято обозначать знаком плюс (+), а х1 < х2 – знаком (). Отсюда К =  Σ (+) – Σ (-), N = Σ (+) + Σ (-).

Дкр – критическое значение критерия знаков, величина которого при α = 0,05 равна 2,0, а при α = 0,1-1,6. Дкр(0,05) =2; Дкр(0,1) =1,6.

Задача №7

Даны результаты параллельных опытов по определению показателя фильтрации (Ф, см3/30 мин) двух составов бурового раствора, первый из которых (x1) cодержал 2 %  КМЦ и 1% Na2СО3, а второй (x2) - 2 % КМЦ, 1% Na2CO3 и 1% бихромата калия (К2Cr2О7).

С помощью критерия знаков определить, отличаются ли данные составы бурового раствора по показателю фильтрации, приняв   α= 0,05.

Таблица 13

Х1	9	9	11	9	11	11	10	8	10
Х2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

Ход работы:

1.  Записываем гипотезы:                    
2.  Определяем К=         
3.  Определяем N=        
4.  По формуле определяем Д=      

Сравниваем неравенство, записываем выводы:                                        .

6.3.3. Критерий Вилкоксона (Т)

Для определения расчетной величины этого критерия необходимо:

а) расположить данные двух сравниваемых выборок по мере возрастания их значений в два раза таким образом, чтобы в каждом столбце находилось только одно значение СВ;

б) присвоить ранги (номера) каждому значению СВ от первого до (n1+n2), при этом учесть, что несколько значений ранжированного ряда совпадают по величине, то каждому из них присваивается ранг, равный среднему арифметическому их номеров;

в) просуммировать ранги первой (Т1) и второй (Т2) выборок;

г) если n1 и n2  ≤ 10, то меньшую из найденных сумм рангов (Тmin) сравнить с табличным значением критерия Вилкоксона (Ттабл) при α = 0,05 (Приложение 6).

Нулевая гипотеза  верна, если Тmin < Ттабл.

д) если n1 и n2 >10, если хотя бы одни выборки больше 10, то расчетное значение критерия Вилкоксона (Трасч) определить по формуле

где

– объем выборки с меньшей суммой рангов ;

n1, n2 – объем соответственно первой и второй выборок;

n =  n1 + n2 – объем обеих выборок.

Нулевая гипотеза  верна, если Трасч < Ткр, где Ткр –критическое значение критерия Вилкоксона, которое при α = 0,05 равно 1,13.

Задача №8

Даны результаты измерений прочности на изгиб ( изг, МПа) цементного камня, полученного при твердении тампонажных композиций х1 и х2, обработанных различными замедлителями сроков схватывания. С помощью критерия Вилкоксона установить, существенно ли влияние разных замедлителей сроков схватывания на  изгиб цементного камня.

Таблица 14

х1	2,1	2,5	2,8	2,4	2,8	2,2	2,8	2,5	2,3	2,5	2,5	2,3
х2	2,7	3	3	2,7	2,6	2,3	2,7	2,8	2,7	2,5	2,8

Ход работы:

1.  Записываем гипотезы:                    
2.  Переносим данные в редактор Excel, упорядочиваем и ранжируем выборки.
3.  Подсчитываем сумму рангов первой выборки (Т1) и второй выборки (Т2): Т1=   , Т2=   
4.  Объем обеих выборок больше 10, следовательно необходимо рассчитать по формуле (41) Трасч=   .

Сравниваем неравенство, записываем выводы:                                                                

Задача №9

Имеются экспериментальные данные о процентном содержании  глинистых минералов в образцах карбонатных пород, отобранных в интервалах 1200 -1 250 м (выборка х1) и 1600 - 1650 м (выборка х2).       Можно ли считать, что содержание глинистых минералов в карбонатных породах не зависит от глубины их залегания? Ответ на этот вопрос обосновать с помощью критерия Вилкоксона, приняв   α= 0,05.

Таблица 15

х1	5,9	8,2	6	7,7	6,5	5,2
х2	7,5	7,8	8,5	10,3	8,1	7,5	8,8	9,9

Ход работы:

1.  Записываем гипотезы:                    
2.  Переносим данные в редактор Exсel, упорядочиваем и ранжируем выборки.
3.  Подсчитываем сумму рангов первой выборки (Т1) и второй выборки (Т2): Т1=   , Т2=   

Объем обеих выборок меньше 10, следовательно минимальную статистику сравниваем с Ттабл:       

Записываем выводы:                                            

6.3.4. Критерий Вилкоксона – Манна  Уитни (V)

Наиболее мощный непараметрический критерий, обычно применятся для сравнения выборок с n ≤ 20. Для определения расчетной величины этого критерия необходимо:

1. Расположить данные двух сравниваемых выборок по мере возрастания их значений в два ряда таким образом, чтобы в каждом столбце находилось только одно значение СВ (см. порядок критерий Вилкоксона).

2. Присвоить ранги (номера) каждому значению СВ от первого до (n1+n2), при этом учесть, что несколько значений ранжированного ряда совпадают по величине, то каждому из них присваивается ранг, равный среднему арифметическому их номеров.

3. Просуммировать ранги первой (Т1) и второй (Т2) выборок.

4. Если перед каким-либо значением случайной величины из первого (второго) ряда оказывается Vi значений случайной величины из второго (первого) ряда, то число этих значений дает инверсию для рассматриваемого значения случайной величины  первой (второй) выборки.

4. Определить сумму инверсий для каждой из выборок (сумма инверсий равна произведению объемов двух выборок):

    

Меньшую сумму инверсий (Umin) сравнить с табличным значением критерия Вилкоксона – Манна  Уитни Uтабл (Приложение 7).

Нулевая гипотеза верна, если Umin < Uтабл.

Задача №10

Даны  результаты  замеров  условной  вязкости  (в с по ВБР-1) двух  буровых  растворов, один  из  которых  обработан  ПФХЛ  (ряд х1), а другой - окзилом (ряд х2). С помощью критерия Вилкоксона - Манна - Уитни определить, существуют ли различия в условной вязкости буровых растворов, обработанных указанными понизителями вязкости.

Таблица 16

х1	35	38	39	40	40	41	42	43	43	43
х2	36	37	38	38	39	40	40	40	41	41	44

Ход работы:

1.  Записываем гипотезы:                   
2.  Переносим данные в редактор Excel, упорядочиваем и ранжируем выборки.
3.  Подсчитываем сумму рангов первой выборки (Т1) и второй выборки (Т2): Т1=   , Т2=   
4.  Подсчитываем сумму инверсий (по формулам 42, 43) для обеих выборок. Для проверки стоит учитывать, что сумма инверсий обеих выборок равна произведению объемов этих выборок:

U1=    

U2=    

Меньшую сумму инверсий сравниваем с табличным значением критерия Вилкоксона-Манна-Уитни. Записываем выводы:                                                   

6.3.5. Критерий Сиджела  Тьюки (Z)

Используется для проверки различия дисперсий двух выборок разного объема (n1  < n2). Нулевая гипотеза Но: D1 = D2 верна, если выполняется следующее неравенство:

где  

n1, n2 – объем соответственно первой и второй выборок;

R1 –сумма рангов для выборок меньшего объема (для выборки n1);

Zкр – критическое значение критерия СиджелаТьюки: при α = 0,05;  Zкр(0,05) = 1,282; при α = 0,1; Zкр(0,1) = 1,960.

Задача №11

Даны результаты замеров показателя фильтрации (Ф,см3 / 30 мин) двух буровых растворов, один из которых обработан УЩР (ряд х1), а второй - КССБ (ряд х2).  С помощью критерия Сиджела - Тьюки определить, существенна ли  разница между значениями показателя фильтрации двух растворов, обработанных указанными выше реагентами.

Таблица 17

х1	5	9	11	12	18	19
х2	7	8	14	15	17	20	21

Ход работы:

1.  Записываем гипотезы:                    
2.  Переносим данные в редактор Excel, упорядочиваем и ранжируем выборки.
3.  Подсчитываем сумму рангов первой выборки (R1) и второй выборки (R2): R1=   , R2=   
4.  Подсчитываем статистику Сиджела-Тьюки: Z=  

Сравниваем неравенство и записываем выводы:                                                   

РАБОТА 7

МЕТОД СЛУЧАЙНОГО БАЛАНСА

МЕТОД ПЛЕКЕТТА-БЕРМАНА

Цель работы. Обработка результатов отсеивающих экспериментов.

7.1. Основные сведения

При проведении экспериментальных исследований возникают два противоречивых стремления:

1.  упростить процесс исследований путем минимизации числа опытов, что даже в случае активного эксперимента возможно лишь при включении в рассмотрение минимального числа факторов;
2.  получить в результате эксперимента наиболее полные сведения об исследуемом объекте, не упустив при этом из рассмотрения ни одного существенного фактора.

Устранить такое противоречие удается лишь путем проведения двухэтапных исследований:

1.  Первый этап – проведение отсеивающего эксперимента, в процессе которого выявляются факторы, действительно оказывающие на выходной параметр существенное влияние.
2.  Второй этап –  проведение основных исследований, при которых берутся в рассмотрение только существенные факторы.

7.2. Метод случайного баланса

Используется для количественного выявления факторов, действительно оказывающих существенное влияние на выходной параметр, т.е. для выявления так называемых доминирующих факторов.

Применение метода случайного баланса предполагает, что при проведении отсеивающего эксперимента имеется возможность изменять входные параметры по определенному плану (активный эксперимент).

Для проведения отсеивающего эксперимента по методу случайного баланса обычно используют матрицу полного или дробного факторного эксперимента, выбрав из нее случайным образом определенное число опытов. В результате такого отбора полученная матрица отсеивающего эксперимента является случайно сбалансированной. Отсюда и название метода  метод случайного баланса.

Процедуру выбора доминирующих факторов в методе случайного баланса рассмотрим на конкретном примере:

Задача №12. 

По данным дробного факторного эксперимента, представляющего собой 1/16 реплики от полного факторного эксперимента типа 27, оценить влияние на механическую скорость бурения (y, м/с) следующих 7 факторов:

1.  нагрузки на долото, х1, тс;
2.  частоты вращения ротора, х2, об/мин;
3.  интенсивности промывки (расходы бурового раствора), х4, с;
4.  показателя фильтрации бурового раствора, х5, см3/30 мин;
5.  диаметра насадки гидромониторного долота, х6, мм;
6.  плотности бурового раствора, х7, кг/м3;

Ход работы:

7.2.1. Переносим в редактор Excel таблицы 18 и 19:

Таблица 18

Уровни факторов

Уровень	Значение факторов
х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
верхний (+1)	18	120	36	45	12	14	1260
нижний (1)	10	60	24	25	4	10	1200

Таблица 19

Матрица планирования и результаты опытов

Номера опытов	Уровни факторов	у
х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7
1	1		1		1			55
2	1	1	1	1	1	1	1	52
3			1	1			1	32
4		1	1			1		35
5	1					1	1	30
6	1	1		1				36
7				1	1	1		29
8		1			1		1	28

7.2.2. Для визуального выделения доминирующих факторов по результатам эксперимента строим диаграммы рассеяния, число которых равно числу факторов. Для этого необходимо:

- определить средние значения выходного параметра у в опытах, когда фактор хi находился на нижнем (–1) и верхнем (+1) уровнях, например для х1:

Заносим полученные значения в таблицу:

Таблица 20

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

(-)

(+)

(-)

(+)

(-)

(+)

(-)

(+)

(-)

(+)

(-)

(+)

(-)

(+)

- по полученным данным в масштабе построим диаграмму рассеяния для факторов хi; для этого выделяем все полученные значения y, выбираем в командной строке «Вставка», «Точечная диаграмма».

Расстояние между точками характеризует различия между средними значениями выходного параметра на двух уровнях рассматриваемого фактора и показывает, насколько существенно он влияет на величину выходного параметра (чем больше расстояние, тем больше влияние).

Сравнение расстояний на соответствующих диаграммах позволяет расположить исследуемые факторы в порядке снижения их влияния на механическую скорость бурения в следующий ряд: х3, х1, х5, х7, х2 и х6, х4. 

При этом факторы х2 (частоты вращения ротора), х6 (диаметр насадки) и х4 (условная вязкость бурового раствора) могут быть признаны как незначимые, т.е. не оказывающие на выходной параметр у существенного влияния.

7.3. Метод отсеивания несущественных факторов

с помощью планов Плекетта  Бермана

При числе факторов больше 8 применение метода случайного баланса в целом становиться нерациональным.

Для снижения трудоемкости отсеивающих экспериментов, Плекеттом и Берманом были разработаны специальные насыщенные планы, матрица которых имеет размерность и×(и-1), где первый сомножитель – число опытов, а второй – число факторов, каждый из которых изменяется на двух уровнях: верхнем (+1) и нижнем (1).

В бурении возможность одновременно изменять на двух уровнях значения более, чем 10 факторов маловероятно, поэтому в качестве примера использования планов Плекетта  Бермана для отсеивания несущественных факторов рассмотрим матрицу с размерностью 12×(121).

Задача №13. По результатам отсеивающего эксперимента, выполненного с использованием планов Плекетта  Бермана для n = 12, оценить существенность влияния на показатель фильтрации бурового раствора (у,см3/30 мин) концентрации (кг/м3) следующих компонентов:

глинопорошка марки ПББ – (х1); барита – (х2); Ca(OH)2 – (х3); CaCl2  (х4); окзила – (х5); КМЦ  600 (х6); нефти – (х7); графита – (х8).

Факторы х9, х10 и х11 принять фиктивными. Уровни исследуемых факторов приведены в табл. 21, а матрица планирования и результаты опытов – в табл. 22.

Таблица 21

Уровни факторов

Уровень	Значение фактора
х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	х10	х11
нижний (1)	40	40	20	10	40	2,5	6,	2,	-	-	-
верхний (+1)	80	60	40	30	80	7,5	100	40	-	-	-

Таблица 22

Матрица планирования и результаты опытов

№ п.п.	Уровни факторов	y
х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	х10	х11
1	+1	+1	1	+1	+1	+1	1	1	1	+1	1	2
2	+1	1	+1	+1	+1	1	1	1	+1	1	+1	5
3	1	+1	+1	+1	1	1	1	+1	1	+1	+1	8
4	+1	+1	+1	1	1	1	+1	1	+1	+1	1	6
5	+1	+1	1	1	1	+1	1	+1	+1	1	+1	3
6	+1	1	1	1	+1	1	+1	+1	1	+1	+1	5
7	1	1	1	+1	1	+1	+1	1	+1	+1	+1	4
8	1	1	+1	1	+1	+1	1	+1	+1	+1	1	4
9	1	+1	1	+1	+1	1	+1	+1	+1	1	1	10
10	+1	1	+1	+1	1	+1	+1	+1	1	1	1	2
11	1	+1	+1	1	+1	+1	+1	1	1	1	1	4
12	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	13

Ход работы:

7.3.1. Переносим матрицу планирования в таблицу Excel, находим оценки коэффициентов линейной модели при каждом из факторов по следующей формуле:

где

xij  уровень j - го фактора в i - м опыте;

yi значение выходного параметра в I-м опыте; N  число опытов.

Для этого ставим «=», подсчитываем сумму множителей первого фактора x1j и yi, делим на число опытов (в данном случае на 12) и нажимает «ENTER». Чтобы не проводить данную операцию 11 раз, выделяем ячейку с полученным результатом, подводим мышкой к нижнему правому углу до появления «+» и множим эту клетку на все факторы. При этом необходимо поставить знак «$» перед значениями y, так как они не изменяются.

7.3.2. Определяем дисперсию воспроизводимости эксперимента с фиктивными факторами.

где

 число степеней свободы;

(N 1)  общее число факторов в матрице;

I  число фиктивных факторов;

ali  оценка коэффициентов при фиктивных факторах.

Dвоспр=   

7.3.3. Определяем дисперсию оценок коэффициентов по формуле:

Dаi=   

1.  Определяем существенность влияния исследуемых факторов на выходной параметр. Фактор оказывает на выходной параметр существенное влияние, если выполняется следующее неравенство:

где

 табличное значение критерия Стъюдента для уровня значимости α и числа степеней свободы .

Сводим все в общую таблицу, проводим анализ полученных результатов:

Таблица 23

№п.п.	Уровни факторов	y
х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	х8	х9	х10	х11
1	1	1	-1	1	1	1	-1	-1	-1	1	-1	2
2	1	-1	1	1	1	-1	-1	-1	1	-1	1	5
3	-1	1	1	1	-1	-1	-1	1	-1	1	1	8
4	1	1	1	-1	-1	-1	1	-1	1	1	-1	6
5	1	1	-1	-1	-1	1	-1	1	1	-1	1	3
6	1	-1	-1	-1	1	-1	1	1	-1	1	1	5
7	-1	-1	-1	1	-1	1	1	-1	1	1	1	4
8	-1	-1	1	-1	1	1	-1	1	1	1	-1	4
9	-1	1	-1	1	1	-1	1	1	1	-1	-1	10
10	1	-1	1	1	-1	1	1	1	-1	-1	-1	2
11	-1	1	1	-1	1	1	1	-1	-1	-1	1	4
12	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	13
ai
Dвоспр
Dai
|ai|/Dai
сравнение  с tтабл.

Записываем выводы:                                                                                

РАБОТА 8

ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Цель работы. Получение зависимости выходного параметра от входных факторов y=f(x1, x2…xk), анализ этой зависимости для оценки степени и характера влияния каждого из факторов на выходной параметр.

8.1. Общие сведения

Математическая модель – это аналитическое представление (выражение) функции отклика; найти модель, значит найти вид функции отклика, записать ее уравнение. Всегда, когда предоставляется возможность, искать модель нужно среди полиномов.

Полином – это многочлен, т.е. алгебраическое выражение, состоящее из одночленов, соединенных между собой математическими символами сложения или вычитания. Простейшие полиноминальные модели можно представить следующим образом:

 

Эти уравнения в математической статистике называют уравнениями регрессии, а коэффициенты b0, b1,…bk – коэффициентами регрессии.

Эффект взаимодействия двух факторов х1х2 называется эффектом взаимодействия первого порядка, трех факторов х1х2х3 – второго порядка и т.д.. Полное число всех возможных эффектов, включая в0, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента.

1.  Проверка воспроизводимости опытов

В связи с ошибками при измерении факторов и параметров, ошибками при проведении опытов и невозможностью полного исключения влияния неучтенных факторов, постановка повторных опытов не дает полностью совпадающих результатов. Суммарная величина всех этих ошибок называется ошибкой опыта или ошибкой воспроизводимости.

Проверку воспроизводимости по схеме с равномерным дублированием опытов проводят в следующей последовательности:

1.  Результаты повторных опытов сводят в таблицу.
2.   Для каждой серии повторных опытов вычисляют среднее арифметическое значение выходного параметра  и дисперсию (Di):

где

yij – значение выходного параметра в j – м повторном опыте i- ой серии опытов;

m – число повторных опытов;

i=1,2,3,…N;

j=1,2,3,…m.

1.  Проводят проверку воспроизводимости опытов с помощью критерия Кохрена. Если неравенство соблюдается (G < Gтабл.), то опыты считаются воспроизводимыми. Если опыты не воспроизводимы, то нужно попытаться достигнуть воспроизводимости выявлением  и устранением источников нестабильности эксперимента.

2. Расчет значений коэффициентов регрессии.

Процедуру расчета рассмотрим на примере типа 22. Для вычисления коэффициентов b0, b1, b2, b12, уравнения  составим расчетную матрицу, приведенную в таблице D.

Таблица D

Расчетная матрица эксперимента типа 22

Номер опыта	х0	х1	х2	х1 · х2	у
1	+1	-1	-1	+1
2	+1	+1	-1	-1
3	+1	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	+1

В таблице D столбцы х1 и х2 задают планирование – по ним непосредственно определяют условия опытов, а столбцы х0 и х1 · х2 служат только для расчетов.

Для расчета коэффициента b0 используется столбец х0 (фиктивная переменная), для расчета коэффициента b1 – столбец х1, b2 – столбец х2, b12 – столбец х1· х2. Для любого числа факторов вычисление оценок коэффициентов регрессии ведется по следующим формулам:

Формула (51) используется для вычисления коэффициента b0 и коэффициентов линейных эффектов (b1, b2, . . .), а формула (50) – для вычисления коэффициентов взаимодействий всех порядков (b12, b23, b123,).

Воспользуемся формулами (51), (52) для расчета коэффициентов регрессии b0, b1, b2, b12 и получим:

Таким образом, вычисления сводятся к приписыванию столбцу у знаков соответствующего фактору столбца и алгебраическому сложению полученных значений. Деление результата на число опытов в матрице планирования дает искомый коэффициент.

3.  Проверка адекватности модели. Под адекватностью понимается способность математической модели предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью.

Гипотезу об адекватности модели проверяют с помощью F – критерия (критерия Фишера):

где

– дисперсия воспроизводимости с числом степеней свободы m2=N(m-1);

Fтабл – табличное значение критерия Фишера при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы m1 и m2;

Dад – дисперсия адекватности (остаточная дисперсия):

где  

уi – экспериментальное значение выходного параметра в i-ом опыте;

значение выходного параметра в i-ом опыте, рассчитанное по уравнению регрессии;

m1 – число степеней свободы дисперсии адекватности:

m1=N-k*-1где N – число опытов, результаты которых используются при подсчете коэффициентов регрессии; k* - число факторов и их взаимодействий, включенных в уравнение регрессии.

На первом этапе для расчета  из уравнений регрессии исключают все эффекты взаимодействия, т.е. приводят уравнения к линейному виду и проверяют адекватность линейных моделей:

 Определив дисперсию адекватности для линейных моделей, находят расчетное значение критерия Фишера и сравнивают его с табличным значением. Если неравенство (53) выполняется, то гипотеза об адекватности линейной модели принимается. Если же линейная модель оказалась неадекватной, то следует прибегнуть к одному из следующих приемов:

1) Включить в уравнения (56) и (57) для расчета
эффекты взаимодействия, коэффициенты при которых имеют наибольшую абсолютную величину (можно включить все эффекты взаимодействия, кроме одного, так как в противном случае m1 = 0).

2) Для того, чтобы m1 = 1 и можно было включать в уравнения (55) – (57) все эффекты взаимодействия, выполняют дополнительный опыт в центре области эксперимента (на основном уровне), результаты которого используют только для проверки гипотезы об адекватности модели.

Если ни одним из этих приёмов адекватность модели не достигнута, то необходимо построить новый план эксперимента, уменьшив интервалы варьирования факторов.

1.  Проверка значимости коэффициентов регрессии.

Проверка значимости коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t- критерия Стьюдента:

где

– абсолютная величина i-го коэффициента регрессии;

– табличное значение критерия Стьюдента;

– дисперсия i-го коэффициента регрессии:

где дисперсия воспроизводимости.

Если неравенство выполняется, то коэффициент регрессии считается значимым. Незначимость коэффициента регрессии может быть вызвана одной из следующих причин:

1.  малым интервалом варьирования фактора (факторов);
2.  низкой воспроизводимостью опытов;
3.  нахождением данного фактора на уровне, близком к оптимальному;
4.  не влиянием или очень малым влиянием данного фактора на изучаемый процесс.

5. Интерпретация результатов эксперимента.

Интерпретация результатов эксперимента – это перевод полученной модели с абстрактного математического языка на язык экспериментатора. Интерпретация – достаточно сложный процесс, который проводится в несколько этапов:

1.  Устанавливается степень влияния каждого из факторов на исследуемый параметр. Интерпретируются только те факторы, коэффициенты которых значимы.
2.  Устанавливается характер влияния факторов на исследуемый параметр. О характере влияния говорят знаки коэффициентов регрессии. Знак плюс свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора величина параметра растет, а при знаке минус – убывает.
3.  Интерпретируются эффекты взаимодействия первого порядка, т.е. взаимодействия двух факторов.

Если эффект взаимодействия двух факторов имеет положительный знак, то для увеличения исследуемого параметра требуется одновременно увеличение или уменьшение значений факторов, например сочетания: х1= +1 и х2= +1, или х1= -1 и х2= -1. Для уменьшение же параметра факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях, например х1= +1 и х2= -1, или х1= -1 и х2= +1.

Если эффект взаимодействия двух факторов имеет отрицательный знак, то для увеличения параметра факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях, например, х1= +1 и х2= -1, или х1= -1 и х2= +1. Для уменьшения параметра требуется одновременное увеличение или уменьшение  факторов, т.е. х1= +1 и х2= +1, или х1= -1 и х2= -1.

1.  Интерпретируются эффекты взаимодействия более высоких порядков. При этом чаще всего, пользуются следующим примером. Например, если необходимо интерпретировать эффект взаимодействия трех факторов х1, х2, х3, то произведение двух факторов условно считают одним и сводят трехфакторное взаимодействие к парному и т.д.

6. Переход от кодированных значений факторов к натуральным.

Естественно, что в любой задаче большой интерес представляет получение уравнения регрессии для натуральных, а не кодированных значений факторов, которые  можно получить, используя следующую формулу перехода:

где

– кодированное значение фактора;

– натуральное значение фактора;

– натуральное значение основного уровня;

– интервал варьирования фактора;

j – номер фактора.

Таким образом,  появляется возможность прогнозировать результаты опытов (значения выходного параметра) при любых натуральных значениях факторов в исследованной области факторного пространства, что имеет большое практическое значение.

8.2. Порядок выполнения работы

8.2.1. Сводим результаты повторных опытов в таблицу, подсчитываем дисперсии, для этого ставим «=», набираем статистическую команду «ДИСП», нажимаем «ENTER»:

Таблица 24

Номер серии опыта	Результаты повторных опытов		Di
1
2
3
4

Проводим проверку воспроизводимости опытов по критерию Кохрена, для чего максимальную по величине дисперсию делим на сумму дисперсий:

G=   

Сравниваем полученную статистику с табличным значением критерия Кохрена, записываем выводы:                  

8.2.2. Рассчитываем значения коэффициентов регрессии, для этого составим расчетную матрицу:

Таблица 25

№ опыта (N)	х0	х1	х2	х1*х2
1		-1	-1
2		1	-1
3		-1	1
4		1	1

b0=    

b1=    

b2=    

b12=    

Записываем уравнение регрессии с кодированными xi:

y=           

8.2.3. Проверяем адекватность математической  модели, используя критерий Фишера:

=      

=      

F=      

Сравниваем неравенство, если оно верно, это означает              

Если неравенство не выполняется, проводим дополнительный опыт в центре области эксперимента (на основном уровне):

Таблица 26

№ опыта	Матрица планирования	Результаты опытов
х1	х2	y'i	y''i
5	0	0

     

Записываем результаты:                    

8.2.4. Проверяем значимость коэффициентов регрессии

t0=    

t1=    

t2=    

t12=    

Сравниваем полученные статистики с табличным значением критерия Стьюдента, записываем выводы:                              

8.2.5.  Переходим от кодированных значений факторов к натуральным, записываем уравнение регрессии:

           

Приложение 1

Критические точки распределения Стьюдента

Число степеней свободы m = n  1	Уровень значимости  = 1  P (двухсторонняя критическая область)
0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
1	6,31	12,7	31,82	63,7	318,3	637,0
2	2,92	4,30	6,97	9,92	22,33	31,6
3	2,35	3,18	4,54	5,84	10,22	12,9
4	2,13	2,78	3,75	4,60	7,17	8,61
5	2,01	2,57	3,37	4,03	5,89	6,86
6	1,94	2,45	3,14	3,71	5,21	5,96
7	1,89	2,36	3,00	3,50	4,79	5,40
8	1,86	2,31	2,90	3,36	4,50	5,04
9	1,83	2,26	2,82	3,25	4,30	4,78
10	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14	4,59
11	1,80	2,20	2,72	3,11	4,03	4,44
12	1,78	2,18	2,68	3,05	3,93	4,32
13	1,77	2,16	2,65	3,01	3,85	4,22
14	1,76	2,14	2,62	2,98	3,79	4,14
15	1,75	2,13	2,60	2,95	3,73	4,07
16	1,75	2,12	2,58	2,92	3,69	4,01
17	1,74	2,11	2,57	2,90	3,65	3,95
18	1,73	2,10	2,55	2,88	3,61	3,92
19	1,73	2,09	2,54	2,86	3,58	3,88
20	1,73	2,09	2,53	2,85	3,55	3,85
21	1,72	2,08	2,52	2,83	3,53	3,82
22	1,72	2,07	2,51	2,82	3,51	3,79
23	1,71	2,07	2,50	2,81	3,49	3,77
24	1,71	2,06	2,49	2,80	3,47	3,74
25	1,71	2,06	2,49	2,79	3,45	3,72
26	1,71	2,06	2,48	2,78	3,44	3,71
27	1,71	2,05	2,47	2,77	3,42	3,69
28	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
29	1,70	2,05	2,46	2,76	3,40	3,66
30	1,70	2,04	2,46	2,75	3,39	3,65
40	1,68	2,02	2,42	2,70	3,31	3,55
60	1,67	2,00	2,39	2,66	3,23	3,46
120	1,66	1,98	2,36	2,62	3,17	3,37
	1,64	1,96	2,33	2,58	3,09	3,29

Приложение 2

Значения  коэффициента аn-i+1 , для определения  критерия

Шапиро – Уилка

	3	4	5	6	7	8	9	10	11	13	15	17	19	21	23	25	27
1	0.7071	0.6872	0.6646	0.6431	0.6233	0.6052	0.5888	0.5739	0.5601	0.5359	0.5150	0.4968	0.4808	0.4643	0.4542	0.4450	0.4366
2		0.1677	0.2413	0.2806	0.3031	0.3164	0.3244	0.3291	0.3315	0.3325	0.3306	0.3290	0.3232	0.3185	0.3126	0.3069	0.3018
3				0.0875	0.1401	0.1743	0.1976	0.2141	0.2260	0.2412	0.2495	0.2540	0.2561	0.2578	0.2563	0.2543	0.2522
4						0.0561	0.0947	0.1224	0.1429	0.1707	0.1878	0.1988	0.2059	0.2119	0.2139	0.2148	0.2152
5								0.0399	0.0695	0.1099	0.1353	0.1524	0.1641	0.1736	0.1787	0.1822	0.1848
6										0.0599	0.0880	0.1109	0.1271	0.1399	0.1480	0.1539	0.1584
7											0.0433	0.0725	0.0932	0.1092	0.1201	0.1283	0.1346
8												0.0395	0.0612	0.0804	0.0941	0.1046	0.1128
9													0.0303	0.0530	0.0696	0.0823	0.0928
10														0.0263	0.0459	0.0610	0.0728
11															0.0228	0.0403	0.0540
12																0.0200	0.0358
13																	0.0178

Приложение 3

Метод наименьших квадратов

1.  Линейная зависимость

 

1.  Логарифмическая зависимость  все xi>0, xi0:

 

1.  Экспоненциальная функция ; все хi и уi > 0; yi  0:

 

1.  Степенная функция ; xi  0;  yi  0; все хi и уi > 0:

 

1.  Дробно - линейная  функция ;  yi  0; все уi,  хi ≠ 0:

 

 

6. Гиперболическая  функция  ; все xi > 0:

 

7. Дробно - рациональная  функция ; все уi ≠ 0:

 

 

1.  Квадратичная (параболическая)  функция :

 

 

 

Приложение 4

Значения F-критерия Фишера при  α=0,05

 

Число степеней свободы для меньшей дисперсии	Значения критерия при числе степеней свободы для большей дисперсии
1	2	3	4	5	6	12	24
1	164,4	199,5	215,7	224,6	230,2	234,0	224,9	249,0	254,3
2	18,5	19,2	19,2	19,3	19,3	19,3	19,4	19,4	19,5
3	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0	8,9	8,7	8,6	8,5
4	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	5,9	5,8	5,6
5	6,6	5,8	5,4	5,2	5,1	5,0	4,7	4,5	4,4
6	6,0	5,1	4,8	4,5	4,4	4,3	4,0	3,8	3,7
7	5,5	4,7	4,4	4,1	4,0	3,9	3,6	3,4	3,2
8	5,3	4,5	4,1	3,8	3,7	3,6	3,3	3,1	2,9
9	5,1	4,3	3,9	3,6	3,5	3,4	3,1	2,9	2,7
10	5,0	4,1	3,7	3,5	3,3	3,2	2,9	2,7	2,5
11	4,8	4,0	3,6	3,4	3,2	3,1	2,8	2,6	2,4
12	4,8	3,9	3,5	3,3	3,1	3,0	2,7	2,5	2,3
13	4,7	3,8	3,4	3,2	3,0	2,9	2,6	2,4	2,2
14	4,6	3,7	3,3	3,1	3,0	2,9	2,5	2,3	2,1
15	4,5	3,7	3,3	3,1	2,9	2,8	2,5	2,3	2,1
16	4,5	3,6	3,2	3,0	2,9	2,7	2,4	2,2	2,0
17	4,5	3,6	3,2	3,0	2,8	2,7	2,4	2,2	2,0
18	4,4	3,6	3,2	2,9	2,8	2,7	2,3	2,1	1,9
19	4,4	3,5	3,1	2,9	2,7	2,6	2,3	2,1	1,9
20	4,4	3,5	3,1	2,9	2,7	2,6	2,3	2,1	1,8
22	4,3	3,4	3,1	2,8	2,7	2,6	2,2	2,0	1,8
24	4,3	3,4	3,0	2,8	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
26	4,2	3,4	3,0	2,7	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
28	4,2	3,3	3,0	2,7	2,6	2,4	2,1	1,9	1,7
30	4,2	3,3	2,9	2,7	2,5	2,4	2,1	1,9	1,6
40	4,1	3,2	2,9	2,6	2,5	2,3	2,0	1,8	1,5
60	4,0	3,2	2,8	2,5	2,4	2,3	1,9	1,7	1,4
120	3,9	3,1	2,7	2,5	2,3	2,2	1,8	1,6	1,3
	3,8	3,0	2,6	2,4	2,2	2,1	1,8	1,5	1,0

Приложение 5

Значения критерия Кохрена при α=0,05

N	n-1
1	2	3	4	5	6	7	8	9
4	0,9065	0,7679	0,6841	0,6287	0,5895	0,5598	0,5365	0,5175	0,5017
6	0,7808	0,6161	0,5321	0,4803	0,4447	0,4184	0,3980	0,3817	0,3682
8	0,6798	0,5157	0,4377	0,3910	0,3595	0,3362	0,3185	0,3043	0,2926
10	0,6020	0,4450	0,3733	0,3311	0,3029	0,2823	0,2666	0,2541	0,2439
12	0,5410	0,3924	0,3624	0,2880	0,2624	0,2439	0,2299	0,2187	0,2098
15	0,4709	0,3346	0,2758	0,2419	0,2195	0,2034	0,1911	0,1815	0,1736
20	0,3894	0,2705	0,2205	0,1921	0,1735	0,1602	0,1501	0,1422	0,1357

Приложение 6

Значения критерия Вилкоксона при α=0,05

n2	n1 (большая по объему выборка)
5	6	7	8	9	10
4	11	12	13	14	15	15
5	17	18	20	21	22	23
6	-	26	27	29	31	32
7	-	-	36	38	40	42
8	-	-	-	49	51	53
9	-	-	-	-	63	65
10	-	-	-	-	-	78

Приложение 7

Значение критерия Вилкоксона-Манна-Уитни при α = 0,05

n2	n1
4	5	6	7	8	9	10	11	12	15	17
4	1
5	2	4
6	3	5	7
7	4	6	8	11
8	5	8	10	13	15
9	6	9	12	15	18	21
10	7	11	14	17	20	24	27
11	8	12	16	19	23	27	31	34
13	10	15	19	24	28	33	37	42	51
15	12	18	23	28	33	39	44	50	61	72
17	15	20	26	33	39	45	51	57	70	83	96

Библиографический список

1.  Бараз В.Р. Выборочный метод статистического анализа: учебное электронное текстовое издательство. – Екатеринбург: Издательство ГОУ ВПО УГТУ УПИ, 2008. – 66 с.
2.  Башкатов Д.Н.  Планирование эксперимента в разведочном бурении.  М.: «Недра», 1985.  181 с.
3.  Башкатов Д.Н., Коломиец А.М. Оптимизация процессов разведочного бурения.  Н.Новгород, 1998.
4.  Булатов А.И.,  Аветисов А.Г. Справочник инженера по бурению: В 4 кн.  Кн. 2  2е изд., перераб. и доп.  М.: «Недра», 1995.  272 с.
5.  Ганджумян Р.А. Математическая статистика в разведочном  бурении: справочное пособие.   М.: «Недра», 1990.   218 с.
6.  Квеско Н.Г., Чубик П.С. Методы и средства исследования. – Томск: Издательство Томского политехнического университета, 2007. – 124 с.
7.  Князев Г.Б. Элементы теории вероятностей и математической статистики для геологов: учебное пособие. – Томск: Издательство Томского государственного университета, 1997. – 178 с.
8.  Методические  указания  по применению статистических методов в бурении нефтяных и газовых скважин /А.Х. Мирзаджанзаде, А.Г. Аветисов, А.И.Булатов и др.  Краснодар: Изд-во «ВНИИКРнефть», 1983.  316 с.
9.  Мирзаджанзаде А.Х.,  Ширинзаде С.А.  Повышение эффективности и качества бурения глубоких скважин.  М.: «Недра», 1986.  278с.
10.  Мирзаджанзаде А.Х., Степанов Г.С. Математическая теория эксперимента в добыче нефти. М., «Недра», 1977.
11.  Нейштетер И.А., Чубик П.С. Методы планирования экспериментов при поиске оптимальных условий в разведочном бурении: учебное пособие.  Томск: Изд-во ТПУ, 2000.  96 с.
12.  Шашков В.Г. Прикладной регрессионный анализ. Многофакторная регрессия: учебное пособие. – Оренбург: ГОУ ВПО ОГУ, 2003. – 363 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Работа 1.	Статистический анализ больших выборок. . . . . .	3
1.1.	Общие сведения.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3
1.2.	Порядок выполнения работы. . . . . . . . . . . . . . .  . . . . .	6
Работа 2.	Статистический анализ малых выборок. . . . . . . . . .	10
2.1.	Порядок выполнения работы. . . . . . . . . . . . . . .  . . . . .	10
2.2.	Сравнение МБВ и ММВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
Работа 3.	Корреляционный анализ. Парная корреляция. . . . .	13
3.1.	Общие сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
3.2.	Порядок выполнения работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
Работа 4.	Корреляционный анализ. Множественная корреляция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
4.1.	Общие сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
4.2.	Порядок выполнения работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
Работа 5.	Многофакторная регрессия. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
5.1.	Общие сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
5.2.	Порядок выполнения работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	23
Работа 6.	Параметрические и непараметрические критерии.	27
6.1.	Общие сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	27
6.2.	Параметрические критерии сравнения. . . . . . . . . . . .	28
6.2.1.	Критерий Стьюдента (t-критерий).  . . . . . . . . . . . . . .	28
6.2.2.	Критерий Фишера (F-критерий). . . . . . . . . . . . . . . . .	31
6.2.3.	Критерий Кохрена (G-критерий). . . . . . . . . . . . . . . . .	32
6.3.	Непараметрические критерии сравнения. . . . . . . . . .	33
6.3.1.	Критерий Розенбаума. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	33
6.3.2.	Критерий знаков (Д-критерий). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	35
6.3.3.	Критерий Вилкоксона (Т-критерий). . . . . . . . . . . . . .	36
6.3.4.	Критерий Вилкоксона–Манна–Уитни (U-критерий).	38
6.3.5.	Критерий Сиджела-Тьюки (Z-критерий). . . . . . . . . . .	39
Работа 7.	Метод случайного баланса. Метод Плакетта-Бермана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
7.1.	Общие сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
7.2.	Метод случайного баланса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
7.3.	Метод отсеивания несущественных факторов с помощью планов Плекетта  Бермана. . . . . . . . . . . . . .	44
Работа 8.	Полный факторный эксперимент. . .  . . . . . . . . . . .  .	48
8.1.	Общие сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	48
8.2.	Порядок выполнения работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	54
	Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	56
	Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	64