Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство науки и образования, молодежи и спорта Украины
Донецкий национальный технический университет
Кафедра АТ
Лабораторная работа №4
По дисциплине: «САПР»
Выполнил: ст.гр.СУА-13м
Пихно Эдуард
Приняла: Жукова Н.В.
Г.Донецк, 2013г.
Проектирование наблюдателя – LQG – регулятора средствами Control System Toolbox
Цель: Изучение методик и математического апарата для проектирования наблюдателя – LQG – регулятора.
Теоретические сведения.
Линейно-квадратичное гауссовское (ЛКГ) управление (LQG control) относится к современным методам управления. Методология синтеза контроллера позволяет отнести системы управления, построенные на таком принципе, к оптимальным системам, в которых оптимизация проводится по некоторому заданному квадратичному критерию качества. Также эта теория принимает в расчёт присутствие возмущений, действующих в цепи управления и измерений в виде белого гауссовского шума (БГШ).
Рассматривается модель объекта управления в пространстве состояний с учетом шумов:
(1)
где - матрицы динамики, управления и измерения соответственно; - БГШ со следующими характеристиками:
Для простоты будем полагать, что .
Функционал качества оптимального управления можно представить в виде:
, (2)
где - вектор состояния объекта управления, - симметричные положительно-определенные матрицы коэффициентов веса по переменным состояния и управляющему воздействию, такие что, , . Обратите внимание, что будет скаляр, если система (1) имеет один вход и один выход (SISO - модель). Тогда оптимальное управление по критерию (2) имеет вид:
, (3)
где - матрица коэффициентов обратной связи по состоянию оптимального регулятора, - решение AER ().
Синтез LQG-регулятора включает две задачи:
1. Синтез оптимального регулятора состояния по критерию (2), был нами ранее рассмотрен и выполнен.
2. Синтез наблюдателя состояния, учитывающий помехи, действующие на объект, так называемый фильтр Калмана.
Решение задачи синтеза LQG-регулятора средствами Control System Toolbox.
Фильтр Калмана.
Фильтр Калмана является аналогом наблюдающих устройств детерминированных систем управления. Параметры фильтра Калмана определяются однозначно, если известны статистические характеристики помех, воздействующих на объект и (или) искажающих результаты измерений. Следует отметить, что далеко не всегда эти характеристики известны с достаточной степенью точности, так, что их приходится задавать в достаточной степени произвольно, а это в свою очередь, сказывается на характеристиках всей системы. Фильтр Калмана минимизирует среднеквадратическую ошибку оценки состояния системы, т.е. среднеквадратичную разность между истинным состоянием и его оценкой : (ковариационная матрица ошибок оценки: ). Тогда истинный вектор состояния объекта заменяется на восстановленный и исходная задача может быть сведена к классической задаче LQR – управления.
Структурная схема фильтра представлена на рис.1.
Рис.1 – Структурная схема фильтра Калмана
Здесь матрица коэффициентов фильтра, определяется следующим образом:
, (4)
где удовлетворяет алгебраическому уравнению Риккати:
, (5)
симметричная положительно-определенная матрица, т.е. .
Для работы с фильтром Калмана в Control System Toolbox имеется команда:
[Gk, Kf, Pf]=kalman(G,,),
где G – расширенная модель объекта в пространстве состояний с учетом БГШ, т.е. , , ; а заменяется на , т.к. объект задан уравнением (1);
Gk – модель фильтра Калмана в пространстве состояний;
Kf – матрица коэффициентов фильтра Калмана;
Pf – решение уравнения Риккати (ковариационная матрица ошибок оценки Pf = или дисперсии).
Принцип разделения (separation principle) при проектировании LQG – регулятора.
После получения оптимальной оценки состояния структурную схему замкнутой системы с LQG – controller можно представить на рис.2 с оптимальным управлением: и матрицей коэффициентов обратной связи по состоянию оптимального LQR - регулятора .
Рис.2 – Структура замкнутой системы с LQG – регулятором
Отсюда следует, что в LQG оптимальном управлении задачи оптимальной оценки состояния объекта и оптимального управления решены раздельно (так называемый «принцип разделения»). Т.е, сначала синтезируется фильтр Калмана и на полученной оценке состояния, как если бы вектор состояния точно измерялся, проектируют оптимальный LQR –регулятор.
Наблюдатель- LQG регулятор.
Для объекта
синтезируется оптимальный LQG – регулятор по критерию
, (6)
где может быть выбрана как zero matrix.
Структурная схема наблюдателя- LQG регулятора представлена на рис.3.
Рис.3. – Структура наблюдателя- LQG регулятора
Предполагают, что матрица коэффициентов обратной связи по состоянию и коэффициенты матрицы фильтра Калмана Kf определены по принципу разделения. Тогда наблюдатель- LQG регулятор может быть формализован следующим образом исходя из структурной схемы (рис.3):
,
Т.е.
(7)
или в матричной форме:
. (8)
Для работы с LQG регулятором в Control System Toolbox имеется команда:
Gс=-lqg(G,W,V)
или
[Af, Bf, Cf, Df]=lqg(A,B,C,D, W,V),
где [Af, Bf, Cf, Df] –модель LQG регулятора в пространстве состояний;
матрицы W, V могут быть заданы так: , , где ковариационные матрицы шумов , действующих на объект с и часто предполагаемыми как zero matrix. Отсюда очевидно, что матрица V это взаимокорреляционная функция сигналов с . - симметричные положительно определенные матрицы коэффициентов веса LQR-регулятора, .
Выполнение работы (вариант 8)
Синтез LQG-регулятора.
1. Модель системы в пространстве состояния имеет вид:
Переменные состояния обозначены следующим образом:
– Перемещение тележки №1;
– Перемещение тележки №2;
– Угол отклонения маятника;
– Скорость изменения перемещения тележки №1;
– Скорость изменения перемещения тележки №2;
– Скорость изменения угла отклонения маятника.
Рассчитаем значения элементов матрицы с помощью программы MATLAB:
2. Формирование БГШ и ковариационных матриц:
%% Синтез LQG-регулятора
% Формирование БГШ и вычисление ковариационных матриц
Pin = 2e-3; %Мощность шума на входе
Pout = 1e-3; %Мощность шума на выходе
NoiseIN = wgn (1,length(t),Pin,'linear'); %Вектор шума на входе
NoiseOUT = wgn (1,length(t),Pout,'linear'); %Вектор шума на выходе
FnoiseIN = lsim(Wfil,NoiseIN,t); %Фильтрация шума на входе
FnoiseOUT = lsim(Wfil,NoiseOUT,t); %Фильтрация шума на выходе
%Ковариационные матрицы
XI = cov(FnoiseIN);
THETA = cov(FnoiseOUT);
Nx=G*XI*G';
3. Синтез фильтра Калмана-Бьюси
% Синтез фильтра Калмана-Бьюси
Br=[B G,eye(6,6)];
Dr=[0];
Gr=ss(A,Br,C,Dr);
[Gk,Kf,Pf] = kalman(Gr,XI,THETA);
Kf = real(Kf);
4. Синтез LQG-регулятора.
% Синтез LQG-регулятора
Q=diag([50 50 50 1 1 1]);
R=0.001;
W=[Q zeros(6,1); zeros(1,6) R];
V=[Nx zeros(6,1); zeros(1,6) THETA];
[Ag,Bg,Cg,Dg]=lqg(A,B,C,D,W,V);
LQG_Reg = ss(Ag,Bg,Cg,Dg);
5. Получим модель системы с помощью функций append и connect.
% Система с LQG-регулятором
Object = ss(A, [G B zeros(6,1)],C,[0 0 1]);
Sys = append (Object, LQG_Reg);
inputs = [1 3 4];
outputs = [1];
Qio = [2 2; 4 -1];
System = connect(Sys,Qio,inputs,outputs);
U_f3 = [FnoiseIN FnoiseOUT step];
[~,~,Xlq] = lsim(System,U_f3,t);
Build_Graph_Int(t,Xlq(1:6));
Рисунок 7 – Графики переходных процессов в системе с LQG-регулятором
6. Промоделируем работу системы в Simulink. Можно воспользоваться одной из нижеприведенных схем:
Рисунок 8 – Схема моделирования системы в Simulink №1
Рисунок 9 – Схема моделирования системы в Simulink №2
В результате были получены следующие графики:
Выводы по работе: в результате выполнения лабораторной работы я изучил методы проектирования линейных систем при случайных воздействиях проектирования фильтра Калмана-Бьюси. Освоил методики и математический аппарат для проектирования наблюдателя – LQG – регулятора. Приобрел навыки работы с пакетом Matlab при анализе преобразования случайных процессов динамической системой. В ходе работы был синтезирован фильтр Калмана-Бьюси, который вместе с LQR-регулятором позволил добиться хорошо качества ПП. Также был синтезирован оптимальный LQG-регулятор, но в данном случае качество ПП значительно ухудшилось по сравнению с системой с фильтром Калмана.