Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос 18
Гармонический осциллятор (в классической механике) — это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы , пропорциональной смещению (согласно закону Гука):
Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.
Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы.
Используя второй закон Ньютона, запишем
Обозначая и заменяя ускорение на вторую производную от координаты по времени , напишем:
Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора
Будем искать решение этого уравнения в виде:
Здесь — амплитуда, — частота колебаний (пока не обязательно равная собственной частоте), — начальная фаза.
Подставляем в дифференциальное уравнение.
Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое — это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени . И остаётся условие на частоту колебаний:
Кинетическая энергия записывается в виде
.
и потенциальная энергия есть
тогда полная энергия имеет постоянное значение
Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m d²x/dt²) и закон Гука (F = −kx, как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково:
Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость и ускорение как функция времени могут быть найдены по формулам:
Положение, скорость и ускорение простого гармонического движения на фазовой плоскости
Ускорение может быть также выражено как функция перемещения:
Поскольку ma = −mω²x = −kx, то
Учитывая, что ω = 2πf, получим
и поскольку T = 1/f, где T — период колебаний, то
Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность
Наиболее известная большинству людей механическая резонансная система — это обычные качели.
Резонансную частоту такого маятника с достаточной точностью в диапазоне малых смещений от равновесного состояния, можно найти по формуле:
,