Тема 11 Действия с числами
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Самостоятельная работа №1.
Раздел 1. Введение.
Тема 1.1 Действия с числами.
Самостоятельная работа №1.(2 часа)
- повторить вычисления НОК и НОД;
- правила сложения, вычитания обыкновенных дробей;
- правила действий с десятичными дробями.
Чтобы сократить записи придумали обозначения НОД и НОК, что означает наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Каждое число является делителем других чисел, которые называются кратными этому числу. К(22) = {22;44;66;88;110;…}
Изобразим множества делителей чисел 18, 24
Д(18) Д(24)={2; 3; 6} ;Наибольший из общих делителей – 6, НОД(18; 24)=6
Изобразим множества кратных числам 18 и 24
К(18) К(24)={72; 144; …} – общие кратные 18 и 24
Наименьшее из общих кратных – 72. НОК(18; 24)= 72
Как находить НОД и НОК?
Для чисел 18 и 24 это просто:
- чтобы найти НОД перебираем общие делители 2; 3, пока не находим наибольший -6.
- чтобы найти НОК умножаем 18 на 2, на 3 и так далее, пока не найдем число, которое делится на 24 – это 72
Если же числа большие, то их раскладывают на простые множители
|
600 |
300 |
150 |
75 |
25 |
5 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
3 |
5 |
5 |
600 = 23 ·3 ·52
|
108 |
54 |
27 |
9 |
3 |
1 |
|
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
108 = 22 ·32
НОД должен содержать все общие множители в наименьшей степени (подчеркнуты):
НОД (600; 108)= 22 ·3 = 12
НОК должен содержать все множители в наибольшей степени (жирный шрифт):
НОК(600;108) == 23 ·33 ·52 = 5400
НОД (27;14)=1, так как у них нет общих делителей, кроме 1. 27=33, а 14 = 2·7
Такие числа называют взаимно простыми.
НОК(27;14)= 27·14 по той же самой причине, у них нет общих делителей.
Удобно использовать методы нахождения НОК при сложении дробей.
Наименьший общий знаменатель – это и есть НОК знаменателей..
НОД(408;90) 1 НОК (408; 90) =2040
12 - 56 = - 44 + = - 44 - = -44
НОД (92; 51)=1– взаимно простые НОК(92;51)=92·51= 4692
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.
С помощью букв правило сложения можно записать так:
+ =
Буханку хлеба разрезали на 8 равных частей (долей). На тарелку положили 7 долей, а потом 4 доли съели. Осталось 3 доли, то есть
буханки:
- =
При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.
С помощью букв правило вычитания можно записать так:
- =
Ключевые слова: дробь, числитель, знаменатель, смешанное число, приведение к общему знаменателю, сложение, вычитание, умножение и деление дробей, правильная и неправильная дробь
Определение: Выражение вида или a : b, где а и b целые числа, b≠0, называется дробью
Число a называется числителем дроби. Число b называется знаменателем дроби
Если a < b, то выражение правильная дробь
Если a > b , то выражение неправильная дробь. Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть и дробную часть. Примеры : = 2
Основное свойство дроби: Две дроби и называются равными если a·d=b·c.
Действия над дробями ( и ):
Дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число..
Если знаменатели разные, то дроби нужно привести к общему знаменателю. Для этого
- Каждый знаменатель разложить на множители
- Выписать множители первого знаменателя
- Добавить недостающие множители других знаменателей.
Общим знаменателем будет НОК (b, d)
Aлгоритм выполнения действий сложения и вычитания.
Знаменатели дробей разложить на множители.
Найти наименьший общий знаменатель для дробей.
Привести все дроби к найденному знаменателю. Для этого находим дополнительные множители.
Сложить или вычесть дроби по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример:
1. Вычислить: – 3,25 : + 6,75 ·
Решение. Указанные действия надо выполнить, не пользуясь микрокалькулятором, не делая округлений и приближенных вычислений, так как предполагается, что все заданные числа являются точными.
Будем выполнять вычисления по действиям:
- – 3,25 : = – 3 : = : = =
- - 2 - 1,65 = - - = - - = = = =
- 6,75 ·() = · == = - 21,9
- - 21,9 =0,625 – 21,9 = - 20, 275
Таким образом, – 3,25 : + 6,75 · =- 20, 275
2. +
= ; =
Наименьший общий знаменатель a()()
= = ; = =
+ = =
Решить самостоятельно следующие примеры:
1.Привести к общему знаменателю: a) + b) - c) + d) + e) -
2. Докажите тождество
. - + = 1
3. Зная, что = 10, найдите значение дроби:
а) ; б) ; в) ;
4. При каком значении переменной b выражение 3 + тождественно равно дроби ?
5. Вычислить: - 3 (-2 5,5 + 4,3 3,7) - 2
(2,8:(2 · (8,75-2 ))) · 7,25 - 3 : ((1,2 + 5 ) · 3,75)
3:((1 +2,5) · 3,2)+(4,25 : (4 · (5,25 - 1 ))) · 2
Самостоятельная работа№2
Тема 1.2. Разложение многочлена на множители.
Самостоятельная работа№2 (4 часа)
Цель: отработать навык решения квадратных уравнений, разложения многочленов на множители.
План работы:
1.Повторить виды квадратных уравнений и способы их решения.
2.Способы разложения на множители:
вынесение за скобку общего множителя;
группировка.
3.Формулы сокращённого умножения.
Теоретические сведения.
Ключевые слова: множители, разложение на множители, вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения, способ группировки, метод выделения полного квадрата.
Определение. Тождественное преобразование, приводящее к произведению нескольких мн разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.
Вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона ac + bc = c(a + b)
Пример. Разложить многочлен на множители 12 y 3 – 20 y 2.
Решение. Имеем: 12 y 3 – 20 y 2 = 4 y 2 · 3 y – 4 y 2 · 5 = 4 y 2 (3 y – 5). Ответ. 4 y 2(3 y – 5).
Использование формул сокращенного умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.
Пример. Разложить на множители многочлен x 4 – 1. Решение. Имеем: x 4 – 1 = ( x 2 ) 2 – 1 2 = ( x 2 – 1)( x 2 + 1) = ( x 2 – 1 2 )( x 2 + 1) = ( x + 1)( x – 1)( x 2 + 1). Ответ. ( x + 1)( x – 1)( x 2 + 1).
Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.
Пример. Разложить на множители многочлен x 3 – 3 x 2 y – 4 xy + 12 y 2.
Решение. Сгруппируем слагаемые следующим образом:
x 3 – 3 x 2 y – 4 xy + 12 y 2 = ( x 3 – 3 x 2 y ) – (4 xy – 12 y 2 ). В первой группе вынесем за скобку общий множитель x 2, а во второй − 4 y . Получаем:
( x 3 – 3 x 2 y ) – (4 xy – 12 y 2 ) = x 2 ( x – 3 y ) – 4 y ( x – 3 y ). Теперь общий множитель ( x – 3 y ) также можно вынести за скобки:
x 2 ( x – 3 y ) – 4 y ( x – 3 y ) = ( x – 3 y )( x 2 – 4 y ). Ответ. ( x – 3 y )( x 2 – 4 y ).
Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения.
Прочитайте выражения: a3 – 53 (2b + 3)3 (2x)3 + 1 (3y2)3 – x3 (9x - y) 3 103 + (5a) 3
Повторить формулы разности и суммы кубов:
a3 – b3 = (a-b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab + b2)
Повторить формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат разности, квадрат суммы.
а2 – b2 = (a-b)(a + b)
(a+b)2 =a2 +2 ab + b2
(a-b)2 =a2 -2 ab + b2
На практике при решении примеров часто приходится использовать комбинацию различных приемов.
Пример 1. 36 a6 b3 – 96a4 b4 + 64a2b5
Решение: 36 a6 b3 – 96a4 b4 + 64a2b5 = 4a2b3(9a4 – 24a2 b + 16b2) = 4a2b3(3a2 – 4b)2.
Комбинировали два приема:
– вынесение общего множители за скобки;
– использование формул сокращенного умножения.
Пример 2. a2 + 2a b + b2 – c2
Решение: a2 + 2a b + b2 – c2 = (a2 + 2a b + b2) – c2 = (a + b)2 – c2= ( a + b – c ) ( a + b + c )
Комбинировали два приема:
– группировку;
– использование формул сокращенного умножения.
Пример 3. y3 – 3y2 + 6y – 8.
Решение: y3 – 3y2 + 6y – 8 = ( y3 – 8 ) – ( 3y2 -6y ) = ( y -2 ) ( y2 + 2y + 4 ) – 3y( y – 2 )= ( y – 2)( y2 + 2y + 4 – 3y )= ( y – 2)( y2 – y + 4 )/
Комбинировали три приема:
– группировку;
– вынесение общего множителя за скобки;
– использование формул сокращенного умножения.
Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок :
Вынести общий множитель за скобку ( если он есть).
Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
Попытаться изменить способ группировки ( если предыдущие способы не привели к цели ).
Пример 4. n3 + 3n2 + 2n.
Решение: n3 + 3n2 + 2n = n ( n2 + 3n + 2 ) = n ( n2 + 2n + n + 2 ) = n (( n2 + 2n ) + ( n + 2 )) = n ( n ( n + 2 ) + n + 2 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ).
Комбинировали три приема:
– вынесение общего множителя за скобки;
– предварительное преобразование;
– группировку.
Отмечаем, что для решения этого примера мы использовали еще один прием разложения на множители – предварительное преобразование.
Даем ему характеристику
Предварительное преобразование
Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.
Квадратное уравнение имеет вид + bx + с = 0, а ≠0
Квадратный трёхчлен раскладывается на множители следующим образом:
ax2 + bx + с = 0 a(x – x1)(x – x2), где x1и x2 – корни квадратного уравнения
Дискриминант: D = - 4ac
Если D > 0, то кв. ур-е имеет два различных корня, которые могут быть вычислены по формулам:
X1,2 =
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня.
Если D < 0, то действительных корней нет.
Заполнить таблицу из 100 квадратных уравнений следующих десяти видов.
Неполные квадратные уравнения:
1) ax2 + bx = 0;
2) ax2 + c = 0; левую часть удобно представить в виде разности квадратов двух выражений;
3) ax2 + c = 0; левую часть неудобно представить в виде разности квадратов двух выражений.
Полные квадратные уравнения, в которых:
4) a + b + c = 0;
5) a – b + c = 0;
6) левая часть уравнения представима в виде квадрата двучлена;
7) приведенное квадратное уравнение;
8) b = 2k;
9) b = 2k – 1;
10) D < 0.
В таблице по 10 уравнений каждого вида. Также в таблице имеются уравнения, в которых:
а) переменная обозначена латинской буквой, отличной от x;
б) записанные не в стандартном виде;
в) уравнения, которые можно упростить, разделив левую и правую части на число, отличное от нуля.
Решите самостоятельно.
1. Вместо знака * поставьте одночлен таким образом, чтобы упростить можно было с помощью формул сокращенного умножения:
a2 +4 ab + *; 9x4 – 6x2 y + *; 100a6 - * + b2; 4x4 – 25y2 =(2* -5*)(2*****)
2. Решите уравнение: x2 – x = 0 2x2 – 4x =0 3x2 – 7x = 0
3. Вычислите наиболее рациональным способом: 532 – 432 1082 – 982 - 67· 52
4. Найдите значение выражения 2a + b +2a2 + ab, если: a= – 1; b=998; если: a=45,5; b= – 3; если: a=7,4; b= – 2
5. Разложить на множители многочлены:
20x3 y2 + 4x2 y2 ; 27b3 + a6; 15a3 b +3a2 b3 ; 2y(x-5) + x(x-5);
b(a +5) – c(a +5); 2an – 5bn – 10bn + am; x2 + 6x +9; 49m2 -25n2 ;
2bx - 3ay -6by + ax; 3a2 +3ab – 7a -7b; a4-b4; a2 +ab – 5a -5b
5a3 – 125ab2 ; a2 – 2ab + b2 – ac + bc; 63ab3 – 7a2b; m2 + 6mn + 9n2 – m – 3n
x2 + 4x + 3; x3 + 3x2 + 4; x2 – 3x + 2; 12 y 3 – 20 y 2; x 4 – 1;
-5a3 -3a2 –a; 4x 2y+3x2 y2+2xy2; x 3 – 3 x 2 y – 4 xy + 12 y 2; 36 a6 b3 – 96a4 b4 + 64a2b5
y3 – 3y2 + 6y – 8.
6. Раскрыть скобки: ( x + 3 )( x + 1 ); ( b – c )( b + c ) – a( a + 2c ); ( a – b )( a – b – c ); ( c – a )( c + a ) – b( b – 2a ); 5a( a – 5b )( a + 5b ); ( x2 + 3 – x )( x2 + 3+ x ); 7ab( 9b2 – a );
( m + 3n )( m + 3n – 1 ); ( b – a – c )( b + a + c ); ( c – a + b )( с + a – b ); ( x – 2 )( x – 1 );
7. Упростить выражения:a) : б) + в) :
г) - д) + е) + ж) - з) +
и) + к) -
Самостоятельная работа№3-4
Тема 1.3. Преобразование алгебраических выражений
Самостоятельная работа№3-4 (2 часа)
Цель: научиться применять простейшие формулы и правила алгебраических преобразований.
Тождественные преобразования алгебраических выражений
Понятие алгебраического выражения. Тождество и тождественное преобразование.
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).
Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.
Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.
Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.
Действия над степенями
Действия над степенями производятся по следующим правилам:
= m-n
= amn
m =
m =
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Формулы сокращенного умножения:
а2 – b2 = (a-b)(a + b) –разность квадратов
(a+b)2 =a2 +2 ab + b2 –квадрат суммы
(a-b)2 =a2 -2 ab + b2- квадрат разности
a3 – b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) – разность кубов
a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab + b2) – сумма кубов
(a+b)3 =a3 +3a2 b +3a b2 +b3 – куб суммы
(a-b)3 =a3 -3a2 b +3a b2 -b3 – куб разности
ax2 + bx + с = 0 a(x – x1)(x – x2)
Квадратное уравнение имеет вид + bx + с = 0, а ≠0
Дискриминант: D = - 4ac
Если D > 0, то кв. ур-е имеет два различных корня, которые могут быть вычислены по формулам:
X1,2 =
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня.
Если D < 0, то действительных корней нет.
Теорема Виета. В приведенном квадратном уравнении x2 + px + q - 0 сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену:
x1 + x2 = - p ; x1 x2 = q
Действия с дробями:
|
Сложение |
Вычитание |
Умножение |
Деление |
|
+ = |
- = |
· = |
: = |
Свойства пропорции: = ad = bc
При работе с модулями используют различные свойства модулей:
≥ 0; = ; = ; 2 = a2; =
Свойства числовых неравенств:
a≥b b≤a;
a≥b и b≥c a≥c;
Пусть с0 тогда a≥b aс≥bс
Пусть с0 тогда a≥b aс≤bс
Пусть a≥b тогда a+с ≥b+с
Пусть a≥b тогда a-с ≥b-с
Примеры решения задач.
1. Упростить выражение: S = при x = , где a≠b, ab0
Решение. Покажем прежде, что при заданном условии все подкоренные выражения положительны:
X – 1 = -1 = =
Поскольку a - b≠0 , то ; ab0 по условию.
Следовательно, дробь положительна, т.е. x - 1; , а значит и x + 1; .
Теперь перейдем к упрощению заданного выражения. Освободимся от иррациональности в знаменателе:
S = = = = x +
Подставляя значение x = = , получим S = + = + = +
По условию ab0 , значит, = ab, поэтому S =
Рассмотрим оба возможных случая:
1) если , т.е. если , то = и S =
2) если , т.е. если , то = и S =
2. Сократить дробь: .
Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители. Корни числителя: x1 =1; x2= 4 , поэтому имеем: = (x –x1)(x –x2) =(x –1)(x –4) .
Чтобы разложить знаменатель на множители, применим метод группировки:
= (x3 -x)- (4x2 -4) = x()- 4() = ()(x -4) = (x -1)(x +1)(x -4)
Тогда при x≠1; x≠-1; x≠4 будем иметь:= =
3. Пользуясь теоремой Виета, вычислить: + , где x1 и x2 - корни уравнения 2x2 +6x +1 = 0 .
Решение. Преобразуем исходное выражение в дробь + =
Числитель данного выражения может быть разложен, как сумма кубов двух выражений: = ()(). Проведем тождественные преобразования:
()()= ( )( - 3) = ( )()2 - 3)
Воспользуемся теоремой Виета. Для начала убедимся, что дискриминант квадратного трехчлена 2x2 +6x +1 больше нуля.
Действительно: В = 62 -4·2·1 = 28 . Следовательно, у уравнения 2x2 +6x +1 = 0 имеются два действительных корня, и теорема Виета может быть применена.
Таким образом, = -3 и =
Поэтому, имеем: + = = = -45
Решить самостоятельно.
1.Упростите выражение: :
2.Найти значение выражения при x=31, y=21.
3. Упростите выражение: : и вычислите его значение при m =-3 и n=7.
4. Найти значение выражения при x=31, y=21.
5. Докажите тождество
- + = 1
6. Зная, что = 10, найдите значение дроби: а) ; б) ; в) ;
7. При каком значении переменной b выражение 3 + тождественно равно дроби ?
Вопросы для самоконтроля.
1.Формулы сокращённого умножения.
2.Правила действий со степенями.
3.Формулы корней сокращённого умножения.
4.Свойства числовых неравенств.
5.Понятие модуля.
6.Свойства пропорции.
Самостоятельная работа№5-6
Раздел 2. Числовые и буквенные выражения.
Тема 2.1. Корни и степени
Самостоятельная работа№5-6 (4 часа)
Цель: повторить действия со степенями и корнями; повторить свойства степеней и корней.
Теоретические сведения.
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются
2.При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого: = m-n
3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются: = amn
4. m =
5. m = .
6. a0 = 1
7. a-n =
Решите самостоятельно.
1. Упростите выражение: (-a)10 a3 (-a)6 ; a (-a)-4an; -a4 a2 (-a)6; -a 2a6 (-a)2x
2. Найдите х, если: 62 ·x = 63; x ·423 = 427; x· 26 ·29 = 217; 311 ·35 ·x = 318
3. Найдите с: с ·a8 = a11; a13· с = a16; c(a5 ·a8) = a17; (a ·a14 ) c= a20
4. Вычислите: ; ; ;
5. Выполнить действия:
6. 7. 8.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
15. 16. a- 17. 15a
18. 19. 10 20.
21. · 22. · 23. 24. 25. ()· 26. ()· 27. -
28. - 29. 30. 0,1· : - 2 31.
32. -6· + 33. : · 34. - 2b 35. ·
36. ()(- )
Упростить выражения:
Вопросы для самоконтроля.
1.Формулы сокращённого умножения.
2.Правила действий со степенями.
3.Формулы корней сокращённого умножения.
4.Свойства числовых неравенств.
5.Понятие модуля.
6.Свойства пропорции.
Самостоятельная работа№7-8
Тема 2.2. Логарифмы. (2 часа)
Цель: Выработать навык логарифмических преобразований
Логарифм числа b по основанию a () это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. (Логарифм существует только у положительных чисел).
Обозначение: (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
= x, ax = b.
Пример: = 3 , потому что 23 = 8 .
Если, напр., основание будет 4, то =2; = 3; =1; =0,5; = -0,5; = 0; = -1
Десятичный логарифм - lg b (логарифм по основанию 10, а = 10)
Если возьмем за основание 10, то lg10=1; lg100=2; lg1000 =3; lg0,1 =-1; lg0,01 = -2; lg1 = 0;
Натуральный логарифм - ln b ( а = e).
Свойства логарифмов
1. Основное логарифмическое тождество - alogab = b;
2 . log a1 = 0;
3. log aa = 1;
4. log a (bc) = log ab + log ac;
5. log a(b/c) = log ab – log ac;
6. loga (1/c) = log a1 – log ac = - log ac;
7. log a(bc) = c log ab;
8. = (1/c) log ab;
9. Формула перехода к новому основанию log ab =
10. log ab =
Переход от выражения к логарифму называется логарифмированием этого выражения.
Переход от логарифма к подлогарифмическому выражению называется потенцированием. Свойства логарифмов незаменимы при решении логарифмических уравнений и функций, упрощении примеров, также они пригодятся при решении интегралов и нахождении производной от логарифмов.
Примеры.
1. Вычислить:
(3log a72 – log a724) : (log a73 – log a79).
Решение: Используя свойства логарифмов, получим
(3log a72 – log a724):(log a73 + log a79)=(log a723 – log a724):log a727 = log a73–1: log a733 = – log a73 : 3log a73 = - ;
Ответ: - ;
2.Вычислить:
Решение: используя свойства степени, получим
= = = = 52 ·3-2 =2 5· =
Ответ:
Вопросы для самоконтроля:
Что такое логарифм?
Какие свойства логарифма Вы знаете?
Как называется логарифм с основанием 10?
Как называется логарифм с основанием е?
Форма контроля: проверка конспекта.
Тема 2.3. Преобразование выражений со степенями и логарифмами(2 часа)
Цель: Выработать навык преобразований выражений со степенями и логарифмами.
- Вычислить: (3log a72 – log a724) : (log a73 – log a79).
- + +
- 4 · +
- +
- log1553 + log1534 + log1556
- -
- log390-log32-log35
4.
Самостоятельная работа№9-10
Раздел 3. Тригонометрия.
Тема 3.3. Преобразование тригонометрических выражений
Самостоятельная работа (2 часа)
Цель: изучить основные формулы тригонометрии; решение прямоугольных треугольников.
Тригонометрические тождества - это математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента .
Радианная мера углов и дуг
Обратите внимание: если длину дуги выражать с помощью привычных рациональных чисел (т.е. заменять число его приближенным значением), то результат всегда будет приблизительным. А если измерять длины в долях числа , то результат будет точным числом.
Таким образом, мы можем измерять движение точки по кругу с помощью угла, на который она повернулась. Т.е. для произвольного числа t мы построили угол t, определяемый двумя лучами – неподвижным и тем, который проходит через построенную точку.
При таком обобщении понятия угла постепенно отходят от его геометрического образа как части плоскости, лежащей между двумя лучами. Фактически слово «угол» становится для нас синонимом слова «число».
Угол поворота — это угол, полученный вращением луча около его начала О от начального положения ОА до конечного положения ОВ. Иными словами, это угол, полученный поворотом радиус–вектора на угол t.
Знак угла.
Поскольку луч может двигаться либо по часовой стрелке, либо против, то будем считать углы поворота против часовой стрелки положительными, а по часовой стрелке – отрицательными.
t
у
х
М (t) = М (х; у)
А (0)
О
Теперь нужно выбрать меру измерения таких новых углов – углов поворота. Итак, если точка, двигаясь по координатной окружности, перешла из начальной точки А (0) в конечную точку М, то координата точки М определяется углом поворота t, т.е. М = М(t).
t
у
х
М (t) = М (х; у)
А (0)
О
Усложним задачу. Совместим координатную окружность с декартовой системой координат так, чтобы начало этой системы координат находилось в центре О координатной окружности, положительная полуось абсцисс проходила через начало отсчета А (0) на этой окружности, а положительная полуось ординат – через точку той же окружности.
Единица измерения. Понятие об измерении углов известно из геометрии. При измерении углов принимают некоторый определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.
Для измерения новых углов – углов поворота – привычные нам градусы не подходят, потому, что градусами измеряют только углы, а здесь одной меркой должны измеряться и углы, и расстояния. Выход нашли Ньютон и Лейбниц — они стали измерять эти углы этими расстояниями.
Вопросы: Чем измеряется расстояние на числовой окружности?
Чему равен единичный отрезок числовой окружности?
Так появилась универсальная мера измерения и углов, и дуг — радиусная мера или, как ее чаще называют, радианная мера.
За единицу измерения можно принять любой угол:
на практике уже более трех тысяч лет за единицу измерения величины угла принята 1/360 часть полного оборота, которую называют градусом;
в технике за единицу измерения принимают полный оборот;
в мореплавании за единицу измерения углов принят румб, равный 1/32 части полного оборота;
в артиллерии за единицу измерения углов принята 1/60 часть полного оборота, которую называют большим делением угломера (1/100 часть большого деления угломера называют малым делением угломера).
Помимо того, что радианная мера лучше приспособлена для изучения криволинейного (кругового) движения, она существенно упростила многие расчеты и формулы:
длина дуги окружности: ; ;
площадь сектора: S= ; . Так как длина окружности 2πr и составляет 360, то , выбрав окружность r = 1, получим, что число π соответствует углу 180.
Вопросы:
- Рассмотреть формулы перехода от градусной меры к радианной и наоборот.
2. Как построить угол, равный числу (–1)?
3. Еще раз подчеркнуть универсальность радианной меры, с помощью которой можно измерять и углы, и расстояния (дуги).
На каждом проигрывателе виниловых дисков (грампластинок) стоял переключатель, и в зависимости от его положения диск проигрывателя мог совершать 33, 45 или 78 оборотов в минуту.
Найдем, на какой угол поворачивается диск за 1 с при каждом положении переключателя:Более современный пример.
Скорость вращения жесткого диска компьютера 7200 об/мин, тогда:
В двух последних случаях угол поворота превышает 360.
В технике часто встречаются скорости вращения в сотни оборотов в секунду, поэтому приходится рассматривать углы, во много раз превышающие 360.
Определение тригонометрических функций
Продолжим рассматривать движение точки по окружности – простейшую модель периодического процесса.
Для каждого числа на числовой окружности можно указать определенную точку .
Мы установили, что это соответствие не взаимно-однозначное, т.к. каждой точке окружности соответствует бесконечное множество чисел.
Мы научились измерять путь, пройденный точкой по числовой окружности, т.е. окружности, радиус которой принят за единичный отрезок.
Теперь вы готовы ответить на два важных вопроса.
Вопросы:
- Как называется число, соответствующее точке на числовой прямой или на числовой окружности?
Кстати, отсюда другое название числовой окружности – координатная окружность.
- Что является координатой точки на числовой окружности?»
В этом случае, точка М, движущаяся по окружности, совершает также движение и в координатной плоскости и тогда определять положение точки М (t) можно и иначе – указывая ее координаты х и у в данной системе координат.Таким образом, у точки на круге появились два набора координат:
t – «криволинейная» координата; (х; у) – декартовы координаты.
Т.к. это наборы координат одной и той же точки, то разумно предположить, что они связаны между собой. Установим связь между координатами х и у точки М(t) и углом t.
Пусть для определенности точка М расположена в первой четверти.
t
уМ
у
х
хМ
М
О
М1
М2
t
Абсцисса точки М равна длине отрезка ОМ1.
Найдем этот отрезок из прямоугольного ОММ1:
хМ = ОМ1 = ОМ cos t = 1 cos t = cos t.
Ордината точки М равна длине отрезка ОМ2.
Найдем этот отрезок из прямоугольного ОММ2:
уМ = ОМ2 = ОМ sin t = 1 sin t = sin t.
Аналогично для любой другой четверти.
Таким вот неожиданным образом перед нами предстали известные с 9 класса тригонометрические функции косинус и синус. Они оказались декартовыми координатами точки на числовом круге! Кстати, отсюда еще один синоним для числовой окружности – тригонометрическая окружность.
tg t = = ; ctg t = = ;
А исследует эти функции раздел математики – тригонометрия.
Тригонометрия — наука, изучающая свойства тригонометрических функций и связь между ними. Как было сказано ранее, они служат для описания периодических процессов. Теперь нам ясно почему. Тригонометрические функции предоставляют исчерпывающую информацию о положении вращающейся точки.
Область применения. Изучение криволинейного движения в физике и вращательного движения в технике.
Из уроков физики вам известно, что важнейшей характеристикой криволинейного движения является угловая скорость – угол поворота в единицу времени, т.е. .
Как было сказано, в технике для измерения вращательного движения используется полный оборот (или просто оборот) – поворот на угол 360.
Физики шутят, что если бы им сообщили точные координаты всех элементарных частиц во Вселенной, то предсказать будущее – пара пустяков.
Свойства тригонометрических функций.
Знаки тригонометрических функций.
У каждой тригонометрической функции есть интересная особенность: ее аргумент может быть положительным числом, а значение – отрицательным (и наоборот)! В этом легко убедиться, если вычислить с помощью калькулятора, например, sin 210 (=–0,5) или cos 2,4 (–0,7374). Оказывается, знак функции зависит от того, в какой четверти числовой окружности расположен угол (или число). Этот парадоксальный на первый взгляд факт можно легко объяснить, если вспомнить, чем же являются тригонометрические функции (чем?). А как мы знаем, действительно, в зависимости от того, в какой четверти расположена точка, ее координаты могут быть и положительными, и отрицательными.
С помощью линии соответствующей тригонометрической функции легко запомнить, какая функция в какой четверти имеет какой знак. Например, т.к. положительная полуось синусов расположена в верхней полуплоскости, то синусы углов I и II четверти положительны и т.д.
Т.к. положительная полуось косинусов расположена в правой полуплоскости, то косинусы углов I и I четверти положительны.
Рассмотреть знаки триг. функций в различных четвертях
Области определения тригонометрических функций.
Т.к. аргументом тригонометрической функции является угол поворота (или, что то же самое, число на Iчисловой окружности), а углы поворота могут быть любыми числами, то D(sin) = R, D(cos) = R.
С функциями тангенс и котангенс немного сложнее. Mы отметили, что при некоторых значениях аргумента эти функции не определены (каких?). Это записывается следующим образом:
D(tg) = R \ , n Z , D(ctg) = R \ , n Z
Области значений тригонометрических функций.
Как мы уже выяснили, чтобы найти синус числа на числовой окружности, нужно найти ординату точки, соответствующей этому числу (как это сделать?). А теперь обратим внимание, что проекции всех точек тригонометрической окружности укладываются на вертикальный диаметр, который является отрезком оси ординат. Т.к. концы этого отрезка по оси ординат имеют координатами числа (–1) и 1, то делаем вывод E(sin) = [–1; 1].
По-другому это записывается как или ,
t
sin t
–1
1
у
х
t
говорят: «синус по модулю не превосходит единицу», а вертикальный диаметр называется линией (осью) синусов.
t
cos t
–1
1
у
х
t
Аналогично, рассматривая проекции абсцисс всех точек числовой окружности, делаем вывод, что E(cos) = [–1; 1].
Также как и для синуса, это можно записать в виде или ,
а линия (ось) косинусов — это горизонтальный диаметр.
Линия (ось) тангенсов — это касательная к числовой окружности, проходящая через ее начало отсчета.
Чтобы найти тангенс числа на числовой окружности нужно провести прямую через точку, соответствующую этому числу, и центр окружности до пересечения с линией тангенсов. Масштаб по линии тангенсов такой же как и на числовой окружности (единичный отрезок – радиус окружности), поэтому тангенс числа равен длине отрезка от точки пересечения до точки касания.
Линия (ось) котангенсов — касательная, проведенная к числовой прямой через ее точку с координатой .
Для начала решим интересную задачу.
Задача. Какое из двух чисел больше, sin 1 или sin 2?
Вычисляют котангенс аналогично тангенсу, проводя прямую через центр числовой окружности и точку на ней и измеряя отрезок от точки пересечения до точки касания.
Таким образом, поскольку линия котангенсов – прямая, то E(ctg) = R.
С помощью линий тригонометрических функци, многие свойства тригонометрических функций получают наглядное геометрическое истолкование
А
1
х
у
В
t
t +
N
N1
t + l
O
Периодичность тригонометрических функций. Когда мы говорили об углах поворота, мы отметили их главную особенность – поворотам на углы, отличающиеся друг от друга на целое число полных оборотов (т.е. на 360п), соответствует одно и то же конечное положение подвижного радиус-вектора .
Это свойство синуса и косинуса называется периодичностью. Оно состоит в том, что от прибавления к аргументу х числа 2k, где k – любое целое число, значения синуса и косинуса не изменяются.
Каждое из чисел 2, 4, 6, …, прибавление которого к любому значению аргумента х не изменяет значений синуса и косинуса, называют периодом синуса и косинуса. Из всех положительных периодов 2, 4, 6,…, период 2 наименьший. Его называют главным периодом или просто периодом.
Свойство периодичности тангенса и котангенса в общем виде записывается как:
tg x = tg(x + k) и ctg x = ctg(x + k).Таким образом, периодами этих функций служат числа k, а наименьший положительный период тангенса и котангенса равен . Это следует из того, что на тригонометрической окружности точки t и t + диаметрально противоположны (число задает ровно половину окружности), а значит тангенсы этих чисел равны длине отрезка AN. Докажем, что наименьший период синуса 2.Наибольшее значение синуса равно 1.
На числовой окружности этому значению соответствует точка В. Положение ОВ подвижный радиус сможет занять только через полный оборот, т.е. через 2.
Вопрос 1. Как звучит это свойство применительно к точке на числовой окружности?
Вопрос 2. Чем являются координаты точки на числовой окружности?
Вопрос 3. Как записать правило «полного оборота» для каждой координаты?
sin x = sin(x + 2k) и cos x = cos(x + 2k).
Четность и нечетность.
Еще проще с таким важным свойством функций как четность или нечетность.
Оказывается, все изучаемые нами тригонометрические функции – нечетные, лишь косинус – четная функция.
Рассмотрим на тригонометрической окружности точки с координатами t и (–t). У этих точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты, это означает, что sin(–t) = –sin t. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что cos(–t) = cos t.
Аналогично рассматриваются функции тангенс и котангенс.
Кроме того, доказать нечетность тангенса и котангенса можно используя свойства синуса и косинуса следующим образом: = = = - = - .
Значения тригонометрических функций.
|
Функция |
Значения |
||||
|
00 |
300 |
450 |
600 |
900 |
|
|
cosx |
1 |
0 |
|||
|
sinx |
0 |
1 |
|||
|
tgx |
0 |
1 |
- |
||
|
ctgx |
- |
1 |
0 |
Основные тригонометрические формулы.
|
Основные тригонометрические тождества. |
Выпишем тождества, связывающие тригонометрические функции одного аргумента (на доске и в тетрадях). По рис. 1 объясните их вывод, и для каких углов они выполняются.
1) Так как R , то sin2 + cos2 = 1 – основное тригонометрическое тождество!
2) Так как tg = , где 0,5 + n, nZ, то для таких sin = costg.
Рис. 1
3) Аналогично, так как ctg = , где n, nZ, то для таких cos = sinctg.
4) tgctg = 1, где 0,5n, nZ, так как синус и косинус не должны равняться нулю.
5) Разделим тождество 1) почленно на cos2: 1 + = , где 0,5 + n, nZ.
6) Аналогично, разделив на sin2, получим 1 + = , что, n, nZ.
Примеры:
Упростить: +
Вычислить:, , сtg , если tg = 2; 0 < < ;
Докажите: (2 tg + 1)( tg + 2)- 5 = 2
Формулы суммы аргументов:
Пример:
- sin15 = sin(45 – 30) = sin45 cos30 - cos45sin30= - =
- Вычислить cos 15; tg 15 ; ctg15;
- Дано: sin = 0,8, . Вычислите: а) cos ; б).
4. Упростите: a) cos - sin
b) sin + cos
c) (sin - cos )
d) - ()
e) -
g) = ; = ; 0< <; 0< <; Вычислить
Формулы двойного аргумента
Рассмотрим следствия формул сложения: формулы, которые позволяют выразить sin2, cos2 и tg2 через тригонометрические функции угла . Их называют формулами двойного аргумента.
1) sin2 = sin( + ) = sincos + cos sin = 2sincos.
2) cos2 = cos( + ) = coscos – sin sin = cos2 – sin2= 2cos2 – 1 = 1 – 2sin2.
3) tg2 = , , где nZ; , где kZ (показать на единичной окружности).
Аналогичную формулу можно получить и для сtg2, но запоминать ее не надо, так как без нее всегда можно обойтись [ctg2 = , , где nZ; , где kZ (показать на единичной окружности)].
Примеры:
1)Докажите неравенство: sin 2 + cos 2 + 2(sin1 – cos1)> 1
Решение: Рассмотрим разность
sin 2 + cos 2 + 2(sin1 – cos1)-1= 2 sin1 cos1+ - + 2 sin1 - 2 cos1- - = 2 sin1(cos1 -
= 2 sin1(cos1 - sin1 )- 2(cos1 - sin1 )= 2(cos1- sin1 )( sin1 - 1)> 0, т.к. cos1 < sin1, а sin1 < 1.
Следовательно, левая часть данного неравенства больше правой, что и требовалось доказать.
2) sin120 = 2sin 60 cos60 = 2 =
3)Найти значение следующих тригонометрических выражений: ; ; , если = ; 0<<π.
Решение. Выпишем формулы = 2
= -
=
Из основного тригонометрического тождества найдем = = 1 - =
Так как принадлежит 1 или 2 четверти, то =
Тогда = - = -
= 2· ·( ) =
= =
4) Вычислить cos 120 ; tg 120 ; ctg120;
5) Дано: cos = - , π. Вычислите: а) sin ; б) sin 2.
6) Найдите sin 2 , если cos = ; sin > 0
Формулы произведения функций
1).Вычислите: 2
2).Вычислите: sin10sin20...sin80. []
3).Вычислите: tg5tg20 + tg20tg65 + tg65tg5
Формулы cуммы и разности одноименных тригонометрических функций.
Примеры:
1).sin54 – sin18 = 2sin18cos36 = = 0,5
2). -
3).cos + cos = 2 cos cos = 2 cos cos = 2 cos cos
4) ctg70 + 4cos70 = .
|
Формулы понижения степени и половинного аргумента. |
Примеры:
1) Вычислите: sin15; cos15; tg15 [;; ].
Понятно, что вычислив значения тригонометрических функций для угла 15, мы знаем и значения тригонометрических функций угла 75, и, вообще, достаточно вычислять эти значения для углов от 0 до 45.
Для каких еще углов можно аналогичным образом вычислить значения тригонометрических функций? [22,5; 37,5; 7,5 и т. д.]
2) tg = ; Найти: sin2 (Ответ: );
3). = 0,6; 0< <. Вычислить ; ;
4). Докажите, что в треугольнике АВС один из углов равен 60 т. и т. т., когда sin3A + sin3B + sin3C = 0.
Формулы приведения.
1) Сравните и обоснуйте:
а) и [>; II четверть];
б) и cos(–0,5) [>; четность; I четверть];
в) tg1,2 и tg1,4 [<; показать ось тангенсов]; г) ctg2 и ctg10 [>; показать ось котангенсов].
2) Упростите выражения:
а) sin(1080 – );
б) cos(– – 20);
в) tg(–1800 + );
г) ctg(14 – )
ответ: [а) –sin; б) cos; в) tg; г) –ctg]
Помимо свойств четности или нечетности и свойства периодичности тригонометрических функций, существуют правила, позволяющие упрощать аналогичные тригонометрические выражения. Эти правила применяются, когда под знаком тригонометрической функции находятся слагаемые, не кратные 360 или 2, но кратные 90 или 0,5. Вывод этих правил, которые называются формулами приведения, использует симметрию на координатной плоскости.
1) Рассмотрим точки Р и Р + . Они симметричны относительно О(0; 0): ZO(Р) = Р + . Следовательно, x + = –x; y + = –y, то есть, cos( + ) = –cos; sin( + ) = –sin; tg( + ) = = tg; ctg( + ) = = ctg.
2) Рассмотрим точки Р и Р – . Они симметричны относительно оси y: S(OY) (Р) = Р – . Следовательно, x – = –x; y – = y, то есть, cos( – ) = –cos; sin( – ) = sin; tg( – ) = = –tg; ctg( – ) = = –ctg.
3) Рассмотрим точки Р и Р0,5 + . Какова особенность их взаимного расположения? [] Следовательно, x0,5 + = –y; y0,5 + = x, то есть, cos(0,5 + ) = –sin; sin(0,5 + ) = cos; tg(0,5 + ) = = ctg;
ctg(0,5 + ) = = –tg.
4) Как получить аналогичные формулы для угла 0,5 – ?
[Симметрия относительно прямой y = x или алгебраически]
cos(0,5 – ) = cos(0,5 + (–)) = –sin(–) = sin; sin(0,5 – )= sin(0,5 + (–)) = cos(–) = cos; tg(0,5 – ) = = ctg; ctg(0,5 – ) = = tg.
5) Как получить аналогичные формулы для углов 1,5 ? Проще – алгебраически.
cos(1,5 ) = cos( + (0,5 )) = –cos(0,5 ) = sin; sin(1,5 )= sin( + (0,5 )) = –sin(0,5 ) = –cos; tg(1,5 ) = = ctg; ctg(1,5 ) = = tg.
Некоторые формулы приведения:
|
+ |
π + |
+ |
- |
π - |
- |
2π - |
|
|
- |
- |
- |
- |
||||
|
- |
- |
- |
- |
||||
|
- |
- |
- |
- |
||||
|
- |
- |
- |
- |
Самое замечательное, что сами формулы запоминать не надо, достаточно запомнить «мнемоническое правило».
- Знак результата совпадает со знаком данной функции;
- Если есть или , то название функции меняется на кофункцию;
- Если есть π или 2π, то название функции не меняется;
Упражнения.
1) Упростите выражения:
а) sin(117 – );
б) cos(– 221,5–);
в) tg( + );
г) ctg2( – 1890) ответ:[а) sin; б) –sin; в) –ctg; г) tg2]
2) Вычислите значение тригонометрических функций угла 330.
[cos330 = ; sin330 = –0,5; tg330 = ; ctg330 = ]
3) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до 45 (): а) sin(–3725); б) [а) –cos39; б) –ctg]
4) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до 45
а) cos(–2281); б) ctg27,7.
5) Определите знаки чисел и попарно сравните: а) и ; б) cos(–2) и cos(–3); в) и .
6) Верны ли равенства (обоснуйте): а) sin( + ) = sin + sin; б) cos( – ) = cos – cos? [Нет; примеры!]
7) Сравните: sin(cos1) и cos(sin1).
8) Вычислите: [–1];
9) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до : а) cos10; б) ctg11. [а) –cos(10 – 3); б) –tg(11 – 3,5)];
10) Найдите значение выражения: sinsin...sinsin [0, так как sin = 0].
11) Упростите: а) sin8; б) tg(–7).
12) ·)
Формула дополнительного угла
Где
Преобразования тригонометрических выражений.
Чтобы преобразовать тригонометрическое выражение, нужно:
- Уменьшить количество аргументов.
2) Уменьшить количество функций.
Пример:
- · =
= = -1 (используем свойство периодичности котангенса, формулу 1 + = )
= - (используем формулы приведения )
= (используем формулы приведения )
Получим: -1 –(- ) · = -1+ 1= , что и требовалось доказать.
Основные тригонометрические формулы
+ = 1
+ 1 =
+ 1 =
Формулы сложения аргументов
=
=
= -
= +
=
=
Формулы двойного угла
= 2
= -
=
Формулы преобразования произведений функций
=
=
=
Формулы понижения степени
=
=
Формулы преобразования суммы функций
+ = 2
- = 2
+ = 2
- = -2
1). Вычислите: sin15; cos15; tg15
Понятно, что вычислив значения тригонометрических функций для угла 15, мы знаем и значения тригонометрических функций угла 75, и, вообще, достаточно вычислять эти значения для углов от 0 до 45.
Для каких еще углов можно аналогичным образом вычислить значения тригонометрических функций? [22,5; 37,5; 7,5 и т. д.]
Как можно было по-другому вычислить, например, sin15?
sin15 = sin(45 – 30) = = =подставь значения функций
2).Найти значение следующих тригонометрических выражений: ; ; , если = ; 0<<π.
Решение. Выпишем формулы = 2
= -
=
Из основного тригонометрического тождества найдем = = 1 - =
Так как принадлежит 1 или 2 четверти, то =
Тогда = - = -
= 2· ·( ) =
= =
3).Доказать тождество: (1 + + )· = 1
Решение. Приведем левую часть к 1: (1 + + )· = ( + )· = · = =1
Тождество доказано.
Упростить выражение:
Решение.
= = = 0,5a2.
Решить самостоятельно:
- +
- = 2, 0< <. Найти .
- - ()
- = 0,6; 0< <. Вычислить
- –
- = ; > 0. Найти
- 2
- ·)
- = ; = ; 0< <; 0< <; Вычислить
- Доказать тождество: (2+1) (+2)- 5= 2
- Вычислите: sin15; cos15; tg15; 2
- =; (); Найти: cos, tg, ctg
- tg = ; Найти: ctg
- ·)
- = ; > 0. Найти
- ; ; , если = ; 0<<π.
- = 0,6; 0< <. Вычислить
- (2+1) (+2)- 5
- = 2, 0< <. Найти .
- (1 + + )· = 1
- -
2. тематики Расчетнографическая работа 1 По дисциплине- Математика Метод наименьших квадрат
3. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук КИЇВ 2002 Дис
4. Київські зорі 2013 Дата- субота 21 грудня 2013 року Місце проведення- танцювальній залі вул
5. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата філологічних наук ІваноФр
6. Состояние и пути совершенствования основных средств.html
7. К востоку от Эдема Джон Стейнбек К востоку от Эдема Максим Бычков К востоку от Эд
8. Понятие истины в философии
9. 1определение территории в границах которых осуществляется МСУ 2 порядок создания преобразования и упраздн
10. Введение Сберегательный банк Российской Федерации ~ старейший банк страны и единственный банк сохранивши
11. шт. 10 30 мл физиологического раствора или стерильной воды в зависимости от размера катете
12. реферату- БлискавкиРозділ- Фізика Блискавки Кульова блискавка Кульова блискавка ~ це загадкове явище п
13. ПЕТЕРБУРГА ЖИЛИЩНЫЙ КОМИТЕТ пл
14. 1В отечественной научной литературе политическая история Киевской Руси делится на три периода.
15. финская война или Зимняя война финск
16. Лекция 9 Халы~аралы~ ~уе транспортыны~ бірлестігі Жоспар- Ма~саттары
17. Сенполия
18. состояние полного физического духовного и социального благополучия а не только отсутствие болезней и физи
19. Биография Людвига Фейербаха
20. Сущность и причины возникновения экономического романтизма