Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Робота 11. Дослідження перехідних процесів в колі з послідовним з’єднанням r, L і C елементів
11.1. Мета роботи
Вивчити перехідні процеси при включенні кола з послідовним з’єднанням резистора, котушки індуктивності та конденсатора на постійну напругу і дослідити вплив активного опору і ємності конденстора на характер перехідних процесів.
11.2. Короткі теоретичні відомості
Кола з послідовним з’єднанням r, L, і С елементів мають широке застосування в багатьох електричних пристроях і є прикладом кола, в якому взаємодіють магнітне і електричне поля. Знання перехідних процесів в таких колах дозволить краще розуміти процеси, зв’язані з обміном енергією між електричним і магнітним полями.
Для аналізу перехідних процесів необхідно скласти рівняння, якими будуть описувати струм в колі і напруги на його елементах. Розглянемо включення кола, наведеного на рис. 11.1, на постійну напругу U у випадку, коли напруги на конденсаторі немає - . Для цих умов можна записати:
/11.1/
Рис. 11.1
Рішивши систему рівнянь /11.1/ відносно струму, одержимо
/11.2/
Взявши похідну за часом від обох частин рівняння /11.2/, матимемо
/11.3/
бо Це рівняння є однорідним диференціальним рівнянням другого порядку і описує вільну складову струму бо в усталеному режимі струм в колі дорівнюватиме нулю: а напруга на конденсаторі Отже, будемо мати:
і /11.4/
З врахуванням /11.4/ зміна струму в колі буде описуватись рівнянням
/11.5/
характеристичне рівняння якого має корені
/11.6/
Позначивши і , одержимо
де - власна частота незатухаючих коливань.
Рішення рівняння /11.5/ залежить від виду коренів характеристичного рівняння. В залежності від співвідношень між r, L і С, вони можуть бути дійсними різними , дійсними кратними і комплексно-спряженими . Розглянемо ці випадки.
Нехай , тобто або . Тоді характеристичне рівняння матиме дійсні різні корені і рішенням /11.5/ буде
, /11.7/
де С1 і С2 – сталі інтегрування, які визначають із початкових умов. Оскільки при і(0) = 0, то , і рівняння /11.7/ прийме вигляд
/11.8/
Для визначення С1 необхідно знати при . Підставивши в /11.2/ , одержимо
або . /11.9/
Із рівняння /11.8/ знаходимо, що
. Звідки , і кінцево для струму і маємо:
/11.10/
Напруга на індуктивності
/11.11/
Зміну напруги на ємності можна визначити з /11.2/:
. /11.12/
Оскільки і і, крім того, , то при зміні t від 0 до ∞ змінні і будуть зменшуватись від 1 до 0 і їх різниця буде додатною. Це свідчить про те, що струм не буде змінювати напряму, тобто конденсатор весь час буде заряджатися.
Із виразу /11.11/ слідує, що струм буде досягати максимального значення при або при . Отже, струм в колі спочатку буде збільшуватись, досягне свого максимального значення , а потім поступово буде зменшуватись до нуля, як показано на рис. 11.2.
Напруга на конденсаторі, як слідує з рівняння (11.12), буде весь час зростати і монотонно наближатись до U, бо похідна буде також весь час додатною.
Напруга на котушці індуктивності при буде дорівнювати U, потім
Рис. 11.2 буде спадати і при , тобто в момент максимуму струму, перейде через нуль і досягне максимуму при , як слідує з умови , а потім буде асимптотично наближатись до нуля.
Напруга на резисторі буде змінюватись за законом зміни струму і при .
Розглянемо другий випадок, коли і . У цьому випадку характеристичне рівняння матиме рівні корені , і рішення рівняння /11.3/ запишеться у вигляді:
. /11.13/
За умови, що , з /11.13/ одержимо С3=0, і, отже,
. /11.14/
З /11.14/ знаходимо, що
. /11.15/
З урахуванням /11.15/ маємо
. /11.16/
Зміни напруг на індуктивності та ємності uL і uc будуть описуватись рівняннями
і /11.17/
11.18/
Із аналізу виразів для і, uL і uc витікає, що струм буде досягати максимального значення при і в цей час напруга uL=0. Максимум uL буде при . Напруга на конденсаторі буде монотонно наростати від 0 до U, бо похідна буде весь час додатною.
Отже, перехідні процеси в колі з r, L і С елементами у випадку будуть мати такий же характер, що і при , але протікати будуть дещо швидше, бо зменшується активний опір кола. Рівність є граничною умовою аперіодичного зарядження конденсатора. При подальшому зменшенні r процес заряджання стане коливальним.
Тепер розглянемо випадок, коли , тобто . За цієї умови корені характеристичного рівняння згідно /11.6/ будуть комплексними:
/11.19/
де - власна частота затухаючих коливань.
При таких коренях рішення диференціального рівняння /11.3/ буде мати вид:
. /11.20/
Підставивши в /11.20/ умову , одержимо С6 = 0 і
/11.21/
Оскільки раніше було доведено, що , то і .
Отже, при струм буде змінюватись за законом
, /11.22/
де .
Напруга на котушці індуктивності
, /11.23/
а напруга на конденсаторі
. /11.24/
За рівняннями /11.22/, /11.23/ і /11.24/ на рис. 11.3 побудовані залежності , і , з яких видно, що вони мають характер затухаючих коливань. Кутова частота їх коливань . При , тобто при маленькому затуханні коливань, і найбільше значення, якого може досягти струм зарядження конденсатора, буде близьким до , а найбільше значення, якого може досягти напруга на конденсаторі, буде близьким до 2U, як показано на рис. 11.3.
Перевищення напруги на конденсаторі відносно джерела живлення зумовлено тим, що при спаданні струму напруга на індуктивності до-
Рис.11.3 дається до напруги на ємності.
Це явище необхідно враховувати при аналізі кіл, які складаються з r, L і С елементів. Окрім того, треба пам’ятати, що в дійсності котушки індуктивності мають деяку ємність, конденсатори – індуктивність. Тому перехідні процеси в реальних колах будуть дещо відрізнятися від розглянутих вище, зокрема, напруга на котушці індуктивності не буде змінюватись стрибком, а швидко наростати до значення, близького до напруги живлення.
11.3 Програма роботи
1. Дослідити вплив активного опору на характер перехідних процесів при ввімкненні кола з послідовним з’єднанням r, L і С елементів на постійну напругу.
2. Дослідити вплив ємності конденсатора на частоту власних затухаючих коливань при ввімкненні кола послідовним з’єднанням r, L і С елементів на постійну напругу.
11.4. Опис лабораторної установки
Лабораторна робота проводиться на стенді УИЛС з використанням прилада 4372 в режимі осцилографа. На набірному полі стенда складають електричне коло, схема якого наведена на рис. 11.4. В якості активного опору r і ємності С використовують магазини опорів і ємностей, що дозволяють змінювати їх величини в процесі досліджень.
Рис. 11.4
Для того, щоб мати на екрані осцилографа стале зображення перехідного процесу, в якості джерела постійної наруги використовується змінна напруга прямокутної форми, яка формується відповідним генератором, розташованим на стенді. Оскільки при коливному перехідному процесі напруга на ємності може майже удвічі перевищити напругу живлення, то амплітуду прямокутних імпульсів слід вибрати на висоту 0.5 екрана осцилографа. Частота напруги прямокутної форми повинна бути такою, щоб на протязі одного імпульсу перехідний процес практично закінчився. Цього можна добитись, змінюючи відповідним чином активний опір r і ємність конденсаторної батареї, не змінюючи при цьому величину індуктивності.
11.5. Порядок виконання роботи
1. Скласти електричне коло, схема якого наведена на рис. 11.4. Після перевірки кола викладачем під’єднати прилад 4372 до мережі, встановити максимальну тривалість (на 0.9...0.95 довжини екрану) прямокутного імпульсу, добитись стабільного зображення і визначити його тривалість Ті. Змінюючи коефіцієнт підсилення напруги по вертикалі, встановити амплітуду імпульсу на чверть висоти екрану, розташувавши нульову лінію по середині.
Для заданих викладачем параметрів котушки індуктивності (Lk, rk) і r=0 потрібно визначити таку ємність конденсаторної батареї, щоб за час одного імпульсу напруги Ті відбулося не менше чотирьох періодів коливань струму. За цієї умови ємність контура повинна дорівнювати
. /11.25/
Встановивши ємність контура рівною , і при r=rk, матимемо коливальний процес з найменшим затуханням, власна частота незатухаючих коливань якого , що відповідає rk=0.
Далі потрібно приступити до експерименту. Для цього під’єднати вхід прилада 4372 до точок кола 4-5, увімкнути напругу живлення і зарисувати перехідний процес зміни напруги на ємності . За масштабом розгортки визначити власну частоту затухаючих коливань , де Т – період коливань. За формулою , де , вирахувати розрахункову частоту затухаючих коливань і знайти їх різницю , яка буде характеризувати похибку експерименту. Потім визначити коефіцієнт затухання . Дані експерименту і розрахунків занести в табл. 1.
Таблиця 1
|
№ п/п |
Характеристика процесу |
r, Ом |
Lk, Гн |
Сk, Ф |
ω0, с-1 |
ω, с-1 |
ωp, с-1 |
Δω, с-1 |
η |
|
1. |
Коливальний, |
||||||||
|
2. |
Коливальний, |
||||||||
|
3. |
Граничний, |
||||||||
|
4. |
Аперіодичний, |
Для дослідження впливу активного опору кола на перехідні процеси, не змінюючи величин Lk і Сk, треба поступово збільшувати опір кола до тих пір, поки власна частота затухаючих коливань ω не збільшиться приблизно у 2-3 рази. Зарисувати перехідний процес uc(t). На підставі графіка uc(t) визначити всі величини, вказані в табл. 1. Потім підключити вхід прилада 4372 до точок кола 1-2 і нанести на графіку uc(t) криву зміни напруги на активному опорі ur(t), яка буде пропорційною струму зарядження конденсатора i(t). Для чіткого зображення кривої ur(t) потрібно збільшити підсилення по вертикалі. Порівняти експериментальні графіки uc(t) і i(t) з графіками, зображеними на рис. 11.3, і зробити висновки у звіті.
2. Для вивчення впливу ємності на частоту власних затухаючих коливань необхідно спочатку визначити величину ємності конденсаторної батареї, при якій для відомих з попереднього досліду rk і Lk, перехідний процес uc(t) буде граничним, що відповідатиме . Це можна зробити експериментально, змінюючи величину ємності контура і спостерігаючи за видом перехідного процесу на екрані осцилографа, або розрахувати цю ємність за формулою
. /11.26/
Замкнувши перемичкою контакти схеми 1-2, встановити ємність, рівну Сг, починають дослідження. Для цього потрібно подати на вхід кола напругу прямокутної форми, як у попередньому експерименті, і спостерігати за видом перехідного процесу – він повинен бути аперіодичним. Потім зменшити ємність кола і за масштабом розгортки визначити частоту власних затухаючих коливань ω. Дані вимірювань занести в табл. 2.
Таблиця 2
|
№ п/п |
С, Ф |
ω, с-1 |
ω0, с-1 |
ωр, с-1 |
ω-ωр, с-1 |
η |
|
1 |
Сг |
0 |
||||
|
2 |
||||||
|
3 |
||||||
|
4 |
||||||
|
5 |
||||||
|
6 |
Дослід повторити ще для 4-х значень ємності. При проведенні дослідів спостерігати за амплітудою коливань і пояснити у звіті її зміну. За експериментальними даними побудувати залежність .
Для оцінки якості досліджень для всіх значень ємності визначити частоту власних незатухаючих коливань , частоту власних затухаючих коливань
/11.27/
і коефіцієнт затухання η. Дані розрахунків занести в табл. 2.
На підставі даних, наведених в табл. 2, зробити висновки про вплив ємності на основні характеристики затухаючого коливального процесу і точність проведених досліджень.
11.6. Контрольні запитання
1. Яким рівнянням описується зміна струму в колі з послідовним з’єднанням r, L, і С елементів при увімкненні його на постійну напругу?
2. Які види перехідних процесів можуть виникати при увімкненні кола на постійну напругу?
3. За якої умови в колі можуть виникнути незатухаючі коливання?
4. Чи можуть мати місце незатухаючі коливання в колі з реальними L, і С елементами?
5. За якої умови в колі будуть протікати аперіодичні перехідні процеси?
6. Який перехідний процес називається граничним?
7. Від чого залежить затухання коливального перехідного процесу?
8. За рахунок якої енергії відбувається коливний процес заряджання конденсатора?
9. Чи може напруга на конденсаторі при його заряджанні в колі з індуктивністю перевищити напругу мережі живлення?
10. Як залежить частота власних затухаючих коливань від ємності?
127
EMBED CorelDRAW.Graphic.10