Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа
Выполнил
студент 5 курса
математического факультета
Чупраков Дмитрий Вячеславович
_____________________/подпись/
Научный руководитель:
д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
_____________________/подпись/
Рецензент:
к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных
_____________________/подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
(подпись) “__” _________
Декан факультета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина
(подпись) “__” _________
Киров
2005
СодержаниеСодержание. 2
Введение. 3
Глава 1. 5
1.1. Базовые понятия и факты.. 5
1.2. Простое расширение Q+(a) 5
1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. 7
Глава 2. Однопорожденные полуполя. 9
2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел 9
2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом. 11
2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом 12
2.4. Примеры.. 20
Литература. 22
ВведениеТеория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа
Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.
Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.
В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.
Основными результатами работы являются:
· Теорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.
· Теорема 2.3.1. Если , то – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида .
· Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов. Последовательность задается следующим образом:
Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.
· Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Глава 1. 1.1. Базовые понятия и фактыОпределение: Алгебра <P, +, ×> называется полуполем, если
(1) <Р, +> – коммутативная полугруппа с 0;
(2) <Р, ×> – группа с 1;
(3) Дистрибутивность
a.
b.
(4)
Не сложно показать, что Q+ является полуполем.
Определение: Пусть Р – подполуполе полуполя F, , тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a).
1.2. Простое расширение Q+(a)Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q+ в качестве полутела.
Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент sÎS, что s+s¹s. Откуда
.
Рассмотрим суммы единиц. Через обозначим сумму k единиц (при kÎN). Так как любое полутело является антикольцом, то . Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что при некоторых натуральных m<n. Положим l=n-mÎN. Тогда . Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент , получим
.
Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь
для любого tÎN.
По свойству Архимеда, найдется такое tÎN, что tl>n. При k=tl имеем и n<k. Тогда
.
Откуда 1=1+1 (). Получили противоречие.
Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию N. Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q+, причем, очевидно, операции в Q+ и S согласованы.
■
Теорема 1.2.2. - простое расширение полуполя Q+.
Доказательство. Заметим, что Q+(a) – полуполе. Кроме того, а Î Q+(a). Это не сложно увидеть, взяв . Очевидно .
Предположим, что есть полуполе P меньшее Q+(a), содержащее а и Q+. Тогда оно содержит все выражения вида . Так как P – полуполе, то . Таким образом, . Так как P – минимальное полуполе, то . То есть, –простое расширение полуполя Q+.
■
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема 1.2.3. - простое расширение поля Q.
1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чиселПусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда . , тогда .
Покажем, что любое равенство получается из , где . Заметим, что , так как а – корень , а – минимальный многочлен для a. Представим , где составлен из положительных одночленов многочлена h, а ‑ составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,
Приведем подобные члены в паре , и найдем такой , что
,
не имеют подобных членов.
Аналогично найдем , что
и
не имеют подобных членов.
Получаем
Так как не имеют подобных членов и не имеют подобных членов, то
, или
, .
Найдем значения этих многочленов в точке а.
,.
Итак,
,
.
То есть, тогда и только тогда, когда .
Будем говорить, что Q+(a) порождается минимальным соотношением .
Глава 2. Однопорожденные полуполя 2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чиселДля простого расширения справедливы следующие теоремы.
Теорема 2.1.1. Пусть простое расширение , a – алгебраический элемент над . Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1) – поле;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
Доказательство.
· (1)®(2): Пусть – поле. Так как - простое расширение поля Q элементом a. То . Однако, . Таким образом, .
· (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что
.
Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент не будет обратим. Рассмотрим
и
,
тогда
.
По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. . Так как , то . То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).
· (3)®(4): Пусть , тогда . Так как (f – g)(a) = 0, то h(a) = 0.
· (4)®(5): Пусть , покажем, что .
Так как h(a)=0, то . Покажем, что . Рассмотрим
.
Если b0≠0, то
.
Если h0=0, то
.
Так как a≠0, то
.
Тогда
.
Итак, .
· (5)®(1): Пусть , покажем, что Q+(a) – поле. Действительно, мы знаем, что Q+(a) – полуполе. Рассмотрим bÎQ+(a), тогда . b + (‑b)=0. То есть, Q+(a) – поле.
Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■
Доказанный факт влечет следующую теорему.
Теорема 2.1.2. Пусть Q+(a) простое расширение Q+, a – алгебраический элемент над Q+. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1) Q+(a) –полуполе;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) .
Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1) ‑ (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).
Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q+(a) не является полем, а значит Q+(a) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3),
("hÎQ+[a], h≠0) h(a)≠0.
То есть, если h(a)=0, то h=0. Пусть h(a)=(x+y)(a)=0. Тогда
.
Тогда (xi+yi)=0.
Так как xiÎQ+ и yiÎQ+, то xi=yi=0. А значит, x=y=0.
Теорема доказана.
■
2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числомТеорема 2.2.1. Любое расширение , где , является полем С.
Доказательство. Пусть , и при a > 0. Тогда находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости.
Очевидно, существует натуральное n, что лежит строго во второй или третьей четверти. То есть, , где c < 0, . Значит, и . По теореме 2.1.1, – поле. Очевидно, что . То есть, является полем С.
Аналогично рассматривается случай ■
2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числомТеорема 2.3.1. Если , то – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле.
Доказательство. По теореме 2.1.1 Q+(ai) – поле равносильно существованию
f¹0, f(ai)=0.
Так как все степени aiÎQ+(ai). Рассмотрим некоторый многочлен
.
Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.
То есть,
Это верно тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле.
Получили, что Q+(ai) – поле тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле. ■
Как следствие получаем более ценные утверждения.
Следствие 1. Если , то Q+(ai) – полуполе тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – полуполе.
Следствие 2. Если и Q+(-b2) – полуполе, aÎQ+(-b2), то Q+(a + bi) – полуполе.
Теорема 2.3.2. Пусть – комплексный корень квадратного трехчлена f(x) неприводимого над Q. Тогда – полуполе в том и только том случае, когда f(x) имеет положительный действительный корень.
Доказательство. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда , где D – дискриминант минимального соотношения.
Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид . Если b, c ≥ 0, то имеем многочлен из . Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда , . То есть . Если многочлен не имеет действительных корней, то
(*)
То есть, .
Рассмотрим .
При получаем многочлен из Q+[x]. Пусть . Введем обозначения:
, , ,
, , .
Тогда многочлен примет вид . Умножим его на , получим многочлен . Если , то это искомый многочлен иначе умножим его на .
Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q+. Докажем, что найдется такие k, что . При этом . Для начала найдем дискриминант уравнения .
То есть, дискриминант Dl+1 имеет тот же знак, что и Dl. Так как D0<0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант Dl<0.
Рассмотрим неравенство , подставим , . Получим
.
То есть,
.
Зная, что заметим
.
Итак, для доказательства нам достаточно установить, что
.
То есть,
.
Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство
.
Тогда
.
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что
.
Используя оценку и деля на положительный элемент , получаем
.
Обозначим . Рассмотрим отображение , заданное по правилу . При , . Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: . Откуда . Заметим, что . Последовательность стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что , а это следует из (*). Итак, мы доказали, что . То есть, мы нашли такой многочлен, , что . Итак, мы доказали, что если удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то – поле. ■
Следствие 1. Если – мнимый корень квадратного трехчлена, то ‑ поле.
Следствие 2. Любое простое расширение является полем , порожденным минимальным соотношением 2 степени.
Доказательство.
Заметим, что . Покажем, что для любого aÎQ найдется такой квадратный многочлен , что - его корень многочлена. Для этого достаточно представить . Возьмем такой , что , тогда . Очевидно, . Таким образом, нам удалось найти многочлен из . То есть, - поле. ■
Рассмотрим последовательность действительных чисел :
(**)
Будем говорить, что последовательность задается числами p и q.
Лемма 2.3.3. Существует n, что .
Доказательство. Пусть . Покажем, что последовательность убывающая.
,
то есть .
Пусть , тогда
Так как , то
Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что , то есть - убывающая.
Так как - монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует . Тогда .
То есть, . Но тогда
,
,
что невозможно для . То есть, . ■
Лемма 2.3.4. Если , то существует , что .
Доказательство. Запишем а и b в виде десятичных дробей:
, Так как , то существует k, что и .
Тогда . Рассмотрим число .
То есть, . ■
Теорема 2.3.5. Если и , то
.
Доказательство. По лемме 2.3.3, . Пусть .
Если n=1, то . Рассмотрим .
То есть,
.
Так как . По лемме 2.3.4 . Тогда
.
Рассмотрим n > 1.
Пусть .
Покажем, что
Раскроем скобки и сгруппируем члены при xj.
То есть,
Заметим, что . Для существования , по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий и , то есть, . Обозначим . Так как , то и . Для существования достаточно доказать существование и . То есть, . Обозначим . Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что . По лемме 2.3.4, существует, если и . Эти условия следуют из того, что и .
Таким образом, доказано существование
■
Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень , такой что и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида , где , последовательность (**), заданная числами p и q, содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида существует многочлен , что . Рассмотрим многочлен . так как и . Кроме того , а остальные множители многочлена имеют вид или . То есть, . Таким образом . По теореме 2.1.1, минимальный многочлен порождает поле. ■
Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел расширение , минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что – поле. Тогда существует многочлен f с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f(a')=0. Но . Значит a' – не является корнем многочлена f. То есть – полуполе. ■
2.4. Примеры1. Рассмотрим . Оно удовлетворяет минимальному соотношению . По теореме 2.3.7, - полуполе. Аналогично доказывается, что – полуполе.
2. – полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.
3. Покажем, что – полуполе. Во-первых, заметим, что . Рассмотрим . По теореме 2.3.7, ‑ полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1, – полуполе. . То есть, – полуполе.
4. , минимальное соотношение которого имеет вид , есть полуполе. Действительно, многочлен имеет положительный корень, а значит - полуполе.
Теперь приведем примеры полей.
5. является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид .
6. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению . Его минимальный многочлен делит . То есть, – поле. Несложно видеть, что . Итак, .
7. Пусть удовлетворяет минимальному соотношению . Тогда – поле.
8. Пусть , если , то – поле. Так как , то Если , то . Рассмотрим последовательность (**), порожденную p и q. . По теореме 2.3.7, – поле.
Литература1. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000
2. Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.
3. Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.