Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
5. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
5.1 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух основных видов движения – поступательного и вращательного.
При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие этого скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому для описания движения тела достаточно знать движение одной его точки, например, центра масс.
При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения необходимо знать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.
Рассмотрим плоское движение твердого тела (при таком движении все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях). Примером такого движения является качение цилиндра по плоскости (рис.5.1).
Произвольное перемещение твердого тела из положения 1 в положение 2 (рис.5.2) можно представить как сумму двух перемещений -–поступательного перемещения из положения 1 в положение 1¢ или 1² и поворота вокруг оси О¢ или О². Такое разбиение перемещения на поступательное и вращательное может быть осуществлено бесчисленным множеством способов, однако в любом случае производится поворот на один и тот же угол .
Элементарное перемещение любой точки равно векторной сумме поступательного и вращательного перемещений: .
При этом для всех точек тело одинаково. Разделив обе части на промежуток времени , за который совершено перемещение , получаем скорость выбранной точки относительно неподвижной системы отсчета
где - одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения, - различная для разных точек тела скорость, обусловленная вращением. Для точки с радиус-вектором эта скорость равна . Тогда скорость точки при сложном движении равна
Элементарное перемещение твердого тела при плоском движении всегда можно представить как поворот вокруг некоторой оси, называемой мгновенной осью вращения. Эта ось может лежать в пределах тела, либо вне его . Положение мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы отсчета и относительно самого тела меняется со временем. В случае катящегося цилиндра ( рис.5.1) мгновенная ось О¢ совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью. При качении цилиндра мгновенная ось перемещается по плоскости (т.е. относительно неподвижной системы отсчета) и по поверхности цилиндра.
Скорости всех точек тела для каждого момента времени можно считать обусловленными вращением вокруг соответствующей мгновенной оси. Тогда плоское движение можно рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенных осей.
При неплоском движении элементарное перемещение тела можно представить как поворот вокруг мгновенной оси лишь в том случае, когда векторы и взаимно перпендикулярны. Если угол между этими векторами отличен от , движение тела в каждый момент времени является наложением двух движений – вращения вокруг некоторой оси и поступательного движения вдоль этой оси.
5.2. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА
Представим твердое тело как систему материальных точек, разбив его на элементарные массы . Каждая масса может находиться под воздействием внутренних сил и внешних . По второму закону Ньютона .
Сложив эти уравнения для всех частиц тела, получаем
.
Сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю, тогда
.
Сумму, стоящую в левой части, можно заменить произведением массы системы на ускорение центра масс, поэтому
.
центр масс (инерции) твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил, на ускорение центра масс (см. главу 2).
5.3. ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси (рис.5.3). Чтобы удержать ось от перемещений в пространстве, заключим ее в подшипники.
Абсолютно твердое тело – это система материальных точек с неизменным расстоянием между ними, и для всех его частиц (материальных точек) справедливо уравнение:. Это уравнение справедливо и для твердого тела. При этом под следует понимать момент импульса тела, а есть сумма моментов всех внешних сил, . Возьмем на оси вращения точку О и будем характеризовать положение образующих тело частиц радиус-векторами , проведенными
из этой точки (на рис.5.3 показана -я частица с массой ). Момент импульса -той частицы относительно точки О равен Векторы и для всех частиц тела взаимно перпендикулярны, поэтому модуль вектора равен
.
Направление вектора показано на рис.5.4, его модуль пропорционален угловой скорости . Направление не зависит от , так как лежит в плоскости, проходящей через ось вращения и частицу , и перпендикулярен . Проекция вектора на ось вращения , как следует из рис.5.4 , равна
.
Очевидно, для однородного тела вращения суммарный момент импульса направлен по оси вращения в ту же сторону, что и (рис.5.5). Действительно, разобьем тело на пары равных по массе и расположенных симметрично частиц (на рис. 5.5 показаны пары - и ). Сумма моментов каждой пары и направлена вдоль вектора , поэтому суммарный момент также будет совпадать по направления с , и модуль вектора равен его проекции на ось
. (5.1)
Величина , равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно этой оси:
. (5.2)
Тогда выражение (5.1) принимает вид:
. (5.3)
Так как векторы и имеют одинаковые направления, в векторной форме
получаем:
(5.4)
Это выражение справедливо только для однородного тела, вращающегося вокруг оси симметрии. В общем случае оно не выполняется.
Для несимметричного или неоднородного тела момент импульса не совпадает по направлению с вектором . На рис.5.6 пунктиром выделена та часть несимметричного однородного тела, которая симметрична относительно оси вращения. Суммарный момент импульса этой части направлен вдоль . Момент каждой частицы, не входящей в симметричную часть, отклонен от оси вращения ( вправо для ситуации, представленной на рис.5.6). Полный момент импульса всего тела будет отклонен в ту же сторону (рис.5.7). При вращении тела вектор поворачивается вместе с ним, описывая конус. За время вектор получает приращение . Если вектор не изменяется по величине, то вектор направлен за чертеж на рис.5.7, так же направлен и вектор . На этом рисунке момент внешних сил создается силами тяжести (сила приложена в центре масс тела С), бокового давления подшипников на ось и , а также давления бортика подшипника на фланец . Силы трения отсутствуют.
Момент импульса относительно оси вращения для любого тела равен
(5.5)
В отличие от (5.4) эта формула выполняется для любого тела. Тогда
. (5.6)
Подставив (5.5) в выражение (5.6), получаем
, (5.7)
где - проекция углового ускорения на ось . Уравнение (5.7) аналогично второму закону Ньютона . Роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения - угловое ускорение, роль суммарной силы - суммарный момент внешних сил. Поэтому (5.7) описывает динамику тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и называется основным уравнением динамики вращающегося тела.
В случае вращения однородного симметричного тела силы бокового давления на подшипники не возникают (рис.5.8). В этом случае при отсутствии силы тяжести ось сохраняет свое положение в пространстве. Ось, положение которой в пространстве остается неизменным при вращении вокруг не тела в отсутствие внешних сил, называется свободной осью тела.
Для тела любой формы с произвольным распределением массы существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс тела оси, которые являются свободными осями. Они называются главными осями инерции тела.
У однородного параллелепипеда (рис.5.9) главными осями инерции являются оси , проходящие через центры противоположных граней.
У тела, обладающего осевой симметрией, например, у цилиндра (рис.5.10) одной из главных осей является ось симметрии, две другие – любые две взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии и проходящие через центр масс тела. Таким образом, у тела с осевой симметрией фиксирована только одна из главных осей инерции.
У тела с центральной симметрией (шар) главными осями инерции являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, т.е. ни одна из главных осей не фиксирована.
Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела. В общем случае эти моменты различны: . Для тела с осевой симметрией два главных момента одинаковы, а третий от них отличен, . Такие тела называются симметричными волчками. У тел с центральной симметрией все три главных момента инерции одинаковы, эти тела называют шаровыми волчками.
Важной особенностью главных осей является то, что при вращении тела вокруг любой из них его момент импульса совпадает по направлению с угловой скоростью и определяет ся как , где - момент инерции тела относительно данной главной оси (Заметим, что последнее соотношение справедливо и относительно осей, параллель ных главным осям тела и не проходящих через его центр масс). Причем не зависит от выбора точки, относительно кото рой его определяют (здесь предполагается, что ось вращения неподвижна).
Если твердое тело привести во вращение и затем предоставить самому себе, то направление оси вращения в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ей необходимо приложить определенные силы. Рассмотрим этот вопрос более подробно на следующем примере. Пусть середина С однородного стержня жестко скреплена с осью вращения так, что угол между стержнем и осью равен (рис. 5. 11). Найдем момент внешних сил, которые необходимо приложить к оси вращения, чтобы при вращении стержня с угловой скоростью ее направление не менялось. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, . Таким образом, чтобы определить , сначала надо найти момент импульса стержня , а затем его производную по времени. Момент импульса проще всего определить относительно точки С. Мысленно выделим элемент стержня массы , находящейся на расстоянии r от точки С. Его момент импульса относительно этой точки , где - скорость элемента. Легко видеть, что вектор направлен перпендикулярно стержню (рис. 5.11), причем его направление не зависит от выбора элемента . Поэтому суммарный момент импульса стержня совпадает по направлению с вектором . Заметим, что в данном случае вектор не совпадает по направлению с вектором ! При вращении стержня вектор будет также вращаться с угловой скоростью . За промежуток времени вектор получает приращение , модуль которого, как видно из (рис. 5.11) равен , или в векторной форме .
Поделив обе части последне го выражения на , получим .
Таким образом, действительно, для удержания оси враще ния в неизменном направлении к ней необходимо в данном слу чае приложить момент некоторых внешних сил (они пока заны на рис. 5.11). Однако нетрудно видеть, что если , то вектор совпадает по направлению с вектором , и в этом слу чае , т. е. направление оси вращения будет оставаться не изменным без внешнего воздействия.
Наиболее просто убедиться в справедливости можно для случая однородного тела с осевой симметрией. Действите льно, момент импульса твердого тела относите льно оси вращения ( - это проек ция вектора , определенного относительно любой точки на этой оси). Но если тело симметрично относительно оси враще ния, то из соображения симметрии сразу следует, что векторсовпадает по направлению с вектором и, значит, .
В общем случае (ось вращения не сов падает ни с одной из главных осей, хотя и проходит через центр масс тела) направление вектора не совпадает с векто ром , и связь между этими векторами носит сложный харак тер. Это обстоятельство является причиной сложного поведе ния вращающихся твердых тел.
5.4. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
Согласно формуле (5.2), момент инерции тела – аддитивная величина ,
момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частиц.
Важно отметить, что момент инерции существует безотносительно к вращению. Каждое тело, независимо от того, вращается оно или нет, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси. Из выражения (5.7) следует, что один и тот же момент силы вызывает большее угловое ускорение у того тела, у которого момент инерции меньше. Таким образом, момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Эту формулу можно представить в виде , где - плотность -той частицы, - ее объем. Если тело однородно, его плотность постоянна, и суммирование по всем частицам сводится к интегралу: Интегрирование производится по всему объему тела. Величины и зависят от местоположения частицы, т.е. являются функциями ее координат.
Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 5.12).
Разобьем диск на кольцевые слои толщиной и рассмотрим один такой слой. Все его точки находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, равном . Объем слоя равен , где - толщина диска. Диск однородный, его плотность одинакова во всех точках, тогда момент инерции диска равен
где - радиус диска. Очевидно, масса диска равна , тогда получаем .
Определение момента инерции тела относительно произвольной оси существенно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями .
Для доказательства этой теоремы рассмотрим ось С (рис.5.13), проходящую через центр масс тела, и параллельную ей ось О, отстоящую от точки С на расстояние . Из точки на оси О к оси С проведем вектор,перпендикулярный к обеим осям. Из конца вектора проведем вектор , перпендикулярный к оси С в точку с элементарной массой . Аналогичный вектор проведем из начала вектора к той же элементарной массе. Из рисунка видно, что Квадрат расстояния от оси С до выбранной частицы равен , а от оси О Тогда момент инерции относительно оси О
В этом выражении - момент инерции тела относительно оси С, - масса тела, , где - вектор, проведенный от оси С к центру масс тела, =0, так как центр масс лежит на оси С, поэтому второе слагаемое равно нулю. Тогда получаем
что и требовалось доказать.
В случае произвольного твердого тела связь между векторами и более сложная, чем рассмотренная выше. Однако модули этих векторов всегда остаются пропорциональны друг другу, следовательно, каждая компонента вектора будет линейно зависеть от компонент вектора :
Здесь и т.д. – коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность момента инерции. При увеличении в некоторое число раз в такое же число раз увеличится каждая из компонент ,, и каждая из компонент , а значит, и сам вектор . Взаимная ориентация векторов и определяется значениями коэффициентов пропорциональности. Все сказанное означает, что эти коэффициенты являются компонентами тензора второго ранга, который называется тензором инерции
5.5. ГИРОСКОПЫ
Гироскопом называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии. Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка. Опыт показывает, что если ось вращающегося волчка наклоне на к вертикали, то волчок не падает, а совершает так называе мое прецессионное движение (прецессию) — его ось описывает конус вокруг вертикали с некоторой угловой скоростью , причем оказывается: чем больше угловая скорость и вращения волчка, тем меньше угловая скорость прецессии .
Такое поведение волчка-гироскопа можно легко объяснить с помощью уравнения моментов (5.6), если только принять, что >> (это условие, кстати, поясняет, что имеется в виду под бо льшой угловой скоростью гироскопа). Действительно, момент импульса прецессирующего волчка относительно точки опо ры О (рис. 5.14) можно представить в виде суммы момента им пульса , обусловленного вращением волчка вокруг своей оси, и некоторого добавочного момента импульса , вызванно го прецессией волчка вокруг вертикальной оси, т. е. .
Поскольку ось волчка совпадает с одной из его главных осей, то , где - момент инерции вол чка относительно этой оси. Кроме того, ясно, что чем меньше угловая скорость прецессии, тем меньше и соответствующий момент . При >> во всех практически интересных случаях , поэтому результирующий момент импульса почти совпадает с как по модулю, так и по направлению, и мож но считать, что
Зная поведение вектора , мы найдем и характер движения оси волчка-гироскопа.
Поведением вектора управляет уравнение моментов . Согласно ему, момент импульса относительно точки О (рис. 5.14) получает за время приращение ,
совпадающее по направлению с вектором — моментом внешних сил относительно той же точки О (в данном случае это мо мент силы тяжести m). Из рис. 5.14 вид но, что . В результате вектор (а следовательно, и ось волчка) будет пово рачиваться вместе с вектором вокруг вертикали, описывая круговой конус с уг лом полураствора . Волчок-гироскоп бу дет прецессировать вокруг вертикальной оси с некоторой угловой скоростью .
Найдем связь между векторами , и . Согласно рисун ку, модуль приращения вектора за время есть , или в векторном виде . Разделив на , получаем
Из этого уравнения видно, что момент силы определяет угловую скорость прецессии (а не ускорение!). Поэтому мгновенное устранение момента приводит к мгновенному ис чезновению и прецессии. В этом отношении можно сказать, что прецессия не обладает инерцией.
Заметим, что момент сил , действующий на гироскоп, мо жет иметь любую природу. Для обеспечения регулярной пре цессии (постоянной угловой скорости ) важно только, чтобы вектор , не меняясь по модулю, поворачивался вместе с осью гироскопа.
Пример. Найдем угловую скорость прецессии наклонного волчка мас сы т, вращающегося с большой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, относительно которой момент инерции волчка равен . Центр масс волчка находится на расстоянии I от точки опоры.
Очевидно, , где — угол между вертикалью и осью волчка (рис. 5.14). Отсюда
.
Интересно, что величина не зависит от угла наклона оси волчка. Кроме того, полученный результат показывает, что обратно пропорциональна , т. е., действительно, чем больше угловая скорость волчка, тем меньше угловая скорость его прецессии.
Рассмотрим эффект, возникающий при вынуж денном вращении оси гироскопа. Пусть, например, ось гироскопа укреплена в U-образной подставке, которую мы бу дем поворачивать вокруг оси ОО' (рис. 5.15). Если момент импульса гироско па направлен вправо, то при таком пово роте за время вектор получит приращение - вектор, направленный за плоскость рисунка. Это озна чает, что на гироскоп действует момент сил , совпадающий по направлению с вектором . Момент обусловлен возникнове нием пары сил , действующих на ось гироскопа со стороны подставки. Ось же гироскопа в соответствии с третьим законом Ньютона будет действовать на подставку с силами ' (рис. 5.15), Эти силы называют гироскопическими; они создают гироскопи ческий момент ' . Заметим, что в данном случае гиро скоп не обладает способностью противодействовать изменению направления его оси вращения.
Появление гироскопических сил называют гироскопическим эффектом. Подобный гироскопический эффект, связанный, с возникновением гироскопического давления на подшипники, наблюдается, например, у роторов турбин на кораблях при по воротах и качке, у винтовых самолетов при виражах и т. п.
Проследим действие гироско пического момента на примере ги роскопа, ось которого вместе с рамкой (рис. 5.16) может свобод но поворачиваться вокруг гори зонтальной оси ОО' U-образной подставки. Если подставке сооб щить вынужденное вращение во круг вертикальной оси, как пока зано на рисунке вектором , то момент импульса гироскопа по лучит за время приращение — вектор, направленный за рисунок. Это приращение обу словлено моментом пары сил, действующих на ось гироско па стороны рамки. Гироскопические силы, действующие со стороны оси гироскопа на рамку, вызовут поворот последней вокруг горизонтальной оси ОО'. При этом вектор получит дополнительное приращение , которое, в свою очередь, обусловлено моментом пары сил, действующих на ось гиро скопа со стороны рамки. В результате ось гироскопа будет по ворачиваться так, что вектор будет стремиться совпасть по направлению с вектором .
Таким образом, за промежуток времени момент импульса гироскопа получает приращение . При этом на рамку действует гироскопический момент . Составляющая этого момента вызывает поворот рамки вокруг горизонтальной оси ОО', другая составляющая противодействует повороту всей системы вокруг вертикальной оси (в отличие от предыдущего случая).
Гироскопический эффект лежит в основе разнообразных применений гироскопов: гирокомпас, гироскопический успоко итель качки корабля, гироскопический стабилизатор и др.
5.6. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рассмотрим вращение тела вокруг неподвижной оси (рис.5.17). Линейная скорость элементарной массы равна , где - расстояние массы до оси . Кинетическая энергия этой элементарной массы
Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех его частиц
Сумма в правой части этого равенства есть момент инерции тела относительно оси . Тогда
Если на массу действуют внутренняя сила и внешняя сила (рис.5.13), то работа этих сил за время равна
Преобразовав, получаем
(5.8)
Очевидно, - момент внутренней силы относительно точки О, - момент внешней силы. Просуммировав равенство (5.8) по всем элементарным массам, получим работу, совершенную над телом за время :
Сумма моментов всех внутренних сил равна нулю, тогда работа
Знак работы зависит от знака , т.е. от знака проекции вектора момента силы на ось вращения.
Эта работа идет на приращение кинетической энергии, поэтому
.
5.7. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ
Плоское движение может быть представлено как наложение двух движений – поступательного со скоростью центра масс и вращательного вокруг некоторой оси с угловой скоростью . Скорость -той элементарной массы равна
,
где - радиус-вектор элементарной массы, проведенный из оси вращения. Кинетическая энергия -той массы равна
. (5.8)
Ясно, что , где - расстояние от массы до оси вращения, тогда
и . Просуммировав выражение (5.8) по всем точкам, имеем
.
Здесь - радиус-вектор центра масс, проведенный из оси вращения, - момент инерции тела. Тогда
.
Если ось вращения проходит через центр масс, и
, (5.9)
где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.
5.8. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Тело может оставаться в состоянии покоя в том случае, когда нет причин, приводящий к возникновения поступательного движения или вращения. Для этого необходимо выполнение двух условий:
, (5.10)
. (5.11)
Практически оказывается достаточным, чтобы условие (5.11) выполнялось для трез любых неподвижных осей, не лежащих в одной плоскости. Тогда оно будет выполняться для любой оси.
Соотношения (5.10) и (5.11) являются условиями равновесия твердого тела.