Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопросы к коллоквиуму по дисциплине «Дифференциальные и разностные уравнения»
10 декабря 2013 года.
1. Решение уравнения . Построение интегральных кривых. На примере данного уравнения определить понятие общего решения, частного решения, интегральной кривой, области определения уравнения, особых точек уравнения. Задать любые начальные условия (отличные от ), получить частное решение и отметить на картинке интегральную кривую, соответствующую заданному начальному условию.
2. Ввести понятие обыкновенного дифференциального уравнения n-ого порядка; второго порядка; первого порядка. Ввести понятие уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной. Для последнего уравнения сказать, что такое его область определения, общее решение, интегральная кривая; сформулировать, что такое задача Коши, и определить понятие частного решения. Записать уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной, в дифференциальной форме.
3. Уравнение с разделяющимися переменными – записать общий вид, разделить переменные и записать общее решение в виде интегралов с переменным верхним пределом. Однородные уравнения – определение, замена, сводящая к уравнению с разделяющимися переменными. Записать и решить любое однородное уравнение.
4. Линейное уравнение первого порядка. Определить, описать метод вариации произвольной постоянной и решить этим методом любое конкретное линейное уравнение.
5. Уравнение Бернулли – определить, описать метод Бернулли и решить любое уравнение Бернулли этим методом.
6. Уравнения второго порядка, сводящиеся к уравнению первого порядка – описать два типа таких уравнений (не содержащее неизвестную функцию и не содержащее независимую переменную), описать методы сведения таких уравнений к уравнению первого порядка и решить любые два уравнения, соответствующие каждому из этих типов.
7. Общий вид произвольного уравнения произвольного порядка. Сколько произвольных постоянных будет содержать общее решение такого уравнения и почему? Линейное уравнение n-ого порядка: неоднородное и однородное. Структура общего решения однородного уравнения. Структура общего решения неоднородного уравнения.
8. Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, откуда оно получается. Поиск линейно независимых решений в случае действительных различных корней характеристического уравнения; в случае кратных корней характеристического уравнения. Обобщение на случай линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами произвольного порядка.
9. Поиск линейно независимых решений линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения. Суметь перейти к системе двух линейных уравнений и обосновать свои действия соответствующим материалом прошлого семестра. Обобщение на случай линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами произвольного порядка.
10. Метод вариации произвольной постоянной для линейного неоднородного уравнения второго порядка на примере любого конкретного уравнения – найти общее решение однородного уравнения, записать систему для определения , найти их и, проинтегрировав, найти общее решение исходного уравнения.
11. Поиск частного решения линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью порядка более, чем первый, методом неопределённых коэффициентов – случай, когда справа записано произведение многочлена на экспоненту. Рассмотреть случаи несовпадения коэффициента у переменной показательной функции ни с одним из корней характеристического уравнения и случай совпадения с одним из них; с двумя из них. Решить конкретные примеры.
12. Поиск частного решения линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью порядка более, чем первый, методом неопределённых коэффициентов – случай, когда справа записано произведение многочлена на тригонометрическую функцию. Рассмотреть случаи несовпадения коэффициента у переменной тригонометрической функции ни с одним из корней характеристического уравнения. Решить конкретный пример. При каких корнях характеристического уравнения описанная Вами схема поиска частного решения неоднородного уравнения не работает? В каком виде тогда ищется частное решение неоднородного уравнения? Предъявить конкретный пример и решить его.
13. Вопрос на самостоятельное изучение – как искать частное решение линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью порядка более, чем первый, методом неопределённых коэффициентов, в случае, когда справа в уравнении записано произведение многочлена на произведение экспоненциальной и тригонометрической функций? Описать все качественно различные случаи.
14. Уравнения в конечных разностях и их преобразование в разностные уравнения. Решение простейшего разностного уравнения типа .
15. Линейные разностные уравнения: однородные и неоднородные. Структура общего решения однородного уравнения; структура общего решения неоднородного уравнения. Решить какое-нибудь конкретное.
16. Поиск линейно независимых решений линейного однородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Провести аналогию с линейными дифференциальными уравнениями. Решить конкретный пример.
17. Метод неопределённых коэффициентов поиска решения неоднородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Провести аналогию с линейными дифференциальными уравнениями. Решить конкретный пример.