Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Формулы сокращенного умножения. Выделение полного квадрата.
Формулы для квадратов
Формулы для кубов
Формулы для четвёртой степени
Формулы для n-ой степени
,
Некоторые свойства формул
2. Бином Ньютона, треугольник Паскаля.
Бином Ньютона — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной
степени суммы двух переменных, имеющая вид
,
где — биномиальные коэффициенты, — неотрицательное целое число.
3. Теорема существования точной верхней грани.
Если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань.
M - ограничено сверху, если существует число K, такое что для любого X принадлежащего M, верхняя грань K>=X.
M - ограничено снизу, если существует число K, такое что для любого X принадлежащего M, нижняя грань K<=X.
M - ограниченная сверху и снизу, то она ограниченная.
Sup M (супремум) - такая верхняя грань. Самая маленькая среди верхних граней.
Inf M (инфинум) - Самая большая среди нижних граней.
4. Комплексные числа, их изображение на плоскости. Различные формы записи комплексного числа.
Комплексное число - любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица. i^2= -1
Геометрическое представление комплексного числа. Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части
- алгебраическая форма. ,
- тригонометрическая форма.
- показательная форма.
Сопряженное число - если комплексное число , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к (обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси.
Геометрическое представление сопряжённых чисел
Модуль комплексного числа обозначается и определяется выражением r= | a+b·i |=
|
Sqrt(a2+b2) |
Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу , называется аргументом числа и обозначается . Из этого определения следует, что ; ; .
5. Формула Эйлера. Корни из единицы
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство: ,
где e — основание натурального логарифма, i — мнимая единица.
Теорема Безу.
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен . Если многочлен разделить на двучлен x - a, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при x = a, т. е. R = Pn(a).
8. Последовательность. Понятие бесконечно малой последовательности и бесконечно большой последовательности, их связь и операции над ними
Последовательность — это набор элементов некоторого множества:
для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.
Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.
Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.
Свойства бесконечно малых последовательностей
Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
Если— бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно малой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно малой.
Если — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность , которая является бесконечно большой. Если же всё же содержит нулевые элементы, то последовательность всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера , и всё равно будет бесконечно большой.
9. Предел последовательности. Эквивалентность двух определений.
1. Определение: Число A называется пределом последовательности xn, если
U(A) N: n > N xn U(A).
Число A называется пределом xn, если X->N Lim(X)=A
2. Определение
> 0 N: n > N |xn-A |<
(вместо слова "для любого")
(вместо слова "найдется").
Предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.
10. Арифметические операции над последовательностями
Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .
Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .
Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .
Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .
11. Монотонные последовательности, условия сходимости. Теорема Вейерштрасса.
|
Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий. Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например, последовательность сходится к числу ноль, но не является монотонной. Замечание 3. Если последовательность неубывающая сходящаяся и - ее предел, то для всех номеров n выполняется неравенство . Аналогично, если невозрастающая сходящаяся последовательность и – ее предел, то для всех номеров n справедливо . |
12. Определение подпоследовательности. Понятие предельной точки.
Подпоследовательностью называется числовая последовательность, которая составлена из членов последовательности и в которой порядок следования её элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности .
Если то - частичный предел последовательности
Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.
13. Теорема Больцано-Вейершрасса об ограниченной последовательности
Из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность
Пусть предложена последовательность точек пространства :
и пусть эта последовательность ограничена, то есть
где — некоторое число.
Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность
которая сходится к некоторой точке пространства .
Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности.
14. Теоремы сравнения. Теорема о двух милиционерах
Если функция такая, что для всех в некоторой окрестности точки , причем функции и имеют одинаковый предел при , то существует предел функции при , равный этому же значению, то есть
Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают .
Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно .
Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.
Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .
15. Понятие числа e
e — математическая константа, основание натурального логарифма, называют числом Эйлера
16. Предел функции. Различные определения и их эквивалентность.
Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Предел функции по Коши
Значение называется пределом функции в точке , если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в .
Предел функции по Гейне
Пусть числовая функция задана на множестве , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка . В этом случае число называется пределом функции на бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности точек соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .
Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны. Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.
17. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Арифметические операции над пределами
Если
limx af(x) = A,limx ag(x) = B, то
limx a[f(x) g(x)]=A B,
limx af(x)g(x) = AB
limx af(x)/g(x) = A/B, B 0
19. Пределы слева и справа
Односторонний предел— предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).
Односторонний предел по Гейне
Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
Односторонний предел по Коши
Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .
Правосторонний предел принято обозначать любым из нижеследующих способов:
Аналогичным образом для левосторонних пределов приняты обозначения:
При этом используются также сокращённые обозначения:
и для правого предела;
и для левого предела.
Основные свойства односторонних пределов идентичны свойствам обычных пределов и являются частными случаями свойств пределов вдоль фильтра.
Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой./
20. Первый замечательный предел.
limx- 0(sin x)/x = 1
21. Второй замечательный предел.
e = limx – бесконечности (1+1/x)x
22. Непрерывность функции в точке.
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если
U(f(a)) U(a) (f(U(a)) U(f(a))).
23. Непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций
Пусть . Тогда, по теореме о пределе произведения:
.
Теорема:
Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .
Доказательство:
Т.к. - непрерывна, то , т.е. при имеем . Поэтом (т.к. - непрерывна) имеем: .
24. Точки разрыва и их классификация
Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если — значение функции в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .
Устранимые точки разрыва
Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:
тогда точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе — устранимая особая точка).
Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:
если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.
1 род: скачок, устранимый. 2 род: все остальные.
25. Локальная теорема об ограниченности непрерывной функции.
Если функция f(x) определена (следовательно, принимает конечное значение) для всех значений X в некотором конечном промежутке, то это не влечет за собой с необходимостью ограниченности функции, т.е. ограниченности множества {f(x)} принимает ею значения. Например, пусть f(x) определена так:
f(x)=1/x, если 0<x<=1 и f(0)=0
функция эта принимает только конечные значения, но она не ограничена, ибо при приближении x к нулю может принимать сколь угодно большие значения.
26. Локальная теорема о сохранении знака непрерывной функции
Если функция в данной точке существует, конечный предел отличается от 0, то в некоторой проколотой окрестности этой точки функция имеет тот же знак, что и в указанном пределе (в частности, она не равна 0).
27. Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на сегменте функции.
Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем.
Замечание 1
Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции.
c=infx∈[a;b]f(x),d=supx∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении
функции своих граней.
Замечание 2
Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)), но функция не ограничена на этом интервале.
28. Вторая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на сегменте функции sup и inf.
Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения).
Следствие
Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок.
29. Теорема Коши о промежуточном значении непрерывной на сегменте функции.
Утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.
Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что.
Следствия
(Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция на концах отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть и Тогда такое, что
В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.
30. Производная. Геометрический смысл. Физический смысл.
Производная (функции в точке) — понятие, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной —интегрирование.
Определение Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.
Определение производной функции через предел
Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,
Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :
Физический смысл производной.
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:
31. Дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.
При этом Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx,
где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.
для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции.Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в точке частные производные по каждой переменной и .
При этом ,, где и – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде
а полный дифференциал функции – в виде
Обратная теорема не верна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.
32. Дифференцируемость и непрерывность функции. Взаимосвязь
Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция f непрерывна на (a, b).
Из теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой.
Однако из непрерывности функции на интервале (a, b) не следует дифферецируемость функции в каждой точке интервала (a, b). Например, функция непрерывна на всей числовой прямой, но эта функция недифференцируема при x = 0. В самом деле, предел (1) не зависит от знака приращения аргумента Δx. Для функции же имеем, если x = 0придать приращение Δx > 0, то Δy = Δx, а если Δx < 0, то Δy = − Δx. Таким образом,
Следовательно, функция недифференцируема при x = 0.
33. Основные правила дифференцирования
7) Если , то есть , где и имеют производные, то (правило дифференцирования сложной функции).
34. Производная обратной функции.
Пусть - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.
Теорема (о дифференцировании обратной функции)
Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е
|
невозможно получить зависимость y(x) в явном виде. Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по отношению к x, предполагая, Решить полученное уравнение относительно производной y'(x). Рассмотрим для иллюстрации несколько примеров. |
Продифференцировать функцию y(x), заданную уравнением .
Решение.
Продифференцируем обе части уравнения по переменной x:
что приводит к результату
Пример 2
Дано уравнение окружности x 2 + y 2 = r 2 с центром в начале координат и радиусом r.
Найти производную y'(x).
Решение.
Продифференцируем по x обе части уравнения:
В данном случае мы можем получить и явное выражение для производной. Например, для верхней полуокружности, зависимость y(x) имеет явный вид . Отсюда находим, что производная равна
38. Производная параметрически заданной функции
Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно:, .
Переменная называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку , и эта точка будет соответствовать значению параметра . Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для параметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д.
В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: – и подставим его во второе уравнение: . В результате получена обыкновенная кубическая функция.
В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:
Находим производную от «игрека по переменной тэ»:
Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».
Находим производную от «икса по переменной тэ»:
Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:
Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра .
Что касается обозначений, то в формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного
индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому я не буду отклоняться от стандарта.
39. Производная степенно-показательной функции.
Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно-показательная функция – это функция, у которой и степень и основание зависят от «икс». Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции:
Как найти производную от степенно-показательной функции?
Необходимо использовать только что рассмотренный приём – логарифмическую производную. Навешиваем логарифмы на обе части:
Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:
В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле .
Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:
Дальнейшие действия несложны:
Окончательно:
40. Производные и дифференциалы высших порядков.
Производные высших порядков
Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем
Если функция дифференцируема в , то производная первого порядка определяется соотношением
Пусть теперь производная -го порядка определена в некоторой окрестности точки и дифференцируема. Тогда
Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).
или
или
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,
ИЛИ
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,
f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то
dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формула
dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
41. Экстремум функции. Теорема Ферма.
Функция y=f ( x ) называется возрастающей ( убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ) ( f (x 1 ) > f (x 2)).
Если дифференцируемая функция y = f ( x ) на отрезке [ a , b ] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢ ( x ) > 0 ( f ¢ ( x ) < 0).
Точка x о называется точкой локального максимума ( минимума ) функции f ( x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f ( x ) £ f ( x о ) ( f ( x ) ³ f ( x о )).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Теорема Ферма об экстремумах функции.
Согласно этой теореме если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0 и достигает в ней экстремума (минимума или максимума), то производная функции в этой точке равна нулю, т. е.
y' = f '(x0) = 0.
Геометрически это означает, что если функция дифференцирема в точке x0 и достигает в ней экстремума, то касательная к графику этой функции в точке x0 будет параллельна оси абсцисс (ось Ox). Данное утрверждение проиллюстрировано на рисунке №4.
В теореме Ферма речь идёт о функции, дифференцируемой в точке экстремума. Но, как мы видели в предыдущем разделе, экстремум может быть достигнут непрерывной функцией в точке, в которой она не имеет производной. Поэтому, расширяя теорему Ферма, сформулируем необходимое условие экстремума функции.
42. Теорема Ролля.
Если вещественная функция, непрерывная на отрезке [a;b] и дифференцируемая на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Геометрический смысл
Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.
43. Теорема Лагранжа
Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности.
Следствия
Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы H в G одинаково и называется индексом подгруппы H в G (обозначается [G:H]).
Порядок любой подгруппы конечной группы G делит порядок G..
Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы G делит порядок G. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
Группа порядка p, где p — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок p, и значит, каждый из них порождает группу.)
44. Теорема Коши
Пусть даны две функции f(x) и g(x) такие, что:
f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a,b];
производные f'(x) и g'(x) конечны на интервале (a,b);
производные f'(x) и g'(x) не обращаются в нуль одновременно на интервале (a,b)
;
тогда существует , для которой верно:
.
(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале (a,b).)
Геометрически это можно переформулировать так: если f и g задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр t), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами a и b, найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от (f(a);g(a)) до f(b);g(b)).
Доказательство
Для доказательства введём функцию
Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка C, в которой производная функции F равна нулю, а равна как раз необходимому числу.
45. Правило Лопиталя
Метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных. Точная формулировка
Условия:
или ;
f(x) и g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;
в проколотой окрестности a;
существует ,
тогда существует .
Пределы также могут быть односторонними.
Пример:
46. Формула Тейлора для многочлена
Если f есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:
У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны нулю.
Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции вокрестности некоторой точки.
Теорема:
Пусть функция f(x) имеет n+1 производную в некоторой окрестности точки a,
Пусть
Пусть p — произвольное положительное число,
тогда: точка при или при
47. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Пусть для функции Rn(x) существуют все производные вплоть до n-го порядка и выполняются условия . Тогда при эта функция является бесконечно малой выше n-го порядка по сравнению с х- х0.
Док-во проведём по методу математической индукции. Если n = 1 и L(x0) = L'(x0) = 0, то, по теор.6.2 о приращении дифференцируемой функции DL = L(x) - L(x0) = L(x) = L'(x0)Dx+ a(Dx)Dx =a(Dx)Dx= о(Dx)= о(x- x0) (a(Dx) - БМ при Dx®0). Пусть теперь утверждение леммы справедливо для n-1 (т.е. если , то
L(x)=о(x- x0)n-1), докажем, что оно верно и для n. Пусть для функции Rn(x) выполняются условия . Функция Rn'(x)=L(x) удовлетворяет утверждению леммы c n-1, поэтому R'n (x) = о(x- x0)n-1. Тогда по формуле конечных приращений Лагранжа (7.3) Rn(x) = Rn(x) - Rn(x0) = R'n(с)( x- x0), где с находится x между и x0, и так как
| с- x0 | <| x- x0 |, то R'n(с) = о(с- x0)n-1 = о(х- x0)n-1, поэтому Rn(x) = R'n(с)( x- x0) =
= о(х- x0)n-1( x- x0) = о(х- x0)n, что и требовалось доказать. Элементы системы массового обслуживания Формулировка задачи и характеристики СМО Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).
Таким образом, для остаточного члена мы получили оценку Rn(x) = о(х- x0)n. Так как , то окончательно
Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
48. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена.
Экспонента:
Натуральный логарифм
для всех
Биномиальное разложение: для всех и всех комплексных где
Квадратный корень:
для всех для всех
Конечный геометрический ряд: для всех
Тригонометрические функции:
Синус:
Косинус:
Тангенс: для всех где — Числа Бернулли
Секанс: для всех где — Числа Бернулли
Арксинус: для всех
Арктангенс: для всех
Гиперболические функции:
для всех для всех для всех
49. Условие монотонности функции.
Оказывается, монотонность функции связана с тем, каков знак ее производной:
•Если производная положительна, то функция возрастает
•Если производная отрицательна, то функция убывает
Это помогает исследовать монотонность: теперь вместо неравенства с двумя неизвестными х1 и х2 можно рассматривать неравенство с одной неизвестной x. К тому же часто бывает так, что производная функции сама по себе проще исходной функции.
50. Достаточные условия экстремума.
X0 – точка экстремума, f '(X0)=0.
Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии
является точкой строгого локального максимума. А если
то является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке
Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии
и
является точкой локального максимума. А если
и
то является точкой локального минимума.
Пусть функция дифференцируема раз в точке и , а .
Если чётно и , то - точка локального максимума. Если чётно и , то - точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.
51. Понятие выпуклых множеств и выпуклых функций
Множество в аффинном пространстве называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя точками соединяющий их отрезок.
Пусть — аффинное пространство (над полем вещественных чисел ).
Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка xy, соединяющего в пространстве A точки x и y. Этот отрезок можно представить как
Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.
Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента x, y и для любого числа выполняется неравенство Йенсена:
Если это неравенство является строгим для всех и , то функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.
NB! Иногда выпуклая функция определяется как вогнутая и наоборот.
52. Достаточные условия выпуклости дважды дифференцируемой функции
Если f(x) имеет вторую производную (>=0) на [a, b], то f – выпукла вниз на [a, b].
53. Точки перегиба графика функции.
Точка перегиба функции внутренняя точка области определения , такая что непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.
Неофициальное
В этом случае точка является точкой перегиба графика функции, то есть график функции в точке «перегибается» через касательную к нему в этой точке: при касательная лежит под графиком , а при — над графиком (или наоборот)
Условия существования
Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки , имеет в точку перегиба, то .
Достаточное условие существования точки перегиба: если функция в некоторой окрестности точки раз непрерывно дифференцируема, причем нечётно и , и при , а , то функция имеет в точку перегиба.
54. Асимптоты графика функции.
Асимптота — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность.
Виды асимптот графиков
Вертикальная
Вертикальная асимптота — прямая вида x=a при условии существования предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида y=kx+b при условии существования пределов
Пример наклонной асимптоты
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!
Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!
Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами
Если при вычислении предела , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?
Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при , и из выше указанных замечаний следует, что
Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну вертикальную асимптоту, или одну наклонную и одну вертикальную, или две наклонных, или две вертикальных, либо же вовсе не имеет асимптот.
Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.
55. Общая схема исследования функции и построения графика.
1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
3. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.
4. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
5. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
6. На основании проведенного исследования построить график функции.
56. Первообразная. Неопределенный интеграл; его основные свойства.
Первообразная
Первообразной функции f на промежутке I называется функция F,
такая, что
Неопределенный интеграл
где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.
Основные свойства
∫(f(x)dx)'=f(x), d∫f(x)dx=f(x)dx
∫F′(x)dx=F(x)+C, ∫dF(x)=F(x)+C
Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(ax+b)dx= F(ax+b)+C, a≠0
∫(af(x)+ßg(x))dx=a∫f(x)dx+ß∫g(x)dx, ≠0
57. Таблица интегралов. Простейшие приемы интегрирования (подведение под знак дифференциала)
Метод подведения под знак дифференциала основан на равенствеТо есть, главной задачей
является приведение подынтегральную функцию к виду
таблица интегралов
простейшие приемы интегрирования
58. Интегрирование по частям.
Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и vопределяется формулой
Проинтегрировав обе части этого выражения, получим
или, переставляя члены,
Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.
В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv - оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.
59. Замена переменной в неопределенном интеграле
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
а) , где – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае: ; б) , где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: .
60. Интегрирование рациональных дробей.
Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
-Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
-Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;
-Вычислить интегралы от простейших дробей.
61. Интегрирование функций, содержащих дробные иррациональности.
Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка .
Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.
Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки .
62. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции (универсальная тригонометрическая подстановка).
При интегрировании выражений вида∫R(cosx;sinx) dx обычно используютследующие подстановки:
а) если R(- cosx;sinx) = -R(cosx;sinx), то t = sinx;
б) если R(cos x; - sin x) = -R(cosx;sin x), то t = cos x;
в) если R(- cos x; - sin x) = R(cosx;sin x), то t = tg x
63. Подстановки Эйлера. (Интегрирование рационального выражения от корня из Подстановки Эйлера — приводящие интегралы вида , где — иррациональная функция, к интегралам от рациональных функций.
Первая подстановка
Используется тогда, когда a>0 . Производится замена:
Вторая подстановка
Используется тогда, когда с>0. Производится замена:
Третья подстановка
Используется тогда, когда подкоренное выражение имеет два действительных корня. Производится замена:
, где — один из корней.
64. Интегрирование дифференциального бинома. Теорема Чебышева
Интегрирование диф. бинома (теорема Чебышёва)
Интеграл ∫dx, где m,n,pєQ, можно привести к интегрированию рациональных функций в следующих случаях:
1)pєZ: замена x = , где N — общий знаменатель m и n;
2) є Z: замена a + b, где N — знаменатель p;
3) єZ: замена a+b=, где N — знаменатель p
65. Определенный интеграл. Понятие интегральной суммы.
Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками . Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произвольную точку , ,
Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть
Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.
— нижний предел.
— верхний предел.
— подынтегральная функция.
— длина частичного отрезка.
— интегральная сумма от функции на соответствующей разбиению .
— максимальная длина част. отрезка.
Интегральной суммой называется выражение .
66. Необходимое условие интегрируемости. (Ограниченность интегрируемой функции.)
Если функция интегрируема по Риману на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Замечание: условие ограниченности является необходимым условием интегрируемости функции по Риману на отрезке.
Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0
Это условие означает, для любого ε>0 существует δ(ε)>0, что для любого разбиения τ мелкости меньше, чем δ выполняется неравенство: ∣Sτ−sτ∣<ε Т.к. sτ≤Sτ, то из следует Sτ−sτ<ε.
67. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости.
Пусть на отрезке [a,b] определена вещественнозначная функция f. Рассмотрим разбиение
.
Введем обозначения
,
.
Наконец, рассмотрим суммы
– нижняя сумма Дарбу,
- верхняя сумма Дарбу.
;
Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения
Нижняя сумма Дарбу на некотором разбиении не превосходит нижней суммы Дарбу на измельчении этого разбиения. Аналогично верхняя сумма Дарбу на некотором разбиении не меньше верхней суммы Дарбу на измельчении этого разбиения.
,
означает, что есть измельчение разбиения ;
Каковы бы ни были два разбиения одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.
,
Следствие: нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние - снизу.
Пусть и – верхний и нижний интегралы Дарбу соответственно. Тогда
;
Пусть — интегральная сумма. Тогда
,
.
Интеграл Дарбу
Верхним интегралом Дарбу называют число
,
где — некоторое разбиение множества, а — его верхняя сумма Дарбу.
Соответственно нижним интегралом Дарбу называют:
,
где — нижняя сумма Дарбу.
68. Классы интегрируемых функций.
Если f(x) ограничена на [a, b] и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [a, b].
Если f(x) монотонна и ограничена на [a, b], то она интегрируема на [a, b].
69. Свойства определенного интеграла.
Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела. То есть
Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов
Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла
Если на отрезке [a,b], где a<b, функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию ,
то
Если m и M - наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и , то
Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак
7. Для любых трёх чисел справедливо равенство
если только все три интеграла существуют.
8 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдётся такая точка , что справедливо равенство:
70. Интегрирование четных и нечетных функций на симметричном интервале.
Пусть функция непрерывна на отрезке , симметричном относительно точки .
Если функция нечетная, то есть , то
.
Пусть функция четная на , то есть , тогда
.
71. Сравнение определенных интегралов.
Если - интегрируема на и , то:
Если - интегрируема на и , то:
Если - интегрируемы на и почти для всех , то:
Если - интегрируема на , то - также интегрируема на (обратное неверно), причём:
Если - интегрируемы на и , , то:
72. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Интегрирование по частям — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией) Интегрирование по частям в определенном интеграле
73. Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть функция φ (t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β], а = φ (α), b = φ (β) и функция f (x) непрерывна в каждой точке x = φ (t), где t Î [α, β]. Тогда справедливо равенство
.
Действительно, пусть F(x) и Ф(t) — некоторые первообразные для функций f ( x) и f (φ (t))·φ ' (t). Доказано, что F (φ (t)) также является первообразной для функции f (φ (t))·φ ' (t). Тогда найдется такое число С, что Ф(t) = F(φ (t)) + C, где t Î [ α, β]. Поэтому
Ф(β) - Ф(α) = F(φ (β)) + C - (F(φ (α)) + C) = F(b) - F(a).
Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к «табличному». При этом в отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t из уравнений φ (t) = a и φ (t) = b.
74. Теорема о среднем в интегральном исчислении.
если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b), то существует точка c, принадлежащая интервалу (a,b), такая, что f(b) − f(a) = (b − a)f'(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С.з.ф. является следующая: если f(x) непрерывна на отрезкеf(x), а сохраняет постоянный знак, то существует точка c из интервала (a,b) такая, что
В частности, если , то
Вследствие этого под С.з.ф. f(x) на отрезке [a,b] обычно понимают величину
Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.
75. Существование первообразной. Интеграл как функция верхнего предела.
До сих пор рассматривали свойства определенного интеграла, считая пределы интегрирования постоянными. Теперь же рассмотрим вопрос о том, как влияет изменение этих пределов на величину интеграла.
Пусть f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b]. Тогда она будет непрерывной и на всяком частичном промежутке [a, x], и можем рассмотреть интеграл
являющийся функцией аргумента x (как указывалось в конце предыдущего пункта, обозначение переменной интегрирования не существенно. Чтобы не путать эту переменную с пределом интегрирования, обозначаем ее через t).
76. Формула Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.
Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство
77. Физические приложения определенного интеграла (вычисление массы по плотности, работы).
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси под действием переменной силы направлен
ой параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения в положение находится по формуле
Давление жидкости на вертикальную пластинку
По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. ,
где g — ускорение свободного падения, — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h — глубина ее погружения. По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями , , и . Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).
1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р= р(х), т. е. р=р(х) — давление на часть пластины, соответствующее отрезку значений переменной
2. Дадим аргументу х приращение Функция р(х) получит приращение Δp (на рисунке — полоска-слой толщины dх). Найдем дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dх будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине х, т.е. пластинка эта — горизонтальная.
Тогда по закону Паскаля
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х=а до х=b, получим
78. Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление площади плоской области в декартовых и полярных координатах, объема тела по площади поперечного сечения, объема тела вращения, длины кривой).
Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой, , где .
Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.
Покажем, что если функция и ее производная непрерывна на отрезке , то кривая АВ имеет длину, равную
Применим схему I (метод сумм).
Точками разобьем отрезок на частей (рис. 2). Пусть этим точкам соответствуют точки на кривой AB. Проведем хорды , длины которых обозначим соответственно через
Получим ломанную длина которой равна
Длину хорды (или звена ломаной) можно найти по теореме Пифагора из трегольника с катетами Δ и Δ:
где , .
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции
поэтому
а длина всей ломанной равна
Длина кривой AB, по определению, равна
Заметим, что при также и и, следовательно, . Функция непрерывна на отрезке так как, по условию, непрерывна функция Следовательно, существует предел интегральной суммы (1), когда :
Таким образом,
Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме
,
Где и – непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина кривой АВ находится по формуле
Формула (3) может быть получена из формулы (2) подстановкой
,
Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.
Пусть требуется найти объем тела, причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси
Применим схему II (метод дифференциала).
Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси (рис. 3). Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью; считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении . Через обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости. Будем считать, что на отрезке величина есть функция от x, т. е.
Находим дифференциал функции Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках , который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием и высотой . Поэтому дифференциал объема .
Находим искомую величину путем интегрирования в пределах от
.
Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Объем тела вращения.
Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком и прямыми и (рис. 4). Полученная от вращения фигура называется телом вращения.
Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку оси , есть круг с радиусом . Следовательно,
Применяя формулу (4) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми, то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (5), равен
Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая АВ является графиком функции , где , а функция и ее производная непрерывны на этом отрезке.
Найдем площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси .
Применим схему II (метод дифференциала).
Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси . Плоскость пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом (рис. 5). Величина поверхности части фигуры вра
ения, лежащей левее плоскости, является функцией от , т.е
и
Дадим аргументу приращение . Через точку также проведем плоскость, перпендикулярную оси . Функция получит приращение . Найдем дифференциал площади , заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна , а радиусы оснований равны и . Площадь его боковой поверхности равна
Отбрасывая произведение как бесконечно малую высшего порядка, чем получаем , или, так как
, то
Интегрируя полученное равенство в пределах получаем
.
Если кривая AB задана параметрическими уравнениями то формула для площади поверхности вращения принимает вид
Вычисление площади плоской фигуры
Пусть функция непрерывна на сегменте Если на [a,b], то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, равна интегралу
Если же на то — на Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой
Если, наконец, кривая пересекает ось Ох, то сегмент надо разбить на части, в пределах которых не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соответствует.
определенный интеграл геометрический физический
79. Приближенное вычисление определенных интегралов (методы прямоугольников, трапеций, Симпсона) Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0.
Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по
Формуле левых прямоугольников:
Формуле правых прямоугольников:
Формуле прямоугольников (средних):
Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.
Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле
Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной
Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :
где , и — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).
80. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и от разрывных функций. (Несобственные интегралы первого и второго рода).
Пусть функция y = f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [а, t], т.е. функция
определена для произвольного значения t ≥ a. Несобственным интегралом (интегралом первого рода) от функции f(x) на полуинтервале [а, +∞) называется предел
Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае — расходящимся.
Пусть функция у = f (х) непрерывна для всех значений х [ а, b ), но при х = b претерпевает бесконечный разрыв. Обычное определение интеграла в этом случае теряет смысл.
Определение. Несобственным интегралом от функции f (х), непрерывной при а х < b и неограниченной при х b называется предел интеграла при a 0:
Если данный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует или бесконечен, то расходящимся.
81. Признаки сравнения для несобственных интегралов. Понятие об абсолютной сходимости несобственных интегралов.
Несобственный интеграл первого рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Свойства
из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла .
Пусть определена и интегрируема на , неограничена в левой окрестности точки . Несобственный интеграл второго рода называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Свойства
из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла .
Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
Если интеграл расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле