Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1)Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.
Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.
Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.
Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .
Равенство матриц.
A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Действия над матрицами.
1. Сложение матриц - поэлементная операция
2. Вычитание матриц - поэлементная операция
3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция
4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)
Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.
Покажем операцию умножения матриц на примере
5. Возведение в степень
m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц
6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A'
Строки и столбцы поменялись местами
Пример
Свойства опрераций над матрицами
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(A')'=A
(λA)'=λ(A)'
(A+B)'=A'+B'
(AB)'=B'A'
Виды матриц
1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа
2. Квадратные: m=n
3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором
4. Матрица столбец: n=1. Например
5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например
6. Единичная матрица: m=n и
7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.
Пример.
9. Симметрическая матрица: m=n и aij=aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A
Например,
10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем aii=-aii)
Пример.
Ясно, A'=-A
11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ãii (ãji - комплексно - сопряженное к aji, т.е. если A=3+2i, то комплексно - сопряженное Ã=3-2i)
Пример
Свойства операций над матрицами
Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.
Коммутативность сложения: A + B = B + A.
Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.
Вообще говоря, умножение матриц не коммутативно: A*B НЕ РАВНО B*A.
Дистрибутивность умножения относительно сложения:
A(B + C) = AB + AC;
(B + C)A = BA + CA.
Основные операции над матрицами и их свойства.
Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Перейдем к определению основных операции над матрицами.
Сложение матриц. Суммой двух матриц A = || aij|| , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) и В = || bij|| , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || cij|| (і =1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы сij которой определяются по формуле
, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.2)
Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:
Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:
1) переместительным свойством: А + В = В + А,
2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).
Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = || a ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) на вещественное число l, называется матрица С = || cij|| (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), элементы которой определяются по формуле: , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.3)
Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
1) сочетательным свойством относительно числового множителя: ( lm ) A = l ( mA );
2) распределительным свойством относительно суммы матриц: l (A + B) = lA + lB;
3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (l + m) A = lA + mA
Замечание.
Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В.
1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );
2) распределительное относительно суммы матриц свойство:
( A + B ) С = А С + В С или A ( В + С ) = A В + А С.
Вопрос о перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы A на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В одинакового порядка.
Приведем важные частные случаи матриц, для которых справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято називать коммутирующими
Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.
Транспонирование
Транспортированием называют операцию замены строк на столбцы с сохранением нумерации.Пример 1. Составить транспонированную матрицу, полученную из А:
А=(1 2 3)
0 1 2
Решение: Поменяем местами строки и столбцы, сохраняя порядок
1 0
А”= ( 2 1)
3 2
Cвойства нелинейных операций
Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:
.
Таблица ограничивается слева и справа вертикальными линиями, -называется элементами определителя ( -номер строки, -номер столбца).
Главная диагональ определителя содержит элементы , противоположная диагональ называется побочной.
Порядком определителя называется число строк (столбцов) квадратной таблицы.
Определитель II порядка вычисляется по формуле:
Определитель III порядка можно вычислить по правилу Сарруса:
Основные свойства определителей:
1.1. Значение определителя не изменится, если:
- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;
- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.
Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.
1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.
1.3. Определитель равен нулю, если:
- все элементы какой-либо строки равны нулю;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.
2. Алгебраическое дополнение и минор.
Элементарные преобразования.
Вычисление определителей n-го порядка (n >4)
Минором к элементу называется определитель, полученный из исходного, вычеркиванием -й строки и -го столбца.
Таким образом, порядок минора меньше порядка исходного определителя на единицу.
Алгебраическое дополнение – минор с соответствующим знаком, т.е.
.
Вычисление определителей n-го порядка выполняется по формуле:
т.е. определитель представляется в виде разложения по элементам -й строки.
Пример
Вычислить определитель IV порядка:
3) Рангом матрицы A называется наибольший из порядков миноров матрицы A , отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.
Алгоритм вычисления ранга матрицы:
Свойства ранга матрицы:
Пусть – матрица размеров . Минором матрицы порядка называется определитель,составленный из ее элементов, расположенных на пересечении любых строк и столбцовматрицы .
Как следует из данного определения, порядки миноров произвольной прямоугольной матрицы размеров удовлетворяют двойному неравенству вида:
. (3.64)
Пример 3.43. Матрица размеров 45:
в соответствии с (3.64) имеет миноры:
, , ..., ;
, , ..., ,
, , ... ,
порядков
3)Рангом матрицы называется число , равное наибольшему порядку отличных от нуля миноров матрицы .
Очевидно, что в соответствии с данным определением только нулевые матрицы имеют ранг равный нулю, а максимально возможное значение ранга,равное , имеют все невырожденные квадратные матрицы размеров , в частности, единичные матрицы .
Если рассматривать строки (столбцы) матрицы как векторы из векторных пространств соответствующей размерности, то имеет место
Утверждение 3.9. (теорема о ранге матрицы) Ранг матрицы равен наибольшему количеству ее линейно независимых строк (столбцов).
Именно поэтому понятие ранга матрицы играет основополагающую роль в исследовании различных свойств СЛАУ, в частности, таких фундаментальных, как их совместность и единственность решений.
Ранг матрицы обладает следующими свойствами.
. (3.65)
. (3.66)
Квадратные матрицы и называются подобными, если
, (3.67)
где – невырожденная матрица.
3.7.2.Вычисление ранга матрицы
По определению, ранг матрицы определяется значениями ее миноров, которые являются определителями. Поэтому именно свойства определителей задают так называемые преобразования матриц, которые, по определению, не изменяют их ранга. К таковым относятся:
Замечание. преобразования матриц обычно используются в процедурах вычисления их рангов, а также при проведении некоторых теоретических выкладок.
Утверждение 3.10. Если все миноры го порядка матрицы равны нулю, то и все ее миноры более высоких порядков также равны нулю.
Метод окаймляющих миноров
Окаймляющим минором для минора порядка матрицы называется любой ее минор порядка , который содержит данный минор .
Пример 3.45. Минор третьего порядка
матрицы
является окаймляющим для 4-х миноров второго порядка, а именно:
, , и
Утверждение 3.11. Если в матрице найден минор порядка , отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен.
Минор, обладающий указанным в утверждении 3.11 свойством, называется базисным минором.
4)Обратная матрица
Определение 14.8 Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .
Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).
Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .
Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.
Предложение 14.20 Если матрица имеет обратную, то и .
Доказательство. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то . По следствию 14.1 , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также .
Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
Определение 14.9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если .
Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.
Доказательство. Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда
и
Следовательно, .
Теорема 14.1 Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).
Замечание 14.12 Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй -- номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.
Пример 14.7 Найдите обратную матрицу для матрицы .
Решение. Находим определитель
Так как , то матрица -- невырожденная, и обратная для нее существует.
Находим алгебраические дополнения:
Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:
|
(14.15) |
Полученная матрица и служит ответом к задаче.
Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера
Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида
где x1, x2, …, xn – неизвестные переменные, ai j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b1, b2, …, bn - свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x1, x2, …, xn при которых все уравнения системы обращаются в тождества.
В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, - матрица – столбец свободных членов, а - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x1, x2, …, xn, матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .
Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений).
Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:
Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x1. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А1 1 , обе части второго уравнения – на А2 1 , и так далее, обе части n-ого уравнения – на Аn 1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А):
Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x1, x2, …, xn, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:
Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем
и предыдущее равенство примет вид
откуда
Аналогично находим x2. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А:
Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x1, x2, …, xn и применяем свойства определителя:
Откуда
.
Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.
Если обозначить
то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера .
Замечание.
Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть , то она имеет лишь тривиальное решение (при ). Действительно, при нулевых свободных членах все определители будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы дадут .
К началу страницы
Запишем алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
К началу страницы
Разберем решения нескольких примеров.
Пример.
Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера .
Решение.
Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель по формуле :
Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем.
Вычисляем эти определители:
Находим неизвестные переменные x1 и x2 по формулам :
Выполним проверку. Подставим полученные значения x1 и x2 в исходную систему уравнений:
Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
.
К началу страницы
Подведем итог.
Метод Крамера позволяет находить решение систем линейных алгебраических уравнений, если определитель основной матрицы отличен от нуля. По сути метод сводится к вычислению определителей матриц порядка n на n и применению соответствующих формул для нахождения неизвестных переменных.
6) Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка
Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.
Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.
Теорема условия существования обратной матрицы
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица А = (А1, А2,...Аn) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.
Пример 1
Для матрицы А найти обратную матрицу А-1
Матричные уравнения могут иметь вид:
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.
Тогда:
Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.
Аналогично решаются другие уравнения.
Пример 2
Решить уравнение АХ = В, если
Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)
Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x2из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная xn. Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяxn, с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется xn-1, и так далее, из первого уравнения находится x1. Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса.
Прежде чем находить решение системы линейных уравнений необходимо установить ее совместность. Ответ на вопрос когда СЛАУ совместна, а когда несовместна, дает теорема Кронекера – Капелли:
для того, чтобы система из p уравнений с n неизвестными (p может быть равно n) была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть, Rank(A)=Rank(T).
Рассмотрим на примере применение теоремы Кронекера – Капелли для определения совместности системы линейных уравнений.
Пример.
Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения.
Решение.
Найдем ранг основной матрицы системы . Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Минор второго порядка отличен от нуля. Переберем окаймляющие его миноры третьего порядка:
Так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг основной матрицы равен двум.
В свою очередь ранг расширенной матрицы равен трем, так как минор третьего порядка
отличен от нуля.
Таким образом, Rang(A) < Rang(T), следовательно, по теореме Кронекера – Капелли можно сделать вывод, что исходная система линейных уравнений несовместна.
Ответ:
система решений не имеет.
Итак, мы научились устанавливать несовместность системы с помощью теоремы Кронекера – Капелли.
А как же находить решение СЛАУ, если установлена ее совместность?
Для этого нам потребуется понятие базисного минора матрицы и теорема о ранге матрицы.
Минор наивысшего порядка матрицы А, отличный от нуля, называется базисным.
Из определения базисного минора следует, что его порядок равен рангу матрицы. Для ненулевой матрицы А базисных миноров может быть несколько, один базисный минор есть всегда.
Для примера рассмотрим матрицу .
Все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, так как элементы третьей строки этой матрицы представляют собой сумму соответствующих элементов первой и второй строк.
Базисными являются следующие миноры второго порядка, так как они отличны от нуля
Миноры базисными не являются, так как равны нулю.
8) Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:
Матричный вид однородной системы: Ax=0.
Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:
x1=0 , x2=0 , ..., xn=0.
Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.
Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.
ПРИМЕР 1. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей.
Применив к матрице системы алгоритм гауссова исключения, приведем матрицу системы к ступенчатому виду
.
Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы,обозначаем
r=rg(A) или r=Rg(A).
Справедливо следующее утверждение.
Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.
ПРИМЕР 2. Нетривиальная совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизестными.
Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.
Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений.
Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называетсяфундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы
e1 , e2 , ..., en-r образуют ее фундаментальную систему решений (Aei =0, i=1,2, ..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде
x=c1 e1 + c2 e2 + ... + cn-r en-r ,
где c1 , c2 , ..., cn-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называетсяобщим решением однородной системы.
Исследовать однородную систему — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.
Исследуем однородную систему методом Гаусса.
Пусть
матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r< n.
Такая матрица приводится Гауссовым исключением к ступенчатому виду
.
Соответствующая эквивалентная система имеет вид
Отсюда легко получить выражения для переменных x1 , x2 , ..., xr через xr+1 , xr+2 , ..., xn . Переменные
x1 , x2 , ..., xr называют базисными переменными, а переменные xr+1 , xr+2 , ..., xn— свободными переменными.
Перенеся свободные переменные в правую часть, получим формулы
которые определяют общее решение системы.
Положим последовательно значения свободных переменных равными
и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные n-rрешений линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы:
9) Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями, каждая из которых является одновременно производителем и потребителем.
Задача расчета связи между отраслями через выпуски потребление продукции впервые была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. американским экономистом Василием Леонтьевым. В 1973 г. за эти исследования В. Леонтьев удостоился нобелевской премии по экономике.
Предположим, что производственный сектор хозяйства разбит на n отраслей (энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.д.).
Рассмотрим отрасль i, i = 1, 2,…, n. Она выпускает некую продукцию за данный промежуток времени (например, за год) в объеме xi, который еще называют валовым выпуском.
Часть объема продукции xi , произведенная i-ой отраслью используется для собственного производства в объеме xii , часть – поступает в остальные отрасли j = 1, 2,…, n для потребления при производстве в объемах xij , и некоторая часть объемом yi – для потребления в непроизводственной сфере, так называемый объем конечного потребления (личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и т.д.). Перечисленные сферы распределения валового продукта i-ой отрасли приводят к соотношению баланса
, i = 1, 2,…, n .
Т.к. продукция разных отраслей имеет разные измерения, то обычно под такими балансами понимаются стоимостные балансы.
Введем коэффициенты прямых затрат aij , которые показывают, сколько единиц продукции i-ой отрасли затрачивается на производство одной единицы продукции в отрасли j. Тогда можно записать, что количество продукции, произведенной в отрасли i в объеме xij и поступающей для производственных нужд в отрасль j, равно
Считаем сложившуюся технологию производства во всех отраслях неизменной (за рассматриваемый период времени), означающую, что коэффициенты прямых затрат aij постоянны. Тогда получаем следующее соотношение баланса, называемого моделью Леонтьева
, i = 1, 2,…, n . (1)
Введя вектор валового выпуска X, матрицу прямых затрат A и вектор конечного потребления Y
модель Леонтьева (1) можно записать в матричном виде
X = AX + Y (2)
Матрица A ≥ 0, у которой все элементы aij ≥ 0 (неотрицательны), называется продуктивной матрицей, если существует такой неотрицательный вектор X ≥ 0, для которого выполняется неравенство
X > AX.
Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей данной экономической системы, при котором продукции выпускается больше, чем затрачивается на ее производство. Другими словами, при этом режиме создается конечный (прибавочный) продукт Y = X – AX > 0.
Модель Леонтьева с продуктивной матрицей A называется продуктивной моделью.
Для проверки продуктивности матрицы A достаточно существования обратной матрицы B = (E – A)-1 с неотрицательными элементами, где матрица E – единичная матрица
.
С помощью модели Леонтьева (2) можно выполнить три вида плановых расчетов, при условии соблюдения условия продуктивности матрицы A:
1) Зная (или задавая) объемы валовой продукции всех отраслей X можно определить объемы конечной продукции всех отраслей Y
Y = (E – A)X
2) Задавая величины конечной продукции всех отраслей Y можно определить величины валовой продукции каждой отрасли
X = (E – A)-1Y (3)
3) Задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.
Матрица
B = (E – A)-1
называется матрицей полных материальных затрат. Ее смысл следует из матричного равенства (3), которое можно записать в виде X = BY. Элементы матрицы B показывают, сколько всего необходимо произвести продукции в i-ой отрасли, для выпуска в сферу конечного потребления единицы продукции отрасли j.
10) Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение.
Определение 5.1. Вектором называется направленный отрезок.
Обозначения: a, , .
Определение 5.2. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
a
Замечание. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Свойства сложения:
Свойство 1. a + b = b + a.
Доказательство. Приложим векторы а и b к общему началу и рассмотрим параллелограмм
AOBC. Из определения 5.4 и треугольника ОВС следует, что ОС=b+a, а из треугольника
ОАС – ОС=а+b. Свойство 1 доказано.
В а С Замечание. При этом сформулировано еще одно правило
b b сложения векторов – правило параллелограмма: сумма
a+b= векторов a и b есть диагональ параллелограмма, построенно-
=b+a го на них как на сторонах, выходящая из их общего начала.
О А
а
Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c).
b Доказательство. Из рисунка видно, что
A a+b B (a+b)+c=(OA+AB)+BC=OB+BC=OC,
a a+(b+c)=OA+(AB+BC)=OA+AC=OC.
Свойство 2 доказано.
b+с
O c С
Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a+О=а.
Доказательство этого свойства следует из определения 5.4.
Свойство 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a/ такой, что а+а/=О.
Доказательство. Достаточно определить a/ как вектор, коллинеарный вектору a, имеющий одинаковую с ним длину и противоположное направление.
Определение 5.5. Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.
a a-b
b
Определение 5.6. Произведением ka вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный |k||a|, и направление, совпадающее с направлением а приk>0 и противоположное а при k<0.
Свойства умножения вектора на число:
Свойство 1. k(a + b) = ka + kb.
Свойство 2. (k + m)a = ka + ma.
Свойство 3. k(ma) = (km)a.
Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = ka.
Базис и координаты вектора.
Определение 5.7. Линейной комбинацией векторов а1, а2,…,аn называется выражение вида: k1a1 + k2a2 +…+ knan, (5.1)
где ki – числа.
Определение 5.8. Векторы а1, а2,…,аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа k1, k2,…, kn, не все равные нулю, что соответствующая линейная комбинация векторов равна нулю, т.е. k1a1 + k2a2 +…+ knan = 0. (5.2)
Если же равенство (5.2) возможно только при всех ki = 0, векторы называются линейно независимыми.
Замечание 1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Замечание 2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.
Замечание 3. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
Определение 5.9. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Замечание 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.
Замечание 5. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы.
Определение 5.10. Два линейно независимых вектора на плоскости ( или три линейно независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их линейной комбинации. Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются координатами данного вектора в рассматриваемом базисе:
если a, b, c – базис и d = ka + mb + pc, то числа k, m, p есть координаты вектора d в базисе a, b, c.
Свойства базиса:
1. Любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.
2. Разложение данного вектора по данному базису единственно, т.е. его координаты в данном базисе определяются единственным образом.
3. При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса складываются.
4. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Определение 5.11. Проекцией вектора АВ на ось u называется длина направленного отрезка А/В/ оси u, где А/ и В/ - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось u.
Обозначение: прuа.
Свойства проекции:
1. Прua = |a| cosφ, где φ – угол между а и осью u.
2. При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются.
3. При умножении вектора на число его проекция на любую ось умножается на это число.
Замечание. Свойства 2 и 3 назовем линейными свойствами проекции.
Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k. Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной комбинации:
d = Xi + Yj +Zk. (5.3)
Определение 5.12. Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора d.
Замечание. Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ох, Оу и Оz декартовой системы координат.
Определение 5.13. Косинусы углов, образованных вектором о осями декартовой системы координат, называются его направляющими косинусами.
Свойства направляющих косинусов:
1. X = |d| cosα, Y = |d| cosβ, Z = |d| cosγ.
2. , , .
3. cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
Скалярное произведение векторов.
Определение 5.14. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:
ab = |a||b| cosφ . (5.4)
Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .
Свойства скалярного произведения:
1. ab = |a| праb.
Доказательство. По свойству проекции праb = |b| cosφ, следовательно, ab = |a| праb.
2. ab = 0 a b. 3. ab = ba .
4. (ka)b = k(ab). 5. (a + b)c = ac + bc .
6. a2 = aa = |a|2 , где а2 называется скалярным квадратом вектора а.
7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами
a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2}, (5.5)
то ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 .
(5.6)
Доказательство. Используя формулу (5.3), получим:
ab = (X1i + Y1j + Z1k)(X2i + Y2j + Z2k) .
Используя свойства 4 и 5, раскроем скобки в правой части полученного равенства:
ab = X1X2ii +Y1Y2jj + Z1Z2kk + X1Y2ij +X1Z2ik + Y1X2ji + Y1Z2jk + Z1X2ki + Z1Y2kj.
Но ii = jj = kk = 1 по свойству 6, ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0 по свойству 2, поэтому
ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 .
8. cosφ = . (5.6)
Замечание. Свойства 2, 3, 4 доказываются из определения 5.14, свойства 5, 6 – из свойств проекции, свойство 8 – из свойства 7 и свойств направляющих косинусов.
Пример.
a = {1, -5, 12}, b = {1, 5, 2}. Найдем скалярное произведение векторов а и b :
ab = 1·1 + (-5)·5 + 12·2 = 1 – 25 + 24 = 0. Следовательно, векторы а и b ортогональны.
11) Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.
Проекцию вектора на ось L обозначают как .
Чтобы построить проекцию вектора на ось L, нужно из точек А и В опустить перпендикуляры на направленную прямую L – основания этих перпендикуляров дадут начало и конец искомой проекции .
Приведем пример проекции вектора на ось.
Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и задана некоторая точка . Изобразим радиус-вектор точки М1 и построим его проекции на координатные осиOx и Oy. Очевидно, ими являются векторы с координатами и соответственно.
Часто можно слышать о проекции одного вектора на другой ненулевой вектор или о проекции вектора на направление вектора . В этом случае подразумевается проекция вектора на некоторую ось, направление которой совпадает с направлением вектора (вообще существует бесконечно много осей, направления которых совпадают с направлением вектора ). Проекция вектора на прямую, направление которой определяет вектор , обозначается как .
Отметим, что если угол между векторами и острый, то векторы и сонаправлены. Если угол между векторами и тупой, то векторы и противоположно направлены. Если же вектор нулевой или перпендикулярен вектору , то проекция вектора на прямую, направление которой задает вектор , есть нулевой вектор.
Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.
Вектор и его проекция - вектор - связаны следующим векторным равенством:
Проекция вектора на некоторую ось равна проекции на эту же ось вектора , умноженного на число :
Проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось :
Набор векторов называется системой векторов.
Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что
|
(1.1) |
Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.
Замечания 1.2
1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при — линейно независимую.
2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.
1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима
.
2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.
3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.
4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.
5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.
6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.
п.2. Разложение вектора по базису.
Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство
, (1)
то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .
Теорема. (О разложении вектора по базису.)
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис . Возьмем произвольный вектор . Так как оба вектора и коллинеарные одной и той же прямой L, то . Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как , то найдется (существует) такое число , что и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства .
Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства :
и , где . Тогда и используя закон дистрибутивности, получаем:
.
Так как , то из последнего равенства следует, что , ч.т.д.
2) Пусть теперь Р произвольная плоскость и – базис . Пусть произвольный вектор этой плоскости. Отложим все три вектора от какой-нибудь одной точки этой плоскости. Построим 4 прямых. Проведемпрямую , на которой лежит вектор , прямую , на которой лежит вектор . Через конец вектора проведем прямую параллельную вектору и прямую параллельную вектору . Эти 4 прямые высекают параллелограмм. См. ниже рис. 3. По правилу параллелограмма , и , , – базис , – базис .
Теперь, по уже доказанному в первой части этого доказательства, существуют такие числа , что
и . Отсюда получаем:
и возможность разложения по базису доказана.
рис.3.
Теперь докажем единственность разложения по базису. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства : и . Получаем равенство
, откуда следует . Если , то , а т.к. , то и коэффициенты разложения равны: , . Пусть теперь . Тогда , где . По теореме о коллинеарностидвух векторов отсюда следует, что . Получили противоречие условию теоремы. Следовательно, и , ч.т.д.
3) Пусть – базис и пусть произвольный вектор. Проведем следующие построения.
Отложим все три базисных вектора и вектор от одной точки и построим 6 плоскостей: плоскость, в которой лежат базисные векторы , плоскость и плоскость ; далее через конец вектора проведем три плоскости параллельно только что построенным трем плоскостям. Эти 6 плоскостей высекают параллелепипед:
рис.4.
По правилу сложения векторов получаем равенство:
. (1)
По построению . Отсюда, по теореме о коллинеарности двухвекторов, следует, что существует число , такое что . Аналогично, и , где . Теперь, подставляя эти равенства в (1), получаем:
(2)
и возможность разложения по базису доказана.
Докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису :
и . Тогда
. (3)
Заметим, что по условию векторы некомпланарные, следовательно, они попарно неколлинеарные.
Возможны два случая: или .
а) Пусть , тогда из равенства (3) следует:
. (4)
Из равенства (4) следует, что вектор раскладывается по базису , т.е. вектор лежит в плоскости векторов и, следовательно, векторы компланарные, что противоречит условию.
б) Остается случай , т.е. . Тогда из равенства (3) получаем или
. (5)
Так как – базис пространства векторов лежащих в плоскости, а мы уже доказали единственность разложения по базису векторов плоскости, то из равенства (5) следует, что и , ч.т.д.
Теорема доказана.
13) Определение прямоугольно-декартовой системы координат
Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, - начала координат - и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел - координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.
Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).
Рис. 1. - Декартова система координат
В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y и называются, соответственно, абсциссой, ординатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY - осью ординат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.
Рис. 2. - Координаты точки в декартовой системе координат
Важно отметить, что порядок записи координат существенен; так, например, точки A (-3; 2) и B (2; -3) - это две совершенно различные точки
Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые (в трехмерном случае - плоскости), перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых (плоскостей) с осями абсцисс, ординат (аппликат) до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «-», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A. Координаты точки записываются в скобках: например, A (-3; 2) или B (x0; y0). В трехмерном пространстве координаты точки в декартовой системе координат записываются тремя числами, например, C (5; 0,2; -6).
Рис. 3
Координатные оси делят координатную плоскость на четыре квадранта (четверти). Точки, лежащие на осях координат, не принадлежат ни одному квадранту
В двухмерной системе координат все точки, лежащие над (под) осью OX, образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость. Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость.
Рис. 4. - Расстояние между городами
Координаты вектора
Координаты вектора - коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
Вектора i, j называются координатными векторами.
Эти векторы некомпланарные, а значит, любой вектор можно разложить по координатным векторам:
a=xi+yj.
Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора в данной системе координат
Координаты точки
Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y'Y и X'X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A. Записывают так:.
Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.
Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. При этом справедливы следующие свойства.
1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).
2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.
3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.
4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.
Докажем, например, последнее свойство. Проекция линейной комбинации векторов на прямую, содержащую базисный вектор , равна линейной комбинации проекций векторов (составляющих линейную комбинацию) на эту прямую. Поэтому абсцисса линейной комбинации векторов равна линейной комбинации абсцисс этих векторов. Аналогичное рассуждение справедливо для ординат и аппликат.
2. Взаимно однозначное соответствие
(вектор) (его координаты)
сохраняет линейные операции: сумме векторов соответствует сумма их одноименных координат, произведению вектора на число соответствует произведение его координат на это число. Такое взаимно однозначное соответствие называется изоморфизмом.
3. На практике координаты векторов удобно представлять в виде матриц-столбцов (или матриц-строк), которые называются координатными столбцами (координатными строками).
В базисе вектору соответствует координатный столбец .
Обозначение базиса можно не указывать, если не может возникнуть неоднозначности. Линейным операциям над векторами соответствуют линейные операции над их координатными столбцами. Например, если в одном и том же базисе векторам и соответствуют координатные столбцы и , то их линейной комбинации соответствует координатный столбец , т.е. координатный столбец линейной комбинации векторов равен линейной комбинации координатных столбцов.
Определение.
Направляющие косинусы вектора
a
– это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.
Основное соотношение.
Чтобы найти направляющие косинусы вектора
a
необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.
Соответственно координатам единичного вектора равны его направляющим косинусам.
Свойство направляющих косинусов.
Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
В случае плоской задачи (рис. 1) направляющие косинусы вектора
a
= {
ax
;
ay
Свойство:
cos
2
α
+
cos
2
β
= 0
|
рис. 1 |
Свойство:
cos
2
α
+
cos
2
β
+
cos
2
γ
= 0
|
рис. 2 |
1Направляющие косинусы вектора.
Пусть дан вектор (х,у,z).
Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ох, Оу и Oz соответственно буквами , и . Три числа cos , cos и cos принято называть направляющими косинусами вектора . Полагая = (1; 0; 0) получаем из (9)
Аналогично
Из формул (11) - (13) следует:
1) сos2 + cos2 + cos2 = 1,
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна единице;
т.е. направляющие косинусы этого вектора пропорциональны его соответствующим проекциям.
Примечание. Из формул (11)-(13) видно, что проекции любого единичного вектора на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно,
Пример. Найти направляющие косинусы вектора (1; 2; 2). По формулам (11)-(13) имеем
Сначала про угол между векторами. Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Рассмотрим свободные ненулевые векторы и . Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится картинка, которую многие уже представили мысленно:
Признаюсь, здесь я обрисовал ситуацию только на уровне понимания. Если необходимо строгое определение угла между векторами, пожалуйста, обратитесь к учебнику, для практических же задач оно нам, в принципе, ни к чему. Также ЗДЕСЬ И ДАЛЕЕ я буду местами игнорировать нулевые векторы ввиду их малой практической значимости. Оговорку сделал специально для продвинутых посетителей сайта, которые могут меня упрекнуть в теоретической неполноте некоторых последующих утверждений.
Угол между векторами может принимать значения от 0 до 180 градусов (от 0 до радиан) включительно. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства: либо (в радианах).
В литературе значок угла часто пропускают и пишут просто .
Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Вот это вот уже вполне строгое определение.
Акцентируем внимание на существенной информации:
Обозначение: скалярное произведение обозначается через или просто .
Результат операции является ЧИСЛОМ: Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов – это числа, косинус угла – число, то их произведение тоже будет числом.
Сразу пара разминочных примеров:
Пример 1
Найти скалярное произведение векторов и , если
1) Если угол между векторами острый: (от 0 до 90 градусов), то , и скалярное произведение будет положительным: . Особый случай: если векторы сонаправлены, то угол между ними считается нулевым , и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку , то формула упрощается: .
2) Если угол между векторами тупой: (от 90 до 180 градусов), то , и, соответственно, скалярное произведение отрицательно: . Особый случай: если векторы направлены противоположно, то угол между ними считаетсяразвёрнутым: (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как
Справедливы и обратные утверждения:
1) Если , то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.
2) Если , то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно.
Но особый интерес представляет третий случай:
3) Если угол между векторами прямой: (90 градусов), то и скалярное произведение равно нулю: . Обратное тоже верно: если , то . Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны. Короткая математическая запись:
!
Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены. В этом случае угол между ними равен нулю, , и формула скалярного произведения принимает вид: .
А что будет, если вектор умножить на самого себя? Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой:
Или:
Число называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся как .
Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора:
Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:
Пока она кажется малопонятной, но задачи урока всё расставят на свои места. Для решения задач нам также потребуются свойства скалярного произведения.
Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.
2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.
3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.
Зачастую, всевозможные свойства (которые ещё и доказывать надо!) воспринимаются студентами как ненужный хлам, который лишь необходимо вызубрить и сразу после экзамена благополучно забыть. Казалось бы, чего тут важного, все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: . Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко наломать дров. Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц. Неверно оно и для векторного произведения векторов. Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся в курсе высшей математики, как минимум, лучше вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя.
Пример 3
Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что .
17) Уравнение линии на плоскости.
Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.
Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.
Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.
Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.
Уравнение прямой на плоскости.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
- C = 0, А 0, В 0 – прямая проходит через начало координат
- А = 0, В 0, С 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
- В = 0, А 0, С 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
- В = С = 0, А 0 – прямая совпадает с осью Оу
- А = С = 0, В 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Расстояние от точки до прямой.
Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
Доказательство. Пусть точка М1(х1, у1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1:
(1)
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0 перпендикулярно заданной прямой.
Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x0) + B(y – y0) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
.
Теорема доказана.
18)
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ≠ х2 и х = х 1 , если х 1 = х2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор ( α1 , α2 ), компоненты которого удовлетворяют условию А α1 + В α2 = 0 называется направляющим вектором прямой
Ах + Ву + С = 0.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:
х + у - 3 = 0
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или
, где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
уравнение этой прямой в отрезках:
уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
нормальное уравнение прямой:
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
C ледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Определение. Если заданы две прямые y = k1 x + b1 , y = k 2x + b2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как
.
Две прямые параллельны, если k1 = k2 . Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/ k2 .
Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В1 у + С1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А1 = λА, В1 = λВ. Если еще и С1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.
Определение. Прямая, проходящая через точку М1 (х1 , у1 ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:
Теорема. Если задана точка М(х0 , у0 ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
Доказательство. Пусть точка М 1(х 1, у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М1 :
(1)
Координаты x1 и у1 могут быть найдены как решение системы уравнений:
Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:
A(x – x 0 ) + B(y – y0 ) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, решая, получим:
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:
Теорема доказана.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.
19) Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую. Уравнение вида
Ах + Ву + С = 0 (1)
называется общим уравнением прямой.
Угол а, определяемый, как показано на черт. 9, называется углом наклона прямой к оси Ох.Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:
k = tg α,
Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k — угловой коэффициент, b — величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то её угловой коэффициент
Черт. 9
определяется по формуле k =
Уравнение у — y0 = k(x—ха) является уравнением прямой, которая проходит через точку М0 (х0 ; у0) и имеет угловой коэффициент k.
Если прямая проходит через точки M1 (x1; у1,) и М2 (х2; у2), то её угловой коэффициент определяется по формуле
K=
Уравнение
Является уравнением прямой, проходящей через две точки
М1 (x1; y 1) и M 2(x2 ; у2)
Если известны угловые коэффициенты двух прямых k1 и k2, то один из углов φ между этими прямыми определяется по формуле
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов
k1 =k2
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение
k1k2= —1 или k2= —
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.
Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M1, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M1 прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H1. Отрезок M1H1 называется перпендикуляром, проведенным из точки M1 к прямой a.
Определение.
Расстоянием от точки M1 до прямой a называют расстояние между точками M1 и H1.
Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.
Определение.
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.
Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.
Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.
Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M1. Отрезок M1Q называютнаклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M1 к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M1 к прямой a. Это действительно так: треугольник M1QH1 прямоугольный с гипотенузой M1Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .
В зависимости от исходных данных для нахождения расстояния от точки до прямой можно использовать различные методы геометрии: теорему Пифагора, определения синуса, косинуса, тангенса угла, признаки равенства и подобия треугольников и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе.
Если же при нахождении расстояния от точки до прямой есть возможность ввести прямоугольную систему координат, то можно воспользоваться методом координат. В этом пункте статьи мы подробно остановимся на двух способах нахождения расстояния от точкиM1 до прямой a, которые заданы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости. В первом случае расстояние от точки M1 до прямой a мы будем искать как расстояние от точки M1 до точки H1, где H1 – основание перпендикуляра, опущенного из точки M1 на прямую a. Во втором способе нахождения расстояния от точки M1 до прямой a будем использовать нормальное уравнение прямой a.
Итак, поставим перед собой следующую задачу: пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка , прямая a и требуется найти расстояние от точки M1 до прямой a. Разберем по-очереди два способа ее решения.
Если мы определим координаты точки H1, то искомое расстояние мы сможем вычислить, используя формулу для нахождения расстояния от точки M1 до точки H1 по их координатам: .
Осталось разобраться с нахождением координат точки H1.
Мы знаем, что прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy соответствует некотороеуравнение прямой на плоскости. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет написать общее уравнение прямой a или уравнение прямой с угловым коэффициентом. После этого мы можем составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку M1 перпендикулярно заданной прямой a. Обозначим эту прямую буквой b. Тогда точка H1 – это точка пересечения прямых a и b, следовательно, координаты точки H1можно определить, обратившись к материалу статьи координаты точки пересечения двух прямых.
Итак, мы получили алгоритм для нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой a:
Следующая теорема отвечает на вопрос: «Как найти расстояние от заданной точки до заданной прямой на плоскости»?
Теорема.
В прямоугольной системе координат Oxy на плоскости расстояние от точки до прямой a, заданной нормальным уравнением прямой вида , равно модулю значения выражения, находящегося в левой части нормального уравнения прямой, вычисленного при , то есть, .
Таким образом, чтобы найти расстояние от точки до прямой a на плоскости нужно:
Рассмотрим применение разобранных методов для нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости при решении примера.
Пример.
Найдите расстояние от точки до прямой .
Очевидно, достоинством метода нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости, основанного на использовании нормального уравнения прямой, является сравнительно меньший объем вычислительной работы. В свою очередь первый способ нахождения расстояния от точки до прямой интуитивно понятен и отличается последовательностью и логичностью.
Теперь вычислим расстояние от точки до прямой : .
Нормирующий множитель для уравнения прямой вида равен -1. Тогда нормальное уравнение этой прямой имеет вид .
Теперь мы можем вычислить расстояние от точки до прямой - оно равно .
Ответ:
и 5.
В заключении отдельно рассмотрим, как находится расстояние от заданной точки плоскости до координатных прямых Ox и Oy.
В прямоугольной системе координат Oxy координатную прямую Oy задает неполное общее уравнение прямой x=0, а координатную прямую Ox – уравнение y=0. Эти уравнения являются нормальными уравнениями прямых Oy и Ox, следовательно, расстояние от точки до этих прямых вычисляются по формулам и соответственно.
К началу страницы
Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.
Уравнение окружности имеет вид
(x - a)2 + (y - b)2 = r2,
где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид
x2 + y2 = r2.
Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).
Простейшее уравнение эллипса
где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение
a2 - b2 = c2.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси
У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.
где a, b − полуоси гиперболы, t − параметр.
Уравнение директрисы
x = −p/2,
где p − параметр параболы.
Координаты фокуса
F(p/2, 0)
Координаты вершины
M(0, 0)
Уравнение директрисы
y = y0 − p/2,
где p − параметр параболы.
Координаты фокуса
F(x0, y0 + p/2)
Координаты вершины
Уравнение директрисы
y = −p/2,
где p − параметр параболы.
Координаты фокуса
F(0, p/2)
Координаты вершины
M(0, 0)
Определение:
Линией второго порядка называется множество всех точек M(x,y) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:
где A,B,C,D,E,F — вещественные коэффициенты, причем .
Сформулируем цель дальнейших преобразований:
перейти к такой системе координат, в которой уравнение (1) имело бы наиболее простой вид.
Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy ( B = 0 ).
Обозначим x,y координаты точки M в системе координат XOY .
Повернем оси координат на угол φ в положительном направлении и обозначим x', y' координаты точки M в новой системе координат X'OY'
Выразим старые координаты точки M через новые с помощью тригонометрии:
Подставим в уравнение кривой (1) и вычислим коэффициент при произведении xy :
Коэффициент В равен нулю в одном из двух случаев:
1. C = A и
2. C ≠A и
Очевидно, что всегда можно повернуть систему координат так, что в новой системе уравнение кривой будет иметь вид:
где
Разобьем все кривые 2–го порядка, описываемые уравнением (2) на два класса:
I. A' ≠ 0 , C' ≠ 0 .
II. A' =0 , C' ≠ 0 или A' ≠ 0 , C' =0.
Класс I. A' ≠ 0 , C' ≠ 0.
Выделим в уравнении кривой (2) полные квадраты:
Обозначим и введем новую систему координат , которая получена параллельным переносом так, чтобы начало координат находилось в точке
В новой системе координат уравнение кривой второго порядка I класса имеет вид:
Рассмотрим возможные случаи:
1. A'C'>0 (одинаковые знаки), A'F''<0 (противоположные знаки). Уравнение можно представиить в виде
где . Это уравнение называется уравнением эллипса.
2. A'C'>0 (одинаковые знаки), A' F''>0 (одинаковые знаки). Уравнение можно представить в виде
Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки. Это уравнение называется уравнением мнимого эллипса.
3. A'C'>0 , A' F''=0 . Уравнение можно представить в виде
Это уравнение определяет единственную точку x = 0 , y = 0 . Это уравнение называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых.
4. A' C'<0 , F''≠ 0 . Получаем уравнение
Это уравнение называется уравнением гиперболы.
5. A' C'<0, F''=0 . Получаем уравнение
Это уравнение называется уравнением пары пересекающихся прямых.
Класс II. A' = 0 , C' ≠ 0 или A' ≠ 0, C' = 0 в уравнении
Возможны следующие случаи:
6. A' = 0 , C' ≠ 0, D' ≠ 0 . Имеем уравнение
Выделим полный квадрат
и перейдем к новой системе координат
В новой системе координат уравнение кривой имеет вид
Обозначив p=-D'/C' , получаем
Это уравнение называется уравнением параболы.
7. Если D'= 0 , A'= 0 и C' ≠ 0 , то имеем уравнение
Выделим полный квадрат:
Заменив получим
Это уравнение называется уравнением двух параллельных прямых.
8. Заменив получим
Это уравнение называется уравнением двух мнимых параллельных прямых.
9. Если то
Это уравнение называется уравнением двух совпадающих прямых.
Вывод. Кривая 2–го порядка, определяемая уравнением (1), принадлежит к одному из следующих типов:
1. Эллипс.
2. Мнимый эллипс.
3. Пара мнимых пересекающихся прямых.
4. Гипербола.
5. Пара пересекающихся прямых.
6. Парабола.
7. Пара параллельных прямых.
8. Пара мнимых параллельных прямых.
9. Пара совпадающих прямых.
24) Каноническое уравнение. Два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, называются ее направляющими векторами. Из аксиом геометрии следует, что через любую точку проходит единственная плоскость с заданными направляющими векторами.
Пусть плоскость π с направленными векторами p1 и p2 проходит через точку М0. Очевидно, точка М лежит в плоскости π тогда и только тогда, когда (рис. 1) векторы , p1, p2 компланарны, т.е. линейно зависимы.
С учетом условия неколлинеарной векторов p1 и p2 это равносильно тому, что вектор линейно выражается через p1 и p2:
u, v ∈ R. (5.3.1)
Теорема 5.6. В пространстве в аффинной системе координат Oxyz уравнение плоскости π, проходящей через точки М0(x0, y0, z0), с направляющими вектороми p1 = {m1, n1, k1} и p2 = {m2, n2, k2} имеет вид
(5.3.2)
Теорема 5.7. Поверхность в пространстве является плоскостью тогда и только тогда, когда она является алгебраической поверхностью первого порядка.
Доказательство теоремы повторяет доказательство теоремы 5.3 с той лишь разницей, что уравнение плоскости имеет вид
Ax + By + Cz + D = 0, где A2 + B2 + C2≠ 0, (5.3.5).
а уравнение (5.3.5) может быть записано в виде
(случаи B ≠ 0 и C ≠ 0 рассматриваются аналогично). Теорема доказана.
Уравнение (5.3.5) называется общим уравнением плоскости в пространстве. Вектор n = {A, B, С} называется вектором нормали к плоскости относительно уравнения (5.3.5).
Общее уравнение плоскости называется полным, если все коэффициенты А, В, С, D отличны от нуля.
Теорема 5.8. В аффинной системе координат Oxyz в пространстве вектор а = {m, n, k}, параллелен плоскости, заданной общим уравнением (5.3.5), тогда и только тогда, когда
Am + Bn + Сk = 0, (5.3.6)
.
Теорема 5.9. Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку М0(r0) перпендикулярно вектору n, имеет вид
( r - r0, n) = 0, (5.3.9)
или, что то же самое,
( r, n) = D, (5.3.10)
где D − константа, равная (r0, n).
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.
Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений
|
(11.11) |
И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.
Уравнения (11.11) называют общими уравнениями прямой в пространстве.
.
Ненулевой вектор, лежащий на прямой (параллельный ей) называется направляющим вектором прямой.
Тогда вектор коллинеарен вектору p и, следовательно, , где -- некоторое число. Из рис. 11.11 видно, что
|
(11.12) |
Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме. При каждом значении параметра мы будем получать новую точку на прямой .
\
Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой.
Обратим внимание на то, что по параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части -- координаты точки на прямой.
Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга.
Из уравнений (11.13) выразим параметр :
Так как во всех трех соотношениях параметр имеет одно и то же значение, то
|
(11.14) |
Эти уравнения называются каноническими1 уравнениями прямой.
Замечание 11.4 В канонических уравнениях прямой допускается в знаменателе писать 0. Это не означает, что можно выполнить деление на 0. Просто из канонических уравнений мы получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты , из которых одна нулевая.
Пример 11.3 Прямая с каноническими уравнениями
имеет направляющий вектор .
Замечание 11.5 Канонические уравнения прямой (11.14) нельзя рассматривать как одно уравнение (в них два знака "=" и следовательно, два уравнения). Они составляют своеобразным способом записанную систему из двух уравнений
Возможны, впрочем, еще две записи системы, подумайте какие.
Ключевые слова: прямая, плоскость, перпендикуляр, наклонная к плоскости, двугранный угол, линейный угол, проекция точки, отрезка
Все виды взаимного расположения прямых и плоскостей можно увидеть на слайде:
Теоремы
1. Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с плоскостью общих точек. На левом
рисунке прямая l параллельна плоскости .
2. Прямая пересекает плоскость, если она имеет с плоскостью ровно одну общую точку. На
рисунке в центре прямая l пересекает плоскость в точке A.
3. Прямая лежит в плоскости, если каждая точка прямой принадлежит этой плоскости. На
правом рисунке прямая l лежит в плоскости . В таком случае говорят ещё, что плоскость
проходит через прямую l.
Параллельность прямой и плоскости
Как распознать случай параллельности прямой и плоскости? Для этого имеется замечательно
простое утверждение.
Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая l параллельна некоторой
прямой, лежащей в плоскости, то прямая l параллельна этой плоскости.
Давайте посмотрим, как работает этот признак. Пусть ABCA1B1C1 — треугольная призма,
в которой проведена плоскость A1BC (рис. 2).
A
B
C
A1
B1
C1
Теорема. Пусть прямая l параллельна плоскости . Если плоскость проходит через прямую l
и пересекает плоскость по прямой m, то m k l (рис. 3).
Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа)
Комплексным числом z называется выражение следующего вида:
Комплексное число в алгебраической форме,(1)
Где x, y ;
i -- это мнимая единица, определяемая равенством i2 = -1.
Основные термины:
x = Re z -- действительная часть комплексного числа z;
y = Im z -- мнимая часть комплексного числа z;
-- комплексно сопряженное число числу z;
-- противоположное число числу z;
-- комплексный ноль;
- так обозначается множество комплексных чисел.
Примеры
1)z = 1 + i Re z = 1, Im z = 1, = 1 - i, = -1 - i;
2)z = -1 + i Re z = -1, Im z = , = -1 - i, = -1 -i;
3)z = 5 + 0i = 5 Re z = 5, Im z = 0, = 5 - 0i = 5, = -5 - 0i = -5
если Im z = 0, то z = x -- действительное число;
4)z = 0 + 3i = 3i Re z = 0, Im z = 3, = 0 - 3i = -3i, = -0 - 3i = - 3i
если Re z = 0, то z = iy -- чисто мнимое число.
Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.
Примеры
1) ;
2) .
Геометрическое изображение комплексных чисел (В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел?)
Комплексное число z изображается точкой (x, y) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.
Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат будет использоваться как комплексная плоскость.
Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа?)
Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число
.(2)
Геометрически модуль комплексного числа -- это длина вектора, изображающего число z, или полярный радиус точки (x, y).
Аргумент комплексного числа z -- это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически - это полярный угол точки (x, y)).
Обозначение , причем , или .
Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула
Аргумент комплексного числа ,(3)
причем, при определении угла по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z:
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?)
Так как геометрически очевидно, что и , то
Тригонометрическая форма комплексного числа .(4)
Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа z; запись z = r(cos + i sin) называется тригонометрической формой комплексного числа z.
Арифметические действия над комплексными числами (Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.)
Сложение (вычитание) комплексных чисел
z1 z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = (x1 x2) + i(y1 y2),(5)
то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.
Примеры
1)(1 + i) + (2 - 3i) = 1 + i + 2 -3i = 3 - 2i;
2)(1 + 2i) - (2 - 5i) = 1 + 2i - 2 + 5i = -1 + 7i.
Основные свойства сложения
1)z1 + z2 = z2 + z1;
2)z1 + z2 + z3 = (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);
3)z1 - z2 = z1 + (- z2);
4)z + (-z) = 0;
5).
Умножение комплексных чисел в алгебраической форме
z1•z2 = (x1 + iy1)•(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i2y1y2 = (6)
= (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + y1x2),
то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.
Примеры
1)(1 + i)•(2 - 3i) = 2 - 3i + 2i - 3i2 = 2 - 3i + 2i + 3 = 5 - i;
2)(1 + 4i)•(1 - 4i) = 1 - 42 i2 = 1 + 16 = 17;
3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i2 = 3 + 4i.
Умножение комплексных чисел тригонометрической форме
z1•z2 = r1(cos1 + isin1)r2(cos2 + isin2) =
= r1r2(cos1cos2 + icos1sin2 + isin1cos2 + i2 sin1sin2) =
= r1r2((cos1cos2 - sin1sin2) + i(cos1sin2 + sin1cos2))
Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Пример
Основные свойства умножения
1)z1z2 = z2z1 -- коммутативность;
2)z1z2z3 = (z1z2)z3 = z1(z2z3) -- ассоциативность;
3)z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 -- дистрибутивность относительно сложения;
4)z0 = 0; z1 = z;
5).
Деление комплексных чисел
Деление -- это обратная умножению операция, поэтому
если zz2 = z1 и z2 0, то .
При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:
Деление комплексных чисел в алгебраической форме .(7)
При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме .(8)
Возведение комплексного числа в натуральную степень
Возведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:
В результате получается формула Муавра:
Формула Муавра,(9)
то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример
Вычислить (1 + i)10.
Решение:
Замечания
1. При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам или сбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функций и .
28) Векторное пространство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.
Определение Векторное пространство Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см.Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):
1) х + у = у + х (перестановочность сложения);
2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;
4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,
5) 1 · х = х,
6) a(bx) = (ab) х (ассоциативность умножения);
7) (a + b) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);
8) a(х + у) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).
Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1--3 выражают, что операция сложения, определённая вВекторное пространство, превращает его в коммутативную группу). Выражение
Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).
Векторное пространство называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1, e2,..., en, а любые n + 1элементов линейно зависимы (обобщённое условие В).
Векторное пространство называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного
Векторное пространство образуют БАЗИС этого пространства. Если e1, e2,..., en -- базис Векторное пространство, то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:.
Примеры Векторное пространство Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, Векторное пространство Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l 1, l2,..., l n. Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:
(l1, l2, …, ln) + (m1, m2, …, mn) = (l1 + m1, l2 + m2, …, ln + mn);
a(l1, l2, …, ln) = (al1, al2, …, aln).
Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0, 1,..., 0),..., en = (0, 0,..., 1).
Множество R всех многочленов a0 + a1u + … + anun (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами a0, a1,..., an с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует Векторное пространство Многочлены 1, u, u2,..., un(при любом n) линейно независимы в R, поэтому R -- бесконечномерное Векторное пространство
Многочлены степени не выше n образуют Векторное пространство размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u2,..., un.
Подпространства Векторное пространство В. п. R" называется подпространством R, если R" Н R (то есть каждый вектор пространства R" есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v О r" и для каждых двух векторов v1 и v2 (v1, v2 О R") вектор lv (при любом l) и вектор v1 + v2 один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v1, v2 как элементы пространства R" или R. Линейной оболочкой векторов x1, x2,... xp называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a1x1 + a2x2 + … + apxp. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x1 будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x1. Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x1 и x2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x1 и x2.
В общем случае произвольного Векторное пространство R линейная оболочка векторов x1, x2,..., xp этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном Векторное пространство существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R" Векторное пространство R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R". Пространство, состоящее из всех многочленов степени Ј n (линейная оболочка многочленов 1, u, u2,..., un), есть (n + 1)-мepное подпространство пространства R всех многочленов.
Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории Векторное пространство нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:
1) (х, у) = (у, х) (перестановочность);
2) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y) (распределительное свойство);
3) (ax, у) = a(х, у),
4) (х, х) і 0 для любого х, причем (х, х) = 0 только для х = 0.
Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством. Длина |x| вектора x и угол между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами
Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство En получим, определяя в n-мepном арифметическом Векторное пространство скалярное произведение векторов x = (l1, …, ln) и y= (m1, …, mn) соотношением
(x, y) = l1m1 + l2m2 +… + lnmn. (2)
При этом требования 1)--4), очевидно, выполняются.
В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у) = 0. В рассмотренном пространстве En условие ортогональности векторов x = (l1, …, ln) и y = (m1, …, mn), как это следует из соотношения (2), имеет вид:
l1m1 + l2m2 +… + lnmn = 0. (3)
29) Размерность и базис векторного пространства
На основе линейной зависимости в линейном пространстве вводится определение базиса. Оно почти дословно совпадает с определением 10.16.
Определение 18.2 Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.
В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.
Теорема 18.1 В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.
Определение 18.3 Линейное пространство , в котором существует базис, состоящий из векторов, называется -мерным линейным или векторным пространством. Число называется размерностью пространства и обозначается . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.
Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.
30) Пусть в пространстве имеется два базиса: и .
Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 5.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:
(5.1)
Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы
При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису .
Определитель матрицы не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно и векторы , были бы линейно зависимы.
2.4. Переход к новому базису
В старом базисе мы имели следующие разложения векторов по этому базису
|
(8) |
Теперь мы перешли в новую вершину, которой соответствует базис и, чтобы иметь возможность двигаться дальше к следующейвершине, мы должны иметь разложения векторов по этому новому базису, то есть
|
. |
(9) |
Выведем формулы для . Мы должны вывести из базиса вектор и ввести туда вектор . Поэтому возьмём выражение для вектора (5)
,
выразим из него вектор
и подставим это выражение в (8). Тогда мы получим
Перегруппировывая слагаемые, получим:
|
Таким образом, координаты вектора |
в новом базисе имеют вид |
|
(10) |
что и дает разложение векторов по новому базису.
31) 1. Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);
2°. (x1 + x2, у) = (х1 ,у) + (х2, у) (распределительное свойство);
3°. (λх, у) = λ(х, у) для любого вещественного λ;
4°. (х, х) > 0, если х — ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х — нулевой элемент.
Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).
Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным.
Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
Пример 1. Рассмотрим линейное пространство В3, всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°- 4° (см. выпуск «Аналитическая геометрия», гл.2, §2, п.З). Стало быть, пространство В3 с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством.
Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С [а, b] всех функций x(t), определенных и непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b. Скалярное произведение двух таких функций x(t) и y(t) определим как интеграл (в пределах от а до b) от произведения этих функций
Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°-4°. В самом деле, справедливость аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° вытекает из линейных свойств определенного интеграла; справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что интеграл от непрерывной неотрицательной функции x2(t) неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте а ≤ t ≤ b (см. выпуск «Основы математического анализа», часть I, свойства 1° и 2° из п. 1 §6 гл. 10) (т.е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства).
Таким образом, пространство С [а, b] с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство.
Пример 3. Следующий пример евклидова пространства дает n-мерное линейное пространство Аn упорядоченных совокупностей n вещественных чисел, скалярное произведение двух любых элементов х= (х1, x2,...,хn) и у = (y1, y2,...,yn) которого определяется равенством
(х, у) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn. (4.2)
3.
2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства. Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности.
Теорема 4.1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство
(x, y)2 ≤ (x, x)(y, y), (4.6)
называемое неравенством Коши-Буняковского.
.
Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства R ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое символом ||х||.
П. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
1°. ||х|| > 0, если х — ненулевой элемент; ||х|| = 0, если х — нулевой элемент;
2°. ||λх|| = |λ| ||х|| для любого элемента х и любого вещественного числа λ;
3°. для любых двух элементов х и у справедливо следующее неравенство
||х + y|| ≤ ||х|| + ||y||, (4.8)
называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского).
Теорема 4.2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если норму любого элемента х в нем определить равенством
Линейным преобразованием (линейным оператором) линейного пространства называется линейное отображение пространства в себя.
Поскольку линейное преобразование является частным случаем линейного отображения, к нему применимы все понятия и свойства, рассмотренные для отображений: инъективность, сюръективность, биективность, обратимость, ядро, образ, дефект, ранг и т.д.
Матрицей линейного оператора (преобразования) в базисе пространства называется квадратная матрица , составленная из координатных столбцов образов базисных векторов , найденных относительно базиса .
Матрица биективного линейного оператора (преобразования) обратима, т.е. невырождена. Поэтому биективное (обратимое) преобразование называют также невырожденным.
1. Обозначим — нулевое преобразование n-мерного пространства , которое ставит в соответствие любому вектору нулевой элемент пространства . Это преобразование не является инъективным, сюръективным, биективным, обратимым. Матрица нулевого преобразования (в любом базисе) нулевая, ядро преобразования , образ преобразования , дефект , ранг .
2. Обозначим — тождественное преобразование n-мерного пространства , которое ставит в соответствие каждому вектору этот же вектор . Это преобразование является инъективным, сюръективным, биективным, обратимым. Матрица тождественного преобразования (в любом базисе) единичная n-го порядка, ядро преобразования , образ преобразования , дефект , ранг .
3. Обозначим — центральную симметрию n-мерного пространства (относительно нулевого вектора ), т.е. преобразование, которое каждому вектору ставит в соответствие противоположный ему вектор: . Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Матрица преобразования противоположна единичной (в любом базисе): ; ядро преобразования , образ преобразования , дефект , ранг .
4. Обозначим — гомотетию n-мерного пространства (с коэффициентом ), т.е. преобразование, которое каждому вектору ставит в соответствие коллинеарный ему вектор: . Это преобразование линейное. При оно инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Матрица преобразования пропорциональна единичной (в любом базисе): , ядро преобразования , образ преобразования , дефект , ранг . При (см. пункт 1); при (см. пункт 2); при (см. пункт 3).
5. Рассмотрим линейное пространство радиус-векторов (с общим началом в точке ), принадлежащих одной плоскости (рис. 9.1). Обозначим — поворот вокруг точки (на угол в положительном направлении (против часовой стрелки)). Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Найдем матрицу поворота в стандартном ортонормированием базисе . Раскладывая образы базисных векторов по базису, получаем
Матрицы линейного оператора (преобразования) в разных базисах
|
(9.4) |
Замечания 9.2
1. Матрицы линейного преобразования в разных базисах оказываются подобными. И наоборот, любые две подобные матрицы являются матрицами некоторого линейного преобразования, найденными относительно разных базисов.
2. Для матриц преобразований справедливы свойства, рассмотренные ранее. В частности, при фиксированном базисе матрица суммы преобразований равна сумме их матриц, матрица произведения преобразования на число равна произведению матрицы преобразования на это же число, матрица композиции преобразований равна произведению матриц преобразований, матрица обратного преобразования является обратной для матрицы обратимого преобразования.
Рассмотрим множество — линейных преобразований (операторов) n-мерного линейного пространства . Напомним, что два преобразования и называются равными, если .
На множестве определены две линейные операции: сложение преобразований и умножение преобразования на число, поскольку в результате этих операций получается линейное преобразование.
Нетрудно показать, что эти операции удовлетворяют условиям:
3. существует нулевое преобразование такое, что ;
4. для каждого преобразования существует противоположное преобразование такое, что ;
5. и любого числа ;
6. и любых чисел ;
7. и любых чисел ;
8. .
В условиях 5-7 говорится о числах из того же числового поля, над которым определено линейное пространство .
Условия 1-8 повторяют аксиомы линейного пространства. Поэтому множество с линейными операциями является линейным пространством. Если пространство вещественное (комплексное), то и пространство вещественное (комплексное).
Найдем размерность пространства . При фиксированном базисе имеется взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями и их матрицами, причем это соответствие сохраняет линейные операции. Следовательно, пространство изоморфно пространству — квадратных матриц n-го порядка. Размерность пространства равна . По теореме 8.3:
то есть
Кроме линейных операций в множестве определена операция умножения элементов. Произведением преобразований и назовем их композицию, т.е. . В результате композиции линейных преобразований получается линейное преобразование. Операция умножения удовлетворяет следующим условиям:
Первое условие выражает ассоциативность операции умножения, условия 2 и 3 — законы дистрибутивности, условие 4 — существование нейтрального элемента. Множество с операциями сложения и умножения элементов является кольцом с единицей (вообще говоря, некоммутативное, так как в общем случае ).
Операции умножения операторов (преобразований) и произведения операторов на число (из заданного числового поля) удовлетворяют условию
Линейное пространство, которое является кольцом, удовлетворяющим условию 5, называется алгеброй. Поэтому множество называют алгеброй линейных операторов (преобразований).
В алгебре можно определить целую неотрицательную степень оператора , полагая по определению
Пусть — многочлен переменной . Многочленом от линейного преобразования называется преобразование .
Многочлен называется аннулирующим для линейного преобразования , если — нулевое преобразование. Заметим, что у каждого линейного преобразования n-мерного линейного пространства существует аннулирующий многочлен степени не выше . Действительно, система из элементов линейного пространства линейно зависима (так как). Поэтому существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что . Следовательно, многочлен — аннулирующий для преобразования .
Замечания 9.3
1. При фиксированном базисе каждому преобразованию (оператору) можно сопоставить его матрицу. Свойства линейных операций 1-8, записанные для матриц преобразований, повторяют свойства линейных операций с матрицами, а свойствам 1-5 произведения операторов отвечают свойства операции умножения матриц.
2. При фиксированном базисе многочлен от линейного преобразования имеет матрицу , где — матрица преобразования в том же базисе. Поэтому свойства многочленов от матриц переносятся на многочлены от линейного преобразования. В частности, многочлены от одного преобразования перестановочны:
33) Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)
Пусть — линейное преобразование n-мерного линейного пространства . Ненулевой вектор линейного пространства , удовлетворяющий условию
называется собственным вектором линейного преобразования . Число в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению . Если пространство вещественное (комплексное), то собственное значение — действительное (комплексное) число.
Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром.
Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования , если его образ коллинеарен прообразу . Другими словами, если — собственный вектор, то преобразование имеет одномерное инвариантное подпространство . Справедливо и обратное утверждение
Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы n-го порядка называется ненулевой числовой столбец , удовлетворяющий условию (7.13):
Число в (9.6) называется собственным значением матрицы . При этом считалось, что собственное значение и числа принадлежат полю комплексных чисел.
Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.
Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть — линейное преобразование n-мерного линейного пространства с базисом . Тогда собственное значение и координатный столбец собственного вектора преобразования являются собственным значением и собственным вектором матрицы этого преобразования, определенной относительно базиса , т.е.
где
Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец и число являются собственным вектором и собственным значением матрицы , причем числа принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство , то вектор и число являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования с матрицей в базисе .
Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения , где — характеристический многочлен матрицы . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.
Характеристическим многочленом линейного преобразования n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен матрицы этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства .
Уравнение называется характеристическим уравнением линейного преобразования.
Преобразование называется характеристическим для линейного преобразования .
1. Для нулевого преобразования любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим нулевому собственному значению , так как .
2. Для тождественного преобразования любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим единичному собственному значению , так как .
3. Для центральной симметрии любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как .
34) 7.2. Линейная модель обмена
|
В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли). [1] Рассмотрим n стран S1,S2,...Sn, национальный доход каждой из которых равен соответственно x1,x2,...xn. Обозначим коэффициентами aIJ часть национального дохода, которую страна SJ тратит на покупку товаров у страны SI. Считаем, что весь национальный доход тратиться на закупку товаров либо внутри страны, либо у других стран.
Тогда ,приняв национальный доход за единицу, для частей этого дохода имеющихся у страны j имеем равенство (j=1,2...n) (1) Рассмотрим матрицу -структурную матрицу торговли. Сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1. Для любой страны SI (i=1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит: pi=ai1x1+ai2x2+...+ainxn. Для наличия сбалансированной торговли необходима бездифицитность торговли каждой страны Si, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода [1]: pixi (i=1,2,...,n), а значит получаем систему неравенств (2) Сложив все неравенства системы (2), получим x1(a11+a21+..+an1)+x2(a12+a22+..+an2)+..+xn(a1n+a2n+..+ann)x1+x2+...+xn.
Выражения в скобках равны единице, а поэтому мы приходим к неравенству x1 + x2 +...+xn x1 + x2 +...+ xn, которое выполняется только в случае равенства, а поэтому имеем систему . (3) Если вектор - вектор национальных доходов стран, то уравнение (3) можно записать в виде Ax=x, (4) т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению =1.
Пример. [1] Пусть структурная матрица торговли трех стран S1,S2,...,Sn имеет вид: Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли. Решение. Находим собственный вектор x, отвечающий собственному значению =1, решив уравнение (A-E)x=0 или систему однородных уравнений Легко проверить, что решениями являются числа x1=(3/2)c, x2=2c, x3=c, т.е. вектор Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов т.е. при соотношении национальных доходов стран 3/2:2:1 или 3:4:2. |
означает одно из множеств: рациональных, или вещественных, или комплексных чисел.
Квадратичной формой над множеством называют однородный полином второй степени с коэффициентами из ; если переменные обозначить , то общий вид квадратичной формы от этих переменных:
П
Функции
являются квадратичными формами. Функции
не являются квадратичными формами.
Заметим, что в выражении для квадратичной формы присутствуют как квадраты переменных так и их смешанные произведения . Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид если
т.е. все коэффициенты при смешанных произведениях переменных равны нулю; в этом случае говорят также, что форма является «суммой квадратов»1).
Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.
!
Поставленная задача имеет существенное значение для анализа
определить к какому типу (эллипс, гипербола, парабола,…) она относится.