Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
«ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА
Функции двух и трех переменных
Методические указания и контрольные задания
для студентов дневной формы обучения строительных специальностей
Факультет инженерно-строительный
Для всех специальностей
Вологда
2010
УДК: 511.147:511.61/62
Математика: Функции двух и трех переменных: методические указания и контрольные задания для студентов дневной формы обучения строительных специальностей. Вологда: ВоГТУ, 2010. –24 с.
В методических указаниях изложены основные задачи и методы их решения по теме «Функции двух и трех переменных», изучаемой студентами в курсе математики на инженерно-строительном факультете ВоГТУ. Перед изложением метода решения каждого типа задачи приведены краткие сведения из теории и необходимые формулы. В конце методических указаний приведены задачи, которые будут предложены студентам в контрольной работе по теме «Функции двух и трех переменных».
Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ
Составитель: Н.В. Степанова, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ВоГТУ.
Рецензент: О.И Микрюкова, канд. физ.-мат. наук, доцент,
зав. кафедрой высшей математики ВоГТУ.
Введение
Настоящие методические указания предназначены для студентов дневной формы обучения строительных специальностей. Их цель – помочь студентам в самостоятельном изучении материала по теме «Функции двух и трех переменных» и в подготовке к написанию контрольной работы по указанной теме.
§1. Функции двух и трех переменных
1.1. Частные производные функции двух и трех переменных
Сведения из теории
Изложение теоретических сведений начнем с введения понятия функции двух переменных. Пусть есть переменная с множеством значений . Есть также две независимые переменные и . Они принимают такие значения, при которых пары образуют плоскую область .
Определение Переменная называется функцией двух переменных и , если каждой паре значений по некоторому правилу или закону сопоставляется единственное значение .
Термины: область определения функции; и аргументы функции.
Везде далее мы будем рассматривать аналитический способ задания функции. Это значит, что правило, по которому паре значений сопоставляется единственное значение , задается с помощью формулы .
Определение функции трех переменных мало отличается от определения функции двух переменных.
Определение Переменная называется функцией трех переменных , и , если каждой тройке значений по некоторому правилу или закону сопоставляется единственное значение .
Область или (для функции 3-х переменных) называется областью определения функции. Строго говоря, она должна оговариваться в условии задачи. При аналитическом задании функции (с помощью формулы) этого часто не делается. В таком случае в качестве области определения берется область допустимых значений переменных формулы, с помощью которой функция задана. Такая область определения называется естественной.
Пример. Найти область определения функции .
Решение.
Найдем область допустимых значений формулы, задающей функцию:
Ответ. Область определения функции затемненная область на рисунке.
В теории функций одной переменной фундаментальным является понятие производной функции в точке. В теории функций 2-х и 3-х переменных фундаментальными являются понятия частных производных.
Рассмотрим два частных способа изменения переменных и для функции 2-х переменных.
Способ 1: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .
Определение Частная производная (читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е.
.
Способ 2: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .
Определение Частная производная (читается штрих по ) – это предел отношения частного приращения к приращению переменной при условии, что приращение , т.е.
.
Замечание В учебной литературе часто используется другое обозначение частных производных, а именно, и ( читается дэ z по дэ x,
дэ z по дэ y ).
Определение частных производных функции трех переменных принципиально не отличается от определения частных производных функции двух переменных. Разница состоит только в том, что при нахождении частных производных функции трех переменных одна переменная изменяется, а две других считаются константами.
Техника вычисления частных производных основана на тех же правилах, что и техника нахождения производных функции одной переменной. Этого и следовало ожидать, поскольку при вычислении частной производной меняется только одна переменная, а другие не меняются и считаются константами. При этом функции 2-х и 3-х переменных фактически становятся функциями одной переменной.
Частными дифференциалами функции 2-х переменных называются произведения вида и . Полный дифференциал – это сумма частных дифференциалов, т.е. .
Пример. Найти частные производные и полный дифференциал функции 2-х переменных .
Решение. Начнем с частной производной . При ее вычислении считаем константой. Тогда функция становится функцией одной переменной , т.е. . Как функция она является произведением и дифференцируется как произведение.
После небольшого упрощения получаем .
Найдем . Теперь функция становится функцией только от ,
а считается константой. По отношению к функция является обычным синусом. Тогда
.
Полный дифференциал функции будет иметь вид
Ответ. , ,
.
Пример. Найти частные производные функции 3-х переменных
.
Решение. Начнем с частной производной .
.
Сведения из теории
Обратите внимание на то, что частные производные 1-го порядка и сами являются функциями 2-х переменных. Для функции 2-х переменных также как и для функции одной переменной введены понятия производных второго порядка. Следует подчеркнуть, что, если для функции одной переменной существует только одна производная второго порядка , то для функции 2-х переменных можно вычислить 4 частных производных 2-го порядка, а именно: , , , . Частные производные , называются смешанными частными производными 2-го порядка. Очень важен порядок записи переменных в нижнем индексе. Например, символ означает, что сначала функция дифференцируется по и получается , а затем уже новая функция 2-х переменных дифференцируется по , т.е. . Не удивляйтесь, если получите, что . Это равенство справедливо во всех случаях, когда обе смешанные производные существуют.
Пример. Найти все частные производные 2-го порядка функции 2-х переменных
.
Решение.
В предыдущем примере были найдены частные производные первого порядка , . Вычислим , , , .
.
.
..
Заметьте, как было сказано ранее, смешанные частные производные 2-го порядка не зависят от порядка дифференцирования, поэтому
.
Ответ. ; ; .
Пример. Установить, удовлетворяет ли функция данному дифференциальному уравнению в частных производных
.
Решение.
Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных, если при подстановке этой функции в данное дифференциальное уравнение оно преобразуется в тождественное равенство.
Предварительно вычислим все частные производные, которые входят в дифференциальное уравнение.
; .
Подставим найденные выражения производных в левую часть дифференциального уравнения.
Ответ. Функция удовлетворяет данному дифференциальному уравнению в частных производных.
§2. Приложения частных производных
2.1. Производная по направлению функции двух и трех переменных
Сведения из теории
Мы рассматриваем функцию 2-х переменных . В общем случае переменные и могут изменяться одновременно и независимо друг от друга в области определения функции . При введении частных производных мы рассматривали два частных способа изменения и , а именно, когда одна переменная меняется, а вторая нет. Теперь введем понятие производной функции 2-х переменных при условии, что обе переменные меняются одновременно.
Обсудим один методический момент. Производная по направлению выводится в предположении, что точка удаляется от точки по прямой линии. Это предположение кажется неестественным, поскольку предполагается, что и могут изменяться совершенно произвольно. Следовательно, точка может удаляться от точки по произвольной траектории. Но понятие производной по направлению вводится в предположении, что расстояние от точки до точки стремится к 0. В этом случае любой криволинейный кусок траектории можно заменить куском касательной прямой, проведенной к этой траектории в точке . Именно поэтому во всех дальнейших рассуждениях мы будем предполагать, что точка удаляется от точки по прямой линии.
Выведем формулу для вычисления производной функции 2-х переменных по направлению. Для этого должны быть даны три объекта:
Если все перечисленные объекты известны, то формула производной данной функции в данной точке по заданному направлению вектора имеет вид
.
В этой формуле нужно пояснить вычисление направляющих косинусов и в том случае, когда направление задано вектором. Вектор задан своими
координатами .
Вычислим длину вектора :. Тогда
: .
Посмотрим на формулу производной по направлению с точки зрения векторов. Введем вектор с координатами . Для конкретной функции и конкретной точки он определен однозначно. Он называется градиентом функции в точке и обозначается
.
Этот вектор указывает направление самого быстрого роста функции в точке . Длина этого вектора как раз равна скорости этого роста.
Пример. Найти производную функции в точке в направлении вектора . Найти вектор .
Решение. Вычислим ;
.
Тогда вектор градиент будет иметь вид .
Найдем направляющие косинусы вектора :
; .
Окончательно производная по направлению будет равна
.
Так как , то функция в точке в направлении вектора убывает.
Ответ. ;
Замечание.
Производная функции трех переменных в точке по направлению вектора, образующего углы с координатными осями, имеет вид
.
Пример. Найти производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к точке .
Решение.
; ; .
Вектор направления . Его длина . Тогда
, , .
Вычислим искомую производную по направлению
.
Ответ. , следовательно, функция в точке А в направлении вектора возрастает.
2.2. Полный дифференциал функции двух и трех переменных.
Линеаризация функции двух и трех переменных.
Использование полного дифференциала в приближенных вычислениях.
Сведения из теории
Из теории функций двух переменных известно, что, если функция имеет в точке непрерывные частные производные и , то ее приращение , порожденное приращениями переменных и , представимо в виде .
Символ означает, что, если и стремятся к нулю, то слагаемое стремится к нулю еще быстрее. Если это слагаемое отбросить, то получится приближенное равенство
.
Выражение, которое осталось справа, называется полным дифференциалом функции двух переменных . Обозначение . Если символы и заменить символами и , называемые дифференциалами и , то полный дифференциал примет вид .
Из определения полного дифференциала следует, что для любой фиксированной точки разница между точным приращением функции , порожденным приращениями и , и дифференциалом , вычисленным в точке , есть величина бесконечно малая, т.е. . Отсюда следует цепочка приближенных равенств :
Если обозначить , , соответственно , , то приближенная формула примет вид
.
Поясним смысл этой формулы: исходная функция с произвольной формулой в окрестности точки заменяется на линейную функцию двух переменных вида . Главное достоинство последней функции простота вычисления. Для этой замены есть название
линеаризация функции.
Геометрически линеаризация функции двух переменных означает замену ординаты поверхности, являющейся графиком функции , на ординату касательной плоскости, проведенной к графику функции, в точке .
Для функции трех переменных полный дифференциал имеет вид . Линеаризация функции трех переменных в окрестности точки
задается следующим приближенным равенством
.
Рассмотрим на примере, как линеаризация функции используется для приближенного вычисления значений функции при «неудобных» значениях переменных.
Пример. Вычислить приближённо с помощью полного дифференциала значение выражения .
Решение. Прежде всего, нужно ввести функцию, частным значением которой является искомое выражение. В данном примере это будет функция трех переменных . Искомое выражение является ее значением при . Далее нужно подобрать значения , , такие, чтобы они, во-первых, были близки к , , и, во-вторых, значение функции вычислялось легко. Таковыми являются , , .
Легко вычислить . Линеаризацию функции нужно проводить в окрестности точки . Для этого вычислим значения частных производных в точке .
;
;
Формула линеаризации функции имеет вид:
.
Тогда .
Ответ. .
2.3. Экстремумы функции двух переменных
Сведения из теории
Напомним, что экстремумы бывают двух типов максимумы и минимумы. Экстремумы характеризуют функцию локально, только в окрестности некоторой точки. Это вытекает из самого определения экстремума.
Определение. Говорят, что функция двух переменных имеет максимум ( минимум ) в точке , если существует окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется неравенство (соответственно для минимума ).
Доказано, что функция может принимать максимум или минимум только в тех точках, в которых и или эти частные производные не существуют. Известно также, что условие еще не гарантирует наличие экстремума в точке . Для этого еще должны выполняться так называемые достаточные условия экстремума. Они формулируются в виде теоремы.
Теорема (достаточные условия экстремума)
Пусть в точке частные производные или эти частные производные не существуют. Вычислим для этой точки три числа: . По ним вычислим выражение . Тогда:
Пример. Исследовать на экстремумы функцию .
Решение.
Прежде всего, найдем точки, в которых частные производные и равны нулю: . Система имеет два решения и .
Далее найдем формулы частных производных 2-го порядка.
.
Сначала исследуем достаточные условия для точки .
.
Вычислим , следовательно, в точке экстремума нет.
Теперь исследуем достаточные условия для точки .
.
Вычислим , следовательно, в точке экстремум есть. Так как , то минимум. Вычислим его
.
Ответ. .
2.4. Условный экстремум функции двух переменных
Сведения из теории
Ранее мы исследовали на экстремум функцию двух переменных, не накладывая никаких условий на переменные и . Сейчас мы рассмотрим случай, когда и связаны друг с другом функциональной зависимостью. Она задается уравнением (называется уравнением связи). Мы рассмотрим простой вариант, когда из уравнения связи выражается явно как функция , т.е. .
Метод решения состоит в следующем. В функцию вместо символа подставим формулу, полученную из уравнения связи: . Очевидно, что при этом функция двух переменных превратится в функцию одной переменной .
Пример. Исследовать функцию на экстремум, если и связаны уравнением .
Решение. Из уравнения связи выразим : . Тогда . Вычислим . Стационарная точка . В ней квадратичная функция имеет минимум, который равен .
Ответ. .
2.5. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
на замкнутой области
Сведения из теории
Пусть функция определена и непрерывна на замкнутой
области .
Определение Значение функции в точке называется наибольшим (наименьшим) на замкнутой области , если в любой другой точке значение функции ( или для наименьшего ).
Свои наименьшее и наибольшее значения функция может принимать либо в стационарных точках ( точках, в которых и ) при условии, что они принадлежат области , либо на границе области . Этот факт определяет метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.
Замечание Обратите внимание, не нужно исследовать каждую отобранную стационарную точку на наличие в ней экстремума и его типа. В данной задаче важно только числовое значение функции в стационарной точке.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области ,
ограниченной графиками функций: , , .
Решение. Прежде всего следует нарисовать область (Рис.1 ).
1. Найдем стационарные точки.
стационарная точка.
Так как точка , то в ней нужно вычислить значение функции. =
2. Найдем стационарные точки на отрезке границы АВ.
На отрезке границы АВ функция 2-х переменных становится функцией одной переменной , а именно: . Исследование на границе является задачей нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке. Поэтому вычислим . Следовательно, точку просто отбрасываем.
Вычислим значения функции на концах отрезка АВ:
= ; =
3. Найдем стационарные точки на отрезке границы ВС.
На отрезке границы ВС функция 2-х переменных становится функцией одной переменной , а именно: .
Вычислим . Следовательно, точка , а значит нужно вычислить в ней значение функции :
=.
Вычислим значения функции на концах отрезка ВС:
(вычислено в п. 2) , =.
4. Найдем стационарные точки на отрезке границы АС. .
На отрезке границы АС функция 2-х переменных становится функцией одной переменной , а именно:
.
Вычислим . Следовательно, точка , а значит в ней нужно вычислить значение функции : .
Значения функции на концах отрезка АС вычислены в предыдущих пунктах.
5.
Ответ. , .
§3. Линейное приближение экспериментальных данных
Экспериментально получены пять значений функции при пяти значениях аргумента , которые представлены в данной таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию, описывающую приближенно (аппроксимирующую) эксперимен тальные данные. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоу гольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .
Решение. Из условия задачи имеем:
это значения переменной , полученные экспериментально.
это значения переменной , рассчитанные теоретически по формуле . Вычислим разность между экспериментальными и теоретическими значениями переменной , т.е. . Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Мы будем рассматривать эту разность в квадрате, т.е. . Просуммируем эти квадраты разностей по всем : . Наилучшими значениями параметров и будем считать те, при которых сумма принимает минимальное значение.
Таким образом, получаем классическую задачу: найти точку минимума функции двух переменных . По теории минимум функция может принимать только в тех точках, в которых частные производные и . Вычисления приведут к системе
Учитывая, что неизвестными в этих уравнениях являются параметры и , преобразуем систему к шаблонному виду, удобному для использования формул Крамера.
Тогда: ; .
Значения сумм приведены в таблице
|
i |
xi |
yi |
xi^2 |
xi yi |
|
1 |
1 |
4,3 |
1 |
4,3 |
|
2 |
2 |
5,3 |
4 |
10,6 |
|
3 |
3 |
3,8 |
9 |
11,4 |
|
4 |
4 |
1,8 |
16 |
7,2 |
|
5 |
5 |
2,3 |
25 |
11,5 |
|
Сумма |
15 |
17,5 |
55 |
45 |
Вычислим:
;
Линейная функция , описывающая приближенно эксперимен тальные данные, имеет вид . Ее график, а также экспериментальные значения изображены на рис. 2.
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ «ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
|
Задача № 1. Установить, удовлетворяет ли данная функция данному дифференциальному уравнению в частных производных |
|||
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
Задача № 2 Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке |
|||
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
Задача № 3 Найти область определения функции |
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
Задача № 4 Исследовать на экстремум функцию |
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
Задача № 5 Найти производную данной функции в данной точке в направлении заданного вектора |
|||
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
в направлении |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
|
|
; |
|
Задача № 6 Вычислить приближённо с помощью полного дифференциала значение выражения |
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
при |
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
при |
|
Задача № 7 Найти наименьшее и наибольшее значения функции на замкнутой области : |
|||
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
; |
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
; |
Список литературы
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов: в 2 т./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. школа, 1980. – Т.1. – 320 с.
Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учеб. пособие для инжер.-техн. специальностей вузов: в 3 ч. / под общ. ред. А.П. Рябушко. Ч. 2. – Минск: Академ. книга, 2006. – 351 с.: ил.
Содержание
Введение 3
§1. Функции двух и трех переменных 3
1.1 Частные производные функции двух и трех переменных.. 3
§2. Приложения частных производных 8
2.1. Производная по направлению функции двух и трех переменных 8
2.2. Полный дифференциал функции двух и трех переменных.
Линеаризация функции двух и трех переменных. Использование
полного дифференциала в приближенных вычислениях 11
2.3. Экстремумы функции двух переменных 14
2.4. Условный экстремум функции двух переменных.. 15
2.5. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
на замкнутой области 15
§3. Линейное приближение экспериментальных данных 18
Задачи для контрольной работы «Функции двух и трех переменных» 20
Литература 24
PAGE 11
Рис. 2
Рис. 1
B
A