Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематики МАТЕМАТИКА Функции двух и трех переменных Методические указания и контрольные задани

Работа добавлена на сайт samzan.net:


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

«ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИКА

Функции двух и трех переменных

Методические указания и контрольные задания

для студентов дневной формы обучения строительных специальностей

Факультет инженерно-строительный

Для всех специальностей

Вологда

2010


УДК: 511.147:511.61/62

Математика: Функции двух и трех переменных: методические  указания и контрольные задания  для студентов дневной формы обучения строительных специальностей. Вологда: ВоГТУ, 2010. –24 с.

В методических указаниях изложены основные задачи и методы их решения по теме «Функции двух и трех переменных», изучаемой студентами в курсе математики на инженерно-строительном факультете ВоГТУ. Перед изложением метода решения каждого типа задачи  приведены краткие сведения из теории и необходимые формулы. В конце методических указаний приведены задачи, которые будут предложены студентам в контрольной работе по теме  «Функции двух и трех переменных».

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ

Составитель: Н.В. Степанова, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ВоГТУ.

Рецензент: О.И Микрюкова, канд. физ.-мат. наук, доцент,
зав. кафедрой высшей  математики ВоГТУ.


Введение

Настоящие методические указания предназначены для студентов дневной формы обучения строительных специальностей. Их цель – помочь студентам в самостоятельном изучении материала по теме «Функции двух и трех переменных» и в подготовке к написанию контрольной работы по указанной теме.

§1. Функции двух и трех переменных

1.1. Частные производные функции двух и трех переменных

Сведения из теории

Изложение теоретических сведений начнем с введения понятия функции двух переменных. Пусть есть переменная  с множеством значений . Есть также две независимые переменные  и . Они принимают такие значения, при которых пары  образуют плоскую область .

Определение Переменная  называется функцией двух переменных  и , если каждой паре значений  по некоторому правилу или закону сопоставляется единственное значение .

Термины: область определения функции;   и аргументы функции.

Везде далее мы будем рассматривать аналитический способ задания функции. Это значит, что правило, по которому паре значений  сопоставляется единственное значение , задается с помощью формулы .

Определение функции трех переменных мало отличается от определения функции двух переменных.

Определение Переменная  называется функцией трех переменных , и , если каждой тройке значений  по некоторому правилу или закону сопоставляется единственное значение .

Область  или (для функции 3-х переменных) называется областью определения функции. Строго говоря, она должна оговариваться в условии задачи. При аналитическом задании функции (с помощью формулы) этого часто не делается. В таком случае в качестве области определения берется область допустимых значений переменных формулы, с помощью которой функция задана. Такая область определения называется естественной.

Пример. Найти область определения функции .

Решение.

Найдем область допустимых значений формулы, задающей функцию:

Ответ. Область определения функции затемненная область на рисунке.

В теории функций одной переменной фундаментальным является понятие производной функции в точке. В теории функций 2-х и 3-х переменных фундаментальными являются понятия частных производных.

Рассмотрим два частных способа изменения переменных  и для функции 2-х переменных.

Способ 1: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством  . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .

Определение Частная производная (читается  штрих по ) – это предел отношения частного приращения  к приращению переменной  при условии, что приращение , т.е.

.

Способ 2: изменяется, а фиксирована. При этом приращение переменной , обозначенное как , порождает приращение функции, задаваемое равенством  . Оно называется частным приращением по , чтобы подчеркнуть, что изменяется только переменная .

Определение Частная производная (читается  штрих по ) – это предел отношения частного приращения  к приращению переменной  при условии, что приращение , т.е.

.

Замечание В учебной литературе часто используется другое обозначение частных производных, а именно,  и  (  читается дэ z по дэ x,  
дэ z по дэ y  ).

Определение частных производных функции  трех переменных принципиально не отличается от определения частных производных функции  двух переменных. Разница состоит только в том, что при нахождении частных производных функции  трех переменных одна переменная изменяется, а две других считаются константами.

Техника вычисления частных производных основана на тех же правилах, что и техника нахождения производных функции одной переменной. Этого и следовало ожидать, поскольку при вычислении частной производной меняется только одна переменная, а другие не меняются и считаются константами. При этом функции 2-х и 3-х переменных фактически становятся функциями одной переменной.

Частными дифференциалами функции 2-х переменных называются произведения вида  и . Полный дифференциал – это сумма частных дифференциалов, т.е. .

Пример. Найти частные производные и полный дифференциал функции 2-х переменных .

Решение.  Начнем с частной производной . При ее вычислении считаем константой. Тогда функция  становится функцией одной переменной , т.е. . Как функция  она является произведением и дифференцируется как произведение.

После небольшого упрощения получаем  .

Найдем . Теперь функция  становится функцией только от ,

а считается константой. По отношению к  функция  является обычным синусом. Тогда

.

Полный дифференциал функции  будет иметь вид

Ответ.         ,         ,   

.

Пример. Найти частные производные функции 3-х переменных

.

Решение.  Начнем с частной производной .

.

Сведения из теории

Обратите внимание на то, что частные производные 1-го порядка  и  сами являются функциями  2-х переменных. Для функции 2-х переменных также как и для функции одной переменной введены понятия производных второго порядка. Следует подчеркнуть, что, если для функции одной переменной существует только одна производная второго порядка , то для функции 2-х переменных можно вычислить 4 частных производных 2-го порядка, а именно: ,  ,   , . Частные производные  ,  называются смешанными частными производными 2-го порядка. Очень важен порядок записи переменных в нижнем индексе. Например, символ  означает, что сначала функция  дифференцируется по  и получается  , а затем уже новая функция 2-х переменных  дифференцируется по , т.е. . Не удивляйтесь, если получите, что . Это равенство справедливо во всех случаях, когда обе смешанные производные существуют.

Пример. Найти все частные производные 2-го порядка функции 2-х переменных

.

Решение. 

В предыдущем примере были найдены частные производные первого порядка  ,  . Вычислим ,  ,   , .

.

.

..

Заметьте, как было сказано ранее, смешанные частные производные 2-го порядка не зависят от порядка дифференцирования, поэтому

.

Ответ. ;  ; .

Пример. Установить, удовлетворяет ли функция   данному дифференциальному уравнению в частных производных

.

Решение. 

Функция  удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных, если при подстановке этой функции в данное дифференциальное уравнение оно преобразуется в тождественное равенство.

Предварительно вычислим все частные производные, которые входят в дифференциальное уравнение.

;    .

Подставим найденные выражения производных в левую часть дифференциального уравнения.

Ответ. Функция  удовлетворяет данному дифференциальному уравнению в частных производных.

§2. Приложения частных производных

2.1. Производная по направлению функции двух и трех переменных

Сведения из теории

Мы рассматриваем функцию 2-х переменных . В общем случае переменные  и могут изменяться одновременно и независимо друг от друга в области определения функции . При введении частных производных мы рассматривали два частных способа изменения  и , а именно, когда одна переменная меняется, а вторая нет. Теперь введем понятие производной функции 2-х переменных при условии, что обе переменные меняются одновременно.

Обсудим один методический момент. Производная по направлению выводится в предположении, что точка  удаляется от точки  по прямой линии. Это предположение кажется неестественным, поскольку предполагается, что  и  могут изменяться совершенно произвольно. Следовательно, точка  может удаляться от точки  по произвольной траектории. Но понятие производной по направлению вводится в предположении, что расстояние от точки  до точки  стремится к 0. В этом случае любой криволинейный кусок траектории можно заменить куском касательной прямой, проведенной к этой траектории в точке .  Именно поэтому во всех дальнейших рассуждениях мы будем предполагать, что точка удаляется от точки  по прямой линии.

Выведем формулу для вычисления производной функции 2-х переменных по направлению. Для этого должны быть даны три объекта:

  1.  конкретная функция 2-х переменных ;
  2.  конкретная точка, в которой вычисляется производная
    (разумеется, точка может быть обозначена любой другой буквой);
  3.  направление, в котором вычисляется производная (может быть задано либо вектором , либо направлением движения от точки к точке, либо углами  и , образованными прямой с положительным направлением координатных осей). Относительно углов  и  оговорим следующее: угол  может принимать только положительные значения из интервала  . Угол  при этом произвольным уже не является, он находится через угол  по формуле . Из этой формулы получается, что угол  может получиться отрицательным (полученным вращением луча от оси ОY по часовой стрелке).

Если все перечисленные объекты известны, то формула производной данной функции  в данной точке  по заданному направлению вектора  имеет вид

.

В этой формуле нужно пояснить вычисление направляющих косинусов и в том случае, когда направление задано вектором.  Вектор  задан своими

координатами .

Вычислим длину вектора :. Тогда  

:       .

Посмотрим на формулу производной по направлению с точки зрения векторов. Введем вектор с координатами . Для конкретной функции  и конкретной точки  он определен однозначно. Он называется градиентом функции   в точке  и обозначается

.

Этот вектор указывает направление самого быстрого роста функции в точке . Длина этого вектора  как раз равна скорости этого роста.

Пример. Найти производную функции  в точке  в направлении вектора . Найти вектор .

Решение. Вычислим     ;

   .

Тогда вектор градиент будет иметь вид  .

Найдем направляющие косинусы вектора :

;  .

Окончательно производная по направлению будет равна

.

Так как , то функция  в точке  в направлении вектора  убывает.

Ответ. ;   

Замечание.

 Производная функции трех переменных  в точке  по направлению вектора, образующего углы  с координатными осями, имеет вид

.

Пример. Найти производную функции  в точке  в направлении, идущем от этой точки к точке .

Решение.

;       ;      .

Вектор направления . Его длина . Тогда

, , .

Вычислим искомую производную по направлению

.

Ответ. , следовательно, функция   в точке  А  в направлении вектора  возрастает.

2.2. Полный дифференциал функции двух и трех переменных.

Линеаризация функции двух и трех переменных.
Использование полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Сведения из теории

Из теории функций двух переменных известно, что, если функция    имеет в точке  непрерывные частные производные  и , то ее приращение , порожденное приращениями переменных и , представимо в виде .

Символ  означает, что, если и  стремятся к нулю, то слагаемое  стремится к нулю еще быстрее. Если это слагаемое отбросить, то получится приближенное равенство

.

Выражение, которое осталось справа, называется полным дифференциалом  функции двух переменных . Обозначение   . Если символы  и  заменить символами и  , называемые дифференциалами и , то полный дифференциал примет вид .

Из определения полного дифференциала следует, что для любой фиксированной точки  разница между точным приращением функции , порожденным приращениями и , и дифференциалом , вычисленным в точке  , есть величина бесконечно малая, т.е. . Отсюда следует цепочка приближенных равенств :  

 

Если обозначить , , соответственно  , , то приближенная формула примет вид

.

Поясним смысл этой формулы: исходная функция  с произвольной формулой  в окрестности точки    заменяется  на линейную функцию двух переменных вида   .   Главное достоинство последней функции простота вычисления. Для этой замены есть название
  линеаризация функции.

Геометрически  линеаризация функции двух переменных означает замену ординаты поверхности, являющейся графиком функции , на ординату касательной плоскости, проведенной к графику функции, в точке .

Для функции трех переменных  полный дифференциал имеет вид . Линеаризация функции трех переменных    в окрестности точки     
задается следующим приближенным равенством

.

Рассмотрим на примере, как линеаризация функции используется для приближенного вычисления значений функции при «неудобных» значениях переменных.

Пример. Вычислить приближённо с помощью полного дифференциала значение выражения .

Решение. Прежде всего, нужно ввести функцию, частным значением которой является искомое выражение. В данном примере это будет функция трех переменных . Искомое выражение является ее значением при . Далее нужно подобрать значения , , такие, чтобы они, во-первых, были близки к , , и, во-вторых,  значение функции  вычислялось легко. Таковыми являются , , .
Легко вычислить .    Линеаризацию функции   нужно проводить в окрестности точки . Для этого вычислим значения частных производных в точке .

;

 ;

Формула линеаризации функции имеет вид:

.

Тогда   .

Ответ.  .

2.3. Экстремумы  функции двух переменных

Сведения из теории

Напомним, что экстремумы бывают двух типов максимумы и минимумы. Экстремумы характеризуют функцию локально, только в окрестности  некоторой точки. Это вытекает из самого определения  экстремума.

Определение. Говорят, что функция двух переменных  имеет максимум ( минимум ) в точке , если существует окрестность этой точки, для всех точек  которой выполняется неравенство  (соответственно для минимума ).

Доказано, что функция  может принимать максимум или минимум только в тех точках, в которых  и  или эти частные производные не существуют. Известно также, что условие  еще не гарантирует наличие экстремума в точке . Для этого еще должны выполняться так называемые достаточные условия экстремума. Они формулируются в виде теоремы.

Теорема (достаточные условия экстремума)

Пусть в точке частные производные  или эти частные производные не существуют. Вычислим для этой точки три числа: . По ним вычислим выражение . Тогда:

  1.  если  , то экстремум есть, при этом, если число , то минимум, а если , то максимум;
  2.  если  , то экстремума нет;
  3.  если  , для исследования функции на экстремум нужны дополнительные исследования с использованием частных производных более высокого порядка.

Пример. Исследовать на экстремумы функцию  .

Решение.

Прежде всего, найдем точки, в которых частные производные  и  равны нулю: . Система имеет два решения  и .

Далее найдем формулы частных производных 2-го порядка.

.

Сначала исследуем достаточные условия для точки .

.

Вычислим , следовательно, в точке  экстремума нет.

Теперь исследуем достаточные условия для точки .

.

Вычислим , следовательно, в точке  экстремум есть. Так как , то минимум. Вычислим его

.

Ответ.   .

2.4. Условный экстремум функции двух переменных

Сведения из теории

Ранее мы исследовали на экстремум функцию двух переменных, не накладывая никаких условий на переменные  и . Сейчас мы рассмотрим случай, когда  и связаны друг с другом функциональной зависимостью. Она задается уравнением  (называется уравнением связи). Мы рассмотрим простой вариант, когда из уравнения связи выражается явно как функция , т.е. .

Метод решения состоит в следующем. В функцию  вместо символа подставим  формулу, полученную из уравнения связи:   . Очевидно, что при этом функция двух переменных превратится в функцию одной переменной .

Пример. Исследовать функцию  на экстремум, если  и  связаны уравнением .

Решение. Из уравнения связи выразим :   . Тогда  . Вычислим . Стационарная точка . В ней квадратичная функция  имеет минимум, который равен   .

Ответ. .

2.5. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
на замкнутой  области

Сведения из теории

Пусть функция   определена и непрерывна на замкнутой
области .

Определение Значение функции  в точке    называется наибольшим (наименьшим) на замкнутой области , если в любой другой точке  значение функции   ( или   для наименьшего ).

Свои наименьшее и наибольшее значения функция  может принимать либо в стационарных точках ( точках, в которых   и ) при условии, что они принадлежат области , либо на границе области . Этот факт определяет метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

  1.  Вычислим частные производные и приравняем их  нулю, т.е.
    и . Найдем стационарные точки. Из них выберем только те, которые принадлежат области , остальные просто отбросим.

  1.  В отобранных стационарных точках вычислим значения функции.

Замечание Обратите внимание, не нужно исследовать каждую отобранную стационарную точку на наличие в ней экстремума и его типа. В данной задаче важно только числовое значение функции в стационарной точке.

  1.  Исследуем поведение функции на границе области. Найдем на ней стационарные точки и в них вычислим значения функции.
  2.  Из всех вычисленных значений функции выберем максимальное и минимальное. Максимальное значение является наибольшим значением функции, а минимальное значение является наименьшим значением функции  на замкнутой области .

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции   в замкнутой области ,
ограниченной графиками функций:   ,  , .

Решение.  Прежде всего следует нарисовать область  (Рис.1 ).

1.  Найдем стационарные точки.

  
    стационарная точка.

Так как точка , то в ней нужно вычислить значение функции. =

2.  Найдем стационарные точки на отрезке границы АВ.

На отрезке границы АВ функция 2-х переменных  становится функцией одной переменной , а именно:   . Исследование  на границе является задачей нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке. Поэтому вычислим   . Следовательно, точку  просто отбрасываем.

Вычислим значения функции  на концах отрезка АВ:

= ;  =

3.  Найдем стационарные точки на отрезке границы ВС.

На отрезке границы ВС функция 2-х переменных  становится функцией одной переменной , а именно: .

Вычислим . Следовательно, точка , а значит нужно вычислить в ней значение функции :

=.

Вычислим значения функции  на концах отрезка ВС:

(вычислено в п. 2) ,  =.

4.  Найдем стационарные точки на отрезке границы АС. .

На отрезке границы АС функция 2-х переменных  становится функцией одной переменной , а именно:

.

Вычислим . Следовательно, точка , а значит в ней нужно вычислить значение функции :   .

Значения функции на концах отрезка АС вычислены в предыдущих пунктах.

5.  

Ответ.     ,  .

§3. Линейное приближение экспериментальных данных

Экспериментально получены пять значений функции  при пяти значениях аргумента , которые представлены в данной таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию, описывающую приближенно (аппроксимирующую) экспериментальные данные. Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки  и график аппроксимирующей функции .

Решение.    Из условия задачи имеем:

это значения переменной , полученные экспериментально.

это значения переменной , рассчитанные теоретически по формуле . Вычислим разность между экспериментальными и теоретическими значениями переменной , т.е. . Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Мы будем рассматривать эту разность в квадрате, т.е. . Просуммируем эти квадраты разностей по всем  :  . Наилучшими значениями параметров и  будем считать те, при которых сумма  принимает минимальное значение.

Таким образом, получаем классическую задачу: найти точку минимума функции двух переменных . По теории минимум функция  может принимать только в тех точках, в которых частные производные и . Вычисления приведут к системе

Учитывая, что неизвестными в этих уравнениях являются параметры и , преобразуем систему к шаблонному виду, удобному для использования формул Крамера.

Тогда:     ;     .

Значения сумм приведены в таблице

i

xi

yi

xi^2

xi yi

1

1

4,3

1

4,3

2

2

5,3

4

10,6

3

3

3,8

9

11,4

4

4

1,8

16

7,2

5

5

2,3

25

11,5

Сумма

15

17,5

55

45

Вычислим:  

;          

Линейная функция , описывающая приближенно экспериментальные данные, имеет вид . Ее график, а также экспериментальные значения  изображены на рис. 2.


ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ  «ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Задача № 1.  Установить, удовлетворяет ли данная функция данному дифференциальному уравнению в частных производных
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;

  1.  

;

  1.  

;
  1.  

;  
  1.  

;
  1.  

 
  1.  

;
  1.  

           
  1.  

    
  1.  

         
  1.  

;

Задача № 2 Найти уравнение касательной плоскости к поверхности    в точке   
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

;

Задача № 3  Найти область определения функции
  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

Задача № 4  Исследовать на экстремум функцию  
  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

Задача № 5  Найти производную данной функции  в данной точке в направлении заданного вектора
  1.  

 

;  
  1.  

 

;

  1.  

 

;  
  1.  

 

;

  1.  

 

;

  1.  

  

в направлении
вектора , где точка .
  1.  

 

;

  1.  

 

;

  1.  

 

;

  1.  

;  
  1.  

 

;

  1.  

  

;

  1.  


;  
  1.  

  

;

Задача № 6  Вычислить приближённо с помощью полного дифференциала значение выражения
  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

  1.  

при

  1.  

  1.  

при

  1.  

  1.  

 при

Задача № 7  Найти наименьшее и наибольшее значения функции на замкнутой области :
  1.  

;
  1.  

;
  1.  

 ;

  1.  

 ;
  1.  

 ;

  1.  

;

  1.  

;  
  1.  

 ;   
  1.  

 
  1.  

 ;

  1.  

 
  1.  

 ;

  1.  

;
  1.  

;


Список литературы

Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов: в 2 т./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высш. школа, 1980. – Т.1. – 320 с.

Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учеб. пособие для инжер.-техн. специальностей вузов: в 3 ч. / под общ. ред. А.П. Рябушко. Ч. 2. – Минск: Академ. книга, 2006. – 351 с.: ил.

  1.  

Содержание

Введение 3

§1. Функции двух и трех переменных  3

1.1  Частные производные функции двух и трех переменных.. 3

§2. Приложения частных производных 8

2.1.  Производная по направлению функции двух и трех переменных 8

2.2.  Полный дифференциал функции двух и трех переменных.

Линеаризация функции двух и трех переменных. Использование
полного дифференциала в приближенных вычислениях 11

2.3. Экстремумы  функции двух переменных 14

2.4. Условный экстремум функции двух переменных.. 15

2.5. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
на замкнутой  области 15

§3. Линейное приближение экспериментальных данных 18

Задачи для контрольной работы «Функции двух и трех переменных» 20

Литература 24

PAGE  11


Рис. 2

Рис. 1

B

A




1. Модель экономического развития Азербайджана
2. Задание-
3. Задание В3 Из предложения выпишите грамматическую основу 1
4. Night vision system to enble drivers to see better fter drk
5. Введение4
6. Контрольная работа- История психологии как смена категорий- душа, сознание, поведение, психик
7. Socil Psychology 7th ed 2002 Эта книга одновременно строго научная и человечная наполнена фактами и интригующе
8. История развития физиологии высшей нервной деятельности
9. ТЕМА ЗАНЯТИЯ- ОСТРЫЕ И ХРОНИЧЕСКИЕ ЛЕЙКОЗЫ Место проведения- учебная комната палаты Количество часов- 5
10. Традиционные продукты питания в Индии
11. Изучением действия лекарственных веществ на организм человека занимается фармакология которая
12. Work to pln Too mny people strt looking for specific job before thinking out their occuptionl ims
13. Электр тізбектеріндегі ~тпелі ж~не орнатыл~ан режимдерді зерттеу
14. Тема- Учимся сочинять танцуя
15. Понятие, структура и значение политической культур
16. апостроф задається символьною сталою ''
17.  Обсяги продажу за 20052006 рр
18. Дмитрий Иванович Менделеев
19. приглашаем Вас или просим Вас принять участие
20. Ефективність функціонування особистих селянських господарств в ринкових умовах

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе