Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВГОРОДСКИЙ ФИЛИАЛ
Утверждаю
Директор Новгородского
Филиала РАНХиГС
__________________А.В. Костюкова
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
по специальности 080504 «Государственное и муниципальное управление»
Составитель: к.техн.н., доцент Майер И.И.
Согласовано на заседании кафедры
экономики и маркетинга
« 15 » сентября 2012 г., протокол №1
Зав. кафедрой__________________ /О.Д. Притула/
Великий Новгород
2012
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ:
Цели дисциплины:
Задачи дисциплины:
Основной задачей изучения дисциплины является формирование достаточной для решения прикладных задач математической культуры.
Для этого необходима реализация следующих задач:
ВИДЫ ЗАНЯТИЙ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ:
Для заочной формы обучения предусмотрены лекционные и практические занятия в рамках установочных сессий, контрольные работы, экзамен. Заочное обучение проводится в двух семестрах. Студенты выполняют контрольную работу, включающую задания по основным дидактическим единицам дисциплины. Объем и задания по контрольной работе, защита работы обеспечивают достаточно глубокое изучение студентами основных разделов курса.
ФОРМЫ КОНТРОЛЯ:
Оперативный контроль – включает текущий опрос по содержанию лекций и практических работ. В рамках изучения отдельных тем проводятся семи - десяти минутные контрольные работы с анализом и обсуждением результатов.
Итоговый контроль включает:
защиту предварительно проверенной итоговой контрольной работы.
сдачу экзамена.
Экзамен проводится по заранее выданным темам и включает основные дидактические единицы дисциплины.
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
(заочная форма обучения - 6 лет)
|
№ |
Наименование темы |
Всего часов |
В том числе: |
Форма контроля |
||
|
Аудитор ная работа |
Самостоятельная работа |
|||||
|
Лекции (час.) |
Практические занятия (час.) |
|||||
|
I семестр |
||||||
|
1 |
Раздел 1 Введение. Тема 1. Начала векторной алгебры и аналитической геометрии |
12 |
1 |
11 |
ОК |
|
|
2 |
Тема 2. Матрицы |
18 |
1 |
1 |
16 |
РК |
|
Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений |
14 |
1 |
1 |
12 |
РК |
|
|
Тема 4. Векторные пространства. |
6 |
1 |
5 |
ОК |
||
|
Тема 5. Применение линейной алгебры в экономике. Модель Леонтьева |
4 |
1 |
3 |
РК |
||
|
Раздел II. Введение в математический анализ. Тема 6 Введение в анализ. |
22 |
1 |
1 |
20 |
РК |
|
|
Тема 7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной |
22 |
1 |
1 |
20 |
РК |
|
|
Тема 8. Исследование функций одной переменной |
8 |
2 |
1 |
5 |
РК |
|
|
Тема 9. Функция нескольких переменных |
31 |
1 |
30 |
ОК |
||
|
Раздел Ш. Интегральное исчисление функции одной переменной. Тема 10. Первообразная и неопределенный интеграл |
28 |
2 |
1 |
25 |
РК |
|
|
Тема 11. Определенный интеграл функции одной переменной. |
22 |
1 |
1 |
20 |
РК |
|
|
Тема 12. Кратные интегралы. Основные понятия. |
11 |
1 |
10 |
ОК |
||
|
5 |
Раздел IV. Ряды. Тема 13. Числовые ряды |
7 |
1 |
1 |
5 |
ОК |
|
Тема14. Функциональные ряды |
7 |
1 |
1 |
5 |
ОК |
|
|
Раздел V Тема 15. Дифференциальные уравнения |
27 |
1 |
1 |
25 |
РК |
|
|
6 |
Тема 16. Системы дифференциальных уравнений. |
8 |
1 |
7 |
ОК |
|
|
Всего в 1 семестре |
247 |
18 |
10 |
219 |
||
|
II семестр |
||||||
|
7 |
Раздел VI. Вероятность и статистика. Тема 17. Случайные события |
22 |
1 |
1 |
20 |
РК |
|
Тема 18.Случайные величины |
47 |
2 |
2 |
43 |
РК |
|
|
Тема 19. Основы статистического описания и теория оценок |
32 |
2 |
2 |
28 |
РК |
|
|
Тема 20. Введение в теорию проверки гипотез. |
22 |
1 |
1 |
20 |
РК |
|
|
Тема 21. Элементы дисперсионного анализа |
18 |
1 |
1 |
16 |
ОК |
|
|
Тема 22. Основы теории корреляции и регрессии |
26 |
2 |
2 |
22 |
ОК |
|
|
Тема 23. Элементы статистики случайных процессов. |
15 |
1 |
14 |
ОК |
||
|
Тема 24. Введение во временные ряды |
19 |
1 |
2 |
16 |
ОК |
|
|
Тема 25. Методы многомерного анализа |
16 |
1 |
1 |
14 |
ОК |
|
|
Раздел VП. Методы оптимизации. Тема 26. Линейное и цело – численное программирование. |
30 |
2 |
2 |
26 |
РК |
|
|
Тема 27. Игровые модели. |
18 |
1 |
1 |
16 |
ОК |
|
|
Всего в 2-м семестре |
265 |
15 |
15 |
235 |
||
|
Итоговый контроль |
экзамен |
|||||
|
Всего в учебном году |
512 |
33 |
25 |
454 |
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН (заочная форма обучения - 3,5 года)
|
№ |
Наименование темы |
Всего часов |
В том числе: |
Форма контроля |
||
|
Аудитор ная работа |
Самостоятельная работа |
|||||
|
Лекции (час.) |
Практические занятия (час.) |
|||||
|
I семестр |
||||||
|
1 |
Раздел 1 Введение. Тема 1. Начала векторной алгебры и аналитической геометрии |
13 |
0,5 |
12,5 |
ОК |
|
|
2 |
Тема 2. Матрицы |
16 |
0,5 |
0,5 |
15 |
РК |
|
Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений |
13 |
0,5 |
12,5 |
РК |
||
|
Тема 4. Векторные пространства. |
8 |
0,5 |
7,5 |
ОК |
||
|
Тема 5. Применение линейной алгебры в экономике. Модель Леонтьева |
4 |
0,5 |
3,5 |
РК |
||
|
Раздел II. Введение в математический анализ. Тема 6 Введение в анализ. |
17 |
0,5 |
16,5 |
РК |
||
|
Тема 7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной |
17 |
0,5 |
16,5 |
РК |
||
|
Тема 8. Исследование функций одной переменной |
8 |
0,5 |
7,5 |
РК |
||
|
Тема 9. Функция нескольких переменных |
23 |
0,5 |
22,5 |
ОК |
||
|
Раздел Ш. Интегральное исчисление функции одной переменной. Тема 10. Первообразная и неопределенный интеграл |
24 |
0,5 |
0,5 |
23 |
РК |
|
|
Тема 11. Определенный интеграл функции одной переменной. |
27 |
0,5 |
26,5 |
РК |
||
|
Тема 12. Кратные интегралы. Основные понятия. |
11 |
11 |
ОК |
|||
|
5 |
Раздел IV. Ряды. Тема 13. Числовые ряды |
7 |
0,5 |
0,5 |
6 |
ОК |
|
Тема14. Функциональные ряды |
8 |
0,5 |
7,5 |
ОК |
||
|
Раздел V Тема 15. Дифференциальные уравнения |
23 |
0,5 |
22,5 |
РК |
||
|
6 |
Тема 16. Системы дифференциальных уравнений. |
7 |
0,5 |
6,5 |
ОК |
|
|
Раздел VI. Вероятность и статистика. Тема 17. Случайные события |
21 |
0,5 |
0,5 |
20 |
РК |
|
|
Всего во 1 семестре |
257 |
4 |
6 |
247 |
||
|
II семестр |
||||||
|
Тема 18.Случайные величины |
45 |
0,5 |
44,5 |
РК |
||
|
Тема 19. Основы статистического описания и теория оценок |
31 |
0,5 |
30,5 |
РК |
||
|
Тема 20. Введение в теорию проверки гипотез. |
28 |
0,5 |
27,5 |
РК |
||
|
Тема 21. Элементы дисперсионного анализа |
16 |
0,5 |
0,5 |
15 |
ОК |
|
|
Тема 22. Основы теории корреляции и регрессии |
28 |
1 |
0,5 |
26,5 |
ОК |
|
|
Тема 23. Элементы статистики случайных процессов. |
17 |
0,5 |
16,5 |
ОК |
||
|
Тема 24. Введение во временные ряды |
18 |
0,5 |
17,5 |
ОК |
||
|
Тема 25. Методы многомерного анализа |
18 |
0,5 |
0,5 |
17 |
ОК |
|
|
Раздел VП. Методы оптимизации. Тема 26. Линейное и цело – численное программирование. |
34 |
1 |
0,5 |
32,5 |
РК |
|
|
Тема 27. Игровые модели. |
20 |
0,5 |
19,5 |
ОК |
||
|
Всего в 2-м семестре |
255 |
6 |
4 |
245 |
||
|
Рубежный контроль |
контрольная работа |
|||||
|
Итоговый контроль |
экзамен |
|||||
|
Всего в учебном году |
512 |
10 |
10 |
492 |
Материалы дисциплины «Математика» распределены между отдельными темами следующим образом:
Тема 1. Начала векторной алгебры и аналитической геометрии
Метод координат. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Преобразование координат. Векторы и линейные операции над ними. Скалярное произведение векторов и его свойства. Угол между векторами. Условие перпендикулярности двух векторов. Условие коллинеарности двух векторов.
Понятие об уравнении линии и уравнение линии в различных системах координат. Способы задания прямой на плоскости. Угол между прямыми, расстояние от точки до прямой. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Углы между плоскостями, прямыми и прямой и плоскостью Кривые второго порядка и их свойства.
Тема 2. Матрицы.
Матрицы и действия над ними. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами, транспонирование, умножение.
Определитель и след матрицы. Собственные числа и собственные векторы матрицы. Обратная матрица. Ранг матрицы.
Определители второго и третьего порядков, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определитель п-го порядка. Теорема Лапласа о разложении. Векторное и смешанное произведение векторов
Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений
Основные понятия и определения. Система линейных уравнений, ее матричная запись. Теорема Кронекера-Капелли. Базисная система. Теоремы о решениях совместных систем. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Метод обратной матрицы и формула Крамера. Метод Гаусса. Примеры применения линейной алгебры в экономике и управлении. Модель Леонтьева в многоотраслевой экономике. Линейная модель торговли.
Тема 4. Векторные пространства
Понятие линейного (векторного) пространства. Линейная независимость векторов, базис и ранг линейного пространства. Отображения линейных пространств. Линейный оператор и его матрица. Норма оператора. Пространство R , различные нормы в нем. Линейные и квадратичные формы. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный базис и ортогонализация. Разложение вектора по ортонормированному базису. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Их свойства для симметрических операторов. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Канонический вид симметрического оператора.
Тема 5. Применение элементов линейной алгебры в экономике
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики: балансовые соотношения, линейная модель многоотраслевой экономики. Продуктивные модели Лентьева
Тема 6. Введение в анализ
Понятие множества. Способы задания множеств. Операции на множествах. Функция на множествах и числовые функции. Множество вещественных чисел. Числовая ось.
Определение числовой последовательности. Способы задания. Монотонные и ограниченные последовательности. Действия над последовательностями. Предел и теорема о пределах последовательностей. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величин. Признаки сходимости. Последовательность Коши.
Функция, ее область определения и множество значений. Способы задания функций. Элементарные функции. Ограниченные и монотонные функции. График функции. Обратные и сложные функции (определение). Примеры функций в экономике и управлении.
Предел функции в точке, действия над пределами. Условие существования предела (критерий Коши). Лево- и правосторонние пределы. Несобственные пределы.
Сравнение бесконечно малых величин. Замечательные пределы. Число е. Виды неопределенностей при нахождении пределов, их раскрытие.
Непрерывность функции в точке, непрерывность слева и справа. Необходимые и достаточные условия непрерывности функции. Действия над непрерывными функциями. Точки разрыва. Равномерная непрерывность функции на отрезке. Ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений. Непрерывность сложной и обратной функций. Непрерывность элементарных функций.
Тема 7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Производная постоянной, суммы, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функции. Логарифмическая производная. Экономический смысл производной. Эластичность. Производные элементарных функций.
Дифференцируемость функций и дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Геометрический и физический смысл дифференциала, его связь с производной. Примеры непрерывных, но не дифференцируемых функций. Дифференциал сложной функции, суммы функций, произведения и частного функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница (производная и дифференциал п-го порядка для произведения двух функций). Производная функции, заданной параметрически и неявно.
Теоремы Ферма, Ролла, Лагранжа. Теорема Лопиталя о раскрытии неопределенностей. Формула Тейлора. Разложение функций exp(x), sin(x), cos(x), ln (x+1).
Тема 8. Исследование функций с помощью производной
Локальный экстремум функции. Необходимые условия экстремума. Критические точки. Условия возрастания и убывания функций. Достаточные условия существования экстремума. Выпуклость функции. Достаточные условия строгой выпуклости. Точки перегиба. Достаточные условия перегиба. Наклонные и вертикальные асимптоты. Схема исследования функций.
Приложение производной в экономической теории: предельные показатели в микроэкономике, максимизация прибыли, оптимизация налогообложений, закон убывающей доходности. Применение математических пакетов для исследования функций.
Тема 9. Функции нескольких переменных
Определение функции нескольких переменных, график, множество уровня функции. Окрестность точки в евклидовом пространстве. Внутренняя, граничная и предельная точки множества. Открытые, линейно-связные, выпуклые, замкнутые и ограниченные множества. Последовательность в евклидовом пространстве, ее предел. Предел функции нескольких переменных в точке. Виды пределов. Аналоги теорем о действиях над пределами. Непрерывность функции нескольких переменных в точке. Равномерная непрерывность. Ограниченность и равномерная непрерывность на компакте. Существование наибольшего и наименьшего значения, а также промежуточного значения для непрерывной функции.
Частные производные, их геометрический смысл. Теорема об изменении порядка. Полное приращение, дифференцируемость, дифференциал функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Свойства функции двух переменных: непрерывность дифференцируемых функций, связь дифференциала с частными производными, необходимые условия дифференцируемости функции. Дифференцирование сложной и неявной функций. Формула Тейлора для функции двух переменных. Понятие векторной функции.
Локальный экстремум. Необходимые условия. Достаточные условия существования экстремума функции «п» переменных и двух переменных. Уравнение связи. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод Лагранжа для нахождения условного экстремума.
Функции нескольких переменных в задачах экономики и управления: прибыль от производства товаров разных видов, задача ценовой дискриминации, оптимальное распределение ресурсов, оптимальный план, максимизация функции прибыли, оптимизация спроса.
Тема 10. Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных первообразных. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям. Интегрирование заменой переменных и подстановкой. Интегрирование алгебраических рациональных функции и элементарных рациональных дробей.
Первообразные, не выражающиеся через элементарные функции (вероятностный интеграл, интегральный логарифм и интегральный синус).
Тема 11. Определенный интеграл функции одной переменной
Разбиение отрезка. Интегральная сумма Римана. Интегрируемость функции по Риману и определенный интеграл (Римана). Необходимые условия интегрируемости функции на отрезке. Суммы Дарбу. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функции на отрезке. Свойства определенного интеграла. Интегральная теорема о среднем. Определенный интеграл с переменными пределами, его непрерывность и дифференцируемость. Основная теорема интегрального исчисления (формула Ньютона-Лейбница). Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменных. Интеграл, зависящий от параметра. Дифференцирование (правило Лейбница) и интегрирование по параметру.
Понятие несобственного интеграла. Несобственный интеграл от неотрицательной функции. Признаки сходимости несобственного интеграла. Абсолютно сходящийся интеграл.
Приложения определенного интеграла к вычислению площадей криволинейных трапеций, длины кривой, площади поверхности и объема тел вращения. Приложения к решению задач экономики и управления.
Тема 12. Кратные интегралы. Основные понятия
Понятие меры множества и измеримого множества в «п»- мерном пространстве. Разбиение измеримых множеств. Интегральные суммы. Интегрируемая по Риману на множестве функция, определение кратного интеграла. Необходимые и достаточные условия интегрируемости ограниченной на измеримом множестве функции. Интеграл, зависящий от параметра. Двойной интеграл и его вычисление через повторный. Матрица Якоби. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения кратных интегралов в экономике и управлении.
Тема 13. Числовые ряды
Числовой ряд. Частные суммы. Сумма ряда. Сходимость ряда. Необходимые условия сходимости ряда. Критерий Коши сходимости ряда (необходимые и достаточные условия). Ограниченность ряда. Свойства ограниченных рядов. Абсолютная сходимость ряда. Свойства абсолютно сходящегося ряда. Критерий абсолютной сходимости (Коши). Признаки сходимости рядов
Коши, Даламбера, Раабе. Признак Лейбница для знакопеременных рядов.
Тема 14. Функциональные ряды
Функциональная последовательность. Ограниченность и сходимость. Предел последовательности. Функциональный ряд. Частичные суммы, остаток ряда. Сходимость и абсолютная сходимость функционального ряда на интервале. Равномерная сходимость функциональной последовательности и ряда. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса о равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда.
Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус (интервал) сходимости степенного ряда, его нахождение, ряд Тейлора. Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
Тема 15. Дифференциальные уравнения (ДУ)
Задачи в управлении, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие дифференциального уравнения (ДУ). Порядок и степень. Разрешенная форма. Дифференциальное уравнение 1 порядка. Геометрическая, интегральная кривая. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения ДУ. Понятие краевой задачи. Метод разделения переменных при решении ДУ 1 порядка. Однородное линейное ДУ 1 порядка (вариация произвольной постоянной, метод интегрирующего множителя). Уравнение Бернулли, Лагранжа и Клеро. ДУ высших порядков. Теорема Пикара. Общее решение ДУ п- го порядка. ДУ, интегрируемые в квадратурах и допускающие понижение порядка. Линейные ДУ п- го порядка, их свойства. Свойства решений линейных однородных ДУ. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Общее решение линейных однородных ДУ и метод Лагранжа. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и решение ДУ по методу Эйлера. Линейные неоднородные ДУ и метод нахождения частного решения по виду правой части. Применение динамических моделей (с ДУ) в управлении социально-экономических систем.
Элементы теории линейных разностных уравнений. Основные понятия. Применение разностных уравнений в экономике и управлении.
Тема 16. Системы обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений
Нормальная система дифференциальных уравнений. Автономные системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство и фазовая кривая. Приложения в моделировании экономических процессов. Задача Коши для нормальной системы ДУ. Системы линейных ДУ, свойства решений. Решение систем линейных ДУ с постоянными коэффициентами. Системы линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
Тема 17. Случайные события
Предмет теории вероятностей. События. Алгебра событий. Достоверное, невозможное, противоположное и равносильное события. Сумма, произведение событий. Полная группа событий, пространство элементарных событий. Определение вероятности. Основные свойства вероятности. Вероятностное пространство. Аксиоматика теории вероятностей. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. Независимость случайных событий. Теорема умножения и сложения вероятностей. Независимые испытания и схема Бернулли. Предельные теоремы схемы (Бернулли, Муавра-Лапласа). Схема Пуассона, закон редких событий. Простые и однородные цепи Маркова.
Тема 18. Случайные величины
Случайная величина и функция распределения. Нормальное распределение. Стандартное нормальное распределение. Дискретные и непрерывные случайные величины. Числовые характеристики случайных величин. Другие основные распределения. Функции Гаусса и Лапласа. Логарифмически нормальное распределение. Системы случайных величин, их функция распределения. Независимость и стохастическая зависимость случайных величин. Условные функция и плотность распределения. Условное математическое ожидание и функция регрессии. Корреляционная зависимость. Функции случайных величин. Распределение суммы двух случайных величин. Закон больших чисел и предельные теоремы. Понятие случайного процесса, его характеризация. Корреляционная функция. Основные типы случайных процессов. Стационарность и эргодичность. Диффузионный процесс. Понятие Гауссовского и Марковского процессов.
Тема 19. Основы статистического описания и теория оценок
Связь вероятности и статистики. Статистическая совокупность. Генеральная совокупность и выборка. Качественные и количественные признаки. Статистическое наблюдение. Группировка. Распределение качественных признаков. Доля признака. Количественные признаки. Вариационные ряды и эмпирическая функция распределения, графическое представление. Числовые характеристики опытных распределений. Выборочные наблюдения. Статистические оценки и требования к ним (состоятельность, несмещенность, эффективность, достаточность). Методы построения оценок. Оценка доли признака. Точечные оценки для генеральной средней и дисперсии. Интервальные оценки параметров нормальной и биномиальной генеральной совокупности. Оценки при многоступенчатом отборе.
Тема 20. Введение в теорию проверки статистических гипотез
Статистическая гипотеза. Типы гипотез. Суть проверки гипотезы, общая постановка. Критерий проверки, критическая область. Уровень значимости и мощность критерия. Общая схема проверки гипотез. Проверка гипотез относительно доли признака и средней с нормативом и в двух совокупностях, дисперсии двух нормальных совокупностей. Парные сравнения зависимых выборок. Непараметрические сравнения двух выборок по критериям положения, медианы и ранговым. Критерии согласия (Пирсона, Романовского, Колмогорова, Смирнова - Крамера - Мизеса).
Тема 21. Элементы факторного анализа
Планирование эксперимента. Суть дисперсионного анализа. Модели эксперимента. Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента, при группировке по случайным блокам. Двухфакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента. Схема трехфакторного анализа.
Тема 22. Основы теории корреляции и регрессии
Корреляционная зависимость как частный случай стохастической. Корреляционная матрица и поле. Регрессионная и корреляционная модель. Уравнение парной регрессии, его построение с оценкой параметров. Оценка коэффициента корреляции двух случайных величин, связь с параметром парной регрессии. Коэффициент детерминации. Индекс корреляции. Коэффициент ранговой корреляции. Коэффициент согласованности (конкордации). Множественная линейная регрессия и ее доверительные интервалы. Нелинейная регрессия по переменным и параметрам. Схема проверки уравнения регрессии. Выбор структуры и составление уравнения регрессии. Система регрессионных уравнений, ее построение. Эндогенные и экзогенные переменные. Структурная и приведенные формы. Взаимозависимость линейной модели, методы оценивания ее параметров. Проблема мультиколлинеарности.
Тема 23. Элементы статистики случайных процессов
Статистические оценки характеристик стационарного случайного процесса. Оценка среднего и корреляционной функции случайного процесса. Фильтрация, сглаживание и предсказание.
Тема 24. Введение во временные ряды
Дискретный случайный процесс как модель временного ряда. Временной ряд и задачи его исследования. Выявление тенденции. Динамика ряда. Фильтрация временных рядов. Скользящие средние. Метод последовательных разностей. Средний темп роста.
Тема 25. Методы многомерного анализа
Основные понятия многомерного анализа. Методы факторного анализа и их области применения. Метод главных компонент. Классификация объектов, описываемых количественными и качественными признаками. Примеры кластер- анализа в экономике и управлении.
Тема 26. Линейное и целочисленное программирование
Основные понятия задач и методов математического программирования. Постановка и различные формы записи задач линейного программирования. Стандартная и каноническая формы представления, геометрическая интерпретация задач линейного программирования. Симплекс-метод и симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов таблицы. Двойственные задачи и методы их интерпретация. Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи. Правила построения цепей. Смысл потенциалов, метод потенциалов. Основные способы построения начального опорного решения. Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления.
Примеры целочисленных моделей. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори. Метод ветвей и границ. Задача о коммивояжере и ее решение методом ветвей и границ.
Тема 27. Игровые модели исследования операций
Игра как математическая модель конфликта. Основные понятия теории игр: стратегия, оптимальная стратегия. Классификация игр. Основные определения теории матричных игр. Антагонистические игры. Теорема об оптимальных стратегиях. Критерий оптимальности стратегий. Матричные игры с седловой точкой. Максиминные и минимаксные стратегии игроков. Смешанная стратегия. Теорема фон Неймана о существовании седловой точки в смешанном расширении игры. Значение игры, оптимальные и активные стратегии игроков. Распределение капиталовложений на основе игровых критериев. Основная теорема теории матричных игр. Игры 2х2, решение в чистых и смешанных стратегиях. Игры 2хп и пх2, графический метод решения. Применение к решению матричных игр методов линейного программирования. Критерии принятия решений в условиях неопределенности и риска.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Красс М. С., Чупринов Б. П. Математика для экономистов Учебное пособие - СПб.: Питер, 2009.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов, ч.1, - М. изд. «Онис», "Мир и Образование" , 2008
3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов, ч.2, - М. изд. «Онис», "Мир и Образование" , 2008
4. Кириллов А.Л. Введение в математический анализ элементарных функций. Учеб. пособие. - СПб:СЗАГС,2008
5. Практикум по математике: пособие для студентов 1 курса/сост. А.Л. Кириллов, С.В. Полянская. -СПб: СЗАГС, 2009
6. Чесноков Е.А. Основы математического анализа. Учебное пособие: -СПб: СЗАГС,2010
7. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ, 2007.
8. Фадеева Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. -М. : Эксмо, 2010
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
9. Высшая математика для экономистов. / Под ред. Кремера Н.Ш., - М.: ЮНИТИ, 2003.
10. А. А. Черняк, Ж. А. Черняк, Ю. А. Доманова. Высшая математика на базе Mathcad. Общий курс, - СПб.: БХВ- Петербург, 2004.
11. А. А. Черняк, Ж. А. Черняк, Ю. А. Доманова. Высшая математика на базе Mathcad. - СПб.: БХВ- Петербург, 2004
12. Кириллов А.Л. Математика для управленцев. – СПб.: СЗАГС, 2000.
13. Клоков В.И. Финансовые риски.- СПб.: СЗАГС, 2003
14. Курзенев В.А. Основы математической статистики для управленцев. СПб.: СЗАГС, 2002
15. Замков О.О., Толстопятенко А.В, Черемных Ю.Н. Математические методы анализа экономики, - М.: ДИС, 1997.
ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
|
№ |
Тема |
Основные вопросы |
Время, часы |
Литература |
|
I семестр |
||||
|
1 |
Тема 1. Начала векторной алгебры и аналитической геометрии |
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Длина вектора и угол между двумя векторами. Условие ортогональности двух векторов. Уравнение прямой на плоскости: нормальная форма; в отрезках. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. |
1 |
Л 1, 2, 3, 9 |
|
2 |
Тема 4. Векторные пространства |
Операции с векторами n-го вектора. Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Определение угла между векторами. |
0.5 |
Л. 2, 5, 10 |
|
3 |
Тема 2. Матрицы |
Действия над матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц. Определитель матрицы. Миноры и их алгебраические дополнения. Вычисление определителя через алгебраические дополнения.| Собственные числа и собственные столбцы матрицы. . Приведение симметричной матрицы второго и третьего порядка к каноническому диагональному виду. |
1 |
Л.2, 5,6,12 |
|
4 |
Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений |
Матричная форма записи линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений n- го порядка. Вычисление обратной матрицы A-1. Минор, ранг матрицы |
1 |
Л.1,2,5, 12 |
|
5 |
Тема 5. Модель Леонтьева в многоотраслевой экономике |
Балансовые соотношения. Линейная модель многоотраслевой экономики |
0.5 |
Л. 1, 11,12, |
|
5 |
Тема 6. Введение в анализ. |
Числовые последовательности - способы задания , вычисление пределов . Числовые функции – способы вычисления пределов. Непрерывность функции в точке и на интервале. Разрыв 1-го и 1-го рода |
1 |
Л. 1,3,4,6,9 |
|
6 |
Тема 7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. |
Производная Табличные производные. Правила дифференцирования функций. Дифференцирование различных функций |
1 |
Л. 1,3,4,6,9 |
|
7 |
Тема 8. Исследование функций одной переменной |
Исследование функций: определение ООФ, ОЗФ, интервалов непрерывности, пределов в точках разрыва и на границах ООФ, точек экстремума и перегиба |
1 |
Л. 1,2,3,4,6,9 |
|
8 |
Тема 10. Первообразная и неопределенный интеграл |
Таблица первообразных Методы интегрирования: замена переменной; интегрирование по частям; сведение к табличным интегралам путем упрощения подынтегральной функции; интегрирование рациональных функций. |
2 |
Л. 1,2,3,4,6,9 |
|
9 |
Тема 11. Определенный интеграл функции одной переменной |
Формула Ньютона-Лейбница и условия ее применимости. Применение основных методов интегрирования для вычисления определенных интегралов. Площадь криволинейной трапеции. |
1 |
Л. 1,2,3,4,6,9 |
|
10 |
Тема 13. Числовые ряды |
Числовой ряд: абсолютная т условная сходимость абсолютная и условная. Признаки сходимости числового ряда. Решение прикладных задач |
2 |
Л. 1,2,3,4,6,9 |
|
11 |
Тема 14. Функциональные ряды |
Функциональные ряды и их сходимость Сходимость степенных рядов |
1 |
Л. 1,2,3,4,6,9 |
|
12 |
Тема 15. Дифференциальные уравнения |
Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера |
1 |
Л. 1,2,3,4,6,9 |
|
II семестр |
||||
|
13 |
Тема 17. Случайные события |
1. Алгебра событий 2. Элементы комбинаторики. 3. Вычисление вероятностей сложных событий: -совместных и несовместных; -зависимых и независимых; Формула Байеса |
1 |
Л.7, 8,14 |
|
14 |
Тема 18.Случайные величины |
Дискретные случайные величины: закон распределения и функция распределения. Непрерывные случайные величины: плотность и функция распределения. Нормальный закон распределения, функции Гаусса и Лапласа Числовые характеристики случайных величин. Решение прикладных задач с использованием свойств законов распределения. |
2 |
Л. 7, 8, 14 |
|
15 |
Тема 19. Основы статистического описания и теория оценок |
Первичная обработка данных. 1. Вариационные ряды. 2. Эмпирическая функция распределения 3. Точечные оценки для: -- среднего и дисперсии генерального распределения; - моды и медианы генерального распределения. 4. Интервальные оценки для : - среднего при известной дисперсии; - среднего при неизвестной дисперсии; - генеральной дисперсии |
2 |
Л.7, 8, 12, 14 |
|
16 |
Тема 20. Введение в теорию проверки гипотез |
Проверка параметрических гипотез: Проверка гипотез относительно среднего. Проверка гипотез относительно дисперсии. |
1 |
Л.. 7, 8, 12, 14 |
|
17 |
Тема 21. Элементы дисперсионного анализа. |
Однофакторный анализ: Постановка задачи. Оценка влияния фактора при полностью случайном плане эксперимента. Сведение задачи к проверке гипотез. Правило принятия решения |
1 |
Л 7, 8,15 |
|
18 |
Тема 22. Основы теории корреляции и регрессии |
Построение корреляционной матрицы и поля корреляции. Вычисление коэффициентов ранговой корреляции. Построение регрессионных зависимостей по методу: - наименьших квадратов; - «крайних точек» |
2 |
Л. 7, 8,15 |
|
19 |
Тема 24. Введение во временные ряды |
Сглаживание и экстраполяция временных рядов: - по методу скользящего среднего; - по методу наименьших квадратов; - по методу среднего темпа роста. |
2 |
Л. 7, 8, 13, 14 |
|
20 |
Тема 25. Методы многомерного анализа |
Классификация объектов по обучающим выборкам. Дискриминационный анализ. Классификация объектов при отсутствии обучающей выборки. Кластерный анализ. Примеры кластер- анализа в экономике и управлении. |
1 |
Л. 7, 8, 13, 14, 15 |
|
21 |
Тема 26. Линейное и целочисленное программирование |
Основная задача линейного программирования (ОЗЛП). Геометрический метод решения ОЗЛП в случае двух свободных переменных. Симплекс- метод решения задачи линейного программирования. Двойственные задачи. Транспортная задача |
2 |
Л.1, 3, 10,11, 15 |
|
22 |
Тема 27. Игровые модели исследования операций |
Конфликт. Игровые модели. Матричные игры и стратегии игроков. Распределение вложений капитала на основе игровых критериев. Игры 2х2, решение в чистых и смешанных стратегиях. Графический метод решения игры 2хп и пх2. |
1 |
Л.1,3,11,15. |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ
|A| =ai1Ai1+ai2Ai2+ . . .+ainAin .
записи уравнений.
из n уравнений и n неизвестных, в матричной форме.(Ax=b => x =A-1b).
35. Последовательности. Определение, способы задания, действия с последовательностями.
36. Предел последовательности. Сходимость.
37. Свойства сходящихся последовательностей.
38. Признаки сходимости последовательностей.
39. Определение функции. Способы задания функций.
40. Классификация элементарных функций.
41. Предел функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы.
42. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
43. Непрерывность функции в точке.
44. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
45. Разрывы функций. Классификация разрывов.
46. Производная функции. Геометрический, физический и экономический смысл производной.
47. Эластичность функции и ее связь с производной.
48. Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
49. Производная сложной и обратной функции. Понятие о логарифмической
производной.
50. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
51. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
52. Производные основных элементарных функций.
53. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа.
54. Теорема Коши. Формулы Тейлора и Маклорена.
55. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
56. Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
57. Правила исследования функций.
58. Понятие первообразной, основные свойства.
59. Интегрирование способом подстановки.
60. Метод интегрирования по частям (с выводом).
61. Основные табличные интегралы.
62. Разложение действительного многочлена на множители.
63. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
64. Интегрирование рациональных функций.
65. Интегрирование простейших иррациональностей.
66. Интегрирование функции R(sinx, cosx).
67. Понятие определенного интеграла.
68. Основные свойства определенного интеграла.
69. Основные условия интегрируемости функций.
70. Связь определенного интеграла с первообразной.
71. Формула Ньютона-Лейбница.
72. Замена переменной в определенном интеграле.
73. Вычисление определенного интеграла по частям.
74. Вычисление площади плоской фигуры.
75. Вычисление объема тела вращения.
76. Вычисление длины дуги плоской кривой.
77. Вычисление площади поверхности тела вращения.
78. Нахождение объема продукции по производственной функции.
79. Вычисление коэффициента Джини.
80. Задача дисконтирования.
81. Среднее значение функции. Интегральная теорема о среднем.
82. Дифференцирование определенного интеграла с постоянными пределами по параметру.
83. Интегрирование определенного интеграла по параметру.
84. Интегрирование функций, заданных на бесконечном интервале.
85. Определение числового ряда. Сходимость абсолютная и условная.
86. Необходимые и достаточные условия сходимости числовых рядов. Действия над рядами.
87. Признаки сходимости числовых рядов.
88. Последовательности функций Равномерная сходимость функциональных
последовательностей. Необходимое и достаточное условие сходимости.
89. Функциональный ряд, равномерная сходимость.
90. Дифференцируемость и интегрируемость функциональных рядов.
91. Степенной ряд, радиус сходимости по Коши и Даламберу.
92. Ряды Тейлора и Маклорена.
93. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Определение решения обыкновенного дифференциального уравнения (задача Коши).
108. Понятие случайного события. Алгебра событий.
109. Определение вероятностей (классическое, статистическое).
110. Основные свойства вероятности.
111. Вероятностное пространство и аксиоматика.
112. Условная вероятность, формула умножения вероятностей.
113. Теорема о полной вероятности.
114. Формула Байеса.
115. Независимость случайных событий.
116. Теорема сложения и умножения для случайных событий.
117. Независимые испытания, схема Бернулли (вероятность успеха).
118. Наивероятнейшее число успехов в серии испытаний.
119. Предельная теорема Бернулли.
120. Теоремы Муавра-Лапласа.
121. Случайная величина и функция распределения.
122. Дискретные случайные величины, их характеризация.
123. Непрерывные случайные величины, плотность распределения.
124. Характеристики положения случайной величины.
125. Характеристики рассеяния случайной величины.
126. Биномиальное распределение и распределение Пуассона.
127. Равномерное распределение и показательное распределение.
128. Распределение Коши и Парето.
129. Нормальное распределение и его основные свойства.
130. Стандартное нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа.
131. Логарифмически нормальное распределение.
132. Система случайных величин. Функция ее распределения.
133. Условные функция и плотность распределения случайных величин.
134. Независимость случайных величин. Условие независимости.
135. Понятие стохастической зависимости случайных величин.
136. Корреляционная зависимость случайных величин.
137. Коэффициент корреляции и его свойства.
138. Функция случайных величин, теорема о плотности распределения.
139. Распределение суммы случайных величин.
140. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
141. Теорема Маркова.
142. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
143. Статистическая совокупность: выборочная и генеральная.
144. Средние статистических совокупностей. Теорема Боярского.
145. Характеристики рассеяния совокупностей.
146. Моменты и характеристики формы совокупностей.
147. Первичная обработка данных. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения.
148. Графическое представление вариационных рядов.
149. Выборочные наблюдения. Способы формирования выборки.
150. Взаимосвязь между общими и групповыми средними и дисперсиями.
151. Точечная оценка параметра. Свойства состоятельности, несмещенности и эффективности.
152. Метод аналогии и наименьших квадратов нахождения точечных оценок.
153. Метод максимального правдоподобия нахождения точечных оценок.
154. Предельная ошибка выборки. Достаточная статистика.
155. Интервальная оценка параметра. Ее суть.
156. Интервальная оценка средней генеральной совокупности при известной
дисперсии нормального распределения.
157. Интервальная оценка средней при неизвестной дисперсии нормальной
совокупности.
158. Интервальная оценка средней при типической выборке.
159. Интервальная оценка дисперсии нормальной совокупности
160. Оценка доли признака.
161. Общая постановка задачи о проверке статистических гипотез.
162. Общая схема проверки гипотез.
163. Статистический критерий. Критическая область.
164. Проверка гипотезы на сравнение средней с нормативом.
165. Сравнение двух дисперсий нормальных совокупностей.
166. Парные сравнения.
167. Ранговые критерии при непараметрических сравнениях.
168. Критерий согласия.
169. Модели эксперимента.
170. Однофакторный анализ при группировке по случайным блокам.
171. Двухфакторный анализ при случайном плане эксперимента.
172. Уравнение парной регрессии.
173. Коэффициент корреляции. Ранговая корреляция.
174. Множественная линейная регрессия. Доверительные интервалы.
175. Система регрессионных уравнений.
176. Метод главных компонент.
177. Сглаживание временных рядов.
178. Основная задача линейного программирования (ОЗЛП).
181. Двойственные задачи
182. Транспортная задача, методы решения.
183. Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления
184. Решение задач целочисленного программирования. Решение задачи о коммивояжере методом ветвей и границ.
185. Основная задача выпуклого программирования.
186. Задачи с линейными ограничениями.
187. Методы поиска экстремумов в практических задачах.
188. Градиентные методы и исследование их на сходимость.
189. Методы штрафных функций.
190. Определение стоимости хранения, поставок и штрафа.
191. Предмет исследования операций. Принцип гарантированного результата.
Построение модели.
192. Основные понятия теории управления запасами.
193. Принцип оптимальности и уравнение Беллмана.
207. Сетевые модели в планировании и управлении.
Тема 1. Теория множеств
Задача 1
Если множество M={(x,y) | 2x-y-1=0}, то:
а) (1,1)M;
б) (2,-1)M;
в) (2,3)M;
г) (-1,2)M.
Какие из вышеперечисленных соотношений верны?
Задача 2
Даны два множества A={2n | n=1,2,3,…} и B={2n | n=1,2,3,…}, найти а) A\B; б) B\A.
Задача 3
Найдите область определения функции
Задача 4
Напишите первые пять элементов занумерованного счетного множества, n-й элемент которого равен
Тема 2. Математический метод индукции. Прогрессии. Проценты
Задача 1
Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном n справедливо следующее равенство
Задача 2
Найдите десятый член арифметической прогрессии, заданной двумя членами: a2 = 10, a7 = 25.
Задача 3
Найдите четвертый член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, заданной ее членами: b2 = 6, b5 = 162.
Задача 4
На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить на 20%?
Задача 5
При уплате в Сбербанке штрафа по квитанции ГИБДД автолюбителю за просрочку начислили пеню в размере 6%. Каков был размер штрафа, если всего пришлось заплатить 84 руб. 80 коп.?
Задача 6
Вкладчик вложил в банк СБСАгро сумму в размере 7000 $ сроком на 4 года.
Определите величину накопленной суммы:
при ставке простого процента, равной 10% годовых- при ежеквартальном начислении процентов; При начислении процентов в конце срока
при ставке сложного процента, равной 10% годовых – при ежемесячном начислении процентов; при ежегодном начислении процентов.
Тема 3. Основы математического анализа
Задача 1
Найдите пределы выражений:
Задача 2
Пользуясь таблицей формул дифференцирования, найдите производную функции:
Задача 3
Найдите дифференциал функции:
Задача 4
Найдите следующие неопределенные интегралы:
Задача 5
Вычислите определенный интеграл:
Задача 6
Вычислите площадь, ограниченную осью х, прямыми x = -1 и x = 2 и параболой
.
Задача 7
Дана функция
Найдите:
Область определения функции.
Точки пересечения функции с осью OX (если это возможно).
Исследуйте функцию на четность, нечетность, периодичность.
Точки разрыва.
Вертикальные и наклонные асимптоты.
Интервалы монотонности.
Точки экстремумов.
Точки перегиба и характер выпуклости.
Постройте график функции.
Вычислите площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью OX и прямыми x = 0 и x = 2.
Ответы на основные вопросы по задаче 7:
минимум функции ymin(0) = -1;
точка перегиба: x = 0.5; y = -8/9;
вертикальная асимптота x = -1;
наклонная асимптота y = 0;
площадь S = 2 ln3 - 2/3.
Тема 4. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Задача 1
В студенческой группе 15 девушек и 10 юношей. Случайным образом (по жребию) выбирают одного. Найти вероятность того, что отобран будет юноша.
Задача 2
Вероятности успешной сдачи экзамена по первому, второму и третьему предметам данным студентом соответственно равны 0.6, 0.7, и 0.75. Найти вероятность того, что он успешно сдаст все экзамены.
Задача 3
Вероятность попадания в десятку данным стрелком при одном выстреле равна 0.2. Определите вероятность попадания в десятку не менее трех раз при десяти выстрелах.
Задача 4
Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Определите параметры A и B, найдите плотность вероятности, математическое ожидание и вероятность попадания случайной величины в интервал [-1, 1]. Постройте графики функции и плотности распределения.
Задача 5
Данные опытов по измерению тормозного пути (y - в метрах) в зависимости от износа протектора покрышек (x - в миллиметрах) приведены в таблице. Полагая, что x и y связаны зависимостью y = ax + b, определить коэффициенты a и b методом наименьших квадратов.
|
x |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1.0 |
1.2 |
1.4 |
1.6 |
1.8 |
2.0 |
|
y |
3.3 |
3.7 |
4.0 |
4.3 |
4.5 |
4.9 |
5.1 |
5.5 |
5.8 |
6.2 |
Тема 1. Теория множеств
Задача 1
Если множество M={(x,y) | x2+y2=4}, то:
а) (2,1)M;
б) (-2,2)M;
в) (2,-2)M;
г) (1,1)M.
Какие из вышеперечисленных соотношений верны?
Задача 2
Даны два множества A={n | n=1,2,3,…} и B={p | p - простое число}, найти а) AB; б) A\B.
Задача 3
Найти область определения функции
Задача 4
Напишите первые пять элементов занумерованного счетного множества, n-й элемент которого равен
Тема 2. Математический метод индукции. Прогрессии. Проценты
Задача 1
Доказать методом математической индукции, что при любом натуральном n справедливо следующее равенство
Задача 2
Найдите двенадцатый член арифметической прогрессии, заданной двумя членами: a4 = 8, a10 = 2.
Задача 3
Найдите пятый член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, заданной ее членами: b3 = 8, b6 = -96.
Задача 4
Сумма двух чисел равна 120. Найдите эти числа, если 40% одного равны 60% другого.
Задача 5
В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Задача 6
Вкладчик вложил в банк СБ сумму в размере 9000 руб. сроком на 6 месяцев.
Определите величину накопленной суммы:
при ставке простого процента, равной 30% годовых;
при ставке сложного процента, равной 30% годовых, при условии, что: проценты начисляются ежемесячно; проценты начисляются ежеквартально; проценты начисляются в конце срока
Тема 3. Основы математического анализа
Задача 1
Найдите пределы выражений
Задача 2
Пользуясь таблицей формул дифференцирования, найдите производную функции:
Задача 3
Найдите дифференциал функции:
Задача 4
Найдите следующие неопределенные интегралы:
Задача 5
Вычислите определенный интеграл:
Задача 6
Вычислите площадь, ограниченную осью х, прямой y = -2x и параболой
Задача 7
Дана функция
Найдите:
Область определения функции.
Точки пересечения функции с осью OX (если это возможно).
Исследуйте функцию на четность, нечетность, периодичность.
Точки разрыва.
Вертикальные и наклонные асимптоты.
Интервалы монотонности.
Точки экстремумов.
Точки перегиба и характер выпуклости.
Постройте график функции.
Вычислите площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью OX и прямыми x = 0 и x = 1.
Ответы на основные вопросы по задаче 7:
минимум функции ymin(-1) = -1;
максимум функции ymax(1) = 1;
точки перегиба: x1 = 0; y1 = 0;
наклонная асимптота y = 0; площадь S = ln2.
Тема 4. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Задача 1
Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются два. Определите вероятность того, что взятый наудачу билет окажется выигрышным.
Задача 2
Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов программы только 24. Чему равна вероятность сдать зачет, если для этого надо ответить на случайно доставшийся ему вопрос, а в случае неудачи ответить на дополнительный вопрос, предложенный ему преподавателем случайным образом?
Задача 3
Игрок набрасывает кольца на колышек. Вероятность удачи при этом равна 0.1. Найдите вероятность того, что из шести колец на колышек попадут хотя бы два.
Задача 4
Плотность распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:
Найдите коэффициент a, функцию распределения, математическое ожидание и вероятность попадания случайной величины в интервал [0,2]. Построить графики плотности и функции распределения.
Задача 5
Данные опытов по определению зависимости жесткости воды от времени ее обработки в установке приведены в таблице. Полагая, что x - время обработки (мин.) и y - жесткость связаны зависимостью y = a/x + b, найдите ее коэффициенты методом наименьших квадратов.
|
x |
1 |
2 |
3 |
5 |
10 |
20 |
30 |
50 |
100 |
|
y |
10.15 |
5.52 |
4.08 |
2.85 |
2.11 |
1.62 |
1.41 |
1.30 |
1.21 |