Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Тема 11
Лекция 11. Сложное движение точки и тела
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:
Сложное движение точки.
Сложное движение твердого тела.
Сложное движение точки.
Относительное, переносное и абсолютное движения.
До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при реше нии задач механики оказывается целесообразным (а иногда и не обходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвиж ной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют со ставным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движу щегося парохода, можно считать совершающим по отношению к бе регу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (не подвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых.
Рис.48
Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижно системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь как-то движется отно сительно другой системы отсчета , которую называем основ ной или условно неподвижной (рис. 48). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не по казанным. Введем следующие определения.
1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвиж ной системе отсчета (к осям Oxyz), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относи тельной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Oxyz называется относительной скоростью (обозначается ), a ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении и можно движение осей Oxyz во внимание не принимать (рассматривать их как непод вижные).
2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отно шению к неподвижной системе , является для точки М пере носным движением.
Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М (обозначается ). Таким образом,
, .
Если представить себе, что относительное движение точки про исходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М.
3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета , называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекто рией, скорость - абсолютной скоростью (обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается ).
В приведенном выше примере движение шара относительно палу бы парохода будет относительным, а скорость - относительной ско ростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар будет в этот момент его пере носной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной ско ростью шара.
При исследовании сложного движения точки полезно применять «Правило остановки». Для того, чтобы неподвижный наблюдатель увидел относительное движение точки, надо остановить переносное движение.
Тогда будет происходить только относительное движение. Относительное движение станет абсолютным. И наоборот, если остановить относительное движение, переносное станет абсолютным и неподвижный наблюдатель увидит только это переносное движение.
В последнем случае, при определении переносного движения точки, обнаруживается одно очень важное обстоятельство. Переносное движение точки зависит от того в какой момент будет остановлено относительное движение, от того, где точка находится на среде в этот момент. Так как, вообще говоря, все точки среды движутся по-разному. Поэтому логичнее определять переносное движение точки как абсолютное движение той точки среды, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка.
Сложное движение твердого тела.
Так же как при сложном движении точки нередко и движение тела можно рассматривать как сумму нескольких движений. Например, состоящее из двух поступательных движений или поступательного движения и вращения вокруг оси. Часто встречаются движения, состоящие из двух вращений вокруг осей или поступательного движения и вращения вокруг точки. Исследование движения точек принадлежащих телу, совершающему сложное движение, можно проводить методами, изложенными выше и никаких особых трудностей не вызывает. Но анализ сложного движения тела, состоящего из нескольких вращений, обнаруживает некоторые особенности, которые следует рассмотреть специально.
1. Сложение вращений тела вокруг двух осей
На рис. 54 изображено тело, которое со вершает сложное движение – вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, не подвижной оси. Естественно, первое вращение следует на звать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозна чить и .
Рис.54
Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей О. (Еcли тело имеет больший размер, то его точка, совпадающая с О, все время будет неподвижной). Угловые скорости переносного вращения и относительного вращения изображается векторами и , отложенными из неподвижной точки О, точки пересечения осей, по соответствующим осям.
Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положение которой определяется радиусом-вектором (рис.54).
Как известно, она складывается из двух скоростей, относительной и переносной: . Но относительное движение точки (используя правило остановки), есть вращение с угловой скоростью вокруг оси , определяется радиусом-вектором . Поэтому, .
Переносное движение точки в данный момент времени, опять используя правило остановки, тоже есть вращение, но вокруг оси с угловой скоростью и будет определяться тем же радиусом-вектором . Поэтому и переносная скорость .
Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки О, при сферическом движении, определяется аналогично , где - абсолютная угловая скорость, направленная по мгновенной оси вращения Р.
По формуле сложения скоростей получим: или .
Отсюда
То есть мгновенная угловая скорость, угловая скорость абсолютного движения, есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения P, направленная по вектору , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис.54).
Частные случаи:
1. Оси вращения и параллельны, направления вращений одинаковы (рис. 55).
Рис.55
Так как векторы и параллельны и направлены в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулей и вектор ее направлен в туже сторону. Мгновенная ось вращения Р делит рас стояние между осями на части обратно пропорциональные и :
. (Аналогично равнодействующей параллельных сил).
В этом частном слу чае тело А совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей находится на оси Р.
2. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны (рис.56).
Рис.56
В этом случае (при ). Мгновенная ось вращения и мгновенный центр скоростей находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что (опять по аналогии определения равнодействующей параллельных сил).
3. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны и угловые скорости равны.
Угловая скорость абсолютного движения и, следовательно, тело совершает поступательное движение. Этот случай называется парой вращений, по аналогии с парой сил.
Пример 16. Диск радиусом R вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью , а эта ось вместе с рамкой вращается вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью (рис.57).
Рис.57
Горизонтальная ось – это ось относительного вращения ; вертикальная ось – ось переносного вращения . Соответственно угловые скорости векторы их направлены по осям и .
Абсолютная угловая скорость , а величина ее, так как ,
.
Скорость точки А, например, можно найти или как сумму переносной и относи тельной скоростей: , где
и ,
или как при абсо лютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси Р, .
Вектор скорости будет расположен в плоскости перпендикулярной вектору и оси Р.
Пример 17. Водило ОА с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3 вращается вокруг оси О с угловой скоростью . Колесо 2 при этом будет обкатываться по неподвижному колесу 1 и заставит вращаться колесо 3. Найдем угловую скорость , этого колеса. Радиусы колес (рис. 58).
Рис.58
Колесо 3 участвует в двух движениях. Вращаться вместе с водилом вокруг оси О и относительно оси . Ось О будет переносной осью, ось – относительной. Переносная угловая скорость колеса 3 – это угловая скорость водила , направленная по часовой стрелке, как .
Чтобы определить угловую скорость относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным, колесо 1 вращающимся против часовой стрелки со скоростью (рис. 59), а колесо 3 – вращающимся с относительной угловой скоростью , против часовой стрелки. Так как , то . Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны. Поэтому и направлена так же как , против часовой стрелки. В частности, если , то и .Колесо 3 будет двигаться поступательно.
Рис.59
Исследование движения других подобных конст рукций (планетарных и дифференциальных редукто ров, передач) ведется аналогичным способом.
Переносной угловой скоростью является угловая скорость водила (рамки, крестовины и т.п.), а чтобы определить относительную скорость какого-либо ко леса, нужно водило остановить, а неподвижное колесо за ставить вращаться с угловой скоростью водила, но в противоположную сторону.
Угловые ускорения тела в абсолютном движении можно искать как производную где . Покажем (рис.60) единичные векторы и (орты осей и .), а векторы угловых скоростей запишем так: , .
Тогда и угловое ускорение, при
.
Здесь , и .
Поэтому или
и ,
где – угловое ускорение переносного вращения; – угловое ускорение относительного вращения; – добавочное угловое ускорение, которое определяет изменение относительной угловой скорости при переносном движении. Направлен этот вектор перпендикулярно осям и , как скорость конца вектора . Модуль добавочного углового ускорения , где - угол между осями.
Конечно, если оси вращения параллельны, это угловое ускорение будет равно нулю, так как .
Рис.60
Вопросы для самопроверки
- Приведите определение абсолютного (сложного) движения точки.
- Абсолютное, относительное, переносное движение точки.
- Какое движение твердого тела называют простым?
- Какие системы координат выбирают при определении скоростей твердых тел при сложном движении?
- Какое движение считают переносным, а какое – относительным?
- Какое движение точки называется относительным и какое переносным?
- Сформулируйте теорему о сложении скоростей.
- В чем состоит различие между абсолютной и относительной производными векторной функции скалярного аргумента?
- Что выражает формула Бура?
- Как выражается вектор абсолютной скорости точки в общем случае ее движения?
- Назовите составляющие вектора ускорения при сложном движении точки.
- Как определяются модуль и направление ускорения Кориолиса?
- При каком сложном движении точки ускорение Кориолиса равно нулю?
- Дайте определение относительного, переносного и абсолютного движений точки, а также скоростей и ускорений этих движений.
- Как определяют абсолютную скорость точки в сложном движении?
- Как определяют абсолютное ускорение точки при непоступательном переносном движении и при поступательном переносном движении?
- Каковы причины появления кориолисова ускорения?
- Каковы модуль и направление кориолисова ускорения и при каких условиях кориолисово ускорение точки равно нулю?
- Какой вид имеет выражение абсолютного ускорения точки в случае, когда переносное движение представляет собой свободное движение твердого тела, и в случае, когда переносное движение является вращением вокруг неподвижной оси?
- Теорема о сложении ускорений точки в том случае, когда переносное движение является произвольным.
- Назвать случаи, когда кориолисово ускорение точки равно нулю.
- Сформулируйте определения абсолютного, относительного и переносного движений твердого тела.
- Как определить скорость произвольной точки тела, совершающего поступательное переносное и поступательное относительное движения?
- Что собой представляет результирующее движение при вращении тела одновременно в одну и ту же сторону вокруг параллельных осей?
- Что называется парой вращений? Чему эквивалентна пара вращений?
- Чему равна мгновенная угловая скорость тела, совершающего вращения вокруг пересекающихся осей?
- Какое движение тела называется винтовым? Сложением каких движений оно получается?
- Что представляет собой абсолютное движение тела, участвующего в нескольких вращениях вокруг сходящихся мгновенных осей?
- Как по уравнениям сферического движения твердого тела определяют его угловую скорость?
- Каковы проекции углового ускорения тела при сферическом движении на неподвижные и подвижные координатные оси?
- Чему равно абсолютное угловое ускорение твердого тела, вращающегося неравномерно вокруг двух пересекающихся осей?
- Какое угловое ускорение твердого тела называют поворотным и чему оно равно?
- Что характеризует поворотное угловое ускорение?
- Как определяют угловую скорость твердого тела, вращающегося вокруг двух параллельных осей в одну и разные стороны?
- Появляется ли поворотное угловое ускорение при неравномерном вращении твердого тела вокруг параллельных осей?
- Что называют парой угловых скоростей и при каком условии пара угловых скоростей эквивалентна поступательному движению? Чему равна скорость этого поступательного движения?
- Какие понятия из статики аналогичны угловой скорости вращения тела и скорости поступательного движения тела?