Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекции 4 семестра по направлению 210700
Тема 1. Спектральное представление колебаний
Лекция 1
Спектральное представление негармонических периодических сигналов
В основе расчетов электрических цепей при периодических несинусоидальных или непериодических воздействиях лежат спектральные представления токов и напряжений. Спектр является важнейшей и единственной формой аналитического описания сигналов в рамках линейной теории. Основная идея использования такого метода исследований заключается в том, что воздействие представляется в виде суммы простых функций, например, гармонических. Тогда, используя линейность оператора электрической цепи, можно свести задачу преобразования цепью этого воздействия к задаче преобразования элементарных функций, что, безусловно, проще.
Для представления периодических негармонических сигналов, т.е. сигналов, отличающихся от гармонических колебаний, для которых справедливо соотношение: , где , T-период сигнала, широко используется ряд Фурье. Причем s(t) обозначает либо напряжение, либо ток, т.е.
В этом случае ряд Фурье имеет следующий вид:
, (1.1)
где – основная частота, частота первой гармоники,
Коэффициенты ряда Фурье определяются как:
- постоянная составляющая, (1.2)
; (1.3)
Таким образом, периодический сигнал в форме ряда Фурье представляет собой сумму постоянной составляющей С(0) и гармоник с частотами кратными частоте 1.
Выражения (1.2) и (1.3) являются формулами разложения, а выражение (1.1) –формула обращения. Такое название объясняется тем, что совокупность коэффициентов С(k) является спектром сигнала
Используя формулу Эйлера
(1.4)
можно записать ряд Фурье в комплексной форме:
(1.5)
. (1.6)
Причем из сравнения с формулой (15.1) следует
;
В комплексной форме ряда Фурье присутствуют положительные и отрицательные частоты. Однако реально существуют лишь положительные частоты, а отрицательные это математическая абстракция – следствие использования комплексных экспоненциальных функций для спектрального представления сигнала.. Составляющие и имеют одинаковые модули, а их фазы противоположны по знаку:
(15.7)
Отсюда находим:
Тогда можно из формулы (1.5) получить:
, (1.8)
где - амплитуда гармоники;
- фаза гармоники.
Это третья форма ряда Фурье в виде суммы реальных гармоник.
Таким образом, любая спектральная составляющая характеризуется амплитудой и фазой. Спектром амплитуд (амплитудным спектром) называется зависимость амплитуд гармоник от частоты. Зависимость начальных фаз гармоник от частоты называется спектром фаз (фазовым спектром). Спектр амплитуд и спектр фаз, представленные в графическом виде, называются спектральными диаграммами.
Активная мощность периодического негармонического сигнала равна сумме мощностей всех составляющих его обобщенного спектра:
, (1.9)
где мощность элементарных функций по которым определен спектр сигнала. Мощность гармонических функций равна ½.
Формула (1.9) носит название равенства Парсеваля.
Для ряда Фурье в комплексной форме, получим равенство Парсеваля в следующем виде:
. (1.10)
При ограничении спектра по частоте мощность сигнала уменьшается, т.е. равенство Парсеваля позволяет судить о потерях мощности при той или иной фильтрации сигнала.
Рассмотрим пример расчета амплитудного спектра периодического сигнала
Рис. 1.1
Определим спектр такого сигнала из формулы (16). Используя формулу Эйлера (1.4), далее находим: и амплитуды гармоник, частоты которых равны и т.д., будут равны нулю. Полученная формула позволяет вычислить амплитудный спектр комплексного ряда Фурье, т.е. включает гармоники с положительными и отрицательными частотами. Чтобы вычислить амплитудный спектр одностороннего ряда Фурье (включает реальные гармоники с положительными частотами), амплитуды гармонических составляющих необходимо умножить на 2. Тогда получим: U0 =U(0)=U/3,
и т.д.
Амплитудный спектр заданного периодического сигнала приведен на рис. 1.2.
Рис. 1.2
Лекция
Спектральное представление непериодических сигналов
Спектральный анализ периодических сигналов с помощью ряда Фурье может быть обобщен на случай непериодических сигналов. Среди непериодических сигналов наибольшее использование находят финитные сигналы, т.е. сигналы, ограниченные по длительности, например, от 0 до t1 (см. рис. 2.1,а).
Будем рассматривать абсолютно интегрируемые сигналы , т.е. сигналы с ограниченной энергией. Если дополнить финитный сигнал, т.е. сигнал, ограниченный по длительности, таким же, но следующим через интервал, равный nT (T-период), то получим рассмотренный выше периодический сигнал (см. рис. 2.1,б).
Рис. 2.1
Очевидно, исходный финитный сигнал отличается от периодического сигнала лишь тем, что у него период стремится к . Тогда получим:
.
Если , то спектральные составляющие располагаются так плотно, что при этом спектр становится сплошным; при этом расстояния между спектральными составляющими , а . В результате получим спектральную плотность сигнала (сумма в формуле (15.5) перейдет в интеграл):
, (2.1)
которая называется прямым преобразованием Фурье.
- это обратное преобразование Фурье.
Таким образом, непериодический сигнал и его спектральная плотность связаны взаимнооднозначным прямым и обратным преобразованиями Фурье.
Из сравнения прямого преобразования Фурье с рядом Фурье видно, что и там, и там сигнал представляется в виде суммы гармоник, но в отличие от ряда Фурье здесь сумма бесконечно малых гармоник . Если рассмотреть какую-либо k-тую гармонику, то амплитуда этой гармоники будет равна , т.е. спектральная плотность имеет смысл плотности амплитуды спектра и измеряется . Таким образом, спектральная плотность показывает распределение амплитуд по частоте. Другой важный вывод: спектральная плотность непериодического сигнала и огибающая спектра периодического сигнала, полученного из непериодического путем его повторения через период , совпадают по форме и отличаются только масштабом. Это позволяет вычислять спектр периодического сигнала, рассчитывая его огибающую с помощью прямого преобразования Фурье, что гораздо легче, чем вычисление коэффициентов ряда Фурье.
Так как интегрирование – линейная операция, то преобразования Фурье обладают свойствами линейности (это линейный функциональный оператор). Введем обозначение: F()-прямое преобразование Фурье; F-1()-обратное преобразование Фурье.
Если , то , (2.2)
где , ki – числовой коэффициент. Справедливо и обратное утверждение.
Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье, которые формулируются как теоремы.
Теорема о сдвиге.
Если дан смещенный во времени сигнал (запаздывание на t0), то Фурье – преобразование от этого сигнала будет:
, где . (2.3)
Таким образом, смещенный сигнал имеет спектральную плотность, отличающуюся лишь спектральной плотностью фаз.
Теорема о свертке.
Если заданы два сигнала и известны их спектральные плотности , то Фурье-преобразование произведения сигналов равно:
. (2.4)
. (2.5)
Интегралы в этих выражениях называются свертками.
Теорема о масштабе (подобии).
Если известен сигнал и его спектральная плотность, то Фурье-преобразование равно , где k – коэффициент.
Теорема о модуляции.
Если известен сигнал и его спектральная плотность , то Фурье-преобразование равно: .
Таким образом, при умножении сигнала на его спектр сдвигается по оси частот на величину .
Теорема Парсеваля.
Если заданы два сигнала с известными спектральными плотностями, то их скалярное произведение равно:
.
Частный случай приводит к следующему равенству (иногда называют равенством Релея):
. (2.6)
Физический смысл этого равенства заключается в том, что энергию сигнала можно определить по спектральной плотности. Поэтому, если сравнить спектральные плотности сигнала до обработки и после можно судить об энергетических искажениях при обработке
2.1. Спектральная плотность сингулярных сигналов
Элементарные сигналы (функции) часто используются для описания более сложных, например, цифровых сигналов. Это позволяет производить с ними различные операции по правилам непрерывных сигналов, что существенно облегчает анализ. Наибольший интерес представляют элементарные сингулярные сигналы, т.е. сигналы, имеющие разрывы непрерывности. Рассмотрим основные из них.
Единичная функция. (рис. 2.2)
Рис. 2.2
Аналитическое описание единичной функции, которая еще называется функцией Хевисайда или функцией включения, имеет следующий вид:
(17.1)
Таким образом, единичная функция - это «скачок» от 0 до 1 в момент t = 0 (для определенности считают )
Прямое определение спектральной плотности единичной функции невозможно, поскольку она не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Однако, можно найти ее спектральную плотность, воспользовавшись предельным переходом и линейностью преобразования Фурье. Находим:
Единичный прямоугольный импульс определяется аналитической записью следующего вида:
где – длительность импульса.
Рис.2.3
Спектральная плотность прямоугольного импульса находится непосредственно из прямого преобразования Фурье. Получим:
При описании сигналов иногда используют, так называемый, единичный импульс r(t), имеющий единичную амплитуду и бесконечно малую длительность. Единичный импульс связан с прямоугольным импульсом следующим соотношением:
Дельта–функция (рис. 2.4).
Рис. 2.4
Аналитическая запись функции, которая также называется функцией Дирака, имеет следующий вид:
Дельта-функция связана с единичной функцией очевидным соотношением:
,
т.е. она выражает скорость изменения . Поэтому их размерность отличается множителем 1/с (если -безразмерна, то - имеет размерность [1/с]).
-функция обладает двумя важными свойствами:
.
Последнее свойство называется “фильтрующим свойством” -функции. Из этого свойства непосредственно следует спектральная плотность -функции:
(2.7)
Для описания сигналов иногда используют связь между -функцией и единичным импульсом:
.
Используя выражение (2.7) и свойство линейности преобразования Фурье легко найти спектральную плотность постоянного во времени сигнала, т.е. когда s(t) = 1 при . Находим:
; .
Поскольку единичную функцию можно представить суммой , где sign(t) – функция знака, т.е. функция, определяемая следующим соотношением:
,
постольку спектральную плотность единичной функции иногда представляют в следующем виде:
Таким образом, особенность спектральной плотности единичной функции подчеркивается отдельным слагаемым.
Тема 2. Теория электрических фильтров
Лекция 3
Синтез фильтров по рабочим параметрам. Фильтры Баттерворта и Чебышева
Электрическим фильтром называют четырехполюсник, пропускающий электрические колебания в определенной полосе частот, называемой полосой пропускания (ПП) и не пропускающий электрические колебания в другой полосе частот, называемой полосой задерживания (ПЗ). Фильтры являются частным случаем четырехполюсников. Поэтому они также описываются характеристическими либо, что чаще, рабочими параметрами. Рабочие параметры предусматривают обеспечение ослабления в полосе пропускания ниже определенного уровня, а в полосе задерживания – выше определенного уровня. Это лучше соответствует основному назначению фильтров.
По характеру зависимости модуля их комплексной передаточной функции (АЧХ) от частоты Н(f) электрические фильтры подразделяются на фильтры: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные (РФ). На рис. 29.1 приведены идеальные амплитудно-частотные характеристики соответствующих фильтров.
Рис.3.1
Показанные на рис. 3.1 АЧХ потому являются идеальными, что фильтры с такими характеристиками идеально соответствуют своему назначению. Однако характеристики реальных фильтров могут значительно отличаться от приведенных на рисунке. Граничные частоты fГ определяют границы полос пропускания и задерживания.
Структурное обозначение ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ представлено на рис. 3.2
Рис. 3.2
Перечеркнутая волнистая линия обозначает своим расположением тот диапазон частот, который задерживается фильтром. Например, у ФНЧ задерживаются верхние частоты и так далее.
Одним из основных параметров фильтра является зависимость его рабочего ослабления от частоты. Рабочее ослабление фильтра показывает, на сколько децибелл полная мощность, выделяемая в нагрузке на его выходе, меньше полной максимальной мощности, которую может отдать источник в согласованную нагрузку. Рабочее ослабление оценивается в децибелах и определяется следующей формулой
Рабочая комплексная передаточная функция непосредственно связана с рабочим ослаблением фильтра следующим соотношением
или .
Большинство фильтров относятся к линейным цепям с сосредоточенными параметрами, поэтому их передаточные функции являются дробно-рациональными. Используя различные методы аппроксимации идеальных передаточных функций дробно-рациональными функциями (например, по Тейлору, по Чебышеву, метод наименьших квадратов и другие), можно получить разнообразные полиномиальные функции фильтрации. В зависимости от аппроксимирующей функции (функции фильтрации) фильтры делятся на фильтры Баттерворта, Чебышева, Золотарева, Кауэра, Гаусса и другие.
Функция фильтрации однозначно связана с передаточной функцией и, например, для ФНЧ определяется следующей формулой
, (3.1)
где ε – коэффициент неравномерности ослабления, - нормированная (безразмерная) частота, - граничная частота полосы пропускания.
На рис. 29.3 для примера показан график функции фильтрации идеального ФНЧ
Рис. 3.3
При изменении нормированной частоты от 0 до 1 функция фильтрации равна нулю, а для частот больших 1 функция фильтрации стремится к бесконечности. Если подставить эту функцию в выражение (3.1), то в результате получим АЧХ идеального ФНЧ, показанную на рис. 3.1.
При расчете фильтров используют результаты синтеза для нормированных сопротивлений и частот. Такой подход при синтезе делает эти результаты универсальными, т.е. их можно использовать для самых разнообразных исходных данных.
Нормирование - деление исходной величины на эталон. В качестве эталонного (нормирующего) сопротивления R0 выбирают сопротивление нагрузки, т.е. R0=RН. Тогда, например, некоторое нормированное операторное сопротивление будет определяться следующим соотношением.
В качестве эталонной (нормирующей) частоты 0 выбирают граничную частоту полосы пропускания или среднегеометрическое значение двух таких частот, т.е. нормированной частотой будет
На рис. 3.4 показаны графики рабочего ослабления для ФНЧ и ПФ.
Рис. 3.4
Для ФНЧ нормирующей частотой будет полоса пропускания, а для ПФ среднегеометрическое значение нижней и верхней полос пропускания, как показано на рис. 3.4
3.1. Фильтры Баттерворта и Чебышева
Если в качестве функции фильтрации использовать полином Баттерворта
,
то получатся фильтры Баттерворта. При использовании в качестве функции фильтрации полиномов Чебышева
,
где полином Чебышева равен, либо равенприходим к фильтрам Чебышева. Соответствующие графики ослабления для таких ФНЧ приведены на рис. 3.5
б)
а)
Рис. 3.5
На рис. 3.5,а показано изменение ослабления для двух ФНЧ Баттерворта, порядок которых равен 2 и 4. Чем больше порядок ФНЧ, тем круче кривая ослабления, которая определяется как
При n стремящемся к бесконечности приходим к ослаблению идеального ФНЧ.
На рис. 3.5,б показано изменение ослабления для ФНЧ Чебышева шестого порядка. Ослабление в полосе пропускания последовательно изменяется n раз от нуля до Aр макс. Рабочее ослабление ФНЧ Чебышева определяется следующей формулой
При расчете требования к фильтрам задают с помощью рабочих параметров в следующем составе:
На рис. 3.6 приведена общая схема нагруженного фильтра. Однако при синтезе фильтра считают, что сопротивление нагрузки и внутреннее сопротивление источника (генератора) являются резистивными, т.е. ZН = RН, ZГ = RИ. Такой подход не уменьшает общности результатов, поскольку фильтр является реактивным четырехполюсником и реактивность нагрузки и источника можно отнести к фильтру.
Рис. 3.6
Со стороны входных зажимов нагруженный фильтр рис. 30.1 при синтезе рассматривают как двухполюсник, обладающий некоторым входным комплексным сопротивлением. На таком подходе основан метод синтеза, который носит название метода Дарлингтона.
Специального вида подстановка аргумента (частоты) в выражение для рабочей АЧХ позволяет перейти от синтезированного ФНЧ к любому другому типу фильтра: ФВЧ, ПФ, РФ, как это показано на рис. 3.7. Таким образом, при синтезе разнообразных фильтров можно ограничится лишь синтезом ФНЧ – прототипа, а затем путем простой замены переменной получить нужный фильтр. Такой способ называется преобразованием шкалы частот.
ФНЧ ФВЧ ФНЧ ПФ ФНЧ РФ
Рис. 3.7
Метод преобразования шкалы частот позволяет проводить расчет любого фильтра по следующим этапам:
- по заданным требованиям к фильтру определяют требования к ФНЧ-прототипу,
- решают задачу синтеза (нахождения схемы) для ФНЧ-прототипа,
- схему ФНЧ-прототипа преобразуют в схему заданного фильтра (с помощью таблицы перехода),
- производят денормирование элементов фильтра по соответствующим формулам.
В качестве примера решения тестового задания определим соответствие между типом ФНЧ и его АЧХ (см. рис. 3.8):
|
а б в |
Рис. 3.8
АЧХ фильтра обратно-пропорциональна рабочему ослаблению (см. рис. 3.5). Тогда можно найти правильный ответ на задание, а именно (1-б, 2-а, 3-в).
Лекция 4
Схемная реализация полиномиальных фильтров
Синтез ФНЧ-прототипа ставит своей задачей найти схему фильтра и параметры всех его элементов. Схема включения нагруженного ФНЧ-прототипа, который необходимо синтезировать, показана на рис. 4.1
Рис. 4.1
Исходными данными для синтеза ФНЧ являются: fп, кГц - граничная частота ПП; f3, кГц - граничная частота ПЗ; Aр макс, дБ - неравномерность ослабления в ПП; Aр мин, дБ - минимальное ослабление в ПЗ; RИ=RH, Ом - сопротивление источника (генератора) и нагрузки. Синтез фильтра основан на методе Дарлингтона.
Алгоритм синтеза включает насколько этапов:
1. Нормализуется полоса задерживания f3 относительно полосы пропускания fп в соответствии с формулой 3 =f3/fп .
2. Находится коэффициент неравномерности на частоте ΩП = 1, т.е. .
3. Вычисляется число реактивных элементов ФНЧ – прототипа, на частоте ΩЗ , т.е. для ФНЧ Баттерворта находим
,
где
Для ФНЧ Чебышева получим
,
где .
Далее округляем n в формулах до ближайшего целого числа большего n, поскольку число элементов не может быть дробным. Например, если n=3,1 , то выбираем n=4.
4. Для определения передаточной функции ФНЧ – прототипа находятся полюсы передаточной функции в соответствии со следующими формулами:
Для ФНЧ Баттерворта
где k =1,2,...,n.
Для ФНЧ Чебышёва
где k =1,2,...,n,
5. Определяется рабочая передаточная функция ФНЧ – прототипа НР(р) путем представления знаменателя в виде произведения постоянной и n линейных множителей, поскольку ее полюсы (корни знаменателя) определены. Далее знаменатель передаточной функции, который является полиномом Гурвица, можно представить в виде полинома степени n.
6. Находится входное операторное сопротивление нагруженного ФНЧ в виде дробно-рациональной функции следующего вида
,
где коэффициент отражения определяется найденной рабочей передаточной функцией в соответствии с уравнением
.
7. Формула входного операторного сопротивления раскладывается в цепную дробь. Причем, если первым элементом фильтра является индуктивность, то
Если первым элементом фильтра является емкость, то раскладываем её в цепную дробь следующего вида
При ускоренном синтезе вместо ZBX(p) строят операторное входное сопротивление только половины фильтра ZBX2(p).
8. В зависимости от четности или нечетности n получают схему фильтра с нормированными параметрами. На рис. 31.2 показана схема ФНЧ с четным числом элементов, например, шестого порядка
Рис. 4.2
На рис. 4.3 приведена схема ФНЧ с нечетным числом элементов, например, пятого порядка.
Рис. 4.3
Нормированные величины на приведенных схемах, обозначены штрихом сверху.
9. Производится денормирование элементов фильтра.
Только в случае чётного порядка ФНЧ Чебышёва при разложении в цепную дробь может получиться, что R’Н 1. Это означает, что сопротивление R0 не может быть равным RH.
Пусть, например, получено R’Н= 1. Для того, чтобы сопротивление нагрузки оказалось равно заданному, денормирование следует проводить по следующим формулам (вместо RH следует подставлять RH / )
10. Строится график функции рабочего ослабления Ap(), по которому проверяется выполнение данных, заданных для синтеза
Нормирование сопротивления и частоты приводит к нормированию индуктивности и емкости в схеме фильтра. Нормированные величины, обозначенные штрихом сверху, будут безразмерными. Для перехода к реальным значениям величин используют операцию денормирования, т.е. денормирование это переход от нормированной к исходной величине по следующей общей формуле
, Соответственно для элементов фильтра получим следующие формулы перехода
,,
Коэффициенты денормирования совпадают по размерности с исходными величинами.
, ,
Нормирование позволяет получить расчетные формулы в общем виде, пригодном для различных значений граничных частот и сопротивлений нагрузки.
Пусть в результате синтеза ФНЧ – прототипа получена схема рис. 4.4
Рис. 4.4
На этой схеме представлен ФНЧ пятого порядка с нормированными параметрами.
Преобразование схемы ФНЧ – прототипа в схему необходимого фильтра при преобразовании шкалы частот производится путем интерпретации каждого элемента прототипа в новое схемное качество в соответствии с таблицей 4.1.
Таблица 4.1
|
Исходная схема ФНЧ |
|||
|
Схема согласно подстановке ФВЧ |
|||
|
Схема согласно подстановке ПФ |
|||
|
Схема согласно подстановке РФ |
Лекция 5. Синтез активных RC-фильтров и С-фильтров
5.1. Основные схемы включения операционных усилителей
На низких и очень низких частотах вместо LC-фильтров используют ARC-фильтры. Название фильтра определяется составляющими элементами А – операционный усилитель (активный элемент) , R – сопротивление, C – емкость. Таким образом, фильтр содержит только технологичные элементы микроэлектроники. В зависимости от схемы включения операционный усилитель (ОУ) может выполнять разнообразные операции над входным сигналом. Такие широкие функциональные возможности ОУ объясняются его высоким коэффициентом усиления (106 - 107) и большим входным сопротивлением (до 107 Ом и более).
Первой основной схемой включения операционного усилителя является инвертирующая схема, показанная на рис. 5.1, где комплексные сопротивления Z1 и Z2 могут быть по характеру какими угодно.
Рис. 5.1
В структурном обозначении ОУ отражены его свойства по усилению и входному сопротивлению. Входной сигнал подается на инвертирующий вход, обозначенный кружком. Отсюда следует название этой схемы включения. Комплексная передаточная функция по напряжению инвертирующей схемы, показанной на рис. 5.1, будет определяться следующим выражением
Hис(jω)=−Z2 / Z1. Таким образом, используя разнообразные сопротивления, можно получить самые различные передаточные функции этой схемы.
Другой основной схемой включения ОУ является неинвертирующая схема, приведенная на рис. 5.2.
Рис. 5.2
В этой схеме сигнал подается на неинвертирующий вход ОУ. Отсюда и название схемы.
Комплексная передаточная функция по напряжению неинвертирующей схемы будет определяться следующим выражением
Hнс(jω)=1+Z2 / Z1.
Использование различных комплексных сопротивлений в приведенной схеме позволяет получить устройства с самыми различными свойствами. Так, например, если оба сопротивления в неинвертирующей схеме резистивные, то приходим к схеме повторителя сигнала с коэффициентом усиления (1+R2/R1). При R2=0, R1=∞, получим схему идеального повторителя входного сигнала, показанную на рис.33.3
Рис. 5.3
Если оба сопротивления в инвертирующей схеме резистивные, то приходим к схеме инвертора с коэффициентом усиления −R2/R1.
Если в инвертирующей схеме будет Z1=R1, а Z2=jωC2, т.е. на месте второго сопротивления включена емкость, то приходим к схеме интегратора. Если емкость и сопротивление поменять местами, то получим схему дифференциатора. Эти схемы имеют вид, показанный на рис. 5.4
а) б)
Рис. 5.4
Комплексная передаточная функция интегратора, схема рис. 5.4,а, будет
.
Эта формула содержит оператор интегрирования .
Дифференциатор рис. 5.4,б имеет комплексную передаточную функцию следующего вида
.
Эта формула содержит оператор дифференцирования .
Можно легко найти АЧХ и ФЧХ схемы интегратора
, ,
где постоянная времени τ = RC.
и схемы дифференциатора
, ,
Рассмотрим пример решения тестового задания (ТЗ).
Необходимо определить амплитуду сигнала на выходе данной схемы (см. рис. 5.5) в милливольтах, если сигнал на входе 5|sin(30t)| мВ.
Рис. 5.5
Сравнивая схемы рис. 5.5 и рис. 5.4,б, видим, что данная схема является дифференциатором, причем постоянную времени легко определить. Находим τ = 10-3. Тогда сигнал на выходе дифференциатора будет равен производной от входного сигнала, который задан в условии ТЗ, умноженный на постоянную времени. В результате получим значение амплитуды сигнала Um= 10-3 ∙ 5∙ 30 = 150 мВ.
5.1. Коррекция и регулирование частотных характеристик
Или для передачи сигнала по линии связи, требуется определенный уровень искажений амплитуды и фазы сигнала, а линия физически не обеспечивает этот уровень. В рассмотренных и других случаях можно добиться нужных свойств цепи передачи сигнала, если последовательно с корректируемой цепью включить корректирующую цепь (корректор). Различают корректоры АЧХ и корректоры ФЧХ, поскольку одним и тем же корректором линейных искажений трудно исправить амплитудные и фазовые искажения.
АЧХ цепи передачи требуемой формы можно создать с помощью корректирующей цепи, содержащей неинвертирующую или инвертирующую схемы включения ОУ.
Корректоры, по определению, имеют передаточные функции с одинаковым числом нулей и полюсов, которые, чередуясь, располагаются на отрицательной части действительной оси p-плоскости (это основной признак корректора).
Для примера рассмотрим корректор низких частот (НЧ) первого порядка.
Передаточная функция такого корректора имеет вид
HK(р)=KНЧ ∙ (1+p1 ) (1+p2).
Соответствующая этому выражению АЧХ определяется как
,
где 1 = 11; 2 = 12 ; 2 < .
Схема корректора НЧ первого порядка приведена на рис 5.6, там же приведена его АЧХ в логарифмическом масштабе. Из сравнения схемы рис. 5.6 и неинвертирующей схемы 5.2 следует, что Z1=R1;Z2=R3 + R2 (1+jω2); 2=R2 C1 .
Тогда находим окончательно.
Рис. 5.6
Корректор верхних частот (ВЧ) первого порядка будет иметь передаточную функцию, также соответствующую выражению (5.2). Однако соотношение между граничными частотами 1 и 2 будет противоположным, т.е. будет 1 < 2. Тогда АЧХ будет иметь подъем 20 дБ/дек при изменении частоты от 1 до 2. Схема корректора ВЧ первого порядка получается из схемы корректора НЧ рис.5.6, если сопротивления Z1 и Z2 поменять местами.
ФЧХ можно корректировать, не изменяя АЧХ, с помощью фазовых фильтров на ОУ. Фазовым называется фильтр, АЧХ которого не зависит от частоты, а его ФЧХ зависит от частоты. У фазовых фильтров нули передаточной функции расположены на правой полуплоскости р-плоскости, а симметричные им полюсы - на левой полуплоскости. Например, передаточная функция фазового фильтра 1-ого порядка выглядит так:
H(p)=(1-p0(1+p0, где00.
На рис. 5.7 приведены схема фазового фильтра (корректора) первого порядка и его частотные характеристики. Для приведенной схемы : H(p)=(1-pR1 C1(1+p R1 C1 На НЧ емкость не влияет на работу и схема является повторителем сигнала (= ). На ВЧ – это инвертор с единичным коэффициентом усиления (= ). Фазовый сдвиг определяется ФЧХ: = –2 arctg( R1C1). Для получения обратной ФЧХ (изменения фазы то до ) нужно поменять местами C1 и R1 , тогда =–2 arctg( RC).
Лекция 6
Синтез нерекурсивных цифровых фильтров
6.1. Дискретные и цифровые сигналы
Аналоговым (непрерывным во времени) называется такой сигнал, который описывается непрерывной функцией времени. Типичным аналоговым сигналом (точнее сообщением) является речь и изображение, гармонический сигнал и др.
Дискретный сигнал задан однозначно на счетном множестве точек временной оси,
т. е. описывается дискретной функцией времени. Как правило, шаг дискретизации, т.е. период следования дискретных моментов (точек), для каждого сигнала постоянен. Отсчётные значения сигнала в каждой точке могут иметь произвольную величину.
Цифровой сигнал – частный случай дискретного сигнала. Он характеризуется тем, что его отсчётные значения квантованы по величине, т.е. их можно представить числами с конечным числом разрядов (цифр). Если шаг квантования ∆k устремить к нулю, то цифровой сигнал будет эквивалентен дискретному сигналу.
Процедура дискретизации непрерывного сигнала приводит к тому, что в паузах между точками дискретизации сигнал условно считается равным нулю, т.е. его отсчёты можно представить как произведение функции сигнала на функцию единичного импульса r(t)
Единичный импульс имеет амплитуду равную единице и длительность стремящуюся к нулю. Поэтому такой сигнал является импульсным сигналом с бесконечно узкими импульсами. Этот импульсный сигнал представляет собой последовательность единичных импульсов, промодулированных по амплитуде непрерывным сигналом (это так называемый АИМ-сигнал). Его иногда называют решётчатым сигналом. Для удобства анализа дискретных ЭЦ такой сигнал ещё больше идеализируют и представляют в виде произведения исходного сигнала s(t) на дискретизирующую последовательность (t) , состоящую из -функций, т.е.
,
где TД интервал дискретизации исходного сигнала.
Соответствующий импульсный сигнал описывается следующей формулой
,
где s(k) отсчет непрерывного сигнала в точке k.
Площадь спектральной составляющей в соответствии с фильтрующим свойством функции будет равна значению исходного сигнала в точке kTд. Его часто называют идеальным импульсным сигналом.
Преобразования аналогового сигнала в дискретный сигнал осуществляют с помощью ключа- дискретизатора как показано на рис. 6.1. Непрерывный сигнал U(t), показанный на рис.6.1,а) поступает на ключевую схему, которая с частотой дискретизации fД преобразует его в последовательность коротких импульсов рис. 6.1,б). Амплитуда этих импульсов равна значению непрерывного сигнала в отсчетных точках. Таким образом, огибающая импульсной последовательности соответствует входному непрерывному сигналу.
Рис.6.1
На рис. 6.1,в) показана временная диаграмма соответствующего импульсного сигнала. Скорость передачи дискретных значений сигнала определяется частотой дискретизации.
Пусть дискретный сигнал задан своими отсчетами при всех значениях t 0, тогда для его описания можно использовать модель импульсного сигнала. Если непосредственно провести вычисления по формулам прямого преобразования Фурье или Лапласа, то найдем
.
Это преобразование Лапласа дискретного сигнала (ряд Дирихле). Используя соотношение , можно от преобразования Лапласа перейти к преобразованию Фурье, т.е. получить спектральную плотность сигнала.
При дискретизации непрерывных сигналов стоит вопрос о выборе интервала ТД, который определяется теоремой отсчетов, носящей название “теоремы Котельникова”. Она формулируется следующим образом: Непрерывный сигнал, спектр которого не содержит частот выше , может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени TД=1/2fв.
Способ однозначного восстановления сигнала определяется рядом Котельникова:
, где.
Сравнивая ряд Котельникова с обобщённым рядом Фурье, рассмотренным ранее,
,
можно сделать вывод о том, что в представлении рядом Котельникова используется обобщенный ряд Фурье с системой ортонормированных функций следующего вида
.
Именно такой сигнал имеет строго ограниченный спектр.
6.2. Преобразование формы сигналов
Процесс преобразования аналоговой формы сигнала в цифровую включает два этапа: дискретизацию во времени, рассмотренную в предыдущем разделе, и квантование по уровню. Если первая операция линейная, то вторая – нелинейная. Квантованные уровни сигнала соответствуют ряду чисел от нуля до максимального числа, определяемого разрядностью квантователя.
Из технических соображений числа представляются в двоичном коде (т. е. комбинацией цифр двоичного кода «0» и «1»), что объясняется достижениями микроэлектроники в разработке элементов с двумя устойчивыми состояниями. Таким образом, фрагмент соответствующего цифрового сигнала имеет вид, показанный на рис.6.2. На этом рисунке показано четыре уровня квантования непрерывного сигнала u1(t). Физически последовательность 2-х чисел отображается последовательностью уровней напряжения. Например, «1» это +5 В, «0» это 0 В. Тогда физический цифровой сигнал имеет вид, показанный на диаграмме преобразования рис. 6.2 в виде напряжения u2(t). Сигнал именно такого вида действует на входе и выходе цифровой ЭЦ. Конечно, это непрерывный, по сути, сигнал. Однако определяющим для такого сигнала является цифровой код, т. е. набор чисел - комбинаций цифр принятого кода (в частности двоичного кода).
Переходы от дискретного сигнала к аналоговому сигналу и наоборот осуществляются с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) и аналогово-цифрового преобразователя (АЦП). Эти переходы показаны на рис. 6.2 стрелками с соответствующими структурными звеньями.
Рис.6.2
АЦП осуществляет преобразование каждого дискретного десятичного значения сигнала в двоичную систему исчисления. Например,
3 = 022 + 121 + 120 = 011.
Чем выше требуемая точность АЦП, тем больше необходимое число разрядов «n» .
Тактовая частота, с которой работает АЦП, равна частоте дискретизации. Она должны удовлетворять условию
,
так как максимальный десятичный эквивалент двоичного числа будет
.
Цифровые сигналы характеризуются скоростью передачи, которая измеряется в бит/с. Бит - минимальное сообщение, означающее выбор одного из двух значений: "0" или "1". 1 байт равен 8 бит. На передачу сигнала через электрическую цепь со скоростью 1 бит/с обычно требуется 1 Гц полосы частот (предел Найквиста).
6.3. Аналитическое описание дискретных сигналов
Реально, при цифровой фильтрации, непрерывный сигнал s(t) описывается на интервале времени (0, Т0) совокупностью N отсчетов, следующих через интервал Tд, т.е.N=T0/Tд. Такую выборку можно считать одним периодом периодического сигнала и для ее спектрального описания применить ряд Фурье. Используем модель импульсного сигнала на периоде и представим импульсный периодический сигнал в виде ряда Фурье
,
где ; .
Подставляя выражение для sи(t), далее находим
.
Это и есть прямое дискретное преобразование Фурье (прямое ДПФ) (спектр дискретного сигнала).
Соответствующее выражение для дискретного сигнала имеет следующий вид
.
Это обратное ДПФ. В этой формуле сумма конечна, так как дискретный сигнал содержит конечное (N) число гармоник. Период сигнала равен Т0=NТД.
Для восстановления действительного сигнала необходимо вычислить конечную сумму:
,
где - фазовый угол соответствующей спектральной составляющей ряда Фурье.
При спектральном анализе для реализации алгоритма ДПФ на ЭВМ используют быстрое преобразование Фурье (БПФ), позволяющее во многих случаях производить обработку сигналов в реальном масштабе времени.
Формула соответствующего дискретного преобразования Лапласа (ДПЛ) имеет вид:
.
Во временной области такому изображению соответствует дискретный сигнал , соответствующий одному периоду (суммирование одного периода в ряде обратного преобразования Фурье).
Рассмотренные функциональные преобразования дискретного сигнала полезны с точки зрения установления связи с соответствующими преобразованиями непрерывных сигналов, но они достаточно сложны. Можно функциональные преобразования дискретных сигналов упростить, соответствующим выбором формы ряда.
Например, для функционального преобразования использовать степенной ряд комплексной переменной z , т.е. ряд следующего вида
Это Z-преобразование дискретного сигнала. Обозначим далее .
Очевидно, степенной ряд должен быть сходящимся, чтобы существовало
Z-преобразование. Для конечного числа отсчетов сумма будет конечной и существование
Z-преобразования будет обеспечиваться автоматически.
Обратное Z-преобразование дается следующей формулой
Составлены таблицы Z-преобразований. Сравнивая формулы ДПЛ и Z-преобразования, находим, что они будут совпадать при условии , т.е. когда Z-преобразование определяется на единичном круге. Поэтому часто Z-преобразование рассматривают, как переход от переменной «p» к переменной Z=ерТД в дискретном преобразовании Лапласа. При этом p-плоскость переходит в Z-плоскость, как показано на рис. 6.3. Левая
р-полуплоскость переходит в круг единичного радиуса, а правая р-полуплоскость во всю остальную часть Z-плоскости. Действительно, используя формулу Эйлера, можно получить
.
Рис. 6.3
Если (устойчивые системы), то Z лежит внутри единичного круга. Именно поэтому единичный круг имеет важное значение при исследовании дискретных ЭЦ.
Рассмотрим для примера решения нескольких тестовых заданий.
ТЗ№1.
Комплексная переменная Z-преобразования связана с переменной преобразования Лапласа зависимостью … .
а) z= 1/epТД, б) lnz=pTД, в) z= epTД, г) z= epTД, д) z=pTД,
Решение основано на знании соотношения между переменными преобразования Лапласа и Z-преобразования z=ерТД . Тогда правильный ответ будет б) и г).
ТЗ№2.
Точка р-плоскости pi= … соответствует точке Z-плоскости zi= , если интервал дискретизации Тд=1с.
а) j, б) 0+j , в) 1+j, г) , д) 0+j, е) - Решение основано на знании двух соотношений: р=σ+jω и . Тогда из второго равенства для точки на Z-плоскости zi= находим и . Из этих уравнений находим и ; , при условии ТД=1с. Отсюда легко получить, что σ = 0, а ω = , т.е. рi = 0+j. Таким образом, правильный ответ будет д). Конечно, можно, найдя условие σ = 0, сразу для рассмотрения оставить два конкурирующих ответа б) и д), так как только у них σ = 0.
6.4. Аналитическое описание цифровых электрических цепей
Центральной задачей обработки цифровых сигналов является цифровая фильтрация, которая осуществляется цифровым фильтром (ЦФ). ЦФ – является частным случаем цифровой ЭЦ. Таким образом, ЦФ – это цифровая ЭЦ, осуществляющая цифровую фильтрацию сигнала. Далее будем рассматривать только линейные ЦФ с постоянными параметрами, т. е. стационарные линейные ЦФ, которые для краткости будем называть просто «ЦФ».
В рамках основ теории ЭЦ в качестве оценки сигнала при обработке принимается линейный оператор - свертка входного сигнала и импульсной характеристики цепи.
Таким образом, свертка определяет линейную фильтрацию сигнала. Поскольку по определению фильтр осуществляет фильтрацию сигнала, то часто фильтром называют все, что осуществляет свертку, т.е. это может быть и схемотехническое устройство, и вычислительный процесс (программа).
Аналогия Z-преобразования и дискретных преобразований Фурье и Лапласа позволяет использовать основные методы анализа непрерывных ЭЦ применительно к исследованию цифровых ЭЦ. Рассмотрим основные из этих методов.
Временной метод связан с таким понятием как импульсная характеристика. Импульсной характеристикой ЦФ называется его реакция на единичный импульс r (k) и обозначается h(k). Единичный импульс определяется следующим образом: если k=0, то
r (k)=1, если k>0, то r (k)=0. Отсюда следует, что для физически реализуемого ЦФ при k<0. Тогда, используя понятие дискретной свертки, находим сигнал на выходе ЦФ с импульсной характеристикой :
=,
где s1(∙) и s2(∙) сигнал на входе и выходе фильтра.
Переходная характеристика ЦФ - g(k) это его реакция на дискретную единичную функцию 1(k).
Частотный метод связан с таким понятием как комплексная передаточная функция.
Комплексная передаточная функция цифрового фильтра H(jn) это отношение дискретного преобразования Фурье (ДПФ) сигнала (спектра дискретного сигнала) на выходе C2(jn) к дискретному преобразованию входного сигнала C1(jn), т.е.
H(jn) = C2(jn) / C1(jn).
Далее, находим
.
Таким образом, комплексная передаточная функция цифрового фильтра H(jn) равна дискретному преобразованию Фурье от его импульсной характеристики.
Операторный метод связан с таким понятием как передаточная функция ЦФ.
Передаточная функция цифрового фильтра H(z) это отношение Z-преобразований выходного сигнала S2(z) к входному сигналу S1(z), т.е.
H(z) = S2(z) ∕ S1(z).
По аналогии можно сделать вывод, что передаточная функция цифрового фильтра H(z) равна Z- преобразованию от его импульсной характеристики
.
Используя полученные формулы, можно эффективно исследовать и установившийся и переходный режимы работы цифровых фильтров.
В качестве примера решения тестовых заданий рассмотрим наиболее типичное ТЗ. Например, необходимо определить выходное напряжение дискретной цепи с импульсной характеристикой рис. 6.4, если входное напряжение задано.
Рис. 6.4
Решение основано на знании формулы дискретной свертки. Тогда сигнал на выходе дискретной цепи с известной импульсной характеристикой (эта характеристика приведена в виде графика) определяется по формуле свертки
.
В тестовом задании требуется найти коэффициенты перед членами uвх(∙). Они определяются значениями импульсной характеристики h(0) и h(1). Из графика импульсной характеристики видно, что эти коэффициенты будут равны 2 и -1.
6.5. Нерекурсивные цифровые фильтры
Физически реализуемые алгоритмы дискретной фильтрации для формирования выходного дискретного сигнала могут использовать лишь предыдущие входные и выходные отсчеты.
Если для формирования выходного сигнала используются лишь отсчеты входного сигнала, такой алгоритм называется нерекурсивным. Если для формирования выходного сигнала используются отсчеты и выходного сигнала, то такой алгоритм называется рекурсивный. «Рекурсия» (лат. recursus – возврат, обратный путь) – циклическое обращение к данным (к сигналу) полученным на предшествующих этапах фильтрации. Иногда вместо слов «рекурсивный – нерекурсивный» используют равнозначные им термины «рекурентный – нерекурентный».
Вид алгоритма фильтрации приводит к определенным свойствам импульсной характеристики ЦФ. Нерекурсивность алгоритма приводит к тому, что ЦФ имеет конечную импульсную характеристику. Поэтому очень часто нерекурсивные фильтры называются «КИХ – фильтрами». Рекурсивные алгоритмы приводят к бесконечным импульсным характеристикам фильтра. Поэтому рекурсивные фильтры часто называют «БИХ – фильтрами»
Сигнал на выходе КИХ-фильтра во временной области определяется формулой дискретной свертки (формула (40.1)). Для определения структуры фильтра воспользуемся Z – преобразованием. Определим передаточную функцию КИХ- фильтра, как Z – преобразование импульсной характеристики (формула (40.6)).
Полученную передаточную функцию КИХ-фильтра можно представить в виде дробно-рациональной функции следующим образом
.
Число (N-1) определяет порядок КИХ-фильтра. Таким образом, системная функция КИХ-фильтра порядка (N-1) имеет в точке Z=0 (N-1)-кратный полюс и (N-k+1) нулей, расположенных в пределах единичного круга. Поскольку других полюсов нет, КИХ-фильтр структурно устойчив (при любых параметрах, его полюсы всегда лежат в пределах единичного круга, т.е. ).
Алгоритм функционирования КИХ-фильтра можно представить в виде структурной схемы, соответствующей рассмотренной передаточной функции и представленной на рис. 6.5.
Рис. 6.5
Из формулы взвешенного суммирования следует, что в линейных ЦФ над сигналом осуществляется три основных операции: сложение, умножение и сдвиг во времени на целое число интервалов дискредитации TД. Все эти операции представлены в структурной схеме соответствующими элементами. Представленная структура своей конфигурацией объясняет, почему КИХ-фильтры иногда называют трансверсальными, т.е. поперечными. Действительно, входной сигнал распространяется по цифровой линии задержки, а выходной сигнал формируется из поперечных отводов.
Определим частотные характеристики КИХ-фильтров. Поскольку АЧХ и ФЧХ – это модуль и аргумент комплексной передаточной функции, то для их определения необходимо сначала найти ее.
Поскольку комплексная передаточная функция определяется как преобразование Фурье от импульсной характеристики, то ее можно также определить из передаточной функции, путем замены переменной . Находим
.
Если использовать ДПФ, тогда получим
.
Таким образом, при заданном интервале дискретизации из этих формул можно получить достаточно разнообразные выражения для комплексной передаточной функции в зависимости от вида импульсной характеристики ЦФ. Соответствующие АЧХ и ФЧХ описываются следующими выражениями:
;
.
Из этих формул следует, что АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра являются периодическими функциями. Период равен величине , т.е. он определяется интервалом дискретизации ТД.
Рассмотрим методику решения тестовых заданий на следующем примере.
Передаточная функция дискретной цепи равна … , если ее структурная схема задана на рис. 6.6
Рис. 6.6
Решение основано на знании определения и основных свойств передаточной функции дискретной цепи. Если на входе действует S1(z), то на выходе будет S2(z)=H(z)S1(z). Используя структурную схему цепи можно найти S2(z)=2∙ S1(z)+ z-1∙S1(z)= S1(z)∙(2+z-1). Из сравнения с предыдущей формулой находим H(z)= 2+z-1. Конечно, имея определенный опыт в чтении структурных схем, можно непосредственно по схеме найти этот ответ.
Лекция 7
Синтез рекурсивных цифровых фильтров
Сигнал на выходе БИХ-фильтра во временной области определяется формулой дискретной свертки
.
Однако, поскольку алгоритм рекурсивный, то для формирования k-го отсчета выходного сигнала используются предыдущие значения входного и выходного сигналов. Соответствующее разностное уравнение БИХ-фильтра будет иметь следующий вид:
Коэффициенты a1, a2, … an определяют рекурсивную часть алгоритма и не равны нулю одновременно. Обычно n ≥ m. Выполняя Z-преобразование алгоритма рекурсивной
фильтрации,находим:
.
Это и есть алгебраизация разностного уравнения (42.2) с помощью
Z-преобразования.
Определим передаточную функцию рекурсивного ЦФ, пользуясь определением (40.5)
Получим
.
Число «n» определяет порядок БИХ-фильтра. Анализ передаточной функции рекурсивного фильтра показывает, что она на Z-плоскости имеет «n» - полюсов. Если эти полюсы размещаются на Z-плоскости в пределах единичного круга, то рекурсивный цифровой фильтр – устойчив. Если хотя бы один полюс выйдет за пределы единичного круга, то рекурсивный ЦФ будет неустойчив. (Если будет располагаться на границе, то ЦФ будет автоколебательной системой). Полученные выражения позволяют построить структурную схему рекурсивного ЦФ, приведенную на рис. 42.1.
Рис. 7.1
Из полученной схемы видно, что верхняя часть соответствует нерекурсивной части алгоритма фильтрации, а нижняя – рекурсивной. Это схема прямой реализации алгоритма ЦФ. Из анализа структурной схемы дискретной цепи следует, что БИХ-фильтр имеет цепь обратной связи, т.е. для него принципиальным является оценка устойчивости. Для реализации рекурсивного ЦФ на элементах цифровой электроники, как это следует из схемы рис.7.1, требуется, например, два регистра сдвига и два запоминающих устройства для хранения коэффициентов , а также две логические матрицы для умножения. Естественно такой фильтр может быть реализован на микропроцессоре, запрограммированном в соответствии с алгоритмом фильтрации. Можно получить некоторую экономию в необходимом объеме оперативной памяти, если перейти к канонической структуре ЦФ, где регистр сдвига используется и для сигнала прямой передачи, и для сигнала обратной связи.
Такая каноническая структурная схема рекурсивного фильтра приведена на рис.7.2.
Рис.7.2
Анализ канонической схемы показывает, что для ее реализации требуется лишь один регистр сдвига (уменьшение необходимой оперативной памяти микропроцессора).
Определив системную функцию БИХ-фильтра, можно найти импульсную характеристику, взяв обратное Z-преобразование
Вычисление контурного интеграла осуществляется по единичной окружности, внутри которой располагаются полюсы устойчивого БИХ-фильтра.
В качестве примера решения тестового задания рассмотрим типичное ТЗ.
Необходимо определить передаточную функцию заданной на рис. 7.3 структурной схемы дискретной цепи
Рис. 7.3
На рис. 7.3 приведена структурная схема БИХ – фильтра, поскольку имеется цепь прямой передачи и цепь обратной связи, т.е. алгоритм фильтрации будет рекурсивным
,
причем b0 =1, b1 =2, a1=3.
Тогда передаточная функция будет дробно-рациональной функцией, у которой числитель описывает нерекурсивную часть алгоритма, а знаменатель – рекурсивную. Из схемы можно легко определить числитель и знаменатель передаточной функции в следующем виде
.
7.1. Основы синтеза цифровых фильтров
Выражения для системных (передаточных) функций КИХ и БИХ фильтров позволяют получить самые разнообразные частотные характеристики фильтров. Однако необходимо учитывать, что принципиально невозможно создать ЦФ, частотные характеристики которого в точности повторяли бы характеристики аналогового фильтра-прототипа (АФ-прототипа). Это объясняется тем, что АЧХ и ФЧХ ЦФ являются периодическими функциями частоты, причем период определяется интервалом дискретизации по времени . В то же время, можно так выбрать интервал , что интервал частот аналоговой цепи преобразуется в отрезок частоты цифровой цепи при сохранении общего вида АЧХ и ФЧХ. Это условие следует из теоремы отсчетов: , где - верхняя частота (частота задерживания) АФ – прототипа. Однако, если необходимо использовать фильтр для фильтрации сигнала из помех или разделения сигналов по частоте, то частота дискретизации должна определяться верхней частотой сигнала или помех. В противном случае помехи попадут в следующий период АЧХ цифрового фильтра. Далее, если известна операторная передаточная функция АФ-прототипа H(p), то заменой переменной можно получить передаточную (системную) функцию БИХ фильтра. Для этого в выражении H(p) необходимо подставить .
Однако реализовать такую системную функцию с помощью структуры БИХ фильтров не удастся, поскольку они имеют дробно-рациональные передаточные функции, а замена переменной даст трансцендентную функцию, так как H(p) также дробно-рациональная функция.
Если частота дискретизации выбрана правильно, т.е. , то можно воспользоваться билинейным преобразованием:
где γ =, fП – полоса пропускания АФ-пототипа, fД –частота дискретизации.
Билинейное преобразование приведет к тому, что, во-первых, частотные характеристики АФ-прототипа и ЦФ будут совпадать, а, во-вторых, системная функция будет дробно-рациональной. Приближение будет тем точнее, чем меньше ωТД, т. е. на низких частотах и при достаточно малом интервале дискретизации ТД. Именно при этих условиях характеристики АФ и ЦФ будут совпадать. Если воспользоваться билинейным преобразованием без учёта ограничений “теоремы отсчётов” (теоремы Котельникова), то проведённый синтез может не дать требуемого результата. Это объясняется тем, что реальные фильтры-прототипы имеют непрерывную АЧХ во всём диапазоне частот. Поэтому теоретически всегда АЧХ синтезированного ЦФ будет отличаться от непрерывной АЧХ прототипа, особенно в области верхних частот из-за эффекта перекрытия.
Таким образом, процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в передаточной функции аналогового фиьтра-прототипа осуществляется замена переменной по формуле билинейного преобразования. Полученная системная функция будет дробно-рациональной и позволяет использовать структуру КИХ или БИХ фильтра для технической реализации цифрового фильтра.
Синтез КИХ-фильтров, отличающихся большим быстродействием по сравнению с БИХ-фильтрами, чаще основан на методе инвариантности импульсной характеристики. Поскольку АФ-прототип имеет бесконечную во времени убывающую импульсную характеристику, то задача синтеза заключается в правильном ограничении числа отсчетов характеристики N в выражении H(z). Ограничение числа отсчетов импульсной характеристики эквивалентно ее умножению на функцию “окна”. В простейшем случае это может быть прямоугольная функция, которая приводит к простому ограничению числа отсчетов. Однако в этом случае возникают искажения АЧХ фильтра (эффект Гиббса), что приводит к уменьшению ослабления в полосе задерживания фильтра. Поэтому необходимо применять функции “окна” без разрыва непрерывности, например, функцию Хэмминга
W(t)=.
Тогда импульсная характеристика быстродействующего ЦФ в формуле будет определяться как .
В качестве примера решения тестового задания рассмотрим типичное ТЗ.
Необходимо определить передаточную функцию и структуру цифрового фильтра, имеющего импульсную характеристику:
h(k)={1;-1;2}
Используя выражение для передаточной функции находим
Этой передаточной функции соответствует структурная схема, приведенная на
рис. 7.4
Рис. 7.4
Тема 3. Цепи с распределенными параметрами
Лекция 8.
Анализ процессов в длинных линиях
Линией называют пару проводов, соединяющих источник с приемником сигнала, предназначенных для передачи энергии сигнала на расстояние. Это важный частный случай цепей с распределенными параметрами. Длинной называют линию, длина которой соизмерима с длиной волны передаваемого сигнала. Часто линию, по которой осуществляется передача энергии высокочастотных колебаний от генератора к нагрузке, называют фидером (название происходит от английского глагола to feed – питать). В современных устройствах связи находят применение фидеры различных типов. Воздушная линия конструктивно состоит из двух параллельных неизолированных проводов, а кабельная линия образуется парой изолированных проводов либо параллельных, либо скрученных друг с другом. Коаксиальная линия образуется полым цилиндром и центральным проводом. Пространство между ними обычно заполняется диэлектриком. Технологичностью отличается полосковая линия, состоящая из проводящих полос разделенных диэлектриком.
В диапазоне декаметровых и более длинных волн для передачи энергии обычно используется воздушная двухпроводная линия. При передаче гармонических сигналов по воздушным линиям связи без потерь фазовая скорость волн практически равна скорости света в вакууме , а при наличии потерь лишь немного меньше: . Среднее значение волнового сопротивления для воздушных линий Ом.
Однако на более коротких волнах воздушная линия начинает интенсивно излучать электромагнитное поле в окружающее пространство; возрастают также тепловые потери в проводах. В дециметровом диапазоне волн наиболее широко применяется коаксиальная линия передач. В кабелях фазовая скорость волн в 2…2,5 раза меньше скорости света в вакууме. Среднее значение волнового сопротивления для кабелей Ом. В отличие от двухпроводной линии коаксиальная линия не имеет потерь на излучение, так как её электромагнитное поле отделено от внешнего пространства надёжным экраном – оболочкой внешнего цилиндрического проводника. Коаксиальный фидер обладает меньшими тепловыми потерями также оттого, что образующие его проводники имеют достаточно большие поверхности.
На сантиметровых волнах в качестве фидера используется волновод, представляющий собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения, в которой распространяются электромагнитные волны. Отсутствие в волноводе внутреннего проводника уменьшает расход энергии на нагревание и, следовательно, уменьшает потери энергии сигнала при передаче.
Для анализа процессов, происходящих в длинных линиях, их представляют состоящими из элементарных участков. Эквивалентная схема участка линии длиной dх представлена на рис.8. 1
Рис. 8.1
На эквивалентной схеме рис. 23.1 обозначены так называемые первичные параметры длинной линии L0 [Гн/км], R0 [Ом/км], C0 [Ф/км], G0 [См/км] (они еще называются погонными или километрическими). Значения первичных параметров, как правило, гостированы и, например, для двухпроводной линии обычно составляют следующие величины L0 единицы [мГн/км], R0 сотни [Ом/км], C0 десятки [нФ/км], G0 сотые доли [мкСм/км]. Зная величину километрических параметров, легко найти параметры линии передачи сигнала, если известна ее длина. Значение первичных параметров зависит от частоты сигнала. Сильнее всех от частоты зависят резистивные параметры линии (R0, G0), что объясняется ростом потерь энергии сигнала от частоты при его распространении по линии. Потери связаны с поверхностным эффектом (скин-эффектом) и потерями в диэлектрике.
Далее будем рассматривать однородные линии, у которых значение первичных параметров неизменны на всей длине.
Представление длинной линии в виде суммы элементарных участков (рис. 8.1) позволяет найти распределение тока и напряжения вдоль линии. Используя законы Кирхгофа, можно записать уравнения для напряжения и тока для элементарного участка, считая его обычной электрической цепью с сосредоточенными параметрами.
, (8.1)
.
Это, так называемые, телеграфные уравнения длинной линии, определяющие изменения тока и напряжения вдоль линии. Они являются дифференциальными уравнениями в частных производных для мгновенных значений тока i(x,t) и напряжения u(x,t).
Для режима гармонических колебаний, когда на входе линии действует источник гармонического сигнала, телеграфные уравнения (8.1) в символической форме записи будут иметь следующий вид
, .
Эти уравнения определяют распределение комплексных значений напряжения и тока вдоль линии. Они являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Поэтому решение телеграфных уравнений в символической форме находится просто и имеет в общем случае следующий вид
, . (8.2) В полученных решениях введены обозначения
, .
Как видно в выражении (8.2) установившиеся напряжение и ток в произвольном сечении “x ” состоят из суммы двух одинаковых по форме составляющих, отличающихся знаком в показателе экспоненты.
Введенные обозначения определяют вторичные параметры линии, причем является коэффициентом распространения, а - волновым сопротивлением линии. Используя алгебраическую форму записи, получим, где - коэффициент ослабления (потерь), [дБ/км], - коэффициент фазы, [рад/км].
Их типовые значения = 0,1 5 [дБ/км], = − 510-6 [рад/км]. Физический смысл вторичных параметров заключается в следующем: волновое сопротивление характеризует отношение комплексного напряжения к комплексному току волны, а коэффициент распространения характеризует изменение мощности волны, при прохождении ею единицы длины линии.
8.1. Отражение волн на конце линии и режим бегущих волн
Напряжение и ток в любой точке линии можно рассматривать как результат наложения двух волн: падающей и отраженной, как это следует из выражения (8.2). Если знак в показателе экспоненты отрицательный, то увеличение “x” означает движение волны от начала линии (x=0) к концу (x=l). Если знак в показателе экспоненты положительный, то волна движется от конца к началу линии. Таким образом, падающая волна распространяется от источника к нагрузке. Обозначая напряжение падающей волны символом “+”, находим
, .
Отраженная волна распространяется от нагрузки к источнику.
, .
Распространение волн можно проследить, отслеживая координаты точек равной фазы, как показано на рис. 8.2 для двух моментов времени
Рис. 8.2
При фиксированном расстоянии x каждая волна является гармонической функцией времени. Направление распространения волн показано на рис. 8.2 стрелками. Амплитуда напряжения уменьшается по мере распространения волны. Степень уменьшения определяется коэффициентом ослабления α. Фазовая скорость распространения - скорость перемещения точек колебаний равной фазы определяется, если взять производную от полной фазы (аргумент “cos”), считая ее постоянной , .
Таким образом, фазовая скорость пропорциональна частоте сигнала. Однако, коэффициент фазы также пропорционален частоте. Поэтому фазовая скорость практически не зависит от частоты сигнала, а определяется первичными параметрами линии.
Можно рассматривать линию как четырехполюсник, что представлено на рис. 24.2
Рис.8.3
Уравнение передачи длинной линии можно представить в гиперболической, более компактной форме, если определить постоянные интегрирования А1 и А2 из граничных условий в начале или в конце линии
,
.
По форме эти уравнения соответствуют уравнениям передачи четырехполюсника в A – параметрах.
Из теории четырехполюсников известно, что значение напряжения и тока зависят от степени его согласования по входу и выходу. Поэтому в нагруженной линии распределение напряжения и тока будет определяться не только волновыми параметрами, но и степенью согласования. Степень согласования длинной линии характеризуется коэффициентом отражения, который равен отношению комплексных амплитуд напряжений (или токов) отраженной и падающей волн в произвольном сечении. Найдем выражение для коэффициента отражения в произвольном сечении
Используя граничные условия в конце линии x=l, U(l) = U2 , I(l) = I2, можно определить постоянные интегрирования и найти коэффициент отражения в следующем виде
В режиме согласованного включения в линии распространяется только падающая волна. Такой режим называется режимом бегущей волны и является предпочтительным, поскольку вся энергия падающей волны остается в нагрузке. В этом случае коэффициент отражения будет равен нулю. Входное сопротивление линии в режиме бегущих волн равно волновому сопротивлению. Если линия имеет потери, то амплитуда тока и напряжения в этом режиме убывает по экспоненциальному закону с увеличением расстояния х. Поэтому для лучшей передачи энергии сигнала нужно брать линию как можно короче. Если линия без потерь, то величина тока и напряжения от расстояния не зависят.
В случае режима бегущей волны уравнения передачи упрощаются и имеют следующий вид
При наличии рассогласования на входе и выходе в линии образуются потоки падающих и отраженных волн
Наличие отражений искажает передаваемый сигнал, поэтому на практике коэффициенты отражений на входе и выходе реальных линий строго нормируются. Значения этих коэффициентов определяется как
,.
Таким образом, модуль коэффициента отражения растет по мере увеличения х и достигает наибольшего значения в конце линии.
Лекция 9
Линии без искажений и использование отрезков длинных линий
Линией без потерь называют линию, в которой можно пренебречь рассеянием энергии. В этом случае резистивные первичные параметры будут равны нулю, т. е. . Тогда вторичные параметры будут определяться следующими соотношениями
, .
В зависимости от типа нагрузки на конце линии различают следующие режимы работы: линия с разомкнутыми выходными зажимами ,линия с замкнутыми накоротко выходными зажимами , подключение к линии реактивной нагрузки , подключение к линии согласованной нагрузки , подключение к линии несогласованной нагрузки .
Рассмотрим распределение напряжения и тока вдоль линии при различных режимах работы. Используя выражение для коэффициента отражения в конце линии, можно определить его модуль для произвольного сечения в общем случае
Рис. 9.1
Для первых трех случаев значений нагрузки модуль коэффициента отражения в конце линии будет равен единице, поскольку в линии отсутствуют потери, а для этих случаев = 1. Тогда амплитуды отраженной и падающей волн будут одинаковы и в линии возникнет, так называемый, режим стоячих волн. Таким образом, режим стоячих волн может возникнуть только в линии без потерь при холостом ходе, коротком замыкании и реактивной нагрузке.
В режиме холостого хода, т.е. когда линия на конце разомкнута , находим мгновенные значения напряжения и тока:
,
.
Действующие значения напряжения и тока в раз меньше амплитудных и соответственно определяются из выражений:
, .
В эти выражения переменная времени не входит, следовательно, распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии с течением времени не меняется. Рассмотренный режим колебаний называют режимом стоячих волн.
На рисунках 9.1.а) показано распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии. В линии имеются точки, где амплитуда колебаний равна нулю (узлы напряжения или тока) и точки, где амплитуда колебаний максимальна (пучности напряжения или тока). Стоячие волны являются результатом сложения падающей и отражённой волн с равными амплитудами. В пучностях фазы обеих волн совпадают и амплитуда суммарной волны вдвое больше амплитуды падающей волны, а в узлах фазы противоположны и амплитуда суммарной волны равна нулю.
Входное сопротивление разомкнутой линии (в режиме холостого хода) на расстоянии у определяется как:
Таким образом, входное сопротивление линии в таком режиме будет реактивным. График зависимости представлен на рисунке 9.1.б). Разомкнутая на конце линия длиной от 0 до /4 имеет входное сопротивление емкостного характера (). Линия длиной /4 имеет входное сопротивление равное 0, т. е. такой отрезок длинной линии аналогичен последовательному колебательному контуру без потерь (). Линия длиной от /4 до /2 имеет входное сопротивление индуктивного характера (). Линия длиной /2 имеет бесконечное входное сопротивление (), т. е. такой отрезок длинной линии аналогичен параллельному колебательному контуру без потерь. В режиме короткого замыкания, т. е. когда линия на конце замкнута , графики распределения амплитудных значений напряжения и тока, вдоль линии показаны на рисунках 9.2.а.
Рис. 9.2
В короткозамкнутой линии, также как и в разомкнутой, имеет место режим стоячих волн. При нагрузке линии на реактивное сопротивление образуются стоячие волны, как и в режимах холостого хода и короткого замыкания. Реактивный элемент, подключаемый к линии в качестве нагрузки, можно заменить эквивалентным отрезком линии, входное сопротивление которого равно сопротивлению реактивного элемента. Емкостной элемент можно заменить разомкнутым отрезком линии длиной , а индуктивный элемент – короткозамкнутым отрезком длиной . При этом, если нагрузка индуктивная, узлы и пучности сдвигаются влево, в сторону генератора, и вправо, в сторону нагрузки, если она емкостная.
Если линия нагружена на резистивное сопротивление, равное волновому , то нагрузка является согласованной. В этом случае комплексные действующие значения напряжения и тока на выходных зажимах линии связаны соотношением: .
Напряжение и ток совпадают по фазе, так как в линии без потерь принимает действительное (не комплексное) значение. Коэффициент отражения , и в линии существует только падающая волна с неизменной амплитудой.
9.1. Линии без искажений и использование отрезков длинных линий
При подключении несогласованной резистивной нагрузки действующие значения напряжения и тока на выходных зажимах линии связаны соотношением: , тогда коэффициент отражения . В линии одновременно присутствуют как бегущие, так и стоячие волны. Такой режим называется режимом смешанных волн. В этом режиме энергия волны частично поглощается нагрузкой, а частично отражается к источнику сигнала, т.е. к входу линии.
Чем больше отличие между значениями сопротивления нагрузки и волновым сопротивлением , тем больше отличие между максимальным и минимальным значениями напряжения и . Минимальное значение напряжения определяет уровень бегущей волны. Для количественной оценки отличия напряжений в минимуме и максимуме, т.е. степени рассогласования линии с нагрузкой, служит коэффициент бегущей волны:
Кбв характеризует величину бегучей волны и изменяется от нуля до единицы. Режим бегущей волны (желательный режим для линий передачи сигнала) будет при значении Кбв = 1, а при Кбв = 0 будет режим стоячих волн.
Иногда используют понятие коэффициента стоячей волны, который определяют как:
. Очевидно, может изменяться от единицы до бесконечности.
Входное сопротивление линии без потерь будет
С учётом окончательно находим
(9.2)
В реальных линиях часть полезной мощности теряется в виде тепловых потерь. Чтобы передача энергии осуществлялась с наименьшими потерями, фидер должен работать в режиме бегущих волн. Кроме того, наличие отражённой волны приводит к неравномерному распределению действующих значений напряжения вдоль линии и, следовательно, увеличивает потери на излучение и опасность электрического пробоя линии в точках, где действующие значения напряжения достигают наибольших значений.
Для того чтобы фидер работал в режиме бегущих волн, его нагрузочное сопротивление должно быть равно волновому. Рассмотрим согласование линии с нагрузочным сопротивлением, не равным волновому, с помощью четвертьволнового трансформатора. Схема такого согласования приведена на рис. 26.1.
Рис. 9.3
Пусть волновое сопротивление линии равно , а сопротивление нагрузки резистивное, причём . Расчёт четвертьволнового трансформатора сводится к определению его волнового сопротивления , которое должно быть выбрано так, чтобы входное сопротивление трансформирующего отрезка с нагрузкой было бы равно волновому сопротивлению линии: . Подставим в формулу (9.2) . В результате находим
,
откуда получим .
Подбор необходимой величины для линии осуществляется путём изменения расстояния между проводами. Таким образом, четвертьволновый согласующий трансформатор позволяет устранить отражённую волну в основной части линии при произвольной нагрузке. Однако на практике рассмотренный способ согласования иногда применять нецелесообразно, так как в конструктивном отношении неудобно иметь согласующие трансформаторы с очень большими или, наоборот, очень малыми волновыми сопротивлениями.
Более совершенным с практической точки зрения оказывается метод согласования, предложенный В.В.Татариновым. Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть линия с волновой проводимостью подключена к нагрузке, имеющей проводимость . Поскольку входная проводимость линии являются функциями её длины, то . Допустим, на некотором расстоянии от конца линии (в сечении 1-1), как это показано на рис. 9.3, резистивная составляющая входной проводимости равна волновой проводимости линии: , а реактивная составляющая принимает какое-то значение . Если теперь между точками 1-1 в цепь включить элемент с реактивной проводимостью , то эквивалентная входная проводимость будет равна .
Следовательно, в основной части линии, слева от сечения 1-1, будет существовать только падающая волна.
Рис. 9.4
В качестве элемента с реактивной проводимостью удобно использовать так называемый параллельный реактивный шлейф – отрезок линии, короткозамкнутый на конце. Волновое сопротивление короткозамкнутого шлейфа обычно выбирают равным , а его длина определяется из условия равенства проводимостей. Так как входная проводимость короткозамкнутого отрезка линии без учёта потерь , то для выполнения этого условия необходимо, чтобы
.