Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОСТРАНСТВАХ
Никакие доказательства не имеют заранее установленной силы.
статья 17 УПК РФ
3.1. Полные метрические пространства
Теорема 1 (Критерий полноты Кантора). Метрическое пространство полно, если и только если любая последовательность непустых вложенных замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение.
Необходимость. .Пусть последовательность вложенных шаров при и пространство полное. Тогда существует и единственна точка , принадлежащая всем шарам сразу. Рассмотрим последовательность центров этих шаров и оценим расстояние при m>n. Так как при m>n , но по условию теоремы , стало быть и при . То есть последовательность фундаментальна и силу полноты пространства сходится. Члены её, начиная с m-го, принадлежат шару , а так как шар замкнутый, то и предел принадлежит этому шару, а , то есть пересечение шаров не пусто.
Достаточность. Пусть - произвольная фундаментальная последовательность в пространстве . Будем полагать, что это последовательность центров замкнутых шаров и покажем её сходимость, то есть полноту пространства . Выделим из последовательности подпоследовательность , такую, что Покажем, что подпоследовательность замкнутых шаров является последовательностью вложенных шаров, т.е. при m>k . Действительно, пусть произвольная точка х принадлежит шару . Тогда Из неравенства треугольника найдём, что . ()Таким образом, точка х принадлежит и шару . Стало быть, шары вложены друг в друга. По условию теоремы последовательность вложенных шаров имеет непустое пересечение. Пусть – общая точка всех шаров. Поскольку радиусы вложенных шаров стремятся к нулю, то т.е. подпоследовательность сходится к точке . Тогда и сама фундаментальная последовательность () сходится к той же точке . Действительно, согласно неравенству треугольника имеем При этом так как подпоследовательность сходится к . Тогда т.е. последовательность сходится.
Комментарий. Нарушение любых условий теоремы приводит к тому, что пересечение шаров пусто. В пункте 2.5.3. было рассмотрено метрическое пространство . Это пространство полное, фундаментальные последовательности здесь может быть только стационарными. а они сходится.
Возьмём последовательность шаров : Центры шаров пробегают значения , . Центры шаров пробегают значения . Центры шаров пробегают значения . Очевидно, это последовательность замкнутых вложенных шаров, но их пересечение пусто: .
Пример. Может ли в банаховом пространстве иметь пустое пересечение последовательность непустых вложенных замкнутых множеств? Да, может. Рассмотрим банахово пространство вещественных чисел и последовательность непустых замкнутых вложенных множеств в нем . Ясно, что.
Определение 1. Пусть множество , где носитель метрического пространства . Множество называется множеством I категории, если его можно представить в виде объединения не более, чем счётного числа нигде не плотных множеств. Остальные множества называются множествами II категории.
Пример. Множество рациональных чисел есть множество I категории.
Теорема 2 (Бэра о категориях). Носитель полного метрического пространства есть множество II категории.
Пусть Носитель полного метрического пространства есть множество I категории, то есть , где нигде не плотные в множества. Пусть
– некоторый замкнутый шар радиуса 1. Так как нигде не плотное множество, оно не плотно и в , то есть существует замкнутый шар радиуса менее такой, что и . Поскольку множество нигде не плотно, то существует замкнутый шар радиуса менее , для которого . И так далее. В результате образуется последовательность вложенных замкнутых шаров полного метрического пространства , радиусы которых стремятся к нулю. Тогда по теореме 1 существует точка , принадлежащая всем шарам сразу. Но по построению , то есть , следовательно .
Комментарий. Ясно, что в полном метрическом пространстве всякое не пустое открытое множество есть множество второй категории, а множества, дополнительные к множествам первой категории, тоже множества второй категории.
Определение 2. Полное метрическое пространство называется пополнением метрического пространства , если пространство всюду плотно в пространстве .
Определение 3. Пространства и называют изомерными, если между ними существует хоть одна биекция и .
Теорема 3 (Хаусдорфа о пополнении метрических пространств). Любое неполное метрическое пространство имеет единственное с точностью до изомерности пополнение.
1. Из элементов данного неполного метрического пространства построим некоторое пространство .
Фундаментальные последовательности и метрического пространства назовём конфинальными, если Конфинальность определяет отношение эквивалентности, , то есть это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Рефлексивность и симметричность очевидны, а из неравенства треугольника следует транзитивность. Действительно, пусть , а . тогда Если и то . Отношение эквивалентности разбивает фундаментальные последовательности пространства на непересекающиеся классы эквивалентных между собой последовательностей. Таким образом мы получили новое фактор множество , элементами которого являются непересекающиеся классы фундаментальных последовательностей представителями которых являются фундаментальные последовательности пространства . Если фундаментальная последовательность сходится к точке , то и эквивалентная ей последовательность сходится к той же точке. Действительно, пусть . Тогда , и . Будем рассматривать фактор-множество как носитель нового метрического пространства с метрикой , если, конечно, удастся доказать, что это метрика.
2. Покажем, что метрическое пространство. То есть предел существует, не зависит от выбора представителей и удовлетворяет аксиомам метрики.
2.1. Существование. Достаточно показать, что последовательность фундаментальна, тогда, в силу полноты числовой оси, она сходится. Полнота числовой оси доказывается независимо.
Лемма 1 (о четырёх точках). Для любых четырёх точек метрического пространства Х справедливо неравенство
Поменяв местами и , получим
Отсюда сразу
Лемма 2 (о непрерывности метрики). Метрика является непрерывной функцией своих аргументов.
Из леммы 1 при , то есть если и при , то .
Доказательство существования.
Теперь ясно, что если последовательности и фундаментальные, то при Тогда согласно лемме о четырёх точках имеем при То есть числовая последовательность фундаментальна и, следовательно, и сходится в полном пространстве .
2.2. Независимость от выбора представителей.
Пусть другие представители последовательностей . Тогда Так как последовательности и конфинальны, то и
2.3. Проверим выполнение аксиом метрики.
1. По свойствам пределов, связанных с неравенствами, если все члены последовательности , то и .
2. Симметричность очевидна.
3. Докажем аксиому треугольника. Так как , то, по свойствам пределов, связанных с неравенствами и непрерывности метрики сразу получаем что и третья аксиома справедлива. Таким образом, пространство метрическое.
3. Покажем, что метрическое пространство и есть пополнение метрического пространства . То есть надо показать, что: метрическое пространство всюду плотно в метрическом пространстве и эти пространства изомерны.
3.1. метрическое пространство всюду плотно в метрическом пространстве
Рассмотрим множество всех стационарных последовательностей пространства . Все они одновременно являются и стационарными последовательностями в пространстве , то есть образуют подмножество элементами которого являются стационарные последовательности. Обратное неверно. Таким образом, . Но любая стационарная последовательность из пространства принадлежит классу конфинальных последовательностей из пространства , то есть . Это значит, что пространство изомерно вложено в пространство . Осталось показать, что пространство и, соответственно, пространство всюду плотно в пространстве . То есть каждый элемент есть точка прикосновения множества (и, соответственно, пространство ). Или в любой окрестности точки найдётся точка . Пусть фундаментальная последовательность, то есть при Зафиксировав , получим, что стационарная последовательность. Расстояние между точками и в этом случае: Это значит, что в любой окрестности точки найдётся точка , то есть пространство и, следовательно, пространство всюду плотно в .
3.2. Метрическое пространство полно.
Рассмотрим некоторую фундаментальную последовательность . Так как пространство всюду плотно в , то для каждого номера n найдётся элемент такой, что . Тогда из неравенства треугольника , то есть последовательность фундаментальна и существует класс эквивалентности , куда сходится последовательность . Но тогда и пределы существуют в силу полноты пространства , то есть ,. Таким образом, метрическое пространство полно.
3.3. Метрическое пространство является единственным с точностью до изоморфизма пополнением метрического пространства .
. Пусть и два различных пополнения метрического пространства и произвольная точка. Тогда . Но, с другой стороны, , причём , а .
3.2. Понятие меры
Как найти площадь Восстания?
Малограмотный человек скажет,
что нужно длину Восстания умножить на его ширину.
грамотный человек скажет,
что нужно взять интеграл по поверхности,
а математик скажет,
что сначала нужно понять структуру этой поверхности.
Комментарий. Понятие меры есть естественное обобщение понятий длины, площади, объёма и их приложений. Рассмотрим античный способ измерения площади метод палеток. Пусть ограниченная плоская фигура, которую без ограничения общности можно считать целиком принадлежащей квадрату на плоскости.
Разобьем этот квадрат на квадратов (палеток) и обозначим через множество тех квадратов, которые целиком содержатся в множестве , а через – множество тех квадратов, каждый из которых пересекается с . Ясно, что . Обозначим через и площади соответствующих множеств квадратов. Тогда при возрастании множества возрастают, а множества убывают, то есть
.
Последовательность не убывает и ограничена сверху, а последовательность не возрастает и ограничена снизу. Поэтому эти последовательности имеют пределы , и , которые называются соответственно внутренней и внешней мерой Жордана множества . Если они совпадают, то есть , то называется мерой Жордана множества , а фигура называется измеримой (квадрируемой). Аналогично строится мера Жордана множества и для . Длина, площадь, объём обладают естественными свойствами, которые, как всегда, примем за аксиомы.
Определение 1. Под мерой будем понимать функцию, заданную на множестве всех измеримых фигур, обладающую следующими свойствами:
1. .
2. Мера суммы конечной или счётной системы попарно непересекающихся множеств равна сумме их мер: .
3 При перемещении множества как твёрдого тела его мера не меняется.
4. Мера единичного квадрата(отрезка, куба) равна единице.
Комментарий. Пример измеримого, но очень специфического множества даёт канторов дисконтинуум. Это подмножество отрезка числовой оси, состоящее из всех чисел вида , где равно 0 или 2, которое получается следующим образом. Отрезок делится на три части и затем выбрасывается средняя часть . Оставшиеся отрезки вновь делим на три части и выбрасываем средние части . И так далее. Это называют процедурой Кантора.
Ясно, что множество тех сегментов, которые целиком содержатся в канторовом дисконтинууме пусто. Множество же тех сегментов, каждый из которых пересекается с отрезком образует последовательность , которая стремится к нулю. Таким образом, мера Жордана канторова дисконтинуума равна нулю.
Не все множества измеримы по Жордану. Опять применим процедуру Кантора к отрезку и удалим из него интервал с длиной, меньшей, чем . Затем из каждого из получившихся двух сегментов удалим интервалы с общей длиной, меньшей, чем , и так далее. В результате общая длина удалённых частей , то есть то, что осталось, имеет длину , тогда как фигура не содержит никакого отрезка, то есть . Стало быть, фигура не измерима по Жордану.
Ещё один важный пример. Рассмотрим множество рациональных чисел сегмента . Это множество плотно на сегменте . То есть между любыми двумя точками сегмента найдутся как рациональные числа, так и иррациональные. Разделим сегмент на две части, затем на четыре части и т. д. Множество тех сегментов, которые целиком содержатся во множестве рациональных чисел пусто и его мера равна нулю. Множество же тех сегментов, каждый из которых пересекается с отрезком просто состоит из этих сегментов, то есть их объединение и составляет отрезок , мера которого по определению равна единице. То есть множество рациональных чисел неизмеримо по Жордану. Абсолютно такие же рассуждения приводят к тому, что множество иррациональных чисел тоже неизмеримо по Жордану. Получается, что отрезок , мера которого равна единице, состоит из неизмеримых множеств.
Кроме того, мера Жордана не обладает счётной аддитивностью (счётной аддитивностью), то есть объединение счётного числа непересекающихся измеримых множеств может и не быть измеримым множеством. Например, точка измерима по Жордану и мера её ноль, но счётное множество точек множество рациональных чисел неизмеримо по Жордану. Таким образом, не выполняется свойство 2 определения меры.
Таким образом, возникает задача по крайней мере расширить число измеримых множеств.
3.3. Понятие меры Лебега
Пусть множество ограниченная плоская фигура, которую без ограничения общности можно считать целиком принадлежащей квадрату на плоскости. Алгоритм введения меры Лебега выглядит таким образом:
1. По определению будем считать, что мера прямоугольника , . Назовём элементарным плоским множеством (ступенчатой фигурой) такое множество которое можно представить в виде объединения конечного числа непересекающихся прямоугольников.
2. Полагаем, что если множество , то . Для прямоугольников можно доказать, а для других элементарных множеств постулируется аддитивность.
3. Покрытием множества называется такая совокупность множеств , что .
4. Внешняя мера определяется так: , где инфинум берётся по всем возможным покрытиям множества конечной или счётной совокупностью прямоугольников или других элементарных множеств.
5. Определим некоторое множество как объединение конечного числа непересекающихся прямоугольников или других элементарных множеств, то есть это измеримое элементарное множество.
6. Множество измеримо по Лебегу, если . Здесь дизъюнктивная сумма множеств и . Внешняя мера , определённая только на измеримых множествах, называется мерой Лебега множества .
Теорема 4 (Лебега о аддитивности меры).Пусть попарно непересекающаяся совокупность измеримых множеств, то есть если и . Тогда .
(Стало быть, совокупность измеримых множеств замкнута относительно операции счётного объединения, а мера аддитивна.)
Если и , то . (Непрерывность аддитивной меры.) Без доказательства.
Комментарий.
1. Пусть некоторое множество, множество всех подмножеств множества . Непустое подмножество кольцо, если оно замкнуто относительно операций объединения, пересечения и разности, а следовательно и симметрической разности; алгебра если подмножество включает в себя множество ; алгебра если алгебра замкнута относительно операций счётного объединения. Таким образом, совокупность измеримых множеств образуют алгебру, на которой мера аддитивна.
2. Таким образом, исходное множество заменяется со сколь угодно большой степенью точности множеством и теперь уже не важно, как определить меру множества или как внешнюю меру по всем покрытиям, или как конечную сумму мер прямоугольников, из которых состоят элементарные множества. Через покрытия удобнее, так как не надо искать способ представления множества .
3. При построении меры по Жордану множество “зажималось” системой прямоугольников, внутренних и внешних, и если , то множество измеримо. Определив функцию , мы получим полуметрику, так как разные системы прямоугольников могут покрывать одну и ту же фигуру, то есть при разных и . Если отождествить те и , при которых , то это уже метрика. Фактор-множество по отношению эквивалентности образует метрическое пространство. Но это неполное метрическое пространство. Его пополнение и приводит к мере Лебега.
Определение 1. Множество имеет лебегову меру ноль, если можно указать последовательность открытых параллелепипедов , такую, что и .
Пример 1. Меру ноль имеет любое дискретное множество, любое конечное или счётное множество, например, множество рациональных чисел (как объединение конечного или счётного числа точек, имеющих меру ноль). Пронумеруем множество рациональных чисел и вокруг любого числа рассмотрим интервал . Его мера (длина) , а .
Переходя к дополнениям, получим, что мерой множества иррациональных чисел на отрезке будет длина отрезка.
Множество рациональных чисел стало измеримым, имеет лебегову меру ноль, но это всюду плотное множество I категории. Может ли несчётное множество иметь меру ноль?
Пример 2. Покажем, что канторов дисконтинуум есть замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество лебеговой меры ноль и мощности континуума.
1. Замкнутость. Канторов дисконтинуум есть пересечение замкнутых отрезков, оставшихся на ном шаге процедуры с отрезком , то есть , а это замкнутое множество.
2. Совершенство. По процедуре, мы никогда не выбрасываем два смежных интервала, то есть в множестве нет изолированных точек.
3. Нигде не плотность. Возьмём произвольный интервал и покажем, что , не содержащий точек множества . В самом деле: или на ном шаге процедуры интервал уже не содержит точек множества , или на следующем шаге мы выбрасываем из него треть, а это и есть тот самый интервал , не содержащий точек множества .
4. Мера ноль. Сумма длин выброшенных интервалов , то есть то, что осталось имеет меру ноль.
5. Мощность континуума. Процедура Кантора подразумевает деление соответствующего отрезка на каждом шаге на три равные части, то есть любое число есть троичная дробь, каждая цифра которой 0, 1 или 2. Но множество устроено так, что цифра запрещена, то есть это фактически двоичная дробь. Ранее была установлена биекция между точками отрезка и действительными числами, записанными в любой системе счисления. А отрезок имеет мощность континуума.
Комментарий. Канторов дисконтинуум не имеет внутренних точек, так как если точка внутренняя, то существует окрестность точки , целиком принадлежащая множеству , то есть . Но тогда мера , и . Процедура Кантора позволяет строить на отрезке замкнутые, совершенные, нигде не плотные множества мощности континуума и произвольной лебеговой меры, меньшей, чем длина отрезка.
Пример 3. Построим на отрезке замкнутое, совершенное, нигде не плотное множество мощности континуума и с заданной мерой .
Удалим из отрезка интервал длины с центром в середине отрезка. Далее из двух образовавшихся отрезков удалим по равному интервалу суммарной длины с центрами в их серединах, и так далее. Объединение удалённых интервалов открытое множество, тогда множество множество замкнутое. . Мера оставшегося множества .
3.4. Понятие измеримой функции
Определение 1. Если какое либо утверждение верно для любой точки множества за исключением, быть может, множества точек, имеющих меру ноль, то говорят, что это утверждение верно почти всюду.
Определение 2. Две функции и , заданные на одном и том же множестве , называются эквивалентными ,или если .
Пример 1. Функция Дирихле Так как множество рациональных чисел имеет меру ноль, то или .
Определение 3. Пусть некоторое множество, множество всех подмножеств множества , а алгебра. Вещественная функция называется измеримой, если при любом конечном множество (то есть множество тех , для которых ), принадлежит алгебре , то есть измеримо.
Пример 2. Пусть . Тогда , , .
Некоторые факты без доказательств.
5. Пусть функции и конечные измеримые функции, заданные на измеримом множестве . Тогда , измеримы.
6. Пусть функция измерима на множествах . Тогда она измерима на их объединении и пересечении .
Теорема (Критерий Лузина измеримости функций). Функция измерима на сегменте если и только если , непрерывная на сегменте , такая, что .
Комментарий. Критерий Лузина означает, что измеримые функции близки к непрерывным в том смысле, что любую из них можно сделать непрерывной, изменив её значения на множестве сколь угодно малой меры. Например, скачок
Пример 3. Функция Дирихле, определённая, например, на отрезке , измерима, так как при при а так как множество рациональных чисел имеет меру ноль, то в обеих случаях . Если а пустое множество имеет меру ноль.
Определение 4. Пусть на измеримом множестве задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций и измеримая и почти везде конечная функция . Если оказывается, что , то говорят, что последовательность функций сходится к функции по мере или (Обозначение Фихтенгольца).
Определение 5. Пусть на измеримом множестве задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций и измеримая и почти везде конечная функция . Если последовательность сходится к функции за исключением, быть может, множества точек, имеющих меру ноль, то говорят, что последовательность функций сходится к функции почти всюду или . Это так называемая поточечная сходимость.
Определение 6. Равномерная сходимость на множестве означает, что и обозначается или .
Комментарий. Ясно, что из равномерной сходимости следует сходимость почти всюду, потому, что равномерная сходимость это “сходимость всюду”. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако имеют место
Теорема (Егорова о сходимости почти всюду). Если на множестве конечной меры, то и вне подмножества .
Теорема (Лебега о сходимости почти всюду). Если , то .
Комментарий. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, имеет место
Теорема (Лебега о сходимости по мере). Из любой последовательности, такой, что , можно выделить подпоследовательность , такую, что .
Пример 4. Рассмотрим функциональную последовательность, заданную на отрезке . Здесь . Построим несколько членов этой функциональной последовательности. При . При этом , при и при . При . При этом , а последовательно на всех четвертушках отрезка . Ясно, что имеет место сходимость по мере, то есть , так как Но здесь нет сходимости почти всюду, так как последовательность не сходится ни в одной точке отрезка , то есть на множестве положительной меры. Выделим из неё подпоследовательность . Ясно, что почти всюду, кроме точки .
Пример 5. Из сходимости почти всюду не следует сходимость в среднем. Рассмотрим функциональную последовательность Последовательность множеств, на которых функциональная последовательность равна нулю монотонно возрастает и стремится ко всей прямой, за исключением точки ноль, то есть множества меры ноль. Это и есть, по определению, сходимость почти всюду. Однако в среднем эта функциональная последовательность к нулю не сходится, так как .
Пример 6. Из сходимости в среднем не следует сходимость почти всюду. Рассмотрим функциональную последовательность, заданную на отрезке . Здесь . Здесь нет сходимости почти всюду, так как последовательность не сходится ни в одной точке отрезка . Однако в среднем последовательность сходится к нулю, так как при можно записать, что. Но и .
Пример 7. Из сходимости по мере не следует сходимость в среднем. Рассмотрим функциональную последовательность, заданную на отрезке . Здесь . Как и в примере 4, здесь имеет место сходимость по мере, то есть , так как Тем не менее сходимости в среднем нет, так как .
3.5. Схема построения интеграла Лебега
(На множестве конечной меры)
Разбиение области интегрирования осуществляется по признаку близости значений интегрируемой функции.
1. Рассматриваются простые измеримые функции , то есть функции, принимающие не более чем счетное число значений , где при . Для таких функций под интегралом по множеству понимается сумма или ряд (при условии абсолютной сходимости) , где меры тех отрезков, на которых функция принимает значения . То есть .
2. Множество значений простых функций, можно рассматривать, как метрическое пространство с метрикой . Но значений не более, чем счётное число, то есть это множество первой категории, следовательно, пространство значений не полное. Пополнение этого пространства осуществляется по схеме доказательства теоремы Хаусдорфа о пополнении метрического пространства.
4. Из элементов данного неполного метрического пространства строится полное пространство, где в качестве классов эквивалентности, объявляется множество всех почти всюду равных простых измеримых функций, почти всюду (или равномерно) сходящихся к функции . Таким образом мы получили новое фактор множество , элементами которого являются непересекающиеся классы фундаментальных последовательностей представителями которых являются фундаментальные последовательности пространства . Если фундаментальная последовательность сходится к точке , то и эквивалентная ей последовательность сходится к той же точке. Сходимость влечёт за собой существование предела , который и объявляется интегралом Лебега .
3.6. Конструкция интеграла Лебега
Пусть измеримое множество, на котором задана ограниченная и измеримая функция (функционал) .
Комментарий. Определение интеграла Лебега аналогично определению интеграла Римана, но только интегральные суммы составляются разбиением не области определения, а множества значений функции. Если у вас есть несколько конвертов денег, то пересчитать их можно или посчитав деньги в каждом конверте (метод Римана) или выложить их из конвертов и сгруппировать по купюрам (метод Лебега). Отсюда ясно, что функция, интегрируемая по Риману, будет интегрироваться и по Лебегу и интегралы будут совпадать. Обратное, вообще говоря, неверно. Для существования интеграла Римана необходимо и достаточно (теорема Дюбуа Раймона), чтобы множество точек конечного разрыва имело меру ноль. По Лебегу можно интегрировать и всюду разрывные функции. Например, функция Дирихле разрывна во всех иррациональных точках, то есть множество точек разрыва имеет меру один. Она не интегрируема по Риману, но интегрируема по Лебегу: . Для интеграла Лебега имеют место свойства, совпадающие с соответствующими свойствами интеграла Римана с точностью до формулировок.
Примеры.
1. Взять интеграл Лебега , если
2. Взять интеграл Лебега ,
3. Взять интеграл Лебега , если
4. Взять интеграл Лебега , где - канторов дисконтинуум, - его дополнение до всего отрезка.
5. Взять интеграл Лебега , где - канторов дисконтинуум, - его дополнение до всего отрезка.
6. Взять интеграл Лебега , , где - канторов дисконтинуум, - его дополнение до всего отрезка, а - неизмеримое множество.
7. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл Лебега от функции
на множестве , полученном удалением из отрезка интервалов .
Это множество есть объединение множества меры ноль, состоящего из точек 0 и 1, и сегментов , на каждом из которых функция интегрируема по Риману.
8. Взять интеграл Лебега , . Функция неотрицательна и непрерывна на своей области определения, то есть интеграл Лебега существует, если и только если существует соответствующий интеграл Римана. .
3.7. Компактность в метрических пространствах
Комментарий. 1. В классическом анализе в соответствии с теоремой Больцано Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Однако, в бесконечномерных метрических пространствах это, вообще говоря, не так. Приедем два очевидных примера. Рассмотрим в метрическом пространстве последовательность , где . Она лежит на сфере , то есть ограничена, но не фундаментальна, так как Это значит, что из неё нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Второй пример в пространстве даёт последовательность . Эта последовательность, очевидно, замкнута и ограничена в . Однако неё тоже нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность. Чтобы это показать, рассмотрим . Выберем . Тогда при видно, что , то есть ни сама последовательность, ни любая её подпоследовательность даже не фундаментальны.
2. В классическом анализе в соответствии с теоремой Вейерштрасса. Любая непрерывная функция (функционал), заданная на замкнутом, ограниченном множестве, которое в классическом анализе называется компактом, достигает на нём своих точных верхней и нижней граней. Однако рассмотрим в пространстве множество всех функций . Это замкнутое ограниченное множество, на котором определим функционал . Покажем, что он непрерывен. Пусть , причём сходимость равномерная по теореме Кантора. Тогда по свойству равномерно сходящихся последовательностей , то есть функционал непрерывен. Ясно, что . Более того, для любой непрерывной функции, соединяющей точки и функционал . Рассмотрим непрерывную функцию . тогда , то есть , но он не достижим. Однако, доказательство теоремы Вейерштрасса опирается на теорему Больцано Вейерштрасса. Надо хотя бы отгородиться от этих неприятностей.
Определение 1. Пусть метрическое пространство. Множество называется компактом, если из любой последовательности можно выделить подпоследовательность, .
Определение 2. Если замыкание множества компакт, то множество называется предкомпактом (то есть подпоследовательность сходится к элементу из замыкания).
Комментарий. Компракт и предкомпакт называют компактными множествами. Ясно, что компакт подпространство полного метрического пространства или само полное метрическое пространство. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, множество компакт, так как из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, но всё пространство с метрикой не компактно, так как из последовательности сходящуюся подпоследовательность выделить нельзя. По тем же соображением пространство не компактно, хотя любое его замкнутое ограниченное подмножество уже компакт. Пространства и не компактны. Более того, ранее мы показали, что в них существуют замкнутые, ограниченные множества, не являющиеся компактами.
Теорема 1. В любом метрическом пространстве если множество компакт, то множество замкнуто и ограничено.
Пусть произвольная последовательность сходится к . Так как множество компакт, то из последовательности можно выделить подпоследовательность . Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к пределу последовательности, то есть . Ограниченность очевидна.
Комментарий. В полном метрическом пространстве счётное пересечение замкнутых, вложенных шаров, радиусы которых не стремятся к нулю, может быть пустым. Для компактов это невозможно.
Теорема 2 (Кантора о пересечении замкнутых, вложенных шаров).
Пусть последовательность непустых компактных множеств, вложенных друг в друга, то есть . Тогда
не пусто.
Выберем в шаре точку , в шаре точку и так далее. Ясно, что последовательность , а так как компакт, то из последовательности можно выделить подпоследовательность , все члены которой, начиная с некоторого номера, попадет в какой-то шар , и , так как шар замкнут. Но тогда.
Определение 3. M и подмножества метрического пространства X . Множество называется сетью (скелетом) для множества M, если и
Определение 4. Множество вполне ограничено (полностью ограничено), если оно имеет конечную сеть (“конечный скелет”).
Теорема 3. Вполне ограниченное множество метрического пространства ограничено.
Пусть М - вполне ограниченное множество метрического пространства Х , его конечная сеть, произвольная точка, а некоторая фиксированная точка. Тогда, используя неравенство треугольника, получим Это неравенство и означает ограниченность множества М, так как просто конечный набор чисел.
Комментарий. Обратное, вообще говоря, неверно.
1. Рассмотрим в пространстве с метрикой любую последовательность, составленную из нулей и единиц. Она ограничена, но не вполне ограничена, так как расстояние между любыми парами элементов равно единице и при её нельзя накрыть конечной сетью.
2. Рассмотрим в пространстве с метрикой единичную сферу, то есть все последовательности вида. Все образуют ограниченное, но не вполне ограниченное множество, так как , то есть, например, при его нельзя накрыть конечной сетью.
Теорема 4. Компактное метрическое пространство Х сепарабельно.
Возьмём последовательность Так как пространство Х вполне ограничено, то для каждого существует конечная сеть Тогда объединение является счётным и всюду плотным в Х множеством. А это и означает сепарабельность пространства Х.
Теорема 5 (критерий Фреше – Хаусдорфа). Пусть –полное метрическое пространство, а . Множество компактно, если и только если вполне ограничено в .
Необходимость. Пусть множество компакт. Покажем полную ограниченность множества . Зафиксируем , выберем произвольную точку и построим открытый шар . Может случиться так, что . Это означает, что точка образует конечную сеть для множества , состоящую из одного элемента, то есть теорема доказана. Если это не так, то . Если теперь , то точки и образуют конечную сеть для , состоящую из двух элементов, то есть теорема доказана. Если это не так, то . Если процесс закончится, то конечная сеть построена, а если нет, то не фундаментальна, так как , то есть не сходится, что противоречит определению компакта.
Достаточность. Пусть – вполне ограниченное множество в полном метрическом пространстве . Покажем, что компактно. Так как полностью ограниченно, то для любого в метрическом пространстве существует конечная сеть для множества , то есть существует конечное покрытие элементов из открытыми шарами радиуса . Пусть произвольная последовательность элементов из . Тогда, в соответствии с принципом Вейерштрасса, существует хоть один шар, содержащий бесконечное число членов последовательности , то есть содержащий подпоследовательность , расстояние между элементами которой меньше . Пусть Выделим из последовательности подпоследовательность , расстояние между элементами которой меньше . Из этой подпоследовательности выделим подпоследовательность , расстояние между элементами которой меньше
и т.д. Таким образом, мы получили последовательность подпоследовательностей . Тогда члены “диагональной“ последовательности , начиная с некоторого номера принадлежат той подпоследовательности, то есть . То есть последовательность фундаментальна, а так как пространство полное, то , то есть компакт или предкомпакт.
Определение 5. В полном метрическом пространстве компакт это замкнутое, вполне ограниченное множество.
Комментарий. Итак, в полном метрическом пространстве полная ограниченность и компактность суть равносильные понятия. Заметим, что в всякое замкнутое ограниченное множество компактно, всякое компактное множество замкнуто и ограниченно.
Топологический аспект понятия компактности.
Определение 6. Открытым покрытием множества называют конечную или бесконечную совокупность открытых множеств , причём эта точка принадлежит хоть одному из множеств .
Теорема 5 (Критерий компактности Гейне Бореля). Множество компакт, если и только если из любого открытого покрытия множества можно выделить конечное подпокрытие .
Комментарий. В полном метрическом пространстве компакт это замкнутое, вполне ограниченное множество. Пусть конечная сеть, то есть весь компакт целиком разместится в объединении шаров , и если, в свою очередь, каждый такой шар целиком входит в некоторое множество , то компакт . Таким образом, нужно показать, что и .
Необходимость. Пусть не существует шара, целиком входящего в некоторое множество . Тогда и , такие, что все шары не попадут целиком ни в одно множество . Но множество компакт, то есть из последовательности можно выделить подпоследовательность . Эта точка принадлежит одному из открытых множеств , то есть, по определению открытых множеств, она входит в множество вместе с некоторой окрестностью. Стало быть, существует шар , то есть целиком входящий в множество .
Достаточность. Пусть существует конечное покрытие множества , но множество не компакт. Это означает, что никакая точка множества не может быть пределом последовательности или подпоследовательности, сходящейся к этой точке. Это означает, что у множества вообще нет предельных точек, то есть все его точки изолированные. Другими словами, существует шар , внутри которого нет ни одной точки из множества , кроме, быть может, точки . Рассмотрим открытое покрытие множества этими шарами. По условию, существует конечное покрытие множества , то есть существует конечная совокупность шаров, которая покрывает бесконечное множество элементов множества , но в каждом из этих шаров находится только по одной точке из множества .
Определение 7. Множество называется компактом, если из любого открытого покрытия множества можно выделить конечное подпокрытие .
Комментарий. Это определение позволило П.С. Александрову и П.С. Урысону построить теорию компактных топологических пространств, где компактность часто называют бикомпактностью. Та компактность, которым мы пользовались, называется секвенциальной компактностью (sequential (лат.) последовательность). Эти понятия, вообще говоря, различны и совпадают только в метрических пространствах.
Теорема 6 (О структуре компакта). Любой компакт гомеоморфен канторову дисконтинууму .
Покажем, что существует непрерывная функция , осуществляющая биекцию между компактом канторовым дисконтинуумом . Так как компакт, то для него существует конечная сеть. Возьмём последовательность и построим её для каждого . При это будет , при это будет . При этом в каждую из них добавляем точки так, чтобы общее число точек в любой сети было степенью двойки, то есть . Рассмотрим сеть. Очевидно, что любое находится в одном из шаров с радиусом и центрами в точках . Пусть, например, эта точка находится в шаре , тогда при эта точка находится в шаре и так далее. Таким образом, для любого можно указать бесконечную последовательность вложенных шаров с радиусами , внутри которых она находится. Общее число таких шаров, образующих сеть, конечно и является степенью двойки.
Рассмотрим теперь построение канторова дисконтинуума . На том шаге он содержит сегментов ранга . Если их как-то пронумеровать, например, слева направо в порядке следования сегментов, то последовательность вложенных друг в друга сегментов, содержащих эту точку. Тогда ей можно сопоставить точку и последовательность вложенных шаров с теми же номерами, внутри которых она находится. Это биективное соответствие осуществляется функцией . Покажем, что она непрерывна. Для произвольного рассмотрим шар , где . Рассмотрим последовательность вложенных шаров с радиусами , Так как , то ясно, что, начиная с некоторого шары окажутся внутри любого шара с фиксированным . Если в качестве взять наименьшее расстояние от до конца сегмента, содержащего на ном шаге точку, то как только , сразу то есть функция непрерывна.
Комментарий. Непрерывные на компакте функционалы ведут себя так же, как и функции, непрерывные на сегменте, то есть для них имеет место теорема Вейерштрасса.
Теорема 7 (Вейерштрасса). Непрерывный на компакте функционал
1. ограничен на нём и
2. достигает на нём своих точных верхней и нижней граней.
1. Пусть функционал не ограничен на компакте , то есть точка. Так как компакт, выделим подпоследовательность. Но непрерывен, то есть исходная посылка неверна.
2. Так как функционал непрерывен на компакте , он ограничен на нём, то есть множество его значений ограничено, то есть он имеет точную верхнюю грань и точную нижнюю грань . Надо показать, что функционал достигает их на компакте . Покажем это для точной верхней грани . По определению точной верхней грани и , то есть . Выделим из последовательности подпоследовательность , то есть . При по теореме о двух милиционерах , а силу непрерывности , и, так как компакт, .
Пример. В конечномерном пространстве любое ограниченное множество предкомпактно. Рассмотрим замкнутое множество , и произвольную последовательность в нём. По теореме Больцано – Вейерштрасса из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность, причём она будет сходиться к элементу из , то есть компакт, а, следовательно, предкомпакт.
Пример. В пространствемножество не предкомпактно. Если это множество предкомпактно, то из него можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которая по теореме Кантора должна сходиться равномерно, но равномерная сходимость влечёт поточечную, то есть сходимость в каждой точке пространства .
Однако, подпоследовательностьпри сходится к нулю, а при к единице, то есть к разрывной функции, не принадлежащей пространству .
Определение 7. Множество функций равномерно ограничено, если .
Определение 8. Множество функций равностепенно непрерывно, если и .
Пример. Рассмотрим в пространстве последовательность . Эта последовательность, очевидно, равномерно ограничена в . Однако, как показано ранее, она не равностепенно непрерывна, точно так же, как и последовательность в пространстве . Эта последовательность равномерно ограничена, так как . Однако не равностепенно непрерывна. Пусть Тогда , что и означает невыполнение условия равностепенной непрерывности.
Теорема 8 (Критерий компактности Арцела Асколи). Множество функций компактно, если и только если оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
Необходимость. Пусть множество компактно в . 1. Докажем, что оно равномерно ограничено. Так как пространство полное, а множество компактно, то существует конечная сеть из функций . Каждая из них ограничена (как непрерывная функция на компакте), а для произвольной функции найдётся из сети такая, что . Тогда . Это и означает равномерную ограниченность множества функций .
2. Докажем равностепенную непрерывность множества . Так как множество компактно, то существует конечная сеть, состоящая из функций , таких, что . Так как все функции непрерывны на компакте , то по теореме Кантора они и равномерно непрерывны на нём, т.е. . Пусть . Тогда это наименьшее значение подойдёт для любых функций из сети. Покажем, что это значение подойдёт и для любой функции . Пусть произвольная функция множества , а функция из - сети. Тогда имеем Итак, , что и означает равностепенную непрерывность.
Достаточность. Пусть равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное на семейство функций . Покажем, что семейство компакт, то есть построим конечная сеть.
Пусть и зафиксируем сколь угодно малое . Так как все функции равностепенно непрерывны, то и как только
. Разобьём сегмент точками , причём , а сегмент разобьём точками , причём . Сопоставим каждой функции ломаную с вершинами в узлах сетки, причём так, что значение берётся такое, что . Очевидно, это всегда возможно. Таким образом, , , и . Тогда
. То есть .Так как между точками и функция линейна, то и . Пусть теперь произвольная точка из сегмента , а ближайшая к ней слева. Тогда Таким образом, ломаные и в самом деле образуют конечную сеть по отношению к множеству функций .
Пример. Является ли множество предкомпактным в пространстве ? Это множество равномерно ограничено, так как, а . Тогда . Кроме того, оно равностепенно непрерывно, так как по формуле конечных приращений Лагранжа при сразу для всех . Тем самым, множество предкомпактно в пространстве .
КУЛЬТУРНЫЙ МИНИМУМ.
ВОПРОСЫ.
ЗАДАЧИ.