Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ
ГОУ ВПО «СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУИКАЦИЙ И
ИНФОРМАТИКИ»
Уральский технический институт связи и информатики(филиал)
Курсовая работа по информатике
На теме: «Визуализация численных методов»
Выполнил: Савин Егор Андреевич
группа СЕ-81
Руководитель: Тюпина Оксана Михайловна
Екатеринбург
2009
Содержание
Введение 3
1. Постановка задачи и математическая модель 4
2. Описание используемых методов 6
2.1. Метод Эйлера модифицированный 6
2.2. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка 8
3. Блок-схемы основных процедур 11
3.1. Блок-схема основной процедуры 13
3.2. Блок-схема функции 14
4. Виды формы проекта 14
4.1.Исходный вид для ввода данных 14
4.2.Итоговый вид с предоставленным решением и графиком 15
5. Листинг программы на языке Visual Basic 16
6. Решение задачи в MathCAD 18
Вывод 19
Введение
Существует множество технических систем и технологических процессов, характеристики которых непрерывно меняются с течением времени. Такие явления обычно подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений. И поэтому умение решать дифференциальные уравнения является необходимым фактором, для того чтобы наиболее полно понимать окружающий мир и процессы, происходящие в нём.
Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько производных. Лишь очень немногие из них удается решить без помощи вычислительной техники. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений играют важную роль в практике инженерных расчетов.
Целью данной курсовой работы по теме «Визуализация численных методов» является решение дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке методом Эйлера и методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности. Выполнив все расчёты выяснить, какой из методов более точный, сравнив выведенные значения с общим решением.
Курсовая работа должно состоять из:
Постановка задачи и математическая модель
Дано дифференциальное уравнение ием и начальное условие . Требуется найти функцию , удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию. Результаты решения предоставить в виде таблицы. Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.
Математическая модель
Дано:
дифференциальное уравнение:
общее решение:
Найти:
Y - массив значений искомого решения в узлах сетки.
2. Описание используемых методов
2.1. Метод Эйлера модифицированный.
Для уменьшения погрешности вычислений метода Эйлера часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта второго порядка точности.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
с начальным условием .
Выберем шаг =0,1 и введём обозначения:
и , где =0,1,2…,
-узлы сетки,
-значение интегральной функции в узлах.
При использовании модифицированного метода Эйлера шаг делится на два отрезка.
Проведём решение в несколько этапов. Обозначим точки А(,), С(, и В. Через точку А проведём прямую под углом , где
.
На этой прямой найдём точку С(,. Через точку С проведём прямую под углом, где
,.
Через точку А проведём прямую, параллельную последней прямой.
Найдём точку В. Будем считать В решением дифференциального уравнения при .
После проведения некоторых вычислений, получим формулу для определения значения :
.
Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность, нежели метод Эйлера. Величина характеризует погрешность метода Эйлера модифицированного.
2.2. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка.
Для большего уменьшения погрешности используется метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности(метод Рунге-Кутта).
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
с начальным условием .
Выберем шаг =0,1 и введём обозначения:
и , где =0,1,2…,
-узлы сетки,
-значение интегральной функции в узлах.
При использовании модифицированного метода Рунге-Кутта шаг делится на четыре отрезка. Согласно этому методу, последовательные значения исходной функции определяются по формуле:
, где
,
А числа на каждом шаге вычисляются по формулам:
Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.
Метод Рунге-Кутта даёт погрешность меньше, чем методы Эйлера и Эйлера модифицированного.
Все методы Рунге-Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.
3. Блок-схемы основных процедур
3.1. Блок-схема основной процедуры.
3.2. Блок-схема функции.
4. Виды формы проекта
4.1. Исходный вид для ввода данных.
4.2. Итоговый вид с предоставленным решением и графиком.
5. Листинг программы на языке Visual Basic
Dim x(50) As Single, y(50) As Single, m(50) As Single, s(50) As Single
Private x0 As Single
Private xk As Single
Dim k1, k2, k3, k4, y0 As Single
Dim n As integer
Function f(t, p As Single) As Single
f = t * Exp(-t ^ 2) - 2 * t * p
End Function
Private Sub Command1_Click()
x0 = Val(Text1.Text)
xk = Val(Text2.Text)
h = Val(Text3.Text)
y0 = Val(Text4.Text)
n = Round((xk - x0) / h)
c = y0 / Exp(-x0 ^ 2) - x0 ^ 2 / 2
MSFlexGrid1.Rows = n + 2
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "X"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Y-Ob"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Y-R4"
MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Y-EM"
Max = 0
Min = x0
y(i) = y0
s(i) = y0
For i = 0 To n
x(i) = x0 + i * h
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 0) = x(i)
m(i) = Exp(-x(i) ^ 2) * (c + x(i) ^ 2 / 2)
m(i) = Round(m(i), 7)
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 1) = Str(m(i))
k1 = h * f(x(i), y(i))
k2 = h * f(x(i) + h / 2, y(i) + k1 / 2)
k3 = h * f(x(i) + h / 2, y(i) + k2 / 2)
k4 = h * f(x(i) + h, y(i) + k3)
y(i + 1) = y(i) + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
y(i) = Round(y(i), 7)
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 2) = Str(y(i))
s(i + 1) = s(i) + h * f(x(i) + h / 2, s(i) + h / 2 * f(x(i), s(i)))
s(i) = Round(s(i), 7)
MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(s(i))
If m(i) > Max Then Max = m(i)
If m(i) < Min Then Min = m(i)
Next i
Picture1.Cls
kx1 = (Picture1.Width - 1650) / (xk - x0)
ky1 = (Picture1.Height - 1050) / (Max - Min)
kx2 = (Picture1.Width - 1665) / (xk - x0)
ky2 = (Picture1.Height - 1050) / (Max - Min)
kx3 = (Picture1.Width - 1740) / (xk - x0)
ky3 = (Picture1.Height - 1050) / (Max - Min)
Label5.Caption = Str(Max)
Label6.Caption = Str(Min)
Label7.Caption = Str(x0)
label8.Caption = Str(xk)
For i = 1 To n - 1
z1 = Round(120 + (x(i) - x0) * kx1)
z2 = Round(3960- (m(i) - Min) * ky1)
z3 = Round(120 + (x(i + 1) - x0) * kx1)
z4 = Round(3960 - (m(i + 1) - Min) * ky1)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vb Green
z1 = Round(120 + (x(i) - x0) * kx2)
z2 = Round(3960 - (y(i) - Min) * ky2)
z3 = Round(120 + (x(i + 1) - x0) * kx2)
z4 = Round(3960 - (y(i + 1) - Min) * ky2)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vb Red
z1 = Round(120 + (x(i) - x0) * kx3)
z2 = Round(3960 - (s(i) - Min) * ky3)
z3 = Round(120 + (x(i + 1) - x0) * kx3)
z4 = Round(3960 - (s(i + 1) - Min) * ky3)
Picture1.Line (z1, z2)-(z3, z4), vb Yello
Next i
End Sub
Private Sub Command2_Click()
End
End Sub
6. Решение задачи в MathCAD
Вывод
В данной курсовой работе я работал над визуализацией численных методов. Мною была разработана программа, которая наглядно описывает решение дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированного и методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности.
По получившейся таблице, состоящей из четырёх столбцов (столбца значений Х, столбца общего решения, столбца решения методом Эйлера модифицированного, столбца решения методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности), видно, что значения столбца решения методом Рунге-Кутта почти не отличается от значений столбца общего решения, а значения столбца решения методом Эйлера модифицированного отличаются от значений столбца общего решения уже на четвёртом знаке.
На графике, построенном в Visual Basic, наглядно показаны решения дифференциального уравнения .
Так как значения общего решения и значения решения методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности почти совпадают, то и их кривые также почти совпадают. А кривая решения методом Эйлера модифицированного отличается от кривой общего решения на большее расстояние, чем кривая решения методом Рунге-Кутта.
Сравнив решения, полученные методом Эйлера модифицированного и методом Рунге-Кутта четвёртого порядка точности, с общим решением можно сделать следующий вывод: наиболее точное решение дифференциального уравнения даёт метод Рунге-Кутта четвёртого порядка точности, а метод Эйлера модифицированного даёт погрешность намного большую.
Данная работа позволила мне закрепить навыки работы в приложениях, изучаемых на 1-ом курсе по информатике.
Курсовая работа на тему: «Визуализация численных методов» выполнена в соответствии с указаниями преподавателя.