Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
27
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
« СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ »
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Методические указания к выполнению расчётно-графической
работы для студентов электротехнических специальностей
по курсу «Теоретические основы электротехники»
Новокузнецк
2010
УДК 621.34 ( 075 )
П
Рецензент
Кандидат технических наук,
профессор кафедры автоматизированного
электропривода и промышленной
электроники СибГИУ
П. Н. Кунинин
П . Переходные процессы в линейных электрических цепях: Метод. указ. / Сост.: В.С. Князев: СибГИУ. – Новокузнецк, 2010, – 40с., ил.
Приведены варианты индивидуальных заданий для выполнения расчётно-графической работы по расчёту переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами классическим и операторным методами. Излагается методика выполнения расчётно-графической работы, приведены примеры расчёта переходных процессов классическим и операторным методами в электрических цепях с постоянными и синусоидальными источниками энергии.
Методические указания предназначены для студентов электротехнических специальностей всех форм обучения.
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Теоретические основы электротехники» является общетеоретической базовой дисциплиной, которая дает фундаментальные знания основных принципов построения и функционирования электротехнических и электронных устройств. Эти знания в дальнейшем получают развитие в специальных профилирующих дисциплинах при подготовке специалистов электротехнического профиля.
В курсе «Теоретические основы электротехники» знания электромагнитных явлений и процессов, рассмотренных в курсе физики, развиваются в направлении разработки методов анализа, расчета и экспериментального исследования электрических и магнитных цепей, электрических и магнитных полей современных электротехнических и электронных устройств.
Для углубления и закрепления теоретических знаний и навыков, получаемых на лекционных и практических занятиях, учебными планами предусмотрено по основным разделам курса выполнение студентами индивидуальных расчётно-графических работ.
B предлагаемой работе рассматривается методика расчёта переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами классическим и операторным методами.
ЗАДАЧА 1
РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩЕЙ
ИСТОЧНИКИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Содержание задачи
На рисунке 1 изображена базовая схема электрической цепи, содержащая пассивные элементы и источники постоянной ЭДС.
Рисунок 1 – Общая схема электрической цепи, содержащей
источники постоянной ЭДС
В таблице 1 приведены варианты значений базовых параметров элементов электрической цепи, одинаковые для всех студентов учебной группы. Номер варианта задания для учебной группы выбирается по указанию преподавателя.
В таблице 2 приведены номера индивидуальных вариантов схемы электрической цепи. Номер варианта цепи соответствует номеру студента в журнале группы. По этому номеру определяются имеющиеся в заданной электрической цепи пассивные элементы и источник постоянной ЭДС, переводные коэффициенты параметров элементов цепи, задаётся последовательность срабатывания двух ключей.
Требуется:
1. По указанному варианту для учебной группы из таблицы 1 выписать значения базовых параметров элементов электрической цепи. По данным таблицы 2 определяются элементы из имеющихся на базовой схеме рисунка 1, которые присутствуют в индивидуальном варианте схемы.
Нарисовать схему электрической цепи, в которой происходят коммутации ключей. Указать на схеме электрической цепи имеющиеся два ключа (обозначить первый ключ К1 , а второй ключ обозначить К2).
Примечания:
1) активное сопротивление всех катушек индуктивности для всех вариантов задачи одинаково: Rк = 8 Ом;
2) если в ветви схемы индивидуального варианта задачи отсутствует какая-либо индуктивность, то на схеме электрической цепи её активное сопротивление Rк также не указывается.
Параметры элементов цепи индивидуального задания определяются на основании базовых параметров элементов (таблица 1) и указанных в таблице 2 переводных коэффициентов по формулам:
R1 = kR R10 ; L1 = kL L10 ; C1 = kC C10 ;
R2 = kR R20 ; L2 = kL L20 ; C2 = kC C20 ;
R3 = kR R30 ; L3 = kL L30 ; C3 = kC C30 .
2. Указать на схеме положительные направления токов в ветвях электрической цепи.
3. Принять, что в заданной электрической цепи происходит срабатывание первого ключа К1 в момент времени t = 0. Режим работы цепи до первой коммутации – установившийся. Определить классическим методом расчёта переходных процессов закон изменения искомого тока (последний столбец таблицы 2).
4. Принять, что через время после первой коммутации (– длительность переходного процесса после первой коммутации) происходит вторая коммутация (срабатывание второго ключа К2). Если переходный процесс после первой коммутации апериодический (корни характеристического уравнения действительные отрицательные), то вторая коммутация происходит после первой коммутации через время ( – наибольший по модулю корень характеристического уравнения цепи). При колебательном характере переходного процесса при первой коммутации (корни характеристического уравнения комплексные сопряжённые: ) принять, что вторая коммутация происходит через время .
5. Определить классическим методом расчёта закон изменения искомого тока после второй коммутации (режим работы цепи до коммутации не установившийся – требуется учесть на основании законов коммутации значения тока в ветви с индуктивностью и напряжения на ёмкости к моменту второй коммутации).
6. Построить закон изменения во времени искомого тока на всём интервале его изменения в результате двух коммутаций.
№варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
E1, B |
100 |
150 |
200 |
300 |
120 |
140 |
80 |
E2, B |
200 |
120 |
250 |
220 |
180 |
80 |
50 |
E3, B |
300 |
100 |
175 |
150 |
100 |
120 |
40 |
R10, Ом |
10 |
20 |
15 |
25 |
18 |
30 |
12 |
L10, мГн |
300 |
400 |
600 |
800 |
900 |
200 |
500 |
C10, мкФ |
50 |
100 |
80 |
150 |
200 |
150 |
60 |
R20, Ом |
20 |
10 |
30 |
40 |
25 |
12 |
11 |
L20, мГн |
500 |
350 |
100 |
700 |
800 |
600 |
400 |
C20, мкФ |
100 |
80 |
200 |
60 |
50 |
150 |
120 |
R30, Ом |
24 |
22 |
20 |
15 |
18 |
10 |
25 |
L30, мГн |
700 |
150 |
350 |
400 |
600 |
1000 |
800 |
C30, мкФ |
200 |
80 |
100 |
60 |
90 |
120 |
150 |
RК , Ом |
6 |
Таблица 2 – Переводные коэффициенты параметров пассивных элементов и варианты схем электрической цепи
|
№ цепи |
кR |
кL |
кC |
Элементы, имеющиеся в схеме цепи рисунка 1 |
Источник энергии в схеме цепи рисунка 1 |
Первый ключ К1 |
Второй ключ К2 |
Опреде- лить ток ветви |
|
1 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
R1, L1, R2, L2, R3 |
E1 |
K22 |
K11 |
i3 |
|
2 |
1,20 |
1,00 |
1,20 |
R1, L1, R2, R3, L3 |
E1 |
K12 |
K31 |
i2 |
|
3 |
1,00 |
1,20 |
1,00 |
R1, L1, R2, C2, R3 |
E1 |
K11 |
K21 |
i3 |
|
4 |
1,00 |
0,90 |
1,20 |
R1, L1, R2, C3, R3 |
E1 |
K33 |
K11 |
i2 |
|
5 |
0,80 |
1,10 |
1,00 |
R1, R2, L2, R3, L3 |
E1 |
K22 |
K31 |
i1 |
|
6 |
1,30 |
0,80 |
1,10 |
R1, C1, R2, L2, R3 |
E2 |
K13 |
K21 |
i3 |
|
7 |
1,25 |
1,00 |
0,85 |
R1, R2, L2, R3, C3 |
E1 |
K33 |
K31 |
i1 |
|
8 |
1,10 |
0,90 |
1,00 |
R1, C1, R2, R3, L3 |
E2 |
K32 |
K11 |
i2 |
|
9 |
0,90 |
1,30 |
1,25 |
R1, R2, C2, R3, L3 |
E1 |
K23 |
K31 |
i1 |
|
10 |
1,15 |
1,20 |
1,00 |
R1, L1, R2, C2, R3 |
E3 |
K23 |
K21 |
i3 |
|
11 |
0,80 |
1,20 |
1,15 |
R1, C1, R2, R3, L3 |
E2 |
K32 |
K31 |
i2 |
|
12 |
1,10 |
1,10 |
0,90 |
R1, R2, C2, R3, L3 |
E1 |
K23 |
K31 |
i1 |
|
13 |
1,20 |
0,85 |
1,00 |
R1, L1, R2, L2, R3 |
E2 |
K22 |
K11 |
i2 |
|
14 |
1,30 |
0,75 |
1,00 |
R1, L1, R2, R3, L3 |
E2 |
K32 |
K11 |
i2 |
|
15 |
1,00 |
1,20 |
0,90 |
R1, L1, R2, C2, R3 |
E3 |
K23 |
K21 |
i3 |
|
16 |
0,80 |
1,10 |
0,95 |
R1, L1, R2, C3, R3 |
E2 |
K33 |
K11 |
i3 |
|
17 |
1,10 |
0,80 |
1,10 |
R1, R2, L2, R3, L3 |
E2 |
K32 |
K21 |
i1 |
|
18 |
1,20 |
0,90 |
1,20 |
R1, C1, R2, L2, R3 |
E3 |
K13 |
K21 |
i1 |
|
19 |
1,00 |
1,00 |
1,30 |
R1, R2, L2, R3, C3 |
E2 |
K33 |
K21 |
i3 |
|
20 |
1,20 |
1,10 |
1,00 |
R1, C1, R2, R3, L3 |
E2 |
K13 |
K11 |
i2 |
|
21 |
0,80 |
0,90 |
1,10 |
R1, R2, C2, R3, L3 |
E3 |
K32 |
K21 |
i1 |
|
22 |
1,00 |
1,15 |
0,85 |
R1, C1, R2, L2, R3 |
E3 |
K13 |
K21 |
i3 |
|
23 |
0,90 |
1,00 |
1,20 |
R1, C1, R2, R3, L3 |
E2 |
K13 |
K31 |
i2 |
|
24 |
0,80 |
1,20 |
1,00 |
R1, R2, L2, R3, C3 |
E1 |
K33 |
K21 |
i1 |
|
25 |
1,00 |
1,40 |
1,20 |
R1, L1, R2, L2, R3 |
E3 |
K12 |
K22 |
i3 |
|
26 |
0,90 |
1,00 |
1,30 |
R1, L1, R2, R3, L3 |
E3 |
K12 |
K32 |
i2 |
|
27 |
1,20 |
1,10 |
0,85 |
R1, L1, R2, C2, R3 |
E3 |
K23 |
K11 |
i3 |
|
28 |
1,40 |
1,00 |
1,10 |
R1, L1, R2, C3, R3 |
E2 |
K33 |
K31 |
i2 |
|
29 |
1,00 |
1,25 |
1,40 |
R1, R2, L2, R3, L3 |
E3 |
K22 |
K31 |
i1 |
|
30 |
1,50 |
1,20 |
1,00 |
R1, R2, L2, R3, C3 |
E2 |
K33 |
K21 |
i1 |
ЗАДАЧА 2
РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Содержание задачи
На рисунке 2 изображена базовая схема электрической цепи, в которой действуют три источника синусоидальной ЭДС и один источник синусоидального тока частоты f = 50 Гц.
Рисунок 2 – Схема электрической цепи с синусоидальными источниками энергии
Расчёт переходного процесса в электрической цепи после коммутации необходимо выполнить операторным методом расчёта.
Номер индивидуального варианта схемы электрической цепи соответствует номеру фамилии студента в журнале учебной группы (таблица 3). В соответствии с индивидуальным вариантом цепи устанавливаются присутствующие в общей схеме рисунка 2 пассивные элементы, источник энергии и ключ.
Номер варианта значений базовых параметров пассивных элементов электрической цепи для студентов учебной группы выбирается по указанию преподавателя (номер варианта для обеих задач одинаков) – таблица 1. Переводные коэффициенты (КR, КL, КС) для определения параметров элементов индивидуального варианта схемы электрической цепи должны быть взяты из таблицы 2.
Параметры источника энергии схемы электрической цепи рисунка 2 (таблица 3) определяются номером варианта задания для учебной группы (таблицы 1, 4).
Таблица 3 – Варианты схем электрической цепи задачи 2
|
№ цепи |
Элементы цепи, имеющиеся в схеме рисунка 2 |
Источник энергии в схеме рисунка 2 |
Ключ в схеме цепи |
Определить ток |
|
1 |
R11, R12, L1; R21; R32, С3 |
e1(t) |
К12 |
i2(t) |
|
2 |
R12, С1; R21, R22, L2 ; R31 |
e2(t) |
К22 |
i3(t) |
|
3 |
R12; R22, C2; R31, R32, L3 |
e3(t) |
К32 |
i1(t) |
|
4 |
R11, R12, L1; R21, C2; R32 |
j(t) |
К12 |
i3(t) |
|
5 |
R12; R21, R22, L2 ; R31, С3 |
e3(t) |
К22 |
i1(t) |
|
6 |
R12, С1; R21; R31, R32, L3 |
e1(t) |
К32 |
i2(t) |
|
7 |
R11, R12, L1; R21; R32, L3 |
e3(t) |
К12 |
i2(t) |
|
8 |
R12, L1; R21, R22, L2 ; R31 |
j(t) |
К22 |
i3(t) |
|
9 |
R12; R21, L2 ; R31, R32, L3 |
e2(t) |
К32 |
i1(t) |
|
10 |
R11, R12, С1; R21, C2 ; R31 |
e1(t) |
К12 |
i3(t) |
|
11 |
R12, C1; R21, R22; R32, С3 |
e3(t) |
К22 |
i2(t) |
|
12 |
R12; R21, C2 ; R31, R32, С3 |
j(t) |
К32 |
i1(t) |
|
13 |
R11, R12, L1; R22; R32, С3 |
e3(t) |
К12 |
i1(t) |
|
14 |
R11, С1; R21, R22, L2 ; R32 |
e1(t) |
К22 |
i2(t) |
|
15 |
R11; R21, C2; R31, R32, L3 |
e2(t) |
К32 |
i1(t) |
|
16 |
R11, R12, L1; R22, C2; R31 |
e1(t) |
К12 |
i3(t) |
|
17 |
R11; R21, R22, L2 ; R32, С3 |
j(t) |
К22 |
i1(t) |
|
18 |
R11, С1; R22; R31, R32, L3 |
e3(t) |
К32 |
i3(t) |
|
19 |
R11, R12, L1; R22; R31, L3 |
e1(t) |
К12 |
i3(t) |
|
20 |
R11, L1; R21, R22, L2 ; R32 |
e2(t) |
К22 |
i3(t) |
|
21 |
R11; R22, L2 ; R31, R32, L3 |
j(t) |
К32 |
i1(t) |
|
22 |
R11, R12, С1; R22, C2 ; R32 |
e2(t) |
К12 |
i3(t) |
|
23 |
R11, C1; R21, R22; R31, С3 |
e1(t) |
К22 |
i2(t) |
|
24 |
R11; R22, C2 ; R31, R32, С3 |
e3(t) |
К32 |
i1(t) |
|
25 |
R11, R12, L1; R21; R32, С3 |
j(t) |
К11 |
i2(t) |
|
26 |
R11, С1; R21, R22, L2 ; R32 |
e1(t) |
К21 |
i2(t) |
|
27 |
R11; R21, C2; R31, R32, L3 |
e1(t) |
К31 |
i3(t) |
|
28 |
R11, R12, L1; R22, C2; R31 |
e2(t) |
К11 |
i3(t) |
|
29 |
R11; R21, R22, L2 ; R32, С3 |
j(t) |
К21 |
i1(t) |
|
30 |
R11, R12, С1, R21, L2 , R32 |
j(t) |
К12 |
i3(t) |
Таблица 4 – Параметры источников энергии переменного
синусоидального тока электрической цепи задачи 2
№варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
E1m, B |
80 |
150 |
100 |
200 |
120 |
140 |
180 |
|
e1, град. |
30 |
60 |
150 |
- 30 |
- 90 |
-120 |
45 |
|
E2m, B |
100 |
200 |
70 |
220 |
150 |
120 |
140 |
|
e2, град. |
120 |
- 60 |
30 |
- 90 |
60 |
90 |
20 |
|
E3m, B |
150 |
100 |
80 |
120 |
200 |
170 |
220 |
|
e3, град. |
- 90 |
120 |
- 45 |
90 |
150 |
- 150 |
-60 |
|
Jm, А |
4 |
5 |
8 |
3 |
10 |
7 |
6 |
|
j, град. |
- 60 |
45 |
120 |
- 120 |
30 |
- 60 |
150 |
Требуется:
1. По данным таблицы 3 необходимо определить, какие из указанных на рисунке 2 пассивных элементов, какой источник энергии и ключ имеются в индивидуальном варианте схемы электрической цепи. Нарисовать схему электрической цепи, исключая отсутствующие в индивидуальном варианте элементы, указать на схеме ключ, обеспечивающий переходный процесс в электрической цепи.
По указанному варианту для учебной группы из таблицы 1 выписать значения базовых параметров элементов цепи.
Реальные параметры пассивных элементов индивидуального варианта электрической цепи определятся с помощью указанных в таблице 2 переводных коэффициентов:
R1 = kR R10 ; L1 = kL L10 ; C1 = kC C10 ;
R2 = kR R20 ; L2 = kL L20 ; C2 = kC C20 ;
R3 = kR R30 ; L3 = kL L30 ; C3 = kC C30 .
Для всех вариантов схемы электрической цепи:
R11 = R1 ; R12 = 2,0 R1 ;
R21 = R2 ; R22 = 2,5 R2 ;
R31 = R3 ; R32 = 3,0 R3;
RК =6 Ом.
2. Рассчитать установившийся режим электрической цепи до коммутации (комплексным методом) и определить для переходного процесса независимые начальные условия (значения внутренних источников энергии на эквивалентной операторной схеме замещения электрической цепи: ).
3. Изобразить эквивалентную операторную схему замещения электрической цепи после коммутации.
4. Выполнить расчёт переходного процесса в цепи операторным методом расчёта после срабатывания ключа и определить закон изменения искомого тока (последний столбец таблицы 3).
5. Построить закон изменения искомого тока во времени после коммутации (выполняется по указанию преподавателя).
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧЕ 1
Рассчитать переходный процесс в цепи, соответствующей индивидуальному варианту № 30 (базовые параметры элементов – вариант №7). Исходные данные варианта приведены в таблицах.
|
№ схемы |
кR |
кL |
кC |
Элементы электрической цепи в схеме рисунка 1 |
Источники энергии в схеме рисунка 1 |
Определить ток |
|
30 |
1,50 |
1,20 |
1,00 |
R1, R2, L2, R3, C3 |
Е2 |
№варианта |
E2,B |
R10,Ом |
R20,Ом |
L20,мГн |
R30,Ом |
C30,мкФ |
7 |
50 |
12 |
11 |
400 |
25 |
150 |
Последовательность срабатывания ключей:
сначала размыкается ключ К33 (К33 = К1),
затем замыкается ключ К21 (К21 = К2) .
Схема электрической цепи, в которой происходят коммутации, приведена на рисунке 3.
Рисунок 3 – Схема заданной электрической цепи
Параметры элементов схемы электрической цепи (рисунок 3):
Rк = 6 Ом;
R1 = kR R10 = 1,5 12 = 18,0 Ом;
R2 = kR R20 = 1,5 11 = 16,5 Ом;
R3 = kR R30 = 1,5 25 = 37,5 Ом;
L2 = kL L20 = 1,2 400 = 480 мГн = 0,48 Гн;
C3 = kC C30 = 1,0 150 = 150 мкФ = 150 106 Ф.
Решение
1. РАСЧЁТ ПЕРВОЙ КОММУТАЦИИ
(ключ К1 размыкается)
Указываем на схеме положительные направления токов ветвей.
1.1. Рассматриваем режим работы электрической цепи до коммутации и определяем независимые начальные условия (при t = 0).
До коммутации режим работы цепи установившийся, т.е. токи и напряжения постоянные. В этом режиме напряжение на индуктивности и ток в ветви с ёмкостью равны нулю – рисунок 4.
Рисунок 4 – Установившийся режим электрической цепи до
первой коммутации
По закону Ома для электрической цепи постоянного тока:
(А).
На основании законов коммутации независимые начальные условия для первой коммутации в электрической цепи запишутся:
. (1)
1.2. После первой коммутации (ключ К1 разомкнулся) электрическая цепь принимает вид, показанный на рисунке 5 (ключ К2 на схеме не указываем).
Рисунок 5 – Схема электрической цепи после первой коммутации
Режим работы электрической цепи после коммутации опишется уравнениями по законам Кирхгофа для мгновенных значений:
(2)
1.3. Для цепи после коммутации (рисунок 5) записываем характеристическое уравнение.
Для этого составляем входное операторное сопротивление цепи относительно любой ветви и приравниваем его к нулю. Для второй ветви входное операторное сопротивление цепи запишется:
В результате математических преобразований входное сопротивление принимает вид характеристического уравнения:
После подстановки числовых значений параметров элементов электрической цепи получаем характеристическое уравнение цепи:
;
или .
1.4. Находим корни характеристического уравнения электрической цепи после первой коммутации.
(3)
Корни характеристического уравнения комплексные сопряжённые, т.е. переходный процесс после первой коммутации будет периодическим (колебательным). Здесь:– коэффициент затухания, – частота затухающих колебаний.
1.5. Свободные составляющие искомого тока, тока в ветви с индуктивностью, напряжения на ёмкости запишутся:
1.6. Рассматриваем установившийся режим после первой коммутации и находим принуждённые (установившиеся) составляющие токов ветвей и напряжения ёмкости. Так как в этом режиме токи и напряжения постоянные, то напряжение на индуктивности и ток ветви с ёмкостью равны нулю (рисунок 6).
Рисунок 6 – Установившийся режим электрической цепи
после первой коммутации
(4)
1.7. Законы изменения переходных токов, напряжения на ёмкости после первой коммутации запишутся:
Для определения постоянных интегрирования записываем токи, напряжение на ёмкости и их первые производные для момента коммутации :
1.8. Находим зависимые начальные условия (граничные условия для момента первой коммутации t = 0).
Для нахождения зависимых начальных условий записываем уравнения для электрической цепи после коммутации (2) для момента времени t = 0:
С учётом известных независимых начальных условий (1) имеем систему трёх уравнения с тремя неизвестными. Решив полученную систему уравнений, находим для момента коммутации зависимые начальные условия :
(5)
Для нахождения начальных значений производных токов продифференцируем систему уравнений для цепи (2) и запишем полученные уравнения для момента времени t = 0:
Решив полученную систему уравнений с учётом известных независимых и найденных зависимых начальных условий (1, 5), находим начальные значения первых производных токов:
(6)
1.9. Определяем законы изменения искомого тока, тока в ветви с индуктивностью, напряжения на ёмкости.
1) Искомый ток ветви.
Для определения постоянных интегрирования для искомого тока ветви имеем систему уравнений (с учётом найденных начальных значений тока и его первой производной):
Решение полученной системы уравнений:
Закон изменения искомого тока после первой коммутации:
. (7)
2) Ток в ветви с индуктивностью.
Для определения постоянных интегрирования имеем систему уравнений:
Решение полученной системы уравнений:
Закон изменения тока в ветви с индуктивностью после первой коммутации:
. (8)
3) Закон изменения напряжения на ёмкости после первой коммутации.
Для определения постоянных интегрирования имеем систему уравнений (с учётом найденных начальных значений):
Решение полученной системы уравнений:
Закон изменения напряжения на ёмкости после первой коммутации:
. (9)
2. РАСЧЁТ ВТОРОЙ КОММУТАЦИИ
(ключ К2 замыкается)
2.1. Срабатывание второго ключа происходит через время после того как произошла первая коммутация, т.е. вторая коммутация происходит при условии, что после первой коммутации процесс ещё не установился. Независимыми начальными условиями для второй коммутации будут: ток ветви с индуктивностью и напряжение на ёмкости к моменту второй коммутации. Так как после первой коммутации переходный процесс – периодический (колебательный), то момент второй коммутации определится:
.
Значения тока в ветви с индуктивностью и напряжения на ёмкости к моменту второй коммутации, на основании найденных законов изменения после первой коммутации определятся:
Абсолютное время от начала переходного процесса для второй коммутации . Для расчёта переходного процесса после второй коммутации отсчёт времени будем вести от значения t = 0 (относительное время для второй коммутации ; ).
На основании законов коммутации независимыми начальными условиями для переходного процесса после замыкания второго ключа будут:
(10)
2.2. После второй коммутации (ключ К2 замкнулся) электрическая цепь принимает вид, показанный на рисунке 7.
Рисунок 7 – Схема электрической цепи после второй коммутации
Режим работы цепи после второй коммутации опишется уравнениями по законам Кирхгофа:
(11)
2.3. Для электрической цепи после второй коммутации (рисунок 7) получим характеристическое уравнение. Для этого запишем входное операторное сопротивление цепи для второй ветви и приравняем его к нулю:
После подстановки числовых значений параметров элементов электрической цепи получаем характеристическое уравнение цепи:
2.4. Находим корни характеристического уравнения.
(12)
Корни характеристического уравнения действительные отрицательные – переходный процесс после второй коммутации будет апериодический.
2.5. Свободная составляющая искомого тока запишется:
2.6. Рассматриваем установившийся режим электрической цепи после второй коммутации и находим принуждённую (установившуюся) составляющую искомого тока. Так как в этом режиме токи и напряжения постоянные, то напряжение индуктивности и ток ветви с ёмкостью равны нулю – рисунок 8.
Рисунок 8 – Установившийся режим электрической цепи
после второй коммутации
(13)
2.7. Закон изменения переходного тока запишется:
Для нахождения постоянных интегрирования (А1 и А2) имеем систему уравнений:
2.8. Находим зависимые начальные условия (граничные условия в момент второй коммутации). Для этого запишем уравнения для цепи после второй коммутации (11) для момента времени, соответствующему второй коммутации :
Решив полученную систему уравнений с учётом независимых начальных условий для второй коммутации (10), найдём зависимые начальные условия:
(14)
Для нахождения начального значения производной тока продифференцируем систему уравнений для цепи после второй коммутации (11) и запишем полученные уравнения для момента второй коммутации t = 0:
Решив полученную систему уравнений с учётом уже известных начальных условий (10, 14), найдём начальные значения первых производных токов после второй коммутации:
(15)
2.9. Определяем закон изменения искомого тока после второй коммутации.
Для нахождения постоянных интегрирования имеем систему уравнений (с учётом найденных начальных значений тока и его первой производной):
Решение полученной системы уравнений:
Таким образом, закон изменения искомого тока после второй коммутации запишется:
. (16)
Практическая длительность переходного процесса после второй коммутации (до наступления в электрической цепи установившегося режима) определится:
Общая длительность переходного процесса в электрической цепи в результате двух коммутаций:
.
3. Закон изменения искомого тока после первой и второй коммутаций.
(17)
4. График изменения искомого тока во времени.
Рисунок 9 – Закон изменения тока
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧЕ 2
Рассчитать операторным методом переходный процесс в цепи индивидуального варианта № 30 (базовые параметры элементов электрической цепи – вариант №7).
Исходные данные варианта:
|
№ схемы |
КR |
КL |
КC |
Элементы электрической цепи в схеме рисунка 2 |
Источник энергии в схеме рисунка 2 |
Определить ток |
|
30 |
1,50 |
1,20 |
1,00 |
R11, R12, R21, R32, C1, L2 |
j(t) |
i3(t) |
|
№ варианта |
Jm,A |
j, град. |
R10,Ом |
R20,Ом |
R30,Ом |
RК,Ом |
C10,мкФ |
L20,мГн |
7 |
6 |
150 |
12 |
11 |
25 |
6 |
60 |
400 |
Замыкается ключ К12 = К.
Схема электрической цепи, в которой происходит коммутация, показана на рисунке 10.
Рисунок 10 – Схема электрической цепи
Параметры элементов схемы электрической цепи (рисунок 10):
C1 = kC C10 = 1,0 60 = 60 мкФ = 60 106 Ф;
L2 = kL L20 = 1,2 400 = 480 мГн = 0,48 Гн;
R1 = kR R10 = 1,5 12 = 18,0 Ом;
R2 = kR R20 = 1,5 11 = 16,5 Ом;
R3 = kR R30 = 1,5 25 = 37,5 Ом; R11 = R1 = 18,0 Ом ; R12 = 2,0 R1 = 36,0 Ом;
R21 = R2 = 22,5 Ом ; R32 = 3,0 R3 = 112,5 Ом;
RК = 6,0 Ом .
Решение
Указываем на схеме электрической цепи положительные направления токов ветвей.
1. Рассматриваем установившийся режим электрической цепи до коммутации и находим независимые начальные условия – внутренние источники энергии в эквивалентной операторной схеме.
В установившемся режиме электрической цепи до коммутации токи и напряжения изменяются по синусоидальному закону. Расчёт режима цепи до коммутации выполняем комплексным методом. Расчётная схема в комплексной форме для установившегося режима электрической цепи до коммутации (ключ К разомкнут) приведена на рисунке 11.
Рисунок 11 – Расчётная схема установившегося режима
электрической цепи до коммутации
Угловая частота синусоидального источника энергии:
Реактивные сопротивления индуктивности и ёмкости токам частоты источника энергии:
Комплексное действующее значение тока источника тока:
Комплексные сопротивления ветвей электрической цепи:
По методу двух узлов комплексное действующее значение напряжения между узлами схемы определится:
По закону Ома в комплексной форме имеем:
Законы изменения тока в индуктивности и напряжения на ёмкости в установившемся режиме до коммутации запишутся:
Независимые начальные условия для расчёта переходного процесса (законы коммутации) для электрической цепи (рисунок 10) запишутся:
(18)
2. Эквивалентная операторная схема замещения электрической цепи после коммутации (ключ К замкнулся).
На операторной схеме замещения электрической цепи после коммутации указываем изображения токов ветвей, тока источника тока, операторные сопротивления элементов электрической цепи, внутренние источники энергии:
Рисунок 12 – Эквивалентная операторная схема замещения
3. По операторной схеме замещения (рисунок 12) находим изображение искомого тока I3(p).
Для упрощения дальнейших преобразований на операторной схеме замещения цепи (рисунок 12) обозначим (рисунок 13):
Рисунок 13 – Операторная схема замещения цепи
Изображение искомого тока по операторной схеме замещения можно найти методом контурных токов (в случае наличия в схеме источника ЭДС) или методом узловых потенциалов (в случае наличия в схеме источника тока).
При составлении уравнений для изображений по методу контурных токов целесообразно выбирать контуры таким образом, чтобы искомое изображение тока входило только в один контур.
Для полученной схемы замещения найдём выражение для изображения тока с помощью метода двух узлов в операторной форме:
Изображение искомого тока определится на основании закона Ома в операторной форме:
После подстановки изображения тока источника тока, преобразования полученного выражения, получим изображение искомого тока в виде правильной несократимой дроби:
После преобразований и подстановки числовых значений параметров элементов электрической цепи, имеем:
(20)
(21)
4. По найденному изображению тока с помощью формулы разложения находим оригинал – закон изменения тока во времени:
(22)
Корни полинома знаменателя изображения определятся:
Таким образом, для изображения тока имеем одну пару сопряжённых мнимых корней (определяющих установившуюся составляющую тока), и другую пару сопряжённых комплексных корней (определяющих свободную составляющую тока):
(23)
Для случая сопряжённых мнимых и комплексных корней формула разложения (22) упрощается (мнимые части выражений оригинала уничтожаются, а действительные – суммируются):
(24)
Определяем значения выражения числителя в формуле разложения для изображения тока (20, 21) для найденных корней (23):
Значения выражения производной знаменателя (20, 22) в формуле разложения (24) для найденных корней (23) определятся:
После подстановки найденных значений в формулу разложения тока (24), получаем закон изменения тока ветви во времени:
5. Закон изменения тока ветви во времени запишется:
(25)
6. Проверку найденного операторным методом закона изменения тока ветви выполним с помощью классического метода расчёта переходных процессов в электрической цепи.
Исходя из полученного закона изменения тока ветви (25), принуждённая и свободная составляющие тока ветви запишутся:
Классическим методом принуждённая составляющая тока ветви определится из рассмотрения установившегося режима электрической цепи после коммутации. Расчёт этого режима выполняется комплексным методом аналогично расчёту установившегося режима электрической цепи до коммутации:
Закон изменения тока в ветви в установившемся режиме после коммутации (принуждённое значение тока) запишется:
Корни характеристического уравнения электрической цепи после коммутации определятся приравниванием к нулю входного операторного сопротивления цепи:
Корни характеристического уравнения комплексные сопряжённые, т.е. переходный процесс после коммутации будет периодическим (колебательным). Коэффициент затухания процесса , частота затухающих колебаний .
Свободная составляющая искомого тока запишется:
Постоянные интегрирования определятся решением системы уравнений:
Зависимые начальные условия определятся из системы уравнений для цепи после коммутации (рисунок 10), записанных по законам Кирхгофа для момента времени :
С учётом известных независимых начальных условий (18) имеем систему трёх уравнения с тремя неизвестными. Решив полученную систему уравнений, находим для момента коммутации зависимые начальные условия :
Для нахождения начальных значений первых производных токов имеем систему уравнений:
Для определения постоянных интегрирования для искомого тока ветви имеем систему уравнений:
Решение полученной системы уравнений:
Закон изменения искомого тока, найденный классическим методом расчёта:
Полученный закон изменения тока совпал с операторным методом – расчёты, выполненные двумя методами, верны.
7. Закон изменения тока ветви во времени после коммутации приведён на рисунке 13. Время переходного процесса определится практическим временем затухания свободной составляющей тока:
Рисунок 13 – Закон изменения тока
1. Зевеке, Г.В. Основы теории цепей: учебник для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.
2. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник для вузов / Л.А. Бессонов. – 10-е изд. – М.: Гардарики, 2001. – 638 с.
3. Бычков, Ю.А. Основы теории цепей: учебник для вузов / Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышёв. – СПб.: Издательство «Лань», 2002. – 464 с.
4. Попов, В.П. Основы теории цепей: учебник для вузов / В.П. Попов. – 5-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 2005. – 575 с.
5. Бакалов, В.П. Основы теории цепей: учебник для вузов / В.П. Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.И. Крук. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Радио и связь, 2000. – 589 с.
6. Шебес, М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей: учебное пособие для вузов / М.Р. Шебес, М.В. Каблукова. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1990, – 544 с.
7. Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е. и др. Сборник задач по теоретическим основам электротехники. Под ред. Бессонова Л.А. – М.: Высшая школа, 1988, – 543с., ил.
Учебное издание
Составитель
Князев Валерий Семёнович
переходные процессы в линейной
электрической цепи
Методические указания к расчётно-графической работе
для студентов электротехнических специальностей по курсу
«Теоретические основы электротехники»
Редактор Е.С. Конторович
Подписано в печать __________.
Формат бумаги 6084 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. Уч.- изд. л. . Тираж экз. Заказ
«Сибирский государственный индустриальный университет»
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.
Типография СибГИУ