Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Опр 10.1 Матрица Am*n – прямоугольная числовая таблица m*n чисел, m – строк и n – столбцов, числа – элементы матрицы.
- Диагональная матрица – это числовая квадратная матрица aij=0, если i=/=j.
-Нулевая матрица – все элементы =0(любых размеров).
-Единичная матрица – диагональ матрицы при aij=0, i=/=j.. aij=1, j=i.
-Верхнетреугольная матрица aij=0: i<j.
-Нижнетреугольная матрица aij=0: i>j.
Опр 10.2 Равенство Матриц – Матрицы равны, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.
Опр 10.3 Сумма матриц Аm*n и Вm*n называется Сm*n. cij=aij+bij.
Опр 10.4 Произведением Am*n на число λ называется Cm*n , где cij= λ aij A λ=C.
Опр 10.3 и 10.4 – линейные операции над матрицами.
Свойства линейных операций: 1) A+B=B+A, 2)(A+B) +C=A+(B+C), 3) Существует нулевая матрица для любого A:A+0=A, 4)Для любого A существует единственное B:A+B=0, B –противоположная. 5) (λμ)A= λμA, 6)( λ+μ)A= λA+Μa, 7) λ(a+0)= λA, 8) 1*A=A
Опр 10.5 «Транспонирование матрицы» - транспонированной матрицей к любой А m*n называется Вm*n , bij=aji. Матрица, все строки которой равны соответствующим столбцам матрицы А (при этом, естественно, ее столбцы будут равны строкам А), называется транспонированной к А и обозначается АТ.
Свойства транспонированных матриц:1) (AT)T=A, 2) . , 3)(λA)t= λAT 4) .(Доказательство через определение, фото)
Опр 10.6 Умножение матриц : Произведением матрицы Am*n на Bn*k называется
Cm*k:
Am*n*Bn*k=Cm*k Пример.
Замечания. 1) Умножать матрицы можно только в том случае, когда число строк правой матрицы равно числу столбцов левой. Отсюда следует, что при умножении не квадратных матриц, их нельзя менять местами по определению.
2) В случае умножения квадратных матриц, произведение, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей (т.е. произведение матриц не коммутативно).
3) Полезно заметить, что формула для вычисления элемента произведения совпадает с формулой вычисления скалярного произведения векторов в декартовой системе координат.
Определение. Если произведение двух квадратных матриц не зависит от порядка сомножителей
(т.е. АВ = ВА), то эти матрицы называются перестановочными между собой.
Свойства умножения матриц: 1)AB=/=BA ( Если AB=BA)- А и В перестановочные матрицы. 2)(А*В)*С=А*(В*С). 3)А(В +С) = АВ + АС 4)(А + В)С = АС + ВС 5)АЕ = ЕА = А
Опр 10.7. Матрица называется ступенчатой, если отмеченный элемент каждой строки
расположен правее отмеченного элемента предыдущей.
Элементарными преобразованиями называются следующие: 1)Перестановка двух строк (столбцов).2)Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.3)Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число.
Теорема 10.1. Любая матрица приводится к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.
{Доказательство носит конструктивный характер и будет продемонстрировано на примере}
Пример. Привести матрицу к ступенчатому виду.
(в рамках −отмеченные элементы матрицы) Алгоритм может быть применен к любой матрице – если что напис(4 пункта).
Утверждение. Определитель может быть разложен по любой строке или столбцу {б/д}.
Перечислим без доказательства основные свойства определителей:1)Столбцы и строки определителя равноправны. Следствие: 2)Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.3)Постоянный сомножитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.4)Если к любой строке (столбцу) определителя прибавить любую другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменится. 5)Если одна из строк (столбцов) линейно выражается через остальные, то определитель равен нулю. 6)Если поменять местами две строки (столбца), то определитель изменит знак. 7)det(E) = 1. 8) (определитель произведения равен произведению определителей) 9)Определитель диагональной и треугольных матриц равен произведению диагональных элементов. 10)При умножение всех э-тов на число, так же умножается определитель.
Определение. Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.
Для квадратной матрицы важную роль играет понятие обратной матрицы.
Определение 11.1. Матрицей, обратной матрице А (обозначается ), называется матрица, удовлетворяющая условию: .
Теорема 11.1. Обратная матрица (если она существует) − единственна.
{Пусть у матрицы А есть 2 обратных: В и С. Рассмотрим произведение ВАС:
ВАС = (ВА)С = ЕС = С. С другой стороны ВАС = В(АС) = ВЕ = В. Отсюда В = С} ( проставить степень! «-1»).
Теорема 11.2. ( критерий существования обратной матрицы) Для того, чтобы А( энного порядка) имело обратную матрицу необходимо и достаточно , чтобы определитель не был равен нулю.( на листочке)
Теорема 11.3. Если квадратная матрица А и В имеют обратные, то
(АВ)-1=В-1А-1 Док-во ( +через В финал).
Способы вычисления обратных матриц:1) 2)АХ=Е, Х=А-1
Решение матричных у-ний: − матричная форма записи.
Теорема 11.4.( Формула Крамера): СЛАУ с кв. не вырожденной матрицей имеет единтств. Решение, которое находится по ф-ле Крамера.
Док-во: Ax=b,x=A-1b,A-1= (aij), (aij) = Aji/detA,где Aji алгебраическое дополнение. X1 =(A11b1+A21b2 +…+An1bn)/detA где числитель представляет собой разложение по первому столбцу матрицу А у которой вместо первого столбца стоит матрица столбец свободных членов. Xj = ^j/detA, j = 1,n.
Опр 13.1Минором k – го порядка матрицы А (обозначается Мk) называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранных k строк и столбцов матрицы А.
Опр 13.2. Рангом матрицы А (rang(A)) называется максимальный порядок минора, отличного от нуля. Т.е., rang(A) = r, если 1) , 2) Любой минор, имеющий порядок r, называется базисным минором матрицы А. (Из определения сразу следует, что )
Свойства ранга матрицы:1)Если RgA=r, то А имеет хотя бы 1 минор порядка r=/=0, а все миноры более высокого порядка =0. 2)Ранг транспонированной матрицы равен не транспонированной.3)Ранг матрицы не меняется при э-тарном преобразовании строк или столбцов.
Опр 13.3 Строки или столбцы а1-ак – называются лин. Завис., если существует нетривиальная линейная комбинация этих стр(стб)=0.
Теорема 13.1(Критерий линейной зависимости стр(стб)):Стр(стб) а1..ак лин. Зависимы т3, когда хотя бы 1 из них стб(стр) явл. Лин. Комбинацией остальных.(доказ на листочке.)
Теорема13.2 ( о базисном миноре.) Теор. Базисные столбцы(строки) явл. Линейно независимыми, все остальные явл их линейными комбинациями.
Док-во, Опираясь на св-ва опр, не нарушая общности доказательства будем считать что минор М=|a11…a1r/…./ar1…arr| являеться базисным Докажем независимость базисных столбцов от противного, пусть баз столбцы лин зависимы тогда можно утверждать что один из базисных столбцов есть лин комбинация оставшихся, следовательно этот минор равен нулю что противоречит опред баз минора.Докажем что остальные столбцы есть лин комбинация базисных. Добавим еще одну строку и столбец, столбец не базисный а строку любую, этот минор будет равен нулю, разложим его по последней строке и получим линейную зависимость аиж эл-та от остальных и следовательно столбцы будут тоже лин зависимыми.
Теорема 13.3 Для того, чтобы кв. матрица была вырожденной(опр=0) необходимо и достаточно, чтобы её стр(стб) были лин. завис.
{Необходимость. Пусть det(An) = 0 r < n одна из строк – линейная комбинация остальных строки линейно зависимы.
Достаточность. Строки линейно зависимы одна из строк – линейная комбинация остальных. По свойству 5§3 det(An) = 0 (Вычтем эту линейную комбинацию из рассмотренной строки и получим определитель с нулевой строкой)}
Теорема 13.4 Ранг матрицы= макс кол-ву линейно независимых стр(стб).
Определение 1. Окаймляющими минорами некоторого фиксированного минора называются все миноры, полученные добавлением к нему дополнительного столбца и дополнительного строки данной матрицы (). Метод заключается в отыскании произвольного отличного от нуля минора и вычисления всех миноров, его окаймляющих. Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы равен рангу исходного минора. В противном случае операция повторяется. Обоснованием метода служит
Теорема 1. rang(A) = r, если {б/д}
II. Метод элементарных преобразований.
Определение 2. Элементарными преобразованиями называются следующие:1)Перестановка двух строк (столбцов).2)Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.3)Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на число.
Опр14.1. Система уравнений называется системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (сокращенно СЛАУ).
Опр14.2. СЛАУ, вектор правых частей которой равен нулю: = 0, называется однородной. В противном случае система называется неоднородной.
Опр14.3 Набор чисел х1..хn наз-ся решением СЛАУ, если при подстановки в неё получаются верные равенства.
Опр14.4 СЛАУ называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение. Если решений не существует, система называется несовместной.
Теорема 14.1 критерий Кронекера-Капелли о совместности СЛАУ. Для того чтобы система была совместной необх. и дост. Чтобы ранг матрицы сис - мы равнялся рангу расшир-ой мат-цы сис – мы.
1 Если Существует решение, то век-ая записьозначает , что столбец свободных членов есть лин комбинация столбцов матрицы системы. Значит, добавление этого столбца не увеличивает общего числа линейно независимых столбцов в силу одного из следствий теоремы о базисном миноре, и ранг остаетсься прежним.
2 Пусть РгА = РгА*.В этом случае базисный минор матрицы А является базизным и в матрице А*. Это означает, что столбец свободных членов есть линейная комбинация тех столбцов матрицы А в которых расположен базисный минор. По предложению что если столбец а есть лин комбинация столбцов а1 а2 .. ан, то он также будет лин комбинац системы сод а1 а2 ан, если к остальным поставить коэфицент ноль.) в этом случае столбец своб членов есть лин комбинация всех столбцов матрицы А. Коэффиценты этой лин комбинаци представляют собой решение системы.
Теорема 14.2 Критерий существования ненулевого р-я (ОСЛАУ): ОСЛАУ имеет ненулевое решение т3 ранг А<n(ранг матрицы ситемы<числа неизвестных)(лист)
Если матрица однородной системы невырождена, то , согласно формулам крамера она будет иметь только нулевое решение, еслиже она будет вырожденна то ее определитель являющийся в квадратной матрице единственным минором максимального порядка равен 0, значит ранг г матрицы системы меньше ее порядка и следовательно меньше количества неизвестных, Поэтому k=n-r>0 и однородная СЛАУ имеет нормальную фундаментальную систему. Из k>0 решений каждое из этих решений являеться не нулевым.
Теорема14.3. . Если x1,…,xk – произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ Ax=0 то любое ее решение можно представить в виде x = c1x1+..+ckxk где с1..ск некоторые постоянные.
Опр15.1 Набор из K=n-r линейно независимых столбцов Х1(вектор)..Хk(вектор) является расширенной ОСЛАУ АХ=0, где n – число неизвестных, r- ранг матрицы(А) наз-ся фундаментальной с-мой решений (ПСР).
.Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных алгебраических уравнений. Доказательство существования ФСР. Нормальная ФСР.Фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОС называется набор решений , такие что 1. - линейно независимы; 2. ( - решение ЛОС)(с1,…скR):Теорема о существовании ФСР ЛОС:Пусть APmn – матрица ЛОС и rang(A)=k (k<n). Тогда существует ФСР из (n-k) Док-во: Пусть - базисный минор. , где x1,…,xk – базисные переменные, а xk+1,…,xn – свободные параметры.Положим xk+1=1, а остальные xk+2=…=xn=0 x1=c11…xk=c1k, затем
xk+2=1, xk+1= xk+3=…=xn=0 x1=c21…xk=c2k xn=1, xk+1= xk+2=…=xn-1=0 x1=cn-k1…xk=cn-kk …
Проверка: 1. , Mn-k0 rang(B)=n-k - линейно независима 2. Пусть - решение ЛОС; - решение ЛОС - решение ЛОС , т.к. Mk0 yi-di = 0, Следствие: множество решений ЛОС называется общим решением , где iR, - ФСРЛОС Нормальная ФСР
7) Теорема 1. Линейная комбинация решений однородной системы (1) является решением системы (1).
Доказательство. Пусть , и - решения однородной системы (1). Рассмотрим , где , и - некоторые произвольные числа. Так как , и являются решениями, то , и . Найдем .
.
является решением системы (1).
Теорема 2. Разность двух решений неоднородной системы (2) является решением однородной системы (1).
Доказательство. Пусть и - решения системы (2). Рассмотрим .
, .
.
является решением однородной системы (1).
Теорема 3. Сумма решения однородной системы (1) с решением неоднородной системы (8.2) есть решение неоднородной системы (2).
Пусть- решение системы (1), - решение системы (2). Покажем, что - решение системы (2).
Доказательство. , .
.
является решением неоднородной системы (2).
Теорема 6 (структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения)
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (3) определяется формулой
, (10)
где - частное решение неоднородного, а - общее решение соответствующего однородного уравнения.
Объединяя формулы (9) и (10), получаем: общее решение неоднородного уравнения имеет вид
,
где - частное решение неоднородного уравнения; y1(х), y2(х), ..., yn(х) - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения; С1,С2, ..., Сn - произвольные константы.