Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Последовательности. Определение,
способы задания, действия с последовательностями.
Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность : .
Числа называются членами последовательности, а число - общим или членом последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
- 2, 4, 6, 8, …, , … (монотонная неограниченная),
- 1, 0, 1, 0, … (не монотонная, ограниченная).
Закон образования последовательности дается формулой его общего члена (одной или несколькими). Последовательность может быть сформирована также с помощью рекуррентного соотношения или словесного описания общего члена.
Пример. Дана формула общего элемента последовательности . Написать пять первых элементов последовательности.
Полагая последовательно в общем элементе получаем , , , , .
Действия с последовательностями:
-сложение последовательностей;
-вычитание последовательностей;
-умножение последовательностей;
-деление последовательностей.
2.Предел последовательности. Сходимость.
Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер (зависящий от , ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство: .
Предел числовой последовательности обозначается или при . Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.
Пример. Доказать, что для последовательности .
Пусть, например, . Тогда неравенство будет иметь вид или , т.е. выполняется при . Аналогично для при .
Для любого неравенство или выполняется при .
Итак, при любом существует такой номер (или равный целой части ), что для всех (при для , при для и т.д.) выполняется неравенство , а это и означает, что .
3.Свойства сходящихся последовательностей.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае – расходящейся.
Рассмотрим свойства сходящихся последовательностей.
1.Сходящаяся последовательность ограничена.
2.Пусть , , тогда , , , .
3.Если , и для всех выполняются неравенства , то .
4.Если и последовательность - ограниченная, то (произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая).
4. Признаки сходимости последовательностей.
Теорема. Если числовая последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.
Теорема. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при , то функция имеет тот же предел .
5.Определение функции. Способы задания функции.
Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят, что на множестве задана функция .
Основные свойства функции:
Способы задания функций:
1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида . Функция задана аналитически.
2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции .
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции .
6.Классификация основных элементарных функций.
Основные элементарные функции:
Классификация функций:
Преобразование графиков:
График функции есть график функции , сдвинутый (при влево, при вправо) на единиц параллельно оси .
4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле: , если - рационально; , если - иррационально.
Пример. Построить график функции преобразованием графика функции или .
1. Строим график .
2. График функции есть график функции , сжатый в 2 раза.
3. График функции есть график функции , сдвинутый на влево.
4. График функции есть график функции , растянутый в 1,5 раза.
7. Предел функции. Теоремы о пределах.
Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от; ), что для всех таких, что , верно неравенство: .
Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от; ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: .
Теоремы о пределах:
Функция не может иметь более одного предела.
Пример. Вычислить .
.
8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны меньших значений, то число называют левосторонним пределом функции в точке и пишут .
Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны больших значений, то число называют правосторонним пределом функции в точке и пишут .
Пример. Вычислить .
Пусть . Тогда при имеем: - отрицательная бесконечно малая функция, следовательно, и , отсюда .
Пусть . Тогда при имеем: - положительная бесконечно малая функция, следовательно, и , отсюда .
9. Непрерывность функции в точке.
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке (т.е. существует ); 2) имеет конечный предел функции при ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .
Свойства функций, непрерывных в точке:
1. Если функция и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
2. Если функция непрерывны в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
3. Если функция непрерывны в точке , а функция непрерывны в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
Пример. Функция задана кусочно аналитически, различными аналитическими выражениями для различных подобластей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют.
Так как , и , , т.е. , то в точке функция не является непрерывной.
Так как , и , , т.е. , то в точке функция непрерывна.
10. Непрерывность функции в интервале. Действия с непрерывными функциями.
Определение. Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограниченна на этом отрезке.
2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения .
3. Если функция непрерывна на отрезке и значение ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что .
Пример. Доказать непрерывность функции .
Найдем. Так как , а , т.е. , то функция является непрерывной на всей числовой оси.
11.Разрывы функций. Классификация разрывов.
Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не
удовлетворяет условию непрерывности.
Точки разрыва функции делятся на два типа:
1. к точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы , .
2. к точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда ) и точки скачка функции (когда ).
Пример. а) найти точки разрыва функции , если они существуют; б) найти односторонние пределы в точках разрыва и установить тип точек разрыва; в) сделать схематический чертеж графика функции в окрестности точек разрыва.
|
0 |
1 |
|||||
Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям:
1) функция определена в точке ;
2) имеет конечный предел при ;
3. этот предел равен значению функции в этой точке .
Функция не определена в точке и, следовательно, в этой точке функция терпит разрыв, т.е. не выполняется первое условие непрерывности.
Найдем односторонний предел с права, так как , то в точке функция имеет разрыв второго рода (если хотя бы один из односторонних пределов или бесконечен, то - точка разрыва второго рода).
12.Производная функции. Геометрическийс мысл производной.
Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): .
Пусть на плоскости дана непрерывная кривая и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке рис 1.
Прежде всего, необходимо выяснить, что будет пониматься под касательной к кривой. Касательную нельзя определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. 2 имеет одну общую точку с кривой (2), но не является касательной к ней. А прямая (3) на рис. 2 хотя имеет две общие точки с кривой (4), очевидно, касается ее в точке . Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.
Дадим аргументу приращение и перейдем на кривой от точки к точке . Проведем секущую рис. 1.
Под касательной к кривой в точке естественно понимать предельное положение секущей при приближении точки к точке , т.е. при .
Уравнение прямой, проходящей через точку имеет вид .
Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей может быть найден из . Итак, угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке равен пределу углового коэффициента секущей , когда , т.е. .
13.Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .
Правило, очевидно, так как любое приращение постоянной функции равно нулю.
2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.
Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции , используя схему вычисления производной.
Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения , , а функция - значение .
Находим приращение функции .
Составляем отношение .
Находим предел этого отношения при , т.е. .
3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .
Пусть и - дифференцируемые функции. Найдем производную функции , используя схему вычисления производной.
Дадим аргументу приращение . Тогда функции и получат наращенные значения , , а функция - значение .
Находим приращение функции .
Составляем отношение .
Находим предел этого отношения при , т.е. .
4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: .
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Пример. Найти первую производную функции .
.
14. Производная сложной и обратной функции.
Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е. .
Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. .
15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .
Свойства дифференциала:
Пример. Найти дифференциал функции .
Так как , то .
16.Производные и дифференциалы высших порядков.
Производной порядка называется производная от производной порядка.
Дифференциал второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е. .
Дифференциалом порядка (или дифференциалом) функции называется дифференциал от дифференциала порядка этой функции этой функции, т.е..
Пример. Найти производную второго порядка функции .
Так как , то .
17.Производные основных элементарных функций.
Пусть . Воспользуемся схемой нахождения производной.
1. Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции .
2. Находим приращение функции .
3. Составим отношение .
4. Находим предел .
Итак, производная степенной функции равна .
Пусть . Воспользуемся схемой нахождения производной.
1. Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции .
2. Находим приращение функции .
3. Составим отношение .
4. Находим предел .
Итак, производная логарифмической функции равна . Если , то .
Пусть . Воспользуемся схемой нахождения производной.
1. Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции .
2. Находим приращение функции .
3. Составим отношение .
4. Находим предел .
Итак, производная функции равна .
Пусть . Итак, .
Таблица производных
|
№ |
Функция |
Производная |
№ |
Функция |
Производная |
|
1 |
8 |
||||
|
2 |
9 |
||||
|
3 |
10 |
||||
|
4 |
11 |
||||
|
5 |
12 |
||||
|
6 |
13 |
||||
|
7 |
14 |
18. Теорема Роля. Теорема Лагранжа.
Теорема Роля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и принимает равные значения на его концах, т.е. , то в интервале найдется по крайне мере одна точка такая, что .
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то в этом интервале найдется по крайне мере одна точка такая, что .
Пример. Справедлива ли теорема Рояля для функции на отрезке .
Так как функция непрерывна и дифференцируема при всех и ее значения на концах отрезка равны, т.е. , то в данном случае все условия теоремы Рояля выполняются, Значение , при котором производная обращается в нуль, найдем из уравнения , откуда .
19. Теорема Коши. Формула Тейлора и Маклорена.
Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в интервале , причем , то в этом интервале найдется по крайне мере одна точка такая, что .
Пример. Проверить, что функции и на отрезке удовлетворяют условиям Коши.
Функции и непрерывны при всех , а значит, и на отрезке ; их производные и существуют везде; кроме того, на заданном отрезке не обращается в нуль.
Следовательно, к данным функциям применима теорема Коши: , т.е. , откуда находим два значения : , .
Из полученных значений только удовлетворяет условию задачи, так как является внутренней точкой отрезка .
Формула Тейлора. Пусть функция имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка . Пусть - любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками и найдется точка така, что справедлива формула Тейлора .
Разложение элементарных функций по формуле Маклорена:
.
.
.
20. Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.
Итак, если имеется неопределенность вида или , то .
Доказательство. Рассмотрим доказательство теоремы для неопределенности вида при .
Для простоты будем предполагать, что функции и , а также их производные непрерывны в точке , причем и . В этом случае .
Применяя теорему Лагранжа для функций и на отрезке , получим , где , .
При в силу непрерывности производных и имеем и . Используя теорему о пределе частного получаем равенство .
Пример. Раскрыть неопределенность по правилу Лопиталя и найти предел функции: .
.
21.Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
Определение. Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .
Определение. Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .
Теорема. Для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.
Теорема. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, - то точка минимума.
Теорема. Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции ; если отрицательна, то - точка максимума.
Определение. Функция называется выпуклой вниз на промежутке Х, если для любых двух значений , из этого промежутка выполняется неравенство .
Определение. Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых двух значений , из этого промежутка выполняется неравенство .
Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервал, в которых функция выпукла вниз и вверх.
Теорема. Вторая производная дважды дифференцируемой в точке перегиба равна нулю, т.е. .
Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.
Прямая линия называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки , лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при движении точки по графику в бесконечность.
Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .
Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при , если .
Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если функцию можно представить в виде , где при .
Теорема. Для того чтобы функция имела при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела и .
Пример. Найти асимптоты функции .
Вертикальная асимптота пересекает ось абсцисс в точке , , т.к. , , , .
Так как , то горизонтальных асимптот функция не имеет. Найдем наклонные асимптоты: ,
. Прямая - наклонная асимптота.
22. Правила исследования функций.
Исследовать функцию и построить ее график.
1. Область определения функции.
Область определения функции : .
2. Исследование функции на четность-нечетность.
Так как , то функция общего вида.
3. Исследование функции на наличие вертикальных асимптот.
Прямая является вертикальной асимптотой, так как , .
4. Исследование поведение функции в бесконечности, нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
Так как , то функция горизонтальных асимптот не имеет.
Так как , , то прямая является наклонной асимптотой.
5. Экстремумы и интервалы монотонности функции.
Найдем производную первого порядка . Приравняем первую производную к нулю , откуда , . Знаки производной первого порядка указаны на рисунке.
|
- |
+ |
- |
||
|
-1 |
0 |
Функция возрастает на интервале , убывает - , . Точка является точкой минимума .
6. Определим интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Найдем производную второго порядка . Приравняем вторую производную к нулю , откуда . Знаки производной второго порядка указаны на рисунке.
|
+ |
+ |
||
|
0 |
Функция выпукла вверх на интервалах , . Точек перегиба нет.
7. Точки пересечения с осями координат.
Точка является точкой пересечения функции с осью абсцисс.
23. Определение функции нескольких переменных. Линии уровня.
Определение. Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .
Определение. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно .
Пример. Построить линию уровня функции .
Линия уровня это кривая на плоскости задаваемая уравнением или . Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом .
24. Предел функции нескольких переменных.
Определение. Число называется пределом функции при и , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется положительное число , такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстоянии меньшее, чем , выполняется неравенство .
Пример. Найти предел .
Обозначим . Условие , равносильно тому, что . Запишем предел в виде .
25. Непрерывность функции нескольких переменных в точке и в области.
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она: 1) определена в точке ; 2) имеет конечный предел при и ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .
Определение. Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию .
Функция как отношение двух многочленов (которые представляют собой функции, непрерывные на всей плоскости) является непрерывной на всей плоскости, за исключением точки . В этой точке числитель равен единице, а знаменатель обращается в нуль и, следовательно, функция не определена.
26. Дифференцирование функций нескольких переменных.
Определение. Частной производной функции нескольких переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).
Пример. Найти частные производные , функции ;.
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде .
Теорема. Если частные производные функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.
27. Частные производные высших порядков. Теорема об изменении порядка дифференцирования.
Определение. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка:
, ,
, .
Пример. Найти частные производные второго порядка функции ;, , , , , .
28.Сложная функция двух переменных ее производная.
Если дифференцируемая функция аргументов и , а и дифференцируемые функции аргумента : , , то полная производная сложной функции находится по формуле .Если дифференцируемая функция аргументов и , а и дифференцируемые функции аргумента и : , , то частные производные сложной функции находится по формулам , .Пример. Дано , где , . Найти .
Так как , , , , тогда по формуле находим .
29. Дифференциал функции двух переменных первого и высших порядков.
Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. .
Пример. Найти полный дифференциал функции .
Так как , , то .
Пример. Найти в точке полный дифференциал функции заданной неявно.
, , , , , .
Пример. Найти дифференциал функции указанного порядка: .
1. , .
2. , , .
3. , , , .
Так как , то .