Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Понятия делителя.
Число, на которые - в действии деления - делят делимое
делимое, делитель, частное - компоненты при делении
а:b=с
а-делимое (число, которое делят)
b-делитель (число, на которое делят)
с-частное (результат, часть от делимого)
2.Понятия кратного.
КРАТНОЕ, число, делящееся на данное целое число без остатка, напр. 12 кратно 3. Общее кратное нескольких целых чисел - число, делящееся на каждое из них в отдельности, напр. 180 - общее кратное чисел 30, 18, 2. При арифметических действиях особое значение имеет наименьшее общее кратное: для чисел 30, 18, 2 им будет 90.
3.Признаки делимости на 10.
Натуральное число делится на 10 без остатка только в том случае,
если оно оканчивается на нуль. Если последняя цифра натурального числа
не 0, то число на 10 без остатка не делится.
4.Признаки делимости на 5.
Натуральное число делится на 5 без остатка в том случае,
если оно оканчивается на 0 или на 5.
5.Признаки делимости на 2.
Если последняя цифра в записи натурального числа четная
(2, 4, 6, 8) или 0 , то это число делится на 2 без остатка.
6.Признаки делимости на 9.
Признак делимости на 9 такой же, как и на 3. Натуральное число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр кратна девяти.
7.Признаки делимости на 3.
Натуральное число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр кратна трем.
8.Простые и составные числа.
Определение. Простое число — это число, у которого только два делителя: 1 и само число.
Составные числа кратны трем и более натуральным числам.
9.Алгоритм разложения на простые множители.
Правило. Чтобы разложить число на простые множители, надо:
— записать его слева от вертикальной черты;
— справа от черты записать первый делитель числа — самое маленькое число из таблицы простых чисел, на которое данное число делится без остатка;
— в следующей строке слева под числом записать делимое первого этапа, которое является частным от деления данного числа на записанный справа на одной строке с ним делитель;
— справа найти (как и первый делитель) наименьшее простое число, на которое делимое первого этапа делится без остатка, это число будет вторым делителем числа;
— слева записать делимое второго этапа, которое есть частное от деления предыдущей строки делимого на ее же делитель;
— для делимого второго этапа также найти делитель из наименьшего числа простых чисел, записать его на той же строке справа н т. д., пока в делимом последнего этапа не будет стоять 1;
— делители, стоящие справа от черты, записать множителями данного числа.
10.Наибольший общий делитель.
Наибольший общий делитель (НОД) двух и более чисел — это
самое большее натуральное число, на которое эти числа делятся
без остатка.
у чисел 12 и 8 наибольший общий делитель (НОД) равен 4.
11.Алгоритм нахождения НОД.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух или более чисел,
например 36 и 24 , надо:
36 = 2 • 2 • 3 • 3 ; 24 = 2 • 2 • 2 • 3 .
2) в группах множителей ( 2 • 2 • 3 • 3 ) и ( 2 • 2 • 2 • 3 ) , входящих в
разложение этих чисел, оставляем только совпадающие множители;
( 2 • 2 • 3 ) и ( 2 • 2 • 3 )
3) найти произведение оставшихся множителей. 2 • 2 • 3 = 12
Наибольший общий делитель чисел 36 и 24 равен 12.
Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например: у чисел 12 , 36 и 48 НОД = 12 .
12.Взаимно простые числа.
Если у нескольких чисел нет общих делителей кроме единицы, то эти
числа называются взаимно простыми.
у чисел 5 и 8 , 11 и 18 , 16 и 27 (НОД) равен 1 .
13.Наименьшее общее кратное.
Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют
наименьшее натуральное число, которое кратно и a , и b .
14.Алгоритм нахождения НОК.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных
чисел, например 6 и 8 , надо:
6 = 2 • 3 ; 8 = 2 • 2 • 2 ;
2 есть в разложении числа 6 ( вычеркиваем ее)
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 2 • 3 ;
3) домножить их на недостающие множители из разложений
остальных чисел;
2 • 3 • 2 • 2 ;
4) найти произведение получившихся множителей.
2 • 3 • 2 • 2 = 24; НОК ( 6 и 8 ) = 24 .
15.Основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить
на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Это свойство называют основным свойством дроби.
16.Правило сокращения дробей.
1)Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от
единицы, называют сокращением дроби.
2) Если числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми
числами (имеют только один общий делитель ( 1 ) ), то такая дробь
называется несократимой.
3) Наибольшее число, на которое можно сократить дробь — это
наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя.
17.Приведение дробей к общему знаменателю.
При приведении дроби к новому знаменателю ее числитель и
знаменатель умножают на дополнительный множитель ( (a ).
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю.
1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей,
оно и будет их наименьшим общим знаменателем.
2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных
дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель.
3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее
дополнительный множитель.
18,19,20.Правило сравнения , сложения ,вычитания дробей с разными знаменателями.
Чтобы сравнить (сложить или вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:
1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;
2) сравнить (сложить или вычесть) полученные дроби.
21. Привило сложения смешанных чисел.
Чтобы сложить смешанные числа.
22.Правило вычитания смешанных чисел.
Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:
1)привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть.
2)отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.
23.Умножения дроби на натуральное число.
При умножении дроби на натуральное число, мы должны ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
24.Правило умножения обыкновенных дробей.
При умножении простой дроби на простую дробь, надо:
1) перемножить числители этих дробей и результат записать в числитель
2) перемножить их знаменатели и результат записать в знаменатель.
25.Правило умножения смешанных чисел.
Для умножения смешанных чисел, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения простых дробей.
26.Алгоритм нахождения дроби от числа.
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
Под нахождением дроби от числа подразумевается
нахождение той части числа, которая выражена дробью.
27.Нахождения процентов от числа.
Чтобы найти указанный процент от
числа, нужно данное число умножить на число процентов и результат разделить на 100.
Например:
23% от 89 вычисляем так:
89 * 23 : 100 = 20,47.
115% от 39 вычисляем так:
По правилу 39 * 115 : 100 = 44,85.
28.Правило умножения смешанных чисел на натуральное число.
Чтобы умножить смешанную дробь на натуральное число, мы должны умножить и целую часть и числитель дроби на это число.
29.Правило деления обыкновенных дробей.
Чтобы разделить дробь на натуральное число, надо делимое умножить на число, обратное делителю.
Другими словами, чтобы разделить дробь на натуральное число, надо знаменатель умножить на это число.
30.Нахождения число по его дроби.
Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо
это значение разделить на дробь.
Решим задачу.
Две трети всех испеченных мамой пирожков были с капустой.
Сколько всего пирожков испекла мама, если пирожков с капустой
получилось 14 штук. Решение: если 14 шт — это 2/3 , то количество всех пирожков — 14 : 2/3 = 14 • 3/2 = 21 шт.
Используются при упрощении выражений.
1 a + b = b + a (переместительный закон сложения).
2(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
3 Свойство вычитания суммы из числа. 25 –( 5+ 8) = ( 25 – 5) – 8
4Свойство вычитания числа из суммы. (25 +13 )- 5 = ( 25 – 5 ) + 13.
5Переместительный закон сложения
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
(Значение суммы при перестановке двух слагаемых не меняется.)
6Сочетательный закон
Правило. Чтобы произведение двух множителей умножить на третий множитель, можно первый множитель умножить на произведение второго и третьего множителей.
Например:
(7 * 6) * 5 = 7 * (6 * 5) = 210
(a * b) * c = a * (b * c)
7Распределительным закон
Правило. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое из слагаемых и полученные произведения сложить.
Например:
7 * (6 + 5) = 7 * 6 + 7 * 5 = 77
a * (b + c) = ab + ac
Распределительный закон распространяется и на действие вычитания.
Например:
7 * (6 — 5) = 7 * 6 — 7 * 5 = 7
http://school-assistant.ru/?predmet=matematika&theme хороший сайт, вся это информация от туда (практически)