Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 7
Занятие 8. Прямая на плоскости.
8.1. Понятие об уравнениях линии на плоскости.
8.2. Различные виды задания прямой на плоскости. Основные задачи по нахождению прямой на плоскости.
8.3. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
8.1. Понятие об уравнениях линии на плоскости.
Далее будем использовать следующие три способа задания линии на плоскости.
1. Уравнение каждому допустимому значению независимой переменной ставит соответствие определенное значение , в результате на плоскости получается точка . При непрерывном изменении точки образуют линию на плоскости . Таким образом, уравнение определяет линию на плоскости .
Такое задание линии называется явным заданием.
Например,
1) - парабола на плоскости ,
2) - синусоида.
2. Линию на плоскости определяет также уравнение вида . Только здесь по заданному значению значение (или несколько значений) определяется после решения уравнения . Такое задание линии называется неявным.
Например,
1) - окружность радиуса 2 с центром в начале координат;
2) - эллипс с центром в точке и полуосями 4, 5.
3. Линию на плоскости можно задать в параметрическом виде: , где - параметр, принимающий вещественные значения. Каждому значению параметра отвечает точка на плоскости . При непрерывном изменении эта точка описывает линию.
Например,
1) - параметрически заданная прямая на плоскости . Эта же прямая имеет явное задание ,
2) - параметрически заданная окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Эту же окружность можно задать неявно: и явно: .
3) - нижняя половина окружности радиуса 1 с центром в начале координат.
8.2. Различные виды задания прямой на плоскости. Основные задачи по нахождению прямой на плоскости.
1. Из школьной программы известно, что прямая на плоскости может быть задана уравнением . Это явное задание прямой называют уравнением прямой с угловым коэффициентом наклона . Здесь , где - угол между прямой и положительным направление оси , - отрезок, отсекаемый прямой на оси .
Следует отметить, в таком виде нельзя записать уравнение прямой, перпендикулярной оси .
2. Любую прямую на плоскости можно задать уравнением .
Это уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости, это уравнение представляет неявное задание прямой. Это уравнение получается при решении следующей часто встречающейся задачи.
Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
Решение. Обозначим искомую прямую через .
,
где . В приведенном решении существенную роль сыграло условие ортогональности векторов.
Важно. Для успешного усвоения темы данного занятия от студента требуется не только понять, но и научиться самостоятельно воспроизводить решение задачи 1 и приведенной ниже задачи 2.
Из решения задачи 1 видно, что из общего уравнения прямой сразу же можно получить информацию о направлении прямой, а именно прямая проходит перпендикулярно вектору . Вектор называют вектором нормали (или нормальным вектором) к прямой. Чтобы изобразить прямую на плоскости остается найти какую-либо точку на этой прямой. Для этого, задаем какое-нибудь значение и из уравнения находим (или наоборот, задаем и находим ).
Пример 1. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где .
Решение. - вектор нормали к искомой прямой, которую обозначим через . Остается повторить решение задачи 1 с конкретными данными.
.
Пример 2. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
Решение. - вектор нормали к данной прямой. Этот же вектор перпендикулярен искомой прямой, которую обозначим через . Далее используем ту же цепочку рассуждений, что и в задаче 1:
.
3. Более удобными (по сравнению с уравнением и уравнением ) являются каноническое и параметрические уравнения прямой. Эти уравнения получаются из решения следующей задачи.
Задача 2. Найти прямую, проходящую через точку параллельно вектору .
Решение. Обозначим искомую прямую через .
координаты векторов пропорциональны
. Полученное уравнение называется каноническим уравнением прямой на плоскости. При решении задачи главную роль сыграло условие коллинеарности двух векторов. Это условие использовалось в формулировке: два вектора параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны из координаты.
Если при решении этой же задачи использовать условие коллинеарности двух векторов в виде: , то получим,
. Такая система равенств называется параметрическими уравнениями прямой на плоскости.
Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Каноническое уравнение и параметрические уравнения прямой имеют то преимущество над уравнением и общим уравнением прямой , что из канонического и параметрических уравнений прямой видна точка , лежащая на прямой, и направляющий вектор . Например,
1) - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору ,
2) - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору ,
3) - параметрические уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору ,
4) - параметрические уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору .
Из канонического или параметрических уравнения прямой на плоскости легко найти общее уравнение прямой и уравнение вида . Например,
1) - каноническое уравнение прямой - общее уравнение прямой - уравнение прямой с угловым коэффициентом наклона.
2) - - параметрические уравнение прямой - каноническое уравнение прямой - общее уравнение прямой
- уравнение прямой с угловым коэффициентом наклона.
Все многочисленные задачи по нахождению уравнения прямой на плоскости могут быть сведены к решению задачи 1 или задачи 2. Покажем это на следующих примерах.
Пример 3. Найти общее уравнение прямой, проходящей через точки .
Решение. - направляющий вектор искомой прямой. Теперь решаемую задачу можно сформулировать в виде рассмотренной выше задачи 2: найти общее уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору
. Обозначим искомую прямую через , тогда:
координаты векторов пропорциональны
- каноническое уравнение прямой - общее уравнение искомой прямой.
Пример 4. Найти общие уравнения двух прямых, проходящих через точку параллельно и перпендикулярно прямой :.
Решение. Пусть - прямая, проходящая через точкупараллельно прямой, и - прямая, проходящая через точку перпендикулярно прямой . Из уравнения прямой находим нормальный к этой прямой вектор . Этот вектор является вектором нормали к прямой и направляющим вектором для прямой . Поэтому, нахождение прямой повторяет решение задачи 1, а нахождение прямой повторяет решение задачи 2.
1)
первый ответ: - общее уравнение прямой .
2) координаты векторов пропорциональны
- каноническое уравнение прямой
второй ответ: - общее уравнение прямой .
Пример 5. Пусть точки - вершины треугольника . Найти канонические уравнения следующих четырех прямых: идущих по стороне , по высоте, медиане и биссектрисе треугольника из вершины .
Решение.
1) Обозначим прямую, идущую по стороне через . Нахождение канонического уравнения этой прямой проводится аналогично решению задачи из примера 3.
- направляющий вектор искомой прямой .
координаты векторов пропорциональны
ответ: - каноническое уравнение прямой .
2) Обозначим прямую, идущую по высоте треугольника из вершины через .
Направляющий вектор прямой является вектором нормали к прямой . По вектору нетрудно найти направляющий вектор прямой . Действительно, скалярное произведение этих векторов равно нулю. Пусть , тогда из можно взять . Найдем уравнение прямой , проходящей через точку параллельно вектору :
координаты векторов пропорциональны
ответ: - каноническое уравнение прямой .
3) Обозначим прямую, идущую по медиане треугольника из вершины через .
Найдем еще одну точку на прямой . В качестве этой точки можно точку - срединную точку отрезка : .
- направляющий вектор прямой . Дальнейшие рассуждения таковы:
координаты векторов пропорциональны
ответ: - каноническое уравнение прямой .
4) Обозначим прямую, идущую по биссектрисе треугольника из вершины через . Найдем направляющий вектор прямой . Сначала найдем векторы ,
, затем их орты ,
. Сумма ортов - вектор, направленный по диагонали параллелограмма, построенного на векторах . Т.к. эти векторы имеют одинаковую длину , то параллелограмм является ромбом, а диагональ ромба является одновременно его биссектрисой. Следовательно, вектор
- направляющий вектор прямой . Вместо вектора в качестве направляющего вектора прямой лучше взять вектор . Найдем уравнение прямой .
координаты векторов пропорциональны
ответ: - каноническое уравнение прямой .
Пример 6. Стороны треугольника лежат на прямых заданных общими уравнениями. .
Найти длину высоты этого треугольника из вершины .
Решение. Сначала найдем вершину , которая служит точкой пересечения прямых и . Поскольку эта точка лежит на обеих прямых, ее координаты можно определить из системы . Решение этой системы найдем по правилу Крамера:
.
Из уравнения прямой находим нормальный к ней вектор , который будет параллелен прямой , идущей по высоте , т.е. является направляющим вектором прямой . Найдем общее уравнение прямой .
координаты векторов пропорциональны
- каноническое уравнение прямой
- общее уравнение прямой .
Теперь найдем точку пересечения прямых и , как решение системы
. Эту систему тоже решим по правилу Крамера.
.
Точка является проекцией точки на прямую .
.
8.3. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельны, совпадать. Полезную информацию о взаимном расположении двух прямых дают направляющие векторы и векторы нормали этих прямых. Например, угол (острый или тупой) между прямыми равен углу (острому или тупому) между направляющими векторами этих прямых. Этот же угол равен углу между нормалями к этим прямым.
Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле: .
Пример 7.
При каких значениях параметров прямые а) пересекаются в одной точке, б) параллельны, но не совпадают, в) совпадают?
Решение. Из общих уравнений прямых найдем их нормальные векторы.
, .
Если прямые параллельны или совпадают, то . Следовательно, ответ на вопрос а) такой: прямые пересекаются в одной точке при .
Если прямые совпадают, то помимо пропорциональности координат векторов , система из дух уравнений должна быть эквивалентна одному уравнению. Уравнение должно быть пропорционально уравнению .
Ответ на вопрос в): прямые совпадают при .
Ответ на вопрос б) вытекает из полученных двух ответов: прямые параллельны, но не совпадают при таких, что и .
Пример 8.
Выяснить взаимное расположение прямых : , : .
Если прямые пересекаются, то найти точку их пересечения и угол между прямыми.
Решение. Из параметрических уравнений прямых , легко находятся их направляющие векторы .
: . : .
Координаты векторов не пропорциональны, значит эти векторы не коллинеарны и значит, прямые , пересекаются в одной точке. Эту точку можно найти такими рассуждениями:
, .
,
. Эту точку можно по-другому. Из параметрических уравнений найдем общие уравнения прямых ,. Система из общих уравнений прямых определяет .
: .
: .
.
Чтобы найти угол между прямыми, найдем угол между направляющими векторами , . ,
. Данное значение дает тупой угол между прямыми ,.
Острый угол между прямыми , равен .
Пример 9. Стороны треугольника лежат на прямых заданных общими уравнениями. .
Найти длину высоты этого треугольника из вершины .
Решение. Данная задача уже решена примером 6. В отличие от используемых там методов теперь найдем высоту с использованием формулы расстояния точки до прямой. Начало решения повторяет решение в примере 6: находим точку пересечения прямых и .
Теперь отходим от решения в примере 6 и воспользуемся тем, что равно расстоянию от точки до прямой . Следовательно, по формуле
получаем .
_________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точки .
2. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
3. Найти каноническое, параметрические и общее уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .