Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
№1. Понятие комплексного числа
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:
|
a = c и b = d. |
|
a + c + i(b + d). |
|
ac – bd + i(ad + bc). |
Запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть,
№2 Свойство сложени:
Сумма двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1+z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i
Свойство вычитания: Разность двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1−z2=a+bi−c+di=a−c+(b−d)i
Свойство умножения: Произведение двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида z=z1z2=a+bic+di=ac−bd+(ad+bc)i
Свойство деления: Частное двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di будет комплексное число вида
№3 Тригонометрическая форма комплексного числа
Запись числа в виде Z=r() называется тригонометрической формой комплексного числа.
Переход от тригонометрической формы к алгебраической
Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: . Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:
№4 Показательная форма комплексного числа
Форма записи комплексного числа в виде Z=r называется показательной
Действия над комплексными числами в показательной форме
алгебраические операции в показательной форме:
.
Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.
№5 Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
|
Производные функций |
||
где С — произвольная постоянная.
№7 Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале a;b , называется прирощение первообразной F(x) для этой функции,
то есть baf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)ba .
Основные правила и свойства определенного интеграла
№8 Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.
Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ' ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x0) = y0, называется задачей Коши (или начальной задачей).
Условие y(x0) = y0 — начальное условие.
Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.
Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения.
Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения.
Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме:
Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.
Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y(x) , так и в виде x = x(y) .
Задача КОШИ
Задача Коши, , - начальные данные:
Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем , являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).
Определение. Решением интегрального уравнения:
является функция , которая определена на <a,b> и
№9 Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (1)
или уравнение вида (2)
Для того, чтобы в уравнении (1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:
;
Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (1).
Уравнение (2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :
, что позволяет получить общий интеграл уравнения (2): . (3)
Интегральные кривые (3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.
№10 Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любых справедливо соотношение , называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.
Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функция нулевого измерения приводится к виду .
Доказательство.
Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим , тогда для однородной функции , что и требовалось доказать.
№11 Дифференциальные уравнения 2-го порядка
|
Основные понятия |
|
Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде . Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде . Для этих уравнений имеет место теорема существования и единственности решения. Теорема. Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам y и непрерывны в некоторой области, содержащей , то существует и притом единственное решение уравнения, удовлетворяющее условиям и . Эти условия называются начальными условиями. Геометрический смысл этих условий состоит в том, что через заданную точку плоскости с заданным тангенсом угла наклона касательной проходит единственная интегральная кривая. Ясно, что если мы будем задавать различные значения , то при постоянных и мы получим бесчисленное множество интегральных кривых с различными углами наклона касательных и проходящих через заданную точку. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , зависящая от двух произвольных постоянных, которая при любых значениях и является решением дифференциального уравнения. Уравнение , определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения. Если в общее решение подставить конкретные значения и , то получится частное решение дифференциального уравнения. График частного решения называют интегральной кривой данного дифференциального уравнения. |
№12 Дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида
где p, q − постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:
Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:
где C1 и C2 − произвольные действительные числа.
Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:
№13 Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида .
Свойства
Если ряд сходится и с - некоторое число, то сходится и ряд , причем выполняется равенство
.
Доказательство. Пусть - частичная сумма ряда. Так как ряд сходится, то .
,
,
.
Теорема 2. Пусть ряды и сходятся, тогда сходится ряд , причем
=+.
Теорема 3. Сходимость ряда не изменится, если в нем отбросить конечное число членов.
Сходимость
Если числовой ряд сходится, то предел его k-ого члена равен нулю: .
При исследовании любого числового ряда на сходимость в первую очередь следует проверять выполнение необходимого условия сходимости. Невыполнение этого условия указывает на расходимость числового ряда, то есть, если , то ряд расходится.
С другой стороны нужно понимать, что это условие не является достаточным. То есть, выполнение равенства не говорит о сходимости числового ряда . К примеру, для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполняется , а ряд расходится.
Признаки сравнения
Первый признак сравнения рядов.
Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .
Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть , разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 – 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом , то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров.
Второй признак сравнения.
Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость . Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость .
№ 15
|
Признак Даламбера Пусть − ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства: Если , то ряд сходится; Если , то ряд расходится; Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для установления сходимости нужноиспользовать другие признаки. Признак Коши Снова рассмотрим ряд с положительными членами. Согласно признаку Коши: Если , то ряд сходится; Если , то ряд расходится; Если , то вопрос о сходимости ряда , также как для признака Даламбера, остается открытым. |
|
|
№16 Знакочередующийся ряд – это ряд, знаки членов которого строго чередуются, т.е. это ряд вида
, (1)
где un > 0 (n = 1, 2, 3, …).
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (1) сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т.е. если выполняются следующие два условия:
1) u1 > u2 > u3 >…
и
2) .
При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка (остаток ряда – Rn) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов.
Ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов, т.е. .
Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
№ 17 Степенным рядом называется функциональный ряд вида
, (1)
где a, a0, a1, a2, …, an, … – некоторые числа, называемые коэффициентами степенного ряда.
Радиус и интервал сходимости
Интервал (a-R;a+R), называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Замечание. Любой степенной ряд (1) сходится при x=a. Если других точек сходимости у ряда (1) нет, то считают, что R=0. Если степенной ряд (1) сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что R=∞.
№ 18 Основные понятия и задачи комбинаторики
Размещение.
Перестановка.
Рn= n!
Сочетание.
№ 19 События. Классификация событий. Вероятность события.
Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи. С событиями связываются некоторые числа, характеризующие степень объективной возможности появления этих событий, называемые вероятностями событий.
Классификация события
Достоверным называется событие W, которое происходит в каждом опыте.
Невозможным называется событие Æ, которое в результате опыта произойти не может.
Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.
Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AÈB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.
Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AÇB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.
№ 20 Независимые и зависимые события. Условная вероятность. Теоремы сложения и вычитания.
Независимые и зависимые события .
Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.
В противном случае события являются зависимыми.
Условная вероятность.
Условную вероятность события P(B/A) можно представить как вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло.
Теорема сложения и вычитания.
Теоремы сложения вероятностей.
Сумма событий С= А + В происходит тогда, когда происходит либо А, либо В, либо оба вместе.
Теоремы вычитания вероятностей.
Разность событий С = А \ В происходит тогда, когда событие А наступает, а В не наступает.
№21 Формула полной вероятности, Формула Байеса. Формула Бернулли.
Пусть имеется группа событий H1, H2,..., Hn, обладающая следующими свойствами:
1) все события попарно несовместны: Hi Hj =; i, j=1,2,...,n; ij;
2) их объединение образует пространство элементарных исходов :
В этом случае будем говорить, что H1, H2,...,Hn образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.
Пусть А – некоторое событие: А Тогда имеет место формула полной вероятности:
P(A) = P(A/ H1)P(H1) + P(A/ H2)P(H2) + ...+ P(A/ Hn)P(Hn) =
Формула Байеса.
По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы Hk при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называютформулой вероятности гипотез. Вероятность P(Hk) называют априорной вероятностью гипотезы Hk, а вероятность P(Hk /A) – апостериорной вероятностью.
Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.
Формула Бернулли.
Пусть произведено два испытания(n=2). В результате возможно наступление одного из следующих событий:
Соответствующие вероятности данных событий такие: .
или - наступление события только в одном испытании.
- вероятность наступления события два раза.
- вероятность наступления события только один раз.
- вероятность наступления события нуль раз.
Пусть теперь n=3. Тогда возможно наступление одного из следующих вариантов событий:
.
Соответствующие вероятности равны .
Очевидно, что полученные результаты при n=2 и n=3 являются элементами
и .
Теперь допустим, произведено n испытаний. Событие А может наступить n раз, 0 раз, n-1 раз и т.д. Напишем событие, состоящее в наступлении события А m раз
Необходимо найти число испытаний, в которых событие А наступит m раз. Для этого надо найти число комбинаций из n элементов, в которых А повторяется m раз, а n-m раз.
- вероятность наступления события А.
(1)
Последняя формула называется формулой Бернулли и представляет собой общий член разложения :
.
Из формулы (1) видно, что ее удобно использовать, когда число испытаний не слишком велико.
№22 Дискретная случайная величина и ее закон распределения.
Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения.
Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей Σpi = 1. Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой) и графически
№23 Числовые характеристики случайной величины.
Числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия, а так же и моменты случайных величин
Математическое ожиданием М(Х) называется средняя величина возможных значений случайных величин, взвешенных по их вероятности. Выражается формулой:
Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайных величин от математического ожидания:
D[Х]=M[X-M(X)]2
Моментом k-порядка называется математическое ожидание k-й степени отклонения случайнойвеличины Х от некоторой постоянной с.
Если в качестве с берется нуль, моменты называются начальными
νk = М(Х)k
Если с = М(Х), то моменты называются центральными
μ = M[X – M(X)]k\