1.  При каких значениях параметра а уравнение = 2 + х имеет единственное решение. 

Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
у1 = 2 + х
у2 =

Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (-2; 0).
График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а = 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответсвующее значение влево (при положительных а) или вправо (при отрицательных а) (рис.2)

Из рисунка видно, что при а < -2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно -2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

ОТВЕТ:

     при a -2 уравнение имеет единственное решение.

1.  При каких значениях параметра а уравнение = х + а имеет 1 решение? 

Рассмотрим две функции:
у1 =
у2 = x + a

График первой функции строится при помощи сдвига графика y = на 1 единицу влево. График второй функции строится при помощи сдвига графика у =х на соответствующее значение параметра а ( при а > 0 - сдвиг влево, при а < 0 - сдвиг вправо).

Из рисунка хорошо видно, что при a (-; 1) уравнение имеет единственное решение. Но где-то есть такая точка, в которой график второй функции будет являться графиком касательной к у =, следовательно необходимо найти значение параметра а при этом условии.
Возведём обе части уравнения в квадрат:
()2 = (х + а)2
x2 + 2ax - x + a2 - 1 = 0
x2 + x(2a - 1) + (a2 - 1) = 0
При D = 0 получившееся квадратное уравнение имеет всего одну точку пересечения с осью ОХ, найдем соответствующие значения параметра а.

4a2 - 4a + 1 - 4a2 + 4 = 0
4a = 5 при а = 1.25
В ответе объединяем два полученных решения.

ОТВЕТ:

     при a (-; 1) {1.25} уравнение имеет одно решение.

1.  При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение? 

Область определения уравнения:

ОТВЕТ:

   при а = -1,25 уравнение имеет единственное решение

1.  Решить уравнение при всех значениях параметра а. 

Область определения уравнения:

•  если D < 0, то при a < , решений нет
  •  если D 0, то a
    
    
    Соотнесём решение системы с условиями дискриминанта и получим ответ.
  •     
  •  ОТВЕТ:
  •        при а < , уравнение не имеет решений
  •        при а  , х =

1.  Решить уравнение при всех значениях параметра а. 

Область допустимых значений уравнения:

Из области допустимых значений уравнения следует ограничение на параметр: а -1

Введем новые переменные:

Получаем уравнение: t - v = 1, тогда:

Сложим уравнения системы:
t2 + v2 = a + 1
Составим новую систему:

Решим второе уравнение системы:
2v2 + 2v - a = 0
D = 8a + 4
Чтобы уравнение имело корни D 0 - необходимое условие
а 0.5, значит при а < 0.5 решений нет.
(не удовлетворяет условию v 0)
Так как v2 не является решением, то

По условию v 0, следовательно 0
1, получаем а 0
По условию t 0, значит 0, что выполняется при всех допустимых значениях параметра а.

Возвращаемся к старой переменной:

х =

Проверим соответствие корня области допустимых значений уравнений .

x -1
-1
-(a + 1)
Так как а 0, то правая часть всегда отрицательна и неравенство выполнимо
при 1 + 2а 0
а -0.5

x a
a
a + 1
Так как а 0, то можно возвести обе
части неравенства в квадрат
1 + 2а а2 + 2a + 1
а2 0, следовательно а - любое 

x >
>
> 0
Это неравенство выполняется при а -0.5

Так как а 0, то t = 1 + v неотрицательно (t 0) при тех же значениях парамера а.

ОТВЕТ:

     при а < 0, уравнение не имеет решений

     при а 0, х =

1.  Решить уравнение = a при всех значениях параметра а. 

Ограничение на параметр:
а 0, так как при а < 0 решений нет.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
2|x| - x2 = a2
x2 - 2|x| + a2 = 0
Чтобы избавиться от необходимости раскрывать модуль, введём новую переменную |x| = y, причём у есть число неотрицательное. Уравнение принимает вид:
у2 - 2у + a2 = 0
D = 4 - 4a2
4 - 4a2 0
a [-1; 1]
Так как а 0, то рассматриваем a [0; 1]

y1 = 1 +
y2 = 1 -
Если a [0; 1], то подкоренное выражение неотрицательно и оба корня имеют место.

|x| = 1 +

x1 = 1 +
x2 = 1 -

|x| = 1 -

x3 = 1 -
x4 = -1 +

ОТВЕТ:

     при а (-; 0) (1; +), уравнение не имеет решений

     при а [0; 1], x1 = 1 +

        x2 = 1 -

                x3 = 1 -

        x4 = -1 +

1.  Решить неравенство

Область допустимых значений неравенства:

Рассмотрим случаи:

•  если а > 0, то
  
  Объединяя решения первой и второй систем совокупности, получим х >
  •  если а = 0, то 2 = 0, это уравнение верно при а 0
  •  если а < 0, то неравенство заведомо выполнимо в области допустимых значений уравнений (х a2)

ОТВЕТ:

     при а < 0, х a2

     при а 0, x >