варианта вычисления подынтегральной функции- прямоугольниками метод трапеций и метод Симпсона в котором по

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Методы численного интегрирования

( 1 )

Рассмотрим методы вычисления значений интегралов вида

где a и b - нижний и верхний пределы интегрирования; f(x) - непрерывная на отрезке [a, b] функция [1].

Чтобы вычислить подобный интеграл необходимо  вычислить значение одного или нескольких определенных интегралов, используя для этого методы, относящиеся к классу методов Ньютона - Котеса.

В данной работе мы рассмотрим три варианта вычисления подынтегральной функции: прямоугольниками, метод трапеций и метод Симпсона, в котором подынтегральная функция заменяется (аппроксимируется) параболой.

Методы численного интегрирования применяются тогда, когда невозможно или очень сложно найти первообразную для подынтегральной функции. В теоретическом курсе высшей математики интеграл определяется как предел

( 2 )

где R - погрешность вычисления интеграла.

Эта формула определяет сущность всех методов численного интегрирования. Интервал интегрирования [a; b] разбивается на n равных отрезков h=(b-a)/n. Название метода соответствует способу выбора аппроксимирующей функции.

Так выбор в пределах интервалов [xi;xi+1] одной точки i для вычисления в ней значения интегрируемой функции f(i) определяет аппроксимацию полиномом нулевой степени - константой. Однако, такой выбор точки i неоднозначен. Значение интеграла на интервале [xi; xi+1] заменяется площадью прямоугольника, равной f(i)h.

Так, при выборе i = xi (i=0, 1, 2,..., n-1), метод называется методом левых прямоугольников. Если i = xi+1 (i=0, 1, 2, ... , n-1), это метод правых прямоугольников, а если i =(xi+xi+1)/2 (i=0, 1, 2,..., n-1) – метод средних прямоугольников.

Методы левых и правых прямоугольников имеют сравнительно невысокую точность. Погрешность этих методов больше, чем погрешность метода средних прямоугольников. Погрешность метода средних прямоугольников сравнима с погрешностью метода трапеций или с погрешностью метода Симпсона.

На рис. 1 показана схема замены интегрируемой функции, определяющей площадь S криволинейной трапеции, ограничиваемую осью абсцисс Oх, криволинейным участком, определяемым функцией f(x) и прямыми x=a, x=b, множеством левых прямоугольников.

Рис.1. Графическое представление интегрирования методом левых прямоугольников

Для вычисления площади этой криволинейной трапеции отрезок [a, b] делится на n равных частей. Точки деления перенумеруем от 0 до n, так чтобы первая точка имела номер 0: х0 = а, а последняя- номер n: хn = b. Расстояние между соседними точками h = xi+1 - xi можно вычислить по формуле

( 3 )

а значение xi=a+i*h (i= 0, 1,..., n).

Площадь криволинейной фигуры S можно представить как сумму площадей элементарных фигур Si и погрешности  R:

( 4 )

Таким образом, суммируемые площади Si элементарных криволинейных фигур моделируются легко вычисляемыми площадями таких фигур, как прямоугольники, трапеции и фигуры, ограничиваемые с одной стороны параболой.

Методы прямоугольников

Метод прямоугольников может быть реализован в трёх вариантах: левых прямоугольников, правых прямоугольников и средних прямоугольников. В формулах метода прямоугольников одна сторона каждого прямоугольника h определяется по формуле (3), а значение второй стороны в зависимости от метода равно:

1.  f(xi) для i=0, 1, 2,...,n-1 в формуле левых прямоугольников:

( 5 )

1.  f(xi) для i= 1, 2,...,n в формуле правых прямоугольников:

( 6 )

1.  и f([xi + xi+1] / 2) для i=0, 1, 2,...,n-1 в формуле средних прямоугольников:

( 7 )

Обязательно надо обратить внимание на индексы в определении значения аргумента xi в обращениях к функциям, используемых для вычисления площадей элементарных прямоугольников и на то, что во всех вариантах метода суммируются площади (n1) - го прямоугольника.

Метод трапеций

Рис. 2. Элементарная трапеция, площадь которой вычисляется в методе трапеций

Площадь элементарной фигуры моделируется площадью трапеции, у которой  высота равна h, а параллельные стороны равны соответственно f(xi) и f(xi+1). Площадь этой элементарной трапеции вычисляется по формуле

( 8 )

где Ri  площадь, сегмента залитого на рис.2 серым цветом.

Значение интеграла, вычисляемое по формуле метода трапеций равно

( 9 )

Выполнив дополнительные алгебраические преобразования, получим окончательный вид формулы метода трапеций:

(10)

Метод Симпсона

Этот метод основан на замене на промежутках [x i , x i+1 ] функции f(x)  на параболу.

(11)

Для этого метода принципиально важно, чтобы n было четным, иначе невозможно построить параболы.

В дальнейшем мы будем сравнивать результаты, полученные тремя методами, поэтому число разбиений n должно быть одинаковым во всех трех формулах.

Правило Рунге

Для того чтобы оценить точность полученного значения интеграла на практике используется правило Рунге. Вычислив значение интеграла с шагом h, определённым по формуле (3) (обозначим это значение In), увеличим значение n в два раза и вычислим новое значение интеграла I2n . После чего можно выполнить оценку точности найденного значения интеграла по формуле

(12)

где ε - заданная точность определения значения интеграла.

Для уточнения значения интеграла при вычислениях, выполненных по методу Симпсона, можно использовать поправку Рунге. В этом случае значение интеграла определяется равным

(13)

Пример.

Вычислим значение         I= dt   при N=20

Метод прямоугольников.

Сначала воспользуемся методом прямоугольников. Для примера воспользуемся методом левых прямоугольников.

	H	I	Сначала рассчитаем шаг, для этого строим вот такую табличку: Где ячейка 4I=(I2-I1)/I3
1	а=	1,3
2	b=	2,5
3	n=	20
4	h=	0,06

i	xi		Теперь в столбце А задаем номер шага от 1 до 20, а в столбце В значения с полученным шагом 0,6 соответственно назвав столбцы. Столбец С будет у нас соответственно f(xi) и будет равен: =КОРЕНЬ(1+2*B2^2). Протягиваем эту формулу до конца. Столбец D называем Sпрямоугольн и в ячейку D2 вбиваем формулу «=С2», протягиваем ее до 19 шага. В ячейку D23 вводим формулу: =СУММ(D2:D21)*I4. Это и будет наше решение.
0	1,3
1	1,36
2	1,42
3	1,48
4	1,54
5	1,6
6	1,66
7	1,72
8	1,78
9	1,84
10	1,9
11	1,96
12	2,02
13	2,08
14	2,14
15	2,2
16	2,26
17	2,32
18	2,38
19	2,44
20	2,5

 

	А	В	С	D	В результате получаем такую таблицу: Метод правых прямоугольников и метод средних прямоугольников выполняется аналогично, только берутся вместо левых - правые точки или средних очки соответственно.
1	i	xi	f(xi)	Sпрямоугольн
2	0	1,3	2,092845	2,092845
3	1	1,36	2,167764	2,167764
4	2	1,42	2,24339	2,24339
5	3	1,48	2,319655	2,319655
6	4	1,54	2,396497	2,396497
7	5	1,6	2,473863	2,473863
8	6	1,66	2,551705	2,551705
9	7	1,72	2,629981	2,629981
10	8	1,78	2,708653	2,708653
11	9	1,84	2,787687	2,787687
12	10	1,9	2,867054	2,867054
13	11	1,96	2,946727	2,946727
14	12	2,02	3,026681	3,026681
15	13	2,08	3,106896	3,106896
16	14	2,14	3,18735	3,18735
17	15	2,2	3,268027	3,268027
18	16	2,26	3,34891	3,34891
19	17	2,32	3,429985	3,429985
20	18	2,38	3,511239	3,511239
21	19	2,44	3,592659	3,592659
22	20	2,5	3,674235
23				3,399454

Метод трапеций

	А	В	С	D	Е	Далее рассмотрим метод трапеций. Чтобы не создавать снова столбцы А,В,С расчет будем вести в той же таблице в столбце Е. Вычисляя значение интеграла по формуле (10) следующим образом: в ячейку Е2 вводим формулу =С2, в ячейку Е3 =2*С3, эту формулу протягиваем до предпоследнего шага, а в последний шаг опять вводим одиночное значение, т.е. ячейка Е22=С22. Ячейка Е23 это «=СУММ(E2:E22)*I4/2». Это наш ответ по методу трапеций. Таблица имеет вот такой вид:
1	i	xi	f(xi)	Sпрямоугольн	Sтрапец
2	0	1,3	2,092845	2,092845	2,092845
3	1	1,36	2,167764	2,167764	4,335528
4	2	1,42	2,24339	2,24339	4,486781
5	3	1,48	2,319655	2,319655	4,63931
6	4	1,54	2,396497	2,396497	4,792995
7	5	1,6	2,473863	2,473863	4,947727
8	6	1,66	2,551705	2,551705	5,103411
9	7	1,72	2,629981	2,629981	5,259962
10	8	1,78	2,708653	2,708653	5,417306
11	9	1,84	2,787687	2,787687	5,575374
12	10	1,9	2,867054	2,867054	5,734108
13	11	1,96	2,946727	2,946727	5,893454
14	12	2,02	3,026681	3,026681	6,053363
15	13	2,08	3,106896	3,106896	6,213791
16	14	2,14	3,18735	3,18735	6,3747
17	15	2,2	3,268027	3,268027	6,536054
18	16	2,26	3,34891	3,34891	6,697821
19	17	2,32	3,429985	3,429985	6,859971
20	18	2,38	3,511239	3,511239	7,022478
21	19	2,44	3,592659	3,592659	7,185318
22	20	2,5	3,674235		3,674235
23				3,399454	3,446896

Метод Симпсона

Выполняя суммирование по формуле метода Симпсона (11) мы записываем в таблицу следующие данные: ячейка F2=C2, ячейка F3, F5, F7, F9 и т.д. все нечетные ячейки =4*С3, 4*С5, 4*С7 и т.д., т.е. значение f(xi)*4. В промежуточные четные ячейки вносим удвоенное значение f(xi), т.е. F4=2*С4, F6=2*С6, так до предпоследнего шага. Последний шаг F22=С22. В ячейке F23 по формуле: =СУММ(F2:F22)*I4/3 получаем ответ.

Наша таблица обретает вид:

	А	В	С	D	Е	F
1	i	xi	f(xi)	Sпрямоугольн	Sтрапец	SСимпсона
2	0	1,3	2,092845	2,092845	2,092845	2,092845
3	1	1,36	2,167764	2,167764	4,335528	8,671055
4	2	1,42	2,24339	2,24339	4,486781	4,486781
5	3	1,48	2,319655	2,319655	4,63931	9,278621
6	4	1,54	2,396497	2,396497	4,792995	4,792995
7	5	1,6	2,473863	2,473863	4,947727	9,895454
8	6	1,66	2,551705	2,551705	5,103411	5,103411
9	7	1,72	2,629981	2,629981	5,259962	10,51992
10	8	1,78	2,708653	2,708653	5,417306	5,417306
11	9	1,84	2,787687	2,787687	5,575374	11,15075
12	10	1,9	2,867054	2,867054	5,734108	5,734108
13	11	1,96	2,946727	2,946727	5,893454	11,78691
14	12	2,02	3,026681	3,026681	6,053363	6,053363
15	13	2,08	3,106896	3,106896	6,213791	12,42758
16	14	2,14	3,18735	3,18735	6,3747	6,3747
17	15	2,2	3,268027	3,268027	6,536054	13,07211
18	16	2,26	3,34891	3,34891	6,697821	6,697821
19	17	2,32	3,429985	3,429985	6,859971	13,71994
20	18	2,38	3,511239	3,511239	7,022478	7,022478
21	19	2,44	3,592659	3,592659	7,185318	14,37064
22	20	2,5	3,674235		3,674235	3,674235
23				3,399454	3,446896	3,44686

Решение нелинейных уравнений

Общие положения

Решением или корнями уравнения Y(x)=0, называются такие значения аргумента х, при которых значение функции Y(x)  становится равным нулю (равенство обращается в  верное тождество).  Только 2 класса уравнений – линейное ax + b = 0  и квадратное  ax2 + bx + c = 0 – имеют в общем случае  аналитическое решение в виде формул. Все остальные классы уравнений имеют аналитические решения только в некоторых частных случаях.

Вычисление корня нелинейного уравнения осуществляется в 2 этапа:

1 этап. Определение промежутков локализации  [a, b]. Промежуток локализации [a, b] это такой промежуток на котором обязательно есть корень функции, причем только один. Определение промежутков локализации  выполняется с помощью построения таблицы значений и  графика функции;

2 этап.    Уточнение   корней   из   выбранных   промежутков   локализации.   На этом этапе     применяются    методы     метод  половинного  деления  (дихотомии)  , касательных (Ньютона), хорд и другие.

Определять значение корня находится с некой заданной точностью .

1 этап. 

Промежуток [a, b], на котором следует искать корень функции должен удовлетворять 2 условиям:

- функция Y(x)  должна быть непрерывна на этом промежутке [a, b]:

- значения функции Y(x)   на концах промежутка в точках a и b должны иметь разные знаки Y(a) * Y(b) < 0  

Рассмотрим уравнение  x3 -5x + 3 = 0.  функция Y(x) = x3 -5x + 3  является непрерывной при любом х, так что первое условие выполняется всегда. Для определения промежутков, где функция меняет знак, построим таблицу значений функции. См. рисунок 1.

X	Y(x)=x3-5x +3
-3	-9
-2.5	-0.125	первый корень в промежутке [-2.5, -2]
-2	5
-1.5	7.125
-1	7
-0.5	5.375
0	3
0.5	0.625	второй корень в промежутке [0.5, 1]  третий корень в промежутке [1, 1.5]
1	-1
1.5	-1.125
2	1

Поскольку на промежутке от -2.5 до -2 функция Y(x)  поменяла знак,   (Y(-2.5)=-0.125,   Y(-2.0)=5) и функция непрерывна, то где-то на этом промежутке она принимает значение 0, то есть на этом промежутке у функции Y(x) = x3 -5x + 3  есть корень. У кубической функции должно быть 3 корня, что и обнаруживается при дальнейшем анализе таблицы.

На рисунке 2 представлен график этой функции, иллюстрирующий промежутки локализации корней.

Рис. 2

Рассмотрим   другой   пример:   tg(x) – x + 2 =0,   левую   часть   уравнения обозначим Z(x)= tg(x) – x + 2.  Как известно, tg(x)  имеет разрывы в точках  x=  n. Построим таблицу значений функции Z(x), как показано на рисунке 3.

x	tg(x)-x+2
-2.5	5.247	На промежутке [ -2, -1.5] разрыв функции
-2	6.185
-1.5	-10.601	Корень на промежутке   [ -1.5 до -1.0]
-1	1.443
-0.5	1.954
0	2.000
0.5	2.046
1	2.557
1.5	14.601	На промежутке [ 1.5, 2.0] разрыв функции
2	-2.185
2.5	-1.247
3	-1.143

Рис. 3.

Первое изменение знака функции Z(x) мы видим на промежутке [-2.0, -1.5], однако  в точке  x= -/2 = -1.5759 имеется разрыв функции, нарушено условие непрерывности, поэтому на промежутке [-2.0, -1.5] корня нет. На промежутке [-1.5, -1.0] опять изменился знак функции, при чем на этом промежутке функция Z(x) непрерывна, поэтому промежуток [-1.5, -1.0] является промежутком локализации и содержит корень функции. Дальнейший анализ  таблицы значений показывает, что на промежутке [1.5, 2.0] снова происходит смена знака функции, но  в точке  x= /2 = 1.5759 имеется разрыв функции, следовательно корня на этом промежутке нет.

Рисунок 4 показывает график   функции Z(x)= tg(x) – x + 2. На рисунке видно, что на промежутках [-2.0, -1.5] и [1.5, 2.0] не может быть корней функции Z(x).

Рис. 4.

2 этап.

Уточнение корней из выбранных промежутков [a, b].

Рассмотрим 3 метода, позволяющих  определить корень с заданной точностью  : метод половинного деления или дихотомии, метод касательных или Ньютона и метод хорд.

Метод половинного деления (дихотомии)

Этот метод заключается в последовательном  делении промежутка [a, b]пополам и отбрасывании той части промежутка, где заведомо не может быть корня.

Пусть [a, b] это промежуток локализации корня уравнения Y(x)=0, то есть функция непрерывна на этом промежутке и имеет разные знаки в точках a и b, например, Y(а) <0, Y(b) >0 как на рисунке 5. Алгоритм метода заключается в следующих шагах:

Шаг 1. Найдем среднюю точку промежутка [a, b] ;

Шаг 2. Вычислим значение функции  в точке с Y(с);

Шаг 3. Сравним значение функции в точке с  Y(с) со значением функции в точке а  Y(а), если оба значения отрицательны или оба значения положительны Y(а) * Y(с) > 0, то на левой половине отрезка от а до с корня нет (вспомним, что функция непрерывна), эту часть отрезка можно отбросить и дальше рассматривать правую половину отрезка промежуток [с, b], обозначив его как . промежуток[a, b]. То есть если Y(а) * Y(с) > 0, то точка а переносится в точку с:   с=а.   Если же в точках   а   и   с   функция имеет разные знаки  Y(а) * Y(с) < 0, то корень находится между точками а  и  с ,  на левой половине отрезка [a,с], а правую половину [с, b] можно дальше не рассматривать. То если  есть Y(а) * Y(с) < 0, то точка b переносится в точку с: с=b.. В результате нам удалось уменьшить длину исходного промежутка локализации корня в 2 раза, отбросив левую или правую половину отрезка. Из-за этого метод и называют методом половинного деления или дихотомии. Рисунок 5 иллюстрирует схему уменьшения длины отрезка локализации корня, знаки функции обозначены   и Ө.

Попробуем отобразить указанные действия с помощью блок-схемы, что в дальнейшем поможет нам написать условные операторы.

c=(a+b)/2

Корень от а до с,

а=а

в=с

Корень от с до в,

а=с

в=в

Y(a)*Y(c) < 0

да

нет

Шаг 4. Уменьшать таким образом длину промежутка [a, b] будем до тех пор, пока  она не станет меньше заданной точности , то есть как только получим b-a<= , то будем считать, что корень найден и равен с.

Рис. 5

Пример.

Найдем корень уравнения x3 + 1,6x – 7,2 = 0 из промежутка [-1.5, 2.5] с точностью =0.0005

Сначала в VBA прописываем функцию:

Function g(x)

g = x ^ 3 + 1.6 * x - 7.2

End Function

После этого в Excel потребуется создать следующую таблицу 1:

	А	В
1	x	g(x)
2	-1	-9,8
3	-0,75	-8,821875
4	-0,5	-8,125
5	-0,25	-7,615625
6	0	-7,2
7	0,25	-6,784375
8	0,5	-6,275
9	0,75	-5,578125
10	1	-4,6
11	1,25	-3,246875
12	1,5	-1,425
13	1,75	0,959375
14	2	4
15	2,25	7,790625
16	2,5	12,425

Таблица 1

В ячейку В2 вбиваем формулу =g(A2) и протягиваем ее до конца таблицы. Искомый интервал на смене знаков у нас между 1,5 и 1,75. На этом интервале и будем искать корень нашего уравнения. График иллюстрирует нашу таблицу.

Для выполнения шага метода дихотомии строим таблицу:

	A	D	C	D	E	F	G	H
20	a	b	n(a)	n(b)	c=(a+b)/2	n(с)	|b-a|	результат
21	1,50	1,75	-1,425	0,959375	1,625	-0,30898	0,25	----
22	1,625	1,75	-0,308984375	0,959375	1,6875	0,30542	0,125	----
23	1,625	1,6875	-0,308984375	0,30542	1,65625	-0,00663	0,0625	----
24	1,65625	1,6875	-0,006634521	0,30542	1,671875	0,148168	0,03125	----
25	1,65625	1,671875	-0,006634521	0,148168	1,664063	0,070462	0,015625	----
26	1,65625	1,6640625	-0,006634521	0,070462	1,660156	0,031838	0,007813	----
27	1,65625	1,66015625	-0,006634521	0,031838	1,658203	0,012583	0,003906	----
28	1,65625	1,658203125	-0,006634521	0,012583	1,657227	0,002969	0,001953	----
29	1,65625	1,657226563	-0,006634521	0,002969	1,656738	-0,00183	0,000977	----
30	1,656738	1,657226563	-0,00183378	0,002969	1,656982	0,000567	0,000488	корень=1,6570

В ячейку Н15 вводим число 0,0005 – это наша допустимая погрешность на которую мы будем ссылаться как на константу.

Далее в ячейки вводим формулы:

ячейка	формула
А21	Вводим границу нашего промежутка – число 1,5
А22	=ЕСЛИ(C21*F21<0;A21;E21)
В21	Вводим вторую границу нашего промежутка – число 1,75
В22	=ЕСЛИ(C21*F21<0;E21;B21)
С21	=g(A21)
D21	=g(B21)
Е21	=(A21+B21)/2
F21	=g(E21)
G21	=ABS(B21-A21)
H21	=ЕСЛИ(G21<$H$15;"корень="&ТЕКСТ(E21;"0,0000");"----")

Протягиваем наши формулы до тех пор, пока корень не будет найден с необходимой нам погрешностью. В нашем случае до строки 30 т.е. до появления сообщения " Корень ”.

Метод хорд

На первом этапе уже определен промежуток локализации корня [a, b], такой, что на этом промежутке  есть только один корень уравнения Y(x)=0.

Шаг 1. Проводим прямую (хорду) между точками с координатами (a, Y(a)) и (b, Y(b)). Выведем уравнение этой прямой  g=k∙x + m:

g(b) = k∙b +  m  (1)

g(a) = k∙a + m   (2)

Тогда 

  (3)

Подставим полученное для  k выражение в (1) и выведем формулу для m.

Теперь, определив коэффициенты уравнения прямой k m можно вычислить точку пересечения хорды с осью абсцисс  x0, в которой g(x0)=0:

См. рис. 7 и рис. 8.

Рис. 7

Рис. 8

Шаг 2. Затем сравним знаки функции Y(x)  в точках а и x0  Y (а) и Y(x0).

Если  знаки функции одинаковы Y(а)∙Y(x0) > 0, то на промежутке от а до x0  корня нет, дальше будем рассматривать промежуток [x0, b] и следующую хорду нужно провести между точками с координатами (x0, Y(x0)) и (b, Y(b)). Точку а переносим в  x0.  См. рис.7.

Если же, как на рис.8, Y(а) и Y(x0) имеют разные знаки, то есть Y(а)∙Y(x0) < 0, то дальше следует рассматривать промежуток [a, x0]. Следующую хорду надо провести между точками (a, Y(a))  и (x0, Y(x0)). Точку b переносим в x0.

Выбор точки а или b, из которой следует строить следующую хорду, можно также осуществить с помощью  знака второй производной Y”(x). Если знак Y(b) и Y’’(b) совпадают (Y(b)∙Y’’(b) > 0, то  хорды следует строить из точки b (рис 8. случай II), в противном случае из точки а (рис.7, случай I).

Эти действия можно представить в виде блок-схемы, показанной на рис. 9

Y(a)*Y(x0)> 0

Да

Нет

             a = x0

             b = b

   a = a

   b = x0

Рис. 9

Шаг 3.  Следующее приближение к корню Y(x)  x1 вычислим по формуле, аналогичной (5)

и сократим длину промежутка [a, b] как на 2-ом шаге (рис.9).

Шаг 4.  Продолжать вычисление x2, x3,….xi  до тех пор, пока не выполнится условие

 │xi – xi-1│≤  (6)

Как только условие (6) выполнится, будем считать, что xi это корень функцииY(x), найденный с точностью .

Пример.

Рассмотрим нашу функцию x3 + 1,6x – 7,2 = 0 . Один из промежутков локализации -[1.5, 1,75], точность =0.0005. Строим следующую таблицу:

	A	D	C	D	E	F	G	H
33	a	b	n(a)	n(b)	c	f(с)	|Ci+1-Ci|	Результат
34	1,50	1,75	-1,425	0,959375	1,64941	-0,07363
35	1,64941	1,75	-0,073633927	0,959375	1,65658	-0,00339	0,00717	----
36	1,65658	1,75	-0,003386664	0,959375	1,656909	-0,00015	0,000329	корень=1,6569

В ячейку Н15 уже введено число 0,0005 – это наша допустимая погрешность на которую мы будем вновь ссылаться как на константу.

Далее в ячейки вводим формулы:

ячейка	формула
А34	Вводим границу нашего промежутка – число 1,5
А35	=ЕСЛИ(A34*F34<0;E34;B34)
В34	Вводим вторую границу нашего промежутка – число 1,75
В35	=ЕСЛИ(C34*F34<0;E34;B34)
С34	=g(A34)
D34	=g(B34
Е34	=A34-(B34-A34)/(D34-C34)*C34
F34	=g(E34)
G35	=ABS(E35-E34)
H35	=ЕСЛИ(G35<$H$15;"корень="&ТЕКСТ(E35;"0,0000");"----")

Протягиваем наши формулы вниз до тех пор, пока корень не будет найден с необходимой нам погрешностью. В нашем случае до строки 36 т.е. до появления сообщения " Корень ”.

Метод Ньютона (касательных).

Прежде, чем использовать метод Ньютона, необходимо найти промежутки локализации корней, то есть такие промежутки, где есть только один корень.

Обозначим найденный промежуток локализации [a;b], на этом промежутке должны выполняться два условия:

1. Функция y(x) непрерывна на [a;b]
2.  y(a)*y(b)<0, т.е. функция имеет разные знаки на концах промежутка.

Метод Ньютона является итерационным методом. В любом итерационном методе выбирается начальное приближение к корню , затем определяется x1x2…xixi+1, причем .

Процедура прекращается при условии xi+1 – xi │≤ ε, где  ε - точность вычисления корня, некое малое число. В наших лабораторных работах выберем =0,0005.

Начальное значение определяется по правилу:

 

Пусть, например, =b

Рис. 10

На рис.10  показан график функции y(x) на промежутке локализации [a;b]. Нас интересует точка пересечения графика функции с осью OX.

Шаг 1. Для нахождения точки x1проведем касательную к y(x) в точке (,y()). x1 – точка пересечения касательной с осью OX.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNK.

Сторона , , сторона

Тогда

Шаг 2. Необходимо сравнить и x1. Если, то будем считать, что корень найден и равен x1, если , то необходимо провести касательную к y(x) в точке (x1,y(x1)) и вычислить .

.Шаг  i. Вычислять xi+1по формуле:

До тех пор, пока станет меньше .

Пример.

Рассмотрим в очередной раз нашу функцию x3 + 1,6x – 7,2 = 0.

Как было установлено, промежуток локализации корня для этой функции от 1,5 до 1,75, а=1,5, b=1,75  Требуется вычислить корень функции с точностью ε = 0.0005 Сначала необходимо найти первую  и вторую производные

F`(x)=3x2 +1,6

F"(х)=6х

Далее строим таблицу:

	A	B	C	D	E	F
40	а=	1,5	n(a)=	-1,425	f"(а)=6*x	9
41	в=	1,75	n(b)=	0,959375	f"(b)=6*x	10,5
42		В качестве x0  берем b
43	i	xi	f(xi)	f`(xi)	|xi+1-xi|	Результат
44	0	1,75	0,959375	10,7875
45	1	1,661066049	0,04082015	9,877421	0,088934	----
46	2	1,656933376	8,50374E-05	9,836285	0,004133	----
47	3	1,656924731	3,71521E-10	9,836199	8,65E-06	корень=1,6569

В ячейку Н15 уже введено число 0,0005 – это наша допустимая погрешность на которую мы будем вновь ссылаться как на константу.

Далее в ячейки вводим формулы:

ячейка	формула
B40	Вводим границу нашего промежутка – число 1,5
В41	Вводим вторую границу нашего промежутка – число 1,75
D40	=g(B40)
D41	=g(B41)
F40	=6*B40
F41	=6*B41
В качестве x0  берем b
В44	Равняется нашему b, т.е. вводим 1,75
В45	=B44-C44/D44
С44	=g(B44)
D44	=3*B44^2+1,6
Е45	=ABS(B45-B44)
F45	=ЕСЛИ(E45<$H$15;"корень="&ТЕКСТ(B45;"0,0000");"----")

Протягиваем наши формулы вниз до тех пор, пока корень не будет найден с необходимой нам погрешностью. В нашем случае до строки 47 т.е. до появления сообщения " Корень ”.

В завершение хочется заметить, что при вычислении интеграла разными способами мы получали незначительно разнящиеся цифры. При нахождении корня уравнения корни вышли равными, поскольку была задана точность, до которой мы должны были вычислить корень.

Список литературы.

1. Алексеев В.Е.,Ваулин А.С.,Петрова Г.Б. –вычислительная техника и програмирование. Практикум по программированию : практ.пособие/-М.: Высш.шк., 1991. 400с.
2. Вычислительная техника и програмирование: Учебник для техн.вузов/А.В.Петрова,Е.В.Алексеев,А.С.Ваулин и др.-М.:Высш.шк., 1990-479 с.
3. Материалы лекций СПбГУ.

1

1. Принципы юридической ответственности за правонарушения
2. Внешнеэкономическая деятельность авиакомпании Эйр Казахстан
3. тематическое доказательное и проверяемое знание
4. Современные подходы к организации работы СМИ
5. относительно устойчивая структура умственных способностей индивида
6. і Вона є первинною клітиною соціальних груп класів які утворюють соціальну структуру будьякої країни
7. Утвержденоно на методическом заседани
8. Методика расследования вымогательства
9. Территориальное разделение труда
10. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук Дніпро
11. волевой сферы формирование и укрепление антинаркотических установок у детей; формирование и разви
12. еорема про момент рівнодійної системи збіжних сил.html
13. Русский солдат в поэме Твардовского Василий Теркин
14. Вариант 1 Проанализировать кадровый состав предприятия на основании следующих данных- Название подра
15. тема знаний о явлениях и процессах которая характеризуется свойственными ей объектами и предметами
16. Ребенок постепенно овладевает свойственными человеку формами поведения в обществе и главное теми внутрен
17. Основи цивільного права
18.  Правовой обычай и правовая доктрина
19. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОГРАММА ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКИ по специальности 080105
20. Диалог культур- древнетюркские этнопсихологические черты в древнерусской картине мира

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе