Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
5
PAGE 8
Механизмы передачи вращательного движения
Лекция 3
Графический метод определения передаточных отношений
и угловых скоростей в планетарных передачах
(Метод диаграмм. Метод Смирнова - Куцбаха)
Графический метод определения передаточных отношений и угловых скоростей звеньев в планетарных передачах основывается на 2х положениях кинематики, известных из курса теоретической механики:
Метод заключается в графическом построении диаграмм линейных и угловых скоростей. При этом должны быть заданы:
В результате построения диаграмм определяются:
Построение диаграмм рассмотрим на конкретном примере. Пусть нам задана кинематическая схема планетарного механизма (рисунок 1а), числа зубьев всех колес: z1, z2, z3, и закон движения ведущего звена 1: 1=const. Необходимо определить линейные скорости характерных точек механизма и угловые скорости всех его звеньев.
Задачу решаем в следующем порядке:
Для этого определяем радиусы начальных окружностей всех зубчатых колес rw1, rw2, rw3 считая, что известен модуль эвольвентных колес, и все колеса нарезаны без смещения (нулевые). В таком случае радиусы начальных и делительных окружностей совпадают.
; ; .
Задаемся масштабным коэффициентом длины [м/мм] и строим план механизма в 2х проекциях. Геометрические оси колес 1, 3 и водила Н совпадают. Обозначаем звенья и характерные точки механизма.
Определяем линейную скорость точки А - точки касания начальных окружностей 1го и 2го зубчатых колес. Начальные окружности обкатываются без проскальзывания, поэтому скорости точек А1 и А2, лежащих в точке касания, должны быть равны по модулю и направлению.
; .
Проектируем точку А на вертикальную ось - ось линейных скоростей. Откладываем по горизонтали (в направлении вектора скорости ) отрезок (Аа), изображающий вектор скорости точки "А" (рисунок 1в). Определяем масштабный коэффициент линейной скорости:
.
Проектируем точку "О" на ось линейных скоростей. Точка "О" - центр вращения звена 1. Линейная скорость точки "О" равна нулю. Соединив проекцию точки "О" с точкой "а" на диаграмме получим закон распределения линейных скоростей по радиусу вращения звена 1. Обозначим отрезок (аО) цифрой 1.
Определяем закон распределения линейных скоростей на сателлите 2. Сателлит совершает плоскопараллельное движение. В соответствии с изложенным положением механики в любой момент времени можно рассматривать движение звена 2, как вращение вокруг мгновенного центра скоростей. Мгновенным центром скоростей звена 2 является точка В, где соприкасаются начальные окружности колес 2 и 3. Колесо 3 неподвижно. Скорость любой его точки равна нулю. Начальные окружности обкатываются друг по другу без скольжения, следовательно:
.
Проектируем точку "В" на ось линейных скоростей. Соединив ее проекцию с точкой "а" получим луч 2 - закон распределения линейных скоростей вдоль мгновенного радиуса вращения звена 2.
Определяем линейную скорость точки "С", принадлежащей сателлиту 2 и водилу Н. Проектируем точку "С" на ось линейных скоростей. Проводим прямую в направлении вектора абсолютной скорости точки С до пересечения с лучом 2 - закон распределения линейных скоростей звена 2. Точку пересечения обозначаем "с". Отрезок (Сс) есть изображение линейной скорости точки "C2". Точка "С" одновременно принадлежит водилу Н, поэтому соединив точки "с" и "О", получим луч Н, изображающий закон распределения линейных скоростей вдоль водила Н. Определяем модуль линейной скорости точки "C":
.
Для определения линейной скорости любой точки вращающегося звена необходимо описать ее траекторию в направлении вращения звена до пересечения с вертикальной осью, точку пересечения спроектировать на ось линейных скоростей и провести горизонталь до пересечения с соответствующим лучом - законом распределения линейных скоростей этого звена. Затем с учетом V определить модуль скорости точки.
Для определения линейной скорости любой точки звена, совершающего плоское движение (сателлита), необходимо найти мгновенный радиус вращения точки, для чего точку соединяют с мгновенным центром вращения звена. Через масштабный коэффициент определить истинную длину мгновенного радиуса вращения. Спроектировать точку на вертикальную ось дугой, соответствующей мгновенному радиусу вращения с учетом направления вращения звена, и затем спроектировать на ось линейных скоростей. Через проекцию провести горизонталь до пересечения с соответствующим законом распределения линейных скоростей. Получив отрезок через V определить модуль скорости точек.
Для построения диаграммы угловых скоростей воспользуемся диаграммой линейных скоростей. Углы, образованные лучами 1, 2, Н на диаграмме линейных скоростей с осью линейных скоростей обозначим 1, 2, Н соответственно.
Определим угловую скорость звена 1 через соответствующие отрезки на диаграмме линейных скоростей с учетом масштабных коэффициентов:
.
Из прямоугольного треугольника ОАа определяем
.
Подставляем полученное значение в предыдущую формулу
Поскольку отношение величина постоянная, то, следовательно, угловые скорости звеньев пропорциональны тангенсам углов наклона законов распределения линейных скоростей точек звеньев к оси диаграмм линейных скоростей. Это свойство используется при построении диаграммы угловых скоростей.
Строим диаграмму угловых скоростей. Для этого под диаграммой линейных скоростей проводим линию, перпендикулярную оси линейных скоростей - ось угловых скоростей звеньев механизма (рисунок 1г). На этой оси выбираем произвольную точку О(3). От точки 3 вниз (перпендикулярно оси угловых скоростей) откладываем некоторый произвольный отрезок h. Конец отрезка обозначаем Р - полюс. Из точки Р проводим лучи, параллельные законам распределения линейных скоростей на диаграмме линейных скоростей, до пересечения с осью угловых скоростей. Точки пересечения обозначаем 1, 2, Н. Углы, образованные проведенными лучами 1, 2, Н с вертикальной линией Р3 соответственно равны 1, 2, и Н, т. к. стороны углов на диаграммах угловых и линейных скоростей параллельны.
Из диаграммы угловых скоростей определяем тангенсы этих углов.
Из 3Р1 , из НР3 , из 32Р .
Величина отрезка h для всех углов одинакова, следовательно тангенсы углов пропорциональны отрезкам на оси угловых скоростей. Поскольку угловые скорости звеньев пропорциональны тангенсам этих углов, а тангенсы их пропорциональны отрезкам на оси угловых скоростей, то угловые скорости звеньев пропорциональны отрезкам на оси угловых скоростей. Таким образом отрезки 3-1, 3-Н, 3-2 - это угловые скорости звеньев 1, Н, 2, выраженные в некотором масштабе .
Для определения подставим значения тангенсов в систему уравнений (1)
; ; .
Откуда следует .
Тогда
Изменяя величину отрезка h можно получить значение , удобное для вычислений угловых скоростей - с одной значащей цифрой (1, 2 или 5).
Точка 3 на оси угловых скоростей - начало отсчета угловых скоростей - О. Угловая скорость звена 3 изображается на оси угловых скоростей, отрезком, длина которого равна нулю (О-3). Если принять за положительное направление оси угловых скоростей вправо от О, то можно определить значение угловых скоростей звеньев и по знаку (вправо от О - плюс, влево - минус).
Имея план механизма и диаграммы линейных и угловых скоростей можно определить:
Синтез планетарных передач
Задачей синтеза планетарных передач является подбор чисел зубьев колес планетарной передачи по заданному передаточному отношению.
Как и всякая инженерная задача, задача подбора чисел зубьев колес планетарной передачи не может быть решена абсолютно точно. С одной стороны к механизму предъявляются требования по ограничению габаритов и весовых показателей, с другой стороны предъявляются требования к прочности звеньев механизма и его точности. В общем машиностроении считается достаточной точность в пределах погрешности в 5%.
Выполняя синтез планетарного редуктора мы должны удовлетворить ряд требований, вытекающих из условий проектирования механизма:
Рассмотрим задачу синтеза на конкретном примере. Пусть нам задана кинематическая схема редуктора (рисунок 2) и задано необходимое передаточное отношение U1-Н.
,
.
Откуда
Таким образом мы получим выражение для подсчета чисел зубьев колес планетарного механизма, необходимых для обеспечения заданного передаточного отношения. Очевидно, что для удовлетворения условия передаточного отношения можно получить множество сочетаний чисел зубьев и одного этого условия недостаточно для подбора чисел зубьев механизма. Помимо этого условия должны быть выдержаны некоторые другие обязательные условия.
Рассмотрим одно из необходимых условий, которое необходимо удовлетворить при выборе вариантов сочетаний чисел зубьев колес планетарного механизма.
Для того, чтобы зубчатое зацепление работало нормально, необходимо чтобы геометрические оси центральных колес совпадали с геометрической осью вращения водила. Это условие выполнимо, если межосевые расстояния О1О2 и О4О2 равны
.
Запишем это равенство через радиусы начальных окружностей колес
.
Обычно модуль всех колес планетарного редуктора одинаков. Пусть все колеса механизма нарезаны без смещения. В этом случае радиусы начальных окружностей равны радиусам делительных окружностей. Тогда радиусы начальных окружностей могут быть определены через числа зубьев колес
,
откуда получим условие соосности через искомые числа зубьев
Полученное уравнение справедливо, если модули всех колес одинаковы. Если же модули первой пары зубьев m1 и второй m2 не одинаковы, то это необходимо учесть коэффициентом , тогда условие соосности для нашей схемы принимает вид
.
Мы получили два уравнения [2] и [3] для подбора чисел зубьев механизма, а неизвестных - четыре. Используя уравнения [2] и [3] можно подобрать рациональные варианты чисел зубьев, основываясь на некоторых приемах.
Условия [2] и [3] являются обязательными для подбора чисел зубьев. Кроме условий удовлетворения соосности и передаточного отношения есть дополнительные условия, по которым производится проверка выбранного варианта соотношения чисел зубьев механизма: соседства и сборки.
Если сателлит один, то условия соседства и сборки выполняются автоматически и эти проверки не нужны. Как правило планетарные передачи не делают с одним сателлитом; механизм с одним сателлитом получается неуравновешенным (несбалансированным). Для уравновешивания блока сателлитов с противоположной стороны на водиле необходимо размещать массу, уравновешивающую массу блока сателлитов. Удобнее всего для уравновешивания с противоположной стороны разместить такой же блок сателлитов. Как правило в планетарных передачах на равных угловых расстояниях устанавливают 2, 3, 4 геометрически подобных блоков сателлитов. При этом планетарный механизм получает следующие преимущества:
,
здесь Р - полное окружное усилие в передаче;
k - число сателлитов.
Это возможно, когда нагрузка между всеми сателлитами распределяется равномерно. Практически в большинстве случаев число сателлитов k принимается равным 3.
В связи с уменьшением окружных усилий зубчатые колеса имеют меньший модуль, т. е. уменьшаются габариты передачи.
Наряду с указанными преимуществами при установке числа сателлитов больше одного, появляются дополнительные условия, которые должны быть соблюдены в планетарном редукторе.
Условие соседства заключается в том, что соседние сателлиты не должны зацепляться друг с другом. Если k=2, то сателлиты располагаются симметрично друг по отношению к другу - с противоположных сторон по отношению к центру вращения водила и поэтому не могут соприкасаться друг с другом. Таким образом, проверка на условие соседства при k=2 не нужна. При k>2 сателлиты могут соприкасаться друг с другом, и чтобы избежать этого необходима проверка на условие соседства. Если сателлит представляет собой блок из 2х колес, то проверка выполняется по колесу большего диаметра.
Пусть в нашем примере (рисунок 2) в блоке сателлитов 2-3 колесо 2 оказалось больше колеса 3. Колесо 2 зацепляется с колесом 1. Изобразим вторую проекцию этого зацепления (начальные окружности). Если мы имеем число сателлитов k, то соединив лучами ось вращения центрального колеса О1, с центром соседних сателлитов О2 и О2', получим центральный угол между двумя соседними сателлитами О2О1О2' равный (рисунок 3).
Соединим центра сателлитов прямой линией О2О2' и с оси вращения центрального колеса О1 опустим перпендикуляр О1К на эту линию. Получим равные отрезки О2К=О2'К.
Из прямоугольного треугольника О1КО2 находим отрезок О2К
.
Отрезок О1О2 является межосевым расстоянием колес 1 и 2
Тогда .
Рассмотрим, каким должно быть расстояние О2О2' между центрами соседних сателлитов, чтобы их зубья не соприкасались. Из рисунка 3 видно, что это расстояние должно быть не меньше двух радиусов окружностей выступов сателлитов - ra2.
Для нулевых колес
.
Таким образом условие соседства можно записать в виде
.
Подставим в это неравенство значения, полученные ранее
В окончательном виде получим
.
Мы получили условие соседства для сателлитов, имеющих внешнее зацепление с центральным колесом. Если бы мы рассматривали условие соседства для нашего примера сателлитов, имеющих внутреннее зацепление, то с учетом того, что межосевое расстояние в этом случае О1О2 было бы не суммой, а разностью радиусов начальных окружностей, то, проведя исследования аналогичные проведенным выше, получим
.
IV. Условие сборки
Для того, чтобы механизм был сбалансирован, блоки сателлитов устанавливают симметрично. При установке сателлитов зубья их не должны деформироваться и точно совпадать с впадинами центральных колес.
Для выполнения условия сборки планетарного механизма необходимо учитывать ряд конструктивных особенностей механизма:
Если мы хотим, чтобы зубья сателлитов точно совпадали с впадинами центральных колес, необходимо выдержать определенные соотношения между числами зубьев центральных колес и колес сателлитов - это и будет условием сборки.
Рассмотрим условие сборки на примере планетарного механизма, изображенного на рисунке 2. Изобразим вторую проекцию центральных колес 1 и 4 (рисунок 4). Предположим, что нам необходимо установить 2 блока сателлитов между колесами 1 и 4. Пусть оказалось, что колеса 1, 4 сориентированы таким образом, что вверху зуб колеса 4 установлен напротив зуба колеса 1, а внизу - зуб колеса 4 против впадины колеса1. Если вверху мы сможем установить блок сателлитов 2, 3, то внизу это окажется невозможным. Сателлиты геометрически подобны и поэтому необходимо, чтобы ориентация зубьев колес 1 и 4 была внизу и вверху одинакова.
Первый сателлит можно всегда установить, сориентировав колеса 1 и 4 так, как это необходимо. Когда первый сателлит установлен, колеса 1 и 4 взаимно сориентированы, т. е. мы уже не можем получить любое взаимное расположение их зубьев, т. к. ориентация колес теперь будет уже зависеть от сателлита.
Рассмотрим, когда мы сможем установить 2й сателлит на место 1го. Если не учитывать условие соседства, то теоретически следующий сателлит мы можем установить повернув колесо 1 на один шаг, т. е. на угол
.
При повороте колеса 1 на угол 1 повернется и водило Н, т. к. первый блок сателлитов уже установлен. Определим на какой угол повернется водило Н при повороте колеса 1 на угол 1, воспользовавшись передаточным отношением.
.
Отсюда определим угол поворота водила
.
Очевидно, что теоретически мы можем установить ограниченное число сателлитов. Их количество будет зависимым от угла поворота водила, поскольку водило переносит блок сателлитов. Подготовив для установки следующего сателлита место, поворачивая колесо 1 на 1 шаг, мы тем самым повернули водило на некоторый угол Н. Если Н=2, то на это место вернется 1й сателлит.
Таким образом теоретически возможное число сателлитов Е мы можем определить, разделив 2 на угол поворота водила Н при повороте первого колеса на угол 1.
.
Предположим, что нам необходимо установить k сателлитов - целое число.
Разделив теоретически возможное число сателлитов Е на необходимое нам число сателлитов k, получим некоторое число
где k - число сателлитов - целое число;
Е - теоретически возможное число сателлитов - тоже целое число;
Подставим полученное значение Е в предыдущую формулу
Получим условие сборки для планетарного механизма в общем виде. Правая часть уравнения должна быть кратная числу сателлитов k.
Определим условие сборки планетарного механизма, изображенного на рисунке 2.
Определим передаточное отношение по формуле Виллиса
,
.
Записываем условие сборки
.
В окончательном виде получим
.
Как правило число сателлитов k принимается равным 3. Три сателлита самоустанавливаются и контактируют с колесами в 3х точках. Происходит равномерное распределение нагрузки между сателлитами.