Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Нам с вами в помощ
12.1
Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1).
Для любого вектора , который лежит в плоскости , имеет место следующее разложение:
Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:
Пример
Задание. Зная разложение по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.
Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что
Пример
Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.
Решение. Координаты вектора - это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе, поэтому искомое разложение:
12.2+12.3
Направляющие косинусы вектора.
Направляющие косинусы вектора
a
– это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
Чтобы найти направляющие косинусы вектора
a
необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.
Свойство: Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.
Так в случае плоской задачи направляющие косинусы вектора
a
=
{ax
;
ay}
находятся по формулам
|
cos α = |
ax |
; |
cos β = |
ay |
|
| a | |
| a | |
Пример вычисления направляющих косинусов вектора
Найти направляющие косинусы вектора
a
=
{
3; 4
}
.
Решение: |
a
| = (32 + 42)1/2 = (9 + 16)1/2 = (25)1/2 = 5
|
cos α = |
3 |
; |
cos β = |
4 |
|
5 |
5 |
Так в случае пространственной задачи направляющие косинусы вектора
a
=
{ax
;
ay
;
az}
находятся по формулам:
|
cos α = |
ax |
; |
cos β = |
ay |
; |
cos γ = |
az |
|
| a | |
| a | |
| a | |
Пример вычисления направляющих косинусов вектора
Найти направляющие косинусы вектора
a= {2; 4; 4}
.
Решение: |a| = (22 + 42 + 42)1/2 = (4 + 16 + 16)1/2 = (36)1/2 = 6
|
cos α = |
2 |
= |
1 |
; |
cos β = |
4 |
= |
2 |
; |
cos γ = |
4 |
= |
2 |
|
6 |
3 |
6 |
3 |
6 |
3 |
15.1.
15.2.
Пусть заданы два произвольных ненулевых вектора и . Приведем их к общему началу, для этого отложим от некоторой точки векторы и , равные соответственно заданным векторам и (рис. 1).
Определение
Углом между векторами и называется угол .
Угол между сонаправленными векторами равен 0°, а между противоположно направленными - 180°.
Определение
Два вектора называются перпендикулярными или ортогональными, если угол между ними равен 90°.
Угол между двумя векторами , заданными своими координатами, вычисляется по формуле:
Пример
Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами и .
Решение. Косинус искомого угла:
Пример
Задание. Найти угол между векторами и
Решение. Косинус искомого угла:
15.3.
Это перепендикуляр опущенный из конца вектора на заданное направление