Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 1
Занятие 7. Векторное и смешанное произведение векторов.
7.1. Деление отрезка в данном отношении.
7.2. Компланарные, некомпланарные тройки векторов. Ориентация тройки векторов.
7.3. Векторное произведение: определение; свойства; координатное выражение.
7.4. Смешанное произведение: определение; свойства; координатное выражение. Условие компланарности тройки векторов ( ).
7.1. Деление отрезка в данном отношении.
Если точки - заданные концевые точки отрезка , разделенного точкой в заданном отношении , то координаты точки
находятся по формулам: . (1)
В случае, когда точка является серединой отрезка , и координаты точки найдутся по формулам: . (2)
Пример 1. Точки лежат на отрезке в последовательности и делят этот отрезок на три равные части. Найти координаты точек, если.
Решение. Пусть .
1). Точка делит отрезок в отношении . Согласно формулам (1), в которых следует отбросить последнюю формулу, находим
.
2). Точка делит отрезок в отношении , поэтому формулы (1) дают
.
Пример 2. Точки являются вершинами треугольника . Найти длину медианы и длину биссектрисы этого треугольника, проведенных из вершины .
Решение. Пусть точка - основание медианы и точка - основание биссектрисы .
1). Точка - середина отрезка . Следовательно, ее координаты можно найти по формулам (2).
.
,
.
2). Точка делит сторону в отношении , в котором находится отношение длин сторон , т.е. .
.
.
Следовательно, . Теперь, зная , по формулам (1) находим точку .
,
,
.
.
7.2. Компланарные, некомпланарные тройки векторов. Ориентация тройки векторов.
Система векторов называется компланарной, если все векторы этой системы параллельны одной плоскости, в противном случае система векторов называется некомпланарной. Система из одного вектора всегда компланарна. Система из двух векторов всегда компланарна. Система из трех векторов может быть как компланарной, так и некомпланарной. Некомланарные тройки векторов имеют ориентацию: тройка векторов называется правой тройкой, если с конца вектора кратчайший поворот вектора к вектору происходит против часовой стрелки, и тройка векторов называется левой, если с конца вектора кратчайший поворот вектора к вектору происходит по часовой стрелке.
Если тройка векторов - некомпланарна, то перестановка в ней местами любых двух векторов меняет ориентацию этой тройки. Например, если тройка - левая, то тройки и будут правыми.
Пример 3.
1. Тройка векторов - компланарна, т.к. все векторы лежат в плоскости .
2. Тройка векторов - некомпланарна, т.к. нет ни одной плоскости, которой бы были параллельны все три вектора одновременно.
Пример 4.
1. Тройка векторов - правая тройка, т.к. с конца вектора кратчайший поворот вектора к вектору происходит против часовой стрелки.
2. Тройка векторов - левая тройка, т.к. с конца вектора кратчайший поворот вектора к вектору происходит по часовой стрелке.
7.3. Векторное произведение: определение; свойства; координатное выражение.
Определение. Векторным произведением векторов называется вектор , который удовлетворяет следующим требованиям:
1.
2. - правая тройка;
3. , где - угол между и .
Векторное произведение векторов обозначается или .
Требования 1, 2 однозначно определяют направление вектора по отношению к векторам , а требование 3 определяет длину вектора , оно содержит следующий геометрический смысл векторного произведения: длина вектора равна площади параллелограмма, построенного а векторах .
Свойства векторного произведения таковы: и выполнены
- свойство антикоммутативности;
;
.
Если , то координаты вектора вычисляются по формуле:
. (3)
Отсюда, .
Формула (3) называется координатным выражением векторного произведения .
Замечание. Если требуется найти векторное произведение векторов , то сначала векторы переносят в пространство :
, а затем используют формулу (3), которая в данном случае дает:
,
.
Пример 5. Найти , если .
Решение. . Координаты вектора найдем с помощью формулы (3).
.
Пример 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .
Решение. Сначала найдем векторное произведение .
.
Теперь воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения, по которому длина вектора равна искомой площади параллелограмма на векторах , т.е.
.
Пример 7. Найти площадь треугольника на плоскости с вершинами в точках .
Решение. Рассмотрим векторы . Найдем их векторное произведение .
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах . Следовательно, .
Пример 8. Найти координаты орта , перпендикулярного одновременно векторам и такого, чтобы тройка была правой.
Решение. Сначала с помощью формулы (3) найдем вектор .
.
Согласно определению вектор перпендикулярен одновременно векторам и тройка
- правая. Проверим перпендикулярность пар векторов: и , используя условие ортогональности векторов (см. Занятие 6.)
1) . .
2) . .
Искомый орт получается нормировкой вектора . . .
Пример 9. Сформулировать условие коллинеарности векторов с помощью векторного произведения.
Решение.
1). Если , то угол между и равен 0 или . Рассмотрим .
Согласно требованию 3 и указанным значениям угла из определения векторного произведения выводим: .
2). Рассмотрим теперь векторное равенство . В силу определения векторного произведения (достаточно использовать требование 3) из этого векторного равенства получаем следующие три возможности: а) ; б) ; в) , т.е. или . Т.к. нулевой вектор параллелен любому вектору, то все три случая а), б), в) приводят к выводу: .
Таким образом, условие коллинеарности можно записать в виде: .
Отсюда, как следствие получаем: .
7.4. Смешанное произведение: определение; свойства; координатное выражение. Условие компланарности тройки векторов.
Смешанное произведение определено на трех векторах . Обозначим его .
Определение. . Таким образом, смешанное произведение векторов представляет векторное произведение векторов , умноженное затем скалярно на вектор . Результатом смешанного произведения векторов будет число.
Свойства смешанного произведения.
.
.
Перестановки векторов: называются циклическими.
Свойства , означают, что смешанное произведение векторов не меняется после циклической перестановки векторов и изменяет свое значение на противоположное при нециклических перестановках векторов.
Если векторы заданы координатами , то смешанное произведение находится по формуле
. (4)
Эта формула дает координатное выражение смешанного произведения .
Смешанное произведение имеет следующий геометрический смысл:
1. Если тройка векторов - правая, то смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ;
2. Если же тройка - левая, то, где - объем параллелепипеда на векторах .
Указанный геометрический смысл смешанного произведения векторов приводит к следующей формулировке условия компланарности системы из трех векторов :
. (5)
Пример 10. Вычислить , если .
Решение. Согласно координатному выражению (4) находим
.
Заметим, что полученный результат позволяет также сказать, что
1) тройка - левая (т.к. ) и
2) объем параллелепипеда на векторах равен 19.
Пример 11. Найти объем пирамиды с вершинами .
Решение. Рассмотрим векторы .
Найдем их смешанное произведение.
.
Следовательно, объем параллелепипеда на векторах равен 45. Объем пирамиды составляет одну шестую объема . Таким образом, .
Пример 12. Выяснить, лежат ли точки
на одной плоскости.
Решение. Четыре произвольно выбранные точки в общем случае не лежат одной плоскости. Для того, чтобы заданные четыре точки оказались на одной плоскости нужно, чтобы тройка векторов была компланарной. Условие компланарности :.
- не компланарны
заданные точки не лежат на одной плоскости.
____________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Найти координаты вектора , удовлетворяющего следующим условиям:
а) ; б) ; в) - левая тройка, если .
2. Вычислить площадь треугольника с вершинами .
3. Найти объем пирамиды с вершинами .
4. При каком значении параметра точки лежат в одной плоскости?