Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2. Полный факторный эксперимент
2.1. Выбор основного уровня
Выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации.
Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной информации, соответствует комбинация (или несколько комбинаций) уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее основным (нулевым) уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.
Положение усложняется, если эта точка лежит на границе (или весьма близко к границе) области. Тогда приходится основной уровень выбирать с некоторым сдвигом от наилучших условий.
Резюмируем наши рассуждения о принятии решений при выборе основного уровня в виде блок-схемы (рис.2.1).
2.2. Выбор интервалов варьирования
Теперь наша цель состоит в том, чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте.
Будем называть один из этих уровней верхним, а второй – нижним. Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора, хотя это не обязательно, а для качественных факторов вообще безразлично.
Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора. Другими словами, интервал варьирования – это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем.
Рис. 2.1. Блок-схема принятия решений при выборе основного уровня
Таким образом, задача выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервала варьирования.
Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний –1, а основной – нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования
где – кодированное значение фактора; – натуральное значение фактора; – натуральное значение основного уровня; – интервал варьирования; j – номер фактора.
Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень обозначается +1, а другой –1; порядок уровней не имеет значения.
На выбор интервалов варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью в результате анализа априорной информации или интуитивных решений.
Возникает вопрос, какая априорная информация может быть полезна на данном этапе?
Это – сведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов, о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения параметра оптимизации. Обычно эта информация является ориентировочной (в некоторых случаях она может оказаться просто ошибочной), но это единственная разумная основа, на которой можно начинать планировать эксперимент. В ходе эксперимента ее часто приходится корректировать. Точность фиксирования факторов определяется точностью приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. Для упрощения схемы принятия решений используется приближенная классификация, полагают, что есть низкая, средняя и высокая точности. Можно, например, считать, что измерение напряжения сети с погрешностью не более 0.1% соответствует высокой, не более 1% – средней, а более 5% – низкой точности.
Источником сведений о кривизне поверхности отклика могут служить уже упоминавшиеся графики однофакторных зависимостей, а также теоретические соображения. Из графиков сведения о кривизне можно получить визуально. Некоторое представление о кривизне дает анализ табличных данных, так как наличию кривизны соответствует непропорциональное изменение параметра оптимизации при равномерном изменении фактора. Мы будем различать три случая: функция отклика линейна, функция отклика существенно не линейна и информация о кривизне отсутствует.
Наконец, полезно знать, в каких диапазонах меняются значения параметра оптимизации в разных точках факторного пространства. Если имеются результаты некоторого множества опытов, то всегда можно найти наибольшее или наименьшее значения параметра оптимизации. Разность между этими значениями будем называть диапазоном изменения параметра оптимизации для данного множества опытов. Условимся различать широкий и узкий диапазоны. Диапазон будет узким, если он не существенно отличается от разброса значений параметра оптимизации в повторных опытах. В противном случае будем считать диапазон широким. Учтем также случай, когда информация отсутствует.
Итак, для принятия решений используется априорная информация о точности фиксирования факторов, кривизне поверхности отклика и диапазоне изменения параметра оптимизации. Каждое сочетание градаций перечисленных признаков определяет ситуацию, в которой нужно принимать решение. При принятых нами градациях возможно 33 = 27 различных ситуаций. Они представлены на рис. 2.2 – 2.4 в виде кружочков, цифры в которых соответствуют порядковым номерам ситуаций.
Теперь мы приблизились к принятию решения о выборе интервалов варьирования. Для интервалов также введем градацию. Будем рассматривать широкий, средний и узкий интервалы варьирования, а также случай, когда трудно принять однозначное решение. Размер интервала варьирования составляет некоторую долю от области определения фактора. Можно, например, условиться о следующем: если интервал составляет не более 2% от области определения, считать его узким, не более 10% – средним, и в остальных случаях – широким. Это, конечно, весьма условно, и в каждой конкретной задаче приходится специально определять эти понятия, которые зависят не только от размера области определения, но и от характера поверхности отклика и от точности фиксирования факторов.
Перейдем к рассмотрению блок-схем принятия решений. На рис. 2.2 представлены девять ситуаций, имеющих место при низкой точности фиксирования факторов. При выборе решений учитываются информация о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения параметра оптимизации. Типичное решение – широкий интервал варьирования. Узкий интервал варьирования совершенно не используется, что вполне понятно при низкой точности.
Средний интервал варьирования в этой схеме выбирается дважды, причем в девятой ситуации как редко применяемая альтернатива. Здесь отсутствует информация об обоих признаках, и выбор широкого интервала представляется более естественным.
Наибольшие трудности возникают, когда поверхность отклика не линейна. Появляется противоречие между низкой точностью фиксирования факторов и кривизной. Первая требует расширения интервала, а вторая – сужения. Решение оказывается неоднозначным. Приходится рассматривать дополнительные рекомендации
Рис. 2.2. Блок-схема принятия решений при низкой точности фиксирования факторов
Прежде всего, нужно выяснить, нельзя ли увеличить точность эксперимента либо за счет инженерных решений, либо за счет увеличения числа повторных опытов. Если это возможно, то решения принимаются на основе блок-схемы (рис. 2.3) для средней точности фиксирования факторов. Если это невозможно, то для принятия решения нет достаточных оснований, и оно становится интуитивным.
Эта блок-схема, как и последующие, служит весьма грубым приближением к действительности. На практике учитывается еще масса обстоятельств. Например, решения, принимаемые по каждому фактору в отдельности, корректируются при рассмотрении совокупности факторов.
На рис. 2.3 изображена блок-схема для случая средней точности фиксирования фактора. Характерен выбор среднего интервала варьирования. Лишь в случае нелинейной поверхности и широкого диапазона рекомендуется узкий интервал варьирования. При сочетаниях линейной поверхности с узким диапазоном и отсутствием информации о диапазоне выбирается широкий интервал варьирования. Пунктиром, как и выше, показаны редко применяемые альтернативы.
Наконец, на рис. 2.4 построена блок-схема для случая высокой точности фиксирования фактора. Сочетание высокой точности с нелинейностью поверхности всегда приводит к выбору узкого интервала. Довольно часто выбирается средний интервал и лишь в двух случаях широкий. В обеих последних блок-схемах отсутствуют неоднозначные решения.
2.3. Полный факторный эксперимент
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.
Если в k – мерном пространстве фактор х1 будет принимать l1 уровень, фактор х2 – l2 уровней, а фактор хк – lк уровней, то k – факторов образуют:
наборов, или точек факторного пространства.
Рис. 2.3. Блок-схема принятия решений при средней точности фиксирования факторов
Рис. 2.4. Блок-схема принятия решений при высокой точности фиксирования факторов
В теории ТПЭ обычно l1 = l2 = . . . = lk поэтому Nl = lk. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем полный факторный эксперимент типа N2 = 2k. Количество исследуемых точек факторного пространства представлено в табл. 2.1.
Таблица 2.1
|
k |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
N |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
512 |
1024 |
Матрицы планирования для двух и трех факторов приведены ниже (табл. 2.2 и 2.3).
Таблица 2.2 Таблица 2.3
Матрица планирования 22 Матрицы планирования 23
|
№ опыта |
х1 |
х2 |
Y |
№ опыта |
х1 |
х2 |
х3 |
y |
|
|
1 |
–1 |
–1 |
y1 |
1 |
– |
– |
+ |
y1 |
|
|
2 |
+1 |
–1 |
y2 |
2 |
– |
+ |
+ |
y2 |
|
|
3 |
–1 |
+1 |
y3 |
3 |
+ |
– |
+ |
y3 |
|
|
4 |
+1 |
+1 |
y4 |
4 |
+ |
+ |
+ |
y4 |
|
|
5 |
– |
– |
– |
y5 |
|||||
|
6 |
– |
+ |
– |
y6 |
|||||
|
7 |
+ |
– |
– |
y7 |
|||||
|
8 |
+ |
+ |
– |
y8 |
Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой. Таким образом, в табл.2.2 мы имеем два вектор-столбца независимых переменных и один вектор-столбец параметра оптимизации. То, что записано в этой таблице в алгебраической форме, можно изобразить геометрически. Найдем в области определения факторов точку, соответствующую основному уровню, и проведем через нее новые оси координат, параллельные осям натуральных значений факторов. Площадь, ограниченная квадратом (рис. 2.5), называется областью эксперимента. Геометрической интерпретацией полного факторного эксперимента 23 служит куб, координаты вершин которого задают условия опытов.
Рис. 2.5. Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 22
2.4 Свойства полного факторного эксперимента типа 2k
Первое свойство – симметричность относительно центра эксперимента – формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или , где j – номер фактора, N – число опытов, j = 1, 2... k.
Второе свойство – так называемое условие нормировки – формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или . Это следствие того, что значения факторов в матрице задаются +1 и –1.
Третье свойство называется ортогональностью матрицы планирования. Сумма по членных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или
, j ≠ u, j, u= 0, 1, 2, …, k.
Это важное свойство.
Последнее, четвертое свойство называется ротатабельностью, т. е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.
2.5 Полный факторный эксперимент и математическая модель
Давайте еще раз вернемся к матрице 22 (табл. 2.2). Для движения к точке оптимума нам нужна линейная модель. Воспользуемся формулой
, j = 0 ,1 , …, k.
для подсчета коэффициентов b1 и b2
Вы видите, что благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов превратился в простую арифметическую процедуру. Для подсчета коэффициента b1 используется вектор-столбец x1, а для b2 – столбец х2. Остается неясным, как найти b0. Если наше уравнение справедливо, то оно верно и для средних арифметических значений переменных: . Но в силу свойства симметрии . Следовательно, . Мы показали, что b0 есть среднее арифметическое значений параметра оптимизации. Чтобы его получить, необходимо сложить все у и разделить на число опытов. Чтобы привести эту процедуру в соответствие с формулой для вычисления коэффициентов, в матрицу планирования удобно ввести вектор столбец фиктивной переменной х0, которая принимает во всех опытах значение +1. Это было уже учтено в записи формулы, где j принимало значения от 0 до k.
Теперь у нас есть все необходимое, чтобы найти неизвестные коэффициенты линейной модели
Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний.
Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от нижнего к верхнему уровню. Вклад, определенный таким образом, называется эффектом фактора (иногда его называют основным или главным эффектом). Он численно равен удвоенному коэффициенту. Для качественных факторов, варьируемых на двух уровнях, основной уровень не имеет физического смысла. Поэтому понятие «эффект фактора» является здесь естественным.
Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора. Для полного факторного эксперимента 22 матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия представлена в табл. 2.4.
Теперь модель выглядит следующим образом:
Таблица 2.4
Полный факторный эксперимент 22
|
№ опыта |
x0 |
х1 |
х2 |
x1x2 |
Y |
|
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
y1 |
|
2 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
y2 |
|
3 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
y4 |
Коэффициент b12 вычисляется обычным путем
Запишем матрицу планирования 23 с учетом всех возможных взаимодействий.
Полное число всех возможных эффектов, включая b0, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента.
Таблица 2.5
Полный факторный эксперимент 23
|
№ опыта |
х0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х1х2 |
х1х3 |
х2х3 |
х1х2х3 |
y |
|
1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
y1 |
|
2 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
y2 |
|
3 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
y3 |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
y4 |
|
5 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
y5 |
|
6 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
y6 |
|
7 |
+1 |
–1 |
+1 |
+1 |
–1 |
–1 |
+1 |
–1 |
y7 |
|
8 |
+1 |
+1 |
+1 |
–1 |
+1 |
–1 |
–1 |
–1 |
y8 |
Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться обычной формулой числа сочетаний
где k – число факторов, m – число элементов во взаимодействии.
Так, для плана 24 число парных взаимодействий равно шести
EMBED Visio.Drawing.6