Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Исследование функций.
Установим признаки постоянства и монотонного применения функций. Пусть определена и непрерывна на [a,b] и имеет конечную производную в (a,b). Тогда для того, чтобы была постоянна на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы Док-во:
Необходимость: Пусть , тогда для
Достаточность: Если для то по теореме Лагранжа для для
Следствие. Если функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на [a,b] и дифференцируемы в (a,b), и f’(x)=g’(x) , то они отличаются на постоянную.
Теорема. Признак монотонного изменения ф-ии. Пусть f(x) и непрерывна на [a,b] и имеет конечную производную в (a,b). Для того чтобы f(x) была монотонно возрастающей на [a,b] достаточно, чтобы f’(x)>0 , монотонно убывающей – f’(x)<0 .
Дкв: По теореме Лагранжа для имеем . Если f’()>0 то .
Локальный Экстремум. Ф-ия достигает в точке С локального максимума (минимума), если можно указать такое что для выполняется неравенство .
По Теореме Ферма, если в точке С существует f’(C) то f’(C)=0.
Точка называется стационарной точкой для ф-ии f(x) если в ней f’()=0. Точки локального экстремума следует искать среди стационарных точек и точек где производная не существует. Необходимое условие экстремума: точка является точкой локального экстремума если f’()=0 или f’() не существует. Не всякая стационарная точка является точкой локального экстремума.
Теорема. Пусть f(x) непрерывна на отрезке и имеет f’(x) отдельно на . Тогда
а) если то т. с есть точка локального максимума.
б) если то т. с есть точка локального минимума.
Дкв:
Докажем а). Если то для и если то для . Здесь не требуется существования f’(c). Аналогично доказывается и б).
Теорема. Пусть с - стационарная точка и f – имеет непрерывную вторую производную в окрестности с. Тогда
а) Если f’’(c)<0 , то с есть точка локального максимума.
б) Если f’’(c)>0 , то с есть точка локального минимума.
в) Если f’’(c)=0 , то необходимы доп исследования.
Дкв: Рассмотрим f по ф-ле Тейлора по степеням (x-c), n=1.
.
Пусть f’’(c)<0. Так как f’’(x) непрерывна в окрестности с то найдется такое что f’’(x)<0 . Тогда из ф-лы Тейлора получаем f(x)<f(c) . Аналогично доказывается б).
Теорема. Пусть и и непрерывна в окрестности т с тогда:
а) (n+1) – четное и , то f имеет в т с локальный максимум,
б) (n+1) – четное и , то f имеет в т с локальный минимум,
а) (n+1) – нечетное, то f не имеет в т с локального экстремума.
Дкв: Разложим f(x) по степеням (х-с).
.
Если n+1 четное. Пусть то , тогда следовательно т с –точка максимума. Аналогично случай б).
Если n+1 нечетное, то меняет знак в окрестности т с и следовательно т с не является точкой экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения.
Чтобы найти набольшее и наименьшее значения f(x) на [a,b], надо вычислить значения f(x) в стационарных точках, точках где производная не существует и на концах отрезка a,b и среди этих значений выбрать наибольшее или наименьшее. Пусть т стационарные точки или т. в которых f’ не существует. Тогда
Выпуклость, вогнутость, точка перегиба.
Говорят, что график выпуклый вниз если существует окрестность точки Х1 для которой все точки графика лежат выше касательной в точке Х1. Если кривая лежит ниже касательной ,то говорят, что кривая выпукла вверх. Если при переходе через точку Х2 график кривой переходит с одной стороны касательной на другую, то это точка перегиба.
Теорема. Если f(x) имеет в окрестности точки непрерывную f’’(x) и f’’()<0 то кривая выпуклая вверх, если f’’()>0 то кривая выпуклая вниз, в окрестности т. .
Дкв: Разложим f в окрестности по ф-ле Тейлора: .
Запишем ур-ие касательной в т. . Тогда
Если f’’(x)<0 ,то , и тогда f(x)-y<0 т.е. f(x)<y – график лежит под касательной кривая выпуклая вверх.
Если f’’(x)>0 ,то f(x)-y>0 т.е. f(x)>y – график лежит над касательной кривая выпуклая вниз.
Теорема. Если f(x) такова, что f’’’ непрерывна в и f’’()=0 и f’’’()0,то кривая имеет в точку перегиба.
Дкв:
. Касательная . Вычитая получим . Множитель меняет знак при переходе через , а вместе с ним и остаточный член.