Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
17. Рівняння ел.динаміки комплексних амплітуд. Принцип переставн. подвійності.
Оскільки в рівняннях Максвела присутні похідні по часу, то будемо вважати, що всі електромагнітні процеси в електродинаміці змінюються в часі від - до +, тому E(t) і H(t) будуть змінюватися по закону sin(t) або cos(t).
Для будь-якого сигналу ми можемо розкласти і в ряд Фурь’є і розглядати електромагнітні процеси для кожної гармонічної складової окремо.
Переходимо від миттєвих значень і до їх комплексних амплітуд:
Тоді для переходу до миттєвих значень від комплексних амплітуд потрібно:
Аналогічно:
Тобто все змінюється по гармонійному закону:
Перше рівняння Максвела для комплексних амплітуд
- це для миттєвих значень.
Тепер підставимо сюди комплексні значення, і отримаємо:
- це похідні по координатам, не залежить від координат і експоненту можна винести за знак .
- const, від часу не залежить і її можна винести за знак і взяти похідну по t тільки від .
Тому маємо:
Остаточно рівняння Максвела для комплексних амплітуд:
Основна перевага методу комплексних амплітуд - нема похідної, а тільки множення на j.
Друге рівняння Максвела:
Третє рівняння:
Четверте рівняння:
Для матеріальних рівнянь:
- це тензор діелектричної проникності
- комплексна провідність (є дійсна і уявна частини)
Звільнимося від зайвих індексів і будемо вважати:
це для комплексних амплітуд
І тепер рівняння Максвела мають вигляд:
(1)
(2)
Для однорідного ізотропного середовища у нас будуть не тензори, а скаляри. Підставимо у (1) і (2) всі інші рівняння. Спочатку у перше рівняння Максвела:
(3)
де: - сторонній струм
- комплексні числа.
Якщо - комплексне число, то пишемо "-" при умові, що часовий множник запишемо у формі ; а якщо пишемо , то пишемо (це необхідна умова, якщо не робити заміну, то це буде порушенням принципу причинності).
Формалізація завела нас до чотирьох параметрів речовини (в рівнянні (3)): ,
але ми будемо вважати, що в нас є ідеальний діелектрик в якому є електрони провідності. Вводимо еквівалентну діелектричну проникність:
- відповідає за поляризацію у діелектрику
- відповідає за втрати в діелектрику
В входять (так як і в і ):
Перепишемо рівняння (3):
- це вже деяка комплексна величина
- сюди теж входить дійсна та уявна частини
Друге рівняння Максвела:
- без тильди, тому що в природі не знайдено магнітних зарядів і струмів.
При наявності магнітних зарядів та струмів цю систему можна записати в такому вигляді:
( )
- комплексна речовина
( )
Тепер ці рівняння стають симетричними. Щоб отримати ( ) з ( ) треба зробити заміну:
(4)
Ми отримали принцип переставної подвійності рівнянь Максвела. Що цей принцип дає? Розв'язавши рівняння для електричних струмів ми можемо відразу записати розв'язок рівнянь для магнітних струмів, не розв'язуючи спочатку, а скориставшись принципом переставної подвійності (тобто заміною (4)).